文档内容
七年级上册数学《第 2 章有理数及其运算》
2.3 有理数的乘除运算
有理数的乘法
知识点一
★1、有理数的乘法法则：
1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.．
2．任何数同 0 相乘，都得 0.
★2、有理数乘法的求解步骤:
(1)确定积的符号；
(2)确定积的绝对值．
【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积
的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
倒数
知识点二
◆倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数．
1 1
一般地，a• =1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是 ．
a a
◆方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重
要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【注意】
倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不能称其为倒数．多个有理数的乘法
知识点三
◆几个不等于零的数相乘
几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
当负因数有奇数个时，积为负；
当负因数有偶数个时，积为正．
◆几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0.
有理数的乘法运算律
知识点四
◆1、有理数的乘法交换律：
两个数相乘，交换两个因数的位置，积相等.
即a b = b a.
◆2、有理数的乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等.
用字母表示为：(a b) c = a (b c).
【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab.
◆3、有理数的乘法分配律：
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.
用字母表示为：a(b+c) = a b +ac
有理数的除法
知识点五
◆1、有理数的除法法则：
有理数除法法则（一）：
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.
1
b
用字母表示为：a÷b=a· (b≠0)；
有理数除法法则（二）：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
◆2、方法指引：
①能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；
②不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算；
◆3、有理数的乘除混合运算：
乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的
顺序进行计算）
有理数的加减乘除混合运算
知识点六
◆有理数的加减乘除混合运算
先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的.
【注意】进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
题型一 两个有理数相乘解题技巧提炼
1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.．
2．任何数同 0 相乘，都得 0.
1．（2024•丰泽区校级模拟）计算（﹣6）×（﹣1）的结果等于（ ）
A．7 B．﹣7 C．6 D．﹣6
1
2．（2024•河西区二模）计算（− ）×（﹣3）的结果等于（ ）
3
1 2
A． B．1 C．− D．﹣1
6 3
3．（2023春•浦东新区期末）若两数之积为负数，则这两个数一定是（ ）
A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．无法确定
4．（2024春•松江区期中）下列说法正确的是（ ）
A．正数和负数互为相反数
B．相反数等于它本身的只有0
C．﹣a一定小于0
D．一个数和它的相反数之积一定为负数
5．在2，﹣3，4，﹣5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大是 ．
6．计算：
5
（1）0×（− ）；
6
1
（2）3×（− ）；
3
（3）（﹣7）×（﹣1）；
1 6
（4）（− ）×（− ）．
6 7
7．计算：2 9
（1） ×（− ）；
3 4
2 15
（2）− ×（− ）；
5 4
1 4
（3）（+ ）×（− ）；
3 3
1
（4）（﹣3 ）×（﹣4）．
4
题型二 多个有理数相乘
解题技巧提炼
多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决
定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相
乘，有一个因数为0，积就为0．
1．（2023秋•郑州期中）下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A．0×（﹣5） B．4×（﹣3）×（﹣1）
C．（﹣1.5）×（﹣2）×（﹣3） D．（﹣2）×（﹣3）
2．（2023秋•慈溪市月考）4个非零有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，正数有（ ）
A．1个或3个 B．1个或2个 C．2个或4个 D．3个或4个
3．（2023秋•万州区月考）如果abcd＜0，a与b同号，那么另外两个数c与d（ ）
A．一定都是正数 B．一定都是负数
C．一定异号 D．一定同号
4．下列各式中，结果是正数的是（ ）
A．2×（﹣3）×4 B．2×3×（﹣4）
C．2×（﹣3）×（﹣4） D．（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）
5．（2023秋•冠县期中）已知a＝（﹣1）×（﹣2）×（﹣3），b＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣
45），下列叙述正确的是（ ）
A．a，b皆为正数 B．a，b皆为负数C．a为正数，b为负数 D．a为负数，b为正数
6．若5个有理数的积是负数，则5个因数中正因数的个数可能是（ ）
A．1个 B．3个
C．1或3或5个 D．以上答案都不对
7．计算：
（1）（﹣18）×（﹣49）×0×（﹣13）×（﹣49）；
（2）﹣5×（﹣8）×（﹣7）×（﹣0.125）；
1 2 3
（3）（− ）×（﹣1 ）×（﹣4）× ；
4 3 5
3 5
（4）− ×（− ）×（﹣6）．
5 6
8．计算下列各式：
1
（1）（﹣8）×9×（﹣1.25）×（− ）；
9
4 1
（2）（﹣5）×6×（− ）× ；
5 4
7
（3）（﹣0.25）×（− ）×4×（﹣18）；
9
5 9 1
（4）﹣3× ×（− ）×（− ）；
6 5 4
3 4 7 5
（5） ×（− ）× × ；
7 5 12 8
4 5
（6）（﹣8）×（− ）×（﹣1.25）×（ ）．
3 4题型三 倒数的概念及运用
解题技巧提炼
1、乘积是 1 的两个数互为倒数．
2、求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一．
3、求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置．
1．（2024春•电白区期中）﹣2024的倒数是（ ）
1 1
A．﹣2024 B．2024 C．− D．
2024 2024
2．（2024•从江县校级二模）﹣7的倒数是（ ）
1 1
A．7 B．1 C．− D．
7 7
3．（2024春•浦东新区期末）一个数的倒数是它的本身，这个数是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
4．（2024•榕江县校级二模）若a与7互为倒数，则a＝（ ）
1 1
A．﹣7 B．− C．7 D．
7 7
1
5．（2024•东昌府区校级模拟）−(− )的倒数是（ ）
3
1 1
A． B．− C．﹣3 D．3
3 3
6．（2024•宝安区校级三模）﹣|﹣2025|的倒数是（ ）
1 1
A． B．2025 C．﹣2025 D．−
2025 2025
7．（2024•南山区模拟）下列互为倒数的是（ ）
1 1 1
A．﹣3和− B．﹣2和2 C．3和− D．﹣2和
3 3 2
2 3
8．（2023秋•鹿邑县月考）已知两个数的积是− ，其中一个数的倒数是 ，则另一个数是 ．
9 4
题型四 运用乘法运算律进行简便计算解题技巧提炼
在有理数的范围内，运用乘法的的交换律、结合律和分配律可以简化计算.
（1）乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变. 用字母表示
为：ab＝ba.
（2）乘法结合律：对于三个有理数相乘，可以先把前面两个数相乘，再把结果
与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不
变. 用字母表示为：(ab)c=a(bc).
（3）乘法对加法的分配律：一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数
分别与这两个数相乘，再把积相加.用字母表示为：a(b＋c)＝ab＋ac
1
1．计算（﹣3）×（4− ），用分配律计算过程正确的是（ ）
2
1 1
A．（﹣3）×4+（﹣3）×（− ） B．（﹣3）×4﹣（﹣3）×（− ）
2 2
1 1
C．3×4﹣（﹣3）×（− ） D．（﹣3）×4+3×（− ）
2 2
2．运用运算律填空．
（1）﹣2×（﹣3）＝（﹣3）×（ ）．
（2）[（﹣3）×2]×（﹣4）＝（﹣3）×[（ ）×（ ）]．
（3）（﹣5）×[（﹣2）+（﹣3）]＝（﹣5）×（ ）+（ ）×（﹣3）．
47
3．（2023•邯郸二模）在简便运算时，把24×(−99 )变形成最合适的形式是（ ）
48
1 1
A．24×（﹣100+ ） B．24×（﹣100− ）
48 48
47 47
C．24×（﹣99− ） D．24×（﹣99+ ）
48 48
4．（2023秋•牟平区期中）用简便方法计算：
5 7
（1）(−1.25)× ×(−4)×(− )；
7 5
8
（2）(−99 )×18．
9
5．（2023秋•宁远县校级月考）求值：
1 4 1
（1） ×（﹣16）×（− ）×（﹣1 ）；
4 5 45 8 1 3
（2）（− ）×（− ）×（﹣2 ）×（− ）．
11 13 5 4
6．（2023秋•泰州月考）用简便方法计算：
15
（1）19 ×(−8)；
16
（2）（﹣99）×999．
7．（2023秋•泉州月考）计算：
1
（1）(−2)×(−7)×(+5)×(− )；
7
2018
（2）（﹣7）×（﹣20.19）× ×0．
2019
8．（2023秋•靖西市期中）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．
逆用乘法分配律解题
我们知道，乘法分配律是a（b+c）＝ab+ac，反过来ab+ac＝a（b+c）．这就是说，当
ab+ac中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到ab+ac＝a（b+c），进而可使运
5 5
算简便．例如：计算− ×23− ×17，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有
8 8这样计算就简便得多．
计算：
（1）﹣29×588+28×588；
3 6 2
（2）﹣2023× +2023×(− )+2023× ．
7 7 7
9．简便计算：
（1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）；
5 2 3
（2）（ + − ）×（﹣12）；
12 3 4
1 1 3
（3）− ×(−19)− ×19− ×（﹣19）．
4 2 4
11 5
（4）（﹣48）×0.125+48× +(−48)×
8 4
题型五 有理数的除法解题技巧提炼
1、能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；
2、不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算；
1
1．（2024•沁水县二模）计算(−6)÷(− )的结果是（ ）
2
A．12 B．3 C．﹣3 D．﹣12
2．（2023秋•衢江区期末）下列运算，结果正确的是（ ）
1 1
A．﹣7÷7＝1 B．7÷(− )=−
7 49
3 3
C．﹣36÷（﹣9）＝4 D．(− )÷(− )=2
10 5
3．（2023秋•威县期末）与8÷（﹣4）结果相同的是（ ）
1 1 1 1
A．8÷(− ) B． ×(−4) C．8×(− ) D． ÷(−4)
4 8 4 8
4．（2023秋•西乡塘区校级月考）下列化简正确的是（ ）
−13 10 −75 −18 3
A． =−4 B．− =−2 C． =0 D． =
−3 5 0 12 2
5．在﹣1，2，﹣3，5这四个数中，任意取两个数相除，其中最小的商是 ．
6．（2023秋•泰山区期末）下列各式成立的是（ ）
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若a＞0、b＜0，则a+b＞0
C．若a+b＜0、ab＞0，则a＜0、b＜0
b
D．若 ＞0，则a＞0、b＞0
a
7．计算：(1)(﹣15)÷(﹣3)； (2)12÷(﹣)；
7 4
8 7
(3)(﹣0.75)÷(0.25)； (4)(- )÷(- ).8．化简下列分数：
−28 2 −36 33
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
14 −6 −8 −72
题型六 有理数的乘除混合运算
解题技巧提炼
(1) 有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算；
(2) 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果
(乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算).
1．下面各算式中，结果最大的是（ ）
5 5 5 5
A．16× B．16÷ C． ÷16 D． ÷5
7 7 7 7
1 1
2．（2023秋•利川市期末）计算：(− )×3÷ ×(−3)的结果是（ ）
3 3
A．﹣9 B．﹣1 C．3 D．9
3
3．（2023秋•黄岛区校级月考）将（﹣7）÷（− ）÷（﹣2.5）转化为乘法运算正确的是（ ）
4
4 4
A．（﹣7）× ×（﹣2.5） B．（﹣7）×（− ）×（﹣2.5）
3 3
4 2 3 5
C．（﹣7）×（− ）×（− ） D．（﹣7）×（− ）×（− ）
3 5 4 2
4．（2023秋•沂水县期末）下列计算正确的是（ ）
1 1
A．0÷(−2)=0×(− )=−
2 21
B．1÷(− )=1×(−8)=−8
8
C．（﹣3）÷（﹣3）＝﹣3×3＝﹣9
D．（﹣32）÷（﹣8）＝﹣32÷8＝﹣4
5．计算：
5 2 2
（1）( )×(−4 )÷1 ；
7 3 3
1 2
（2）(−2 )÷(−1.2)×(−1 )．
7 5
6．（2023秋•蒙城县校级月考）计算．
（1）（﹣8.46）×2.5×（﹣4）；
5 3
（2）（﹣0.75）÷ ÷(− )．
4 11
7．（2023秋•洪泽区校级月考）计算：
3 3
（1）﹣3÷（− ）÷（− ）；
4 4
1
（2）（﹣12）÷（﹣4）÷（﹣1 ）；
5
2 7
（3）（− ）×（− ）÷0.25；
3 8
1 1
（4）（﹣2 ）÷（﹣5）×（﹣3 ）．
2 3题型七 有理数的加减乘除混合运算
解题技巧提炼
有理数的加减乘除混合运算
（1）有理数的加减乘除混合运算顺序：先算乘除，再算加减；同级运算，应按
从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简
化．
1．“二十四点游戏”的规则为：给出4个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的4个有理数
算成24，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数3，4，
﹣6，﹣10，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于
24，你的运算式是 ．
3 1 5 1
2．计算：(− − + )÷ ．
4 6 12 36
1 1 3 1
3．计算：1 ×(−2 + )÷(−2 )．
3 2 4 3
5 2
4．计算： ÷(0.75− )×6.8．
12 3
2 2 12
5．计算：1.25×( − )+ ÷6．
5 15 5题型八 有理数乘除法与数轴的综合
解题技巧提炼
有理数乘除法与数轴的综合主要是根据数轴的意义和有理数的乘除法法则即可解
决问题.
1．（2023秋•赤坎区校级期末）如图，已知a，b是数轴上的两个数，下列不正确的式子是（ ）
a
A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．ab＜0 D． ＞0
b
2．（2024•花都区一模）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．a﹣b＞0 C．|a|﹣|b|＜0 D．ab＜0
3．（2023秋•郯城县期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
a
A．a+b＜0 B．ab＜0 C．|a|＞|b| D． ＞0
b
4．（2023秋•荔湾区期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a+b＜0，ac＜0，则下面四个
结论：①abc＜0；②b+c＜0；③|a|﹣|b|＞0；④|a﹣c|＜|a|，其中一定成立的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023秋•黄岛区校级月考）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，在下列结论中：①a＞b；
b
②a+b＞0；③a﹣b＞0；④ab＜0；⑤ ＞0；正确的是（ ）
aA．①②⑤ B．③④ C．①③⑤ D．②④
6．（2023 秋•天宁区校级月考）有理数 a、b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式成立的是
（填序号）．
①a+b＞0；
②a﹣b＞0；
③ab＜0；
④|b|＞a．
7．（2023秋•丰泽区期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：
①|a|＞3；
②ab＞0；
③b+c＜0；
④b﹣a＞0．
上述四个结论中，所有正确结论是 ．
题型九 有理数乘除法与相反数、倒数、绝对值的综合
解题技巧提炼
此类题考查了有理数的乘法，有理数的除法，相反数的性质、绝对值的性质，倒
数的定义，熟记运算法则是解题的关键，难点在于绝对值的化简要分情况讨论．
1．（2023秋•舞阳县期末）已知|x|＝4，|y|＝5，且xy＜0，则x+y的值等于（ ）
A．9或﹣9 B．9或﹣1 C．1或﹣1 D．﹣9或﹣1
2．（2023秋•霍林郭勒市期末）若|a|＝3，|b|＝4，且ab＞0，则式子a+b的值是（ ）
A．7 B．1 C．1或﹣1 D．7或﹣7
3．（2023秋•南昌期末）已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a、
b、c三数的积为 ．
m
4．（2023秋•贵池区期末）已知|m|＝6，|n|＝2，且 ＞0，则m+n的值等于 ．
n
5．（2023秋•武汉期末）已知a，b是有理数，且a＜0，ab＜0，a+b＜0，则下列结论：①b（a+b）＞|−b| a−b |a|
0；②b＜﹣a；③ + − =1；④若|a﹣b|＝6，c是有理数，且满足|b﹣c|＝2，则|a
b |a−b| a
﹣c|＝8．其中正确的结论序号是 （把所有正确的序号都填上）．
a b ab
6．（2023秋•宿城区期中）已知a，b都不是零，写出x= + + 的所有可能的值 ．
|a| |b| |ab|
7．（2023秋•林州市期中）已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，
且都不为零，c，d互为倒数．求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值．
8．（2023秋•西湖区校级期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|
＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．请用这种方法解决下列问题．
a a
（1）当a＝3时，则 = ；当a＝﹣2时，则 = ．
|a| |a|
a b
（2）已知a，b是有理数，当ab＞0时，试求 + 的值．
|a| |b|
a b c b+c a+c a+b
（3）已知a，b，c是非零有理数，满足a+b+c＝0且 + + =1，求 + + 的值．
|a| |b| |c| |a| |b| |c|
题型十 有理数乘除法在实际生活中的应用
解题技巧提炼
用有理数的乘除法求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问
题.
1．某冷冻厂一个冷库的室温是﹣2℃，现有一批食品需要在﹣12℃冷藏，如果每小时降温4℃，则几小时
能降到所需要的温度？
2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加袖的情况（注：“累计里程”指汽车从
出厂开始累计行驶的路程），在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
2021年2月10日 15 56000
2021年2月25日 50 56500
100
A．7升 B．8升 C．10升 D． 升
7
3．煤矿井下A点的海拔为-164.5米，已知从A到B的水平距离是120米，每经过水平距离10米上升0.4
米，且B点在A点的上方，A点与B点的位置示意图如图所示．
（1）求B点的海拔；
（2）若C点海拔为-98.8米，C点在A点的正上方，每垂直升高10米用30秒，求从A点到C点所用的时
间．
4．漳浦梁山，群峰并峙，巍峨秀丽，绵亘百余里．某日，小颖、小丽和小红利用温差测量梁山莲花峰的
高度，小颖在山脚测得温度是27℃．设漳浦地区的高度每增加100米，气温大约下降0.8℃．
（1）若此时小丽在山顶测得温度是19℃，则莲花峰的高度大约是多少米？
（2）若此时小红所在的高度为750米，则小红在750米处的温度大约是多少℃？
5．（2023秋•鄞州区校级月考）在学习有理数的乘法时，李老师和同学们做了这样一个游戏：将2023这
1
个数说给第一名同学，第一名同学将它减去它的 的结果告诉第二名同学，第二名同学再将听到的结果
2
1 1
减去它的 的结果告诉第三名同学，第三名同学再将听到的结果减去它的 的结果告诉第四名同学，…
3 4
照这样的方法直到全班40名同学全部传完，最后一名同学将听到的结果告诉李老师．你知道最后的结
果吗？键．
6．某儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全
相同，若以每件47元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如下表所示：
售出件数 7 6 5 5 4 3
售价/元 +3 +2 ﹣2 0 ﹣1 +1
问该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
题型十一 有理数乘除法的程序计算题
解题技巧提炼
利用有理数的加减乘除混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计
算程序，根据程序列出算式解答即可．
1．（2023•铜仁市三模）如图，是一个简单的数值运算程序．当输入 x的值为﹣4，则输出的数值为
．
2．按照下列程序计算输入值x为20时，输出的值为 .
3．如图，按照图中的程序进行计算，如果输入的数字是3，那么输出的结果是 ．4．按如图程序输入一个数x，若输入的数x＝﹣1，则输出结果为 ．
5．（2023秋•顺德区校级期末）如图所示的程序计算，如果输入x=﹣3，那么输出y的值为 ．
题型十二 有理数乘除法的新定义运算问题
解题技巧提炼
新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意
计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查.
1．对于正整数a、b，规定一种新运算*，a*b等于由a开始的连续b个正整数的积，例如：2*3＝2×3×4＝
24，5*2＝5×6＝30，那么7*（1*2）的值等于多少？
1 b 1 3 1
2．规定a※b= ÷(− )，例如2※3= ÷(− )=− ，则[2※（﹣5）]※4＝ ．
a 2 2 2 3
3．（2023秋•港南区期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
4．对于有理数a、b，定义运算：a※b＝a×b﹣a﹣b+1．
（1）计算（﹣3）※4的值；
（2）比较5※（﹣2）和（﹣2）※5的大小．5．（2023•孟村县二模）若a，b是有理数，定义一种运算“▲”：a▲b＝ab+2a﹣3b+2．
（1）计算3▲（﹣4）的值；
（2）计算（2▲3）▲（﹣6）的值；
（3）定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．
6．（2023秋•富县期末）数学探究课上，老师布置的任务如下：
任务一：自学阅读材料．我们定义：如果两个有理数的差等于这两个有理数的商，那么这两个有理数就
叫做“差商等数对”．即：如果a﹣b＝a÷b，那么a与b就叫做“差商等数对”，记为（a，b）．例如：
9 9 9
4﹣2＝4÷2， −3= ÷3，则称数对（4，2），（ ，3）是“差商等数对”．
2 2 2
任务二：根据自学阅读材料，尝试解决下列问题：
（1）下列数对中，是“差商等数对”的是 ；（填序号）
1
①( ，−1)；
2
25
②( ，5)；
4
（2）若（m，6）是“差商等数对”，求出m的值；
（3）若（2a+b﹣6，9）是“差商等数对”，求2a+b的值．
题型十三 有理数乘除法材料阅读问题解题技巧提炼
材料阅读题要根据题中的材料来分析并解决问题，此题中是根据倒数法进行有理
数的混合运算，有些含分数的数学问题直接求解比较麻烦，而若把分子、分母上
下颠倒，则可立即找到突破口，这种解法称为倒数法，本题中先将被除数与除数
的位置互换，先求其结果，再求出原式的结果.
1 2 1 1 2
1．（2023秋•宁远县期中）数学老师布置了一道思考题“计算：(− )÷( − + − )”，小明和小
30 3 10 6 5
红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题：
1 2 1 1 2
小明的解法：原式=(− )÷[( + )−( + )]
30 3 6 10 5
1 5 1
=(− )÷( − )
30 6 2
1
=− ×3
30
1
=−
10
2 1 1 2 1 2 1 1 2
小红的解法：原式的倒数为( − + − )÷(− )=( − + − )×(−30)
3 10 6 5 30 3 10 6 5
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
1
故原式=−
10
（1）你觉得 的解法更好．
（2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题：
1 1 3 2 2
计算：(− )÷( − + − )
42 6 14 3 7
1 1 1
2．（2023秋•蓬江区校级月考）阅读下列材料，计算：50÷（ − + ）．
3 4 121 1 1
解法1思路：原式＝50÷ −50÷ +50÷ =50×3﹣50×4+50×12；对吗？答： ；
3 4 12
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
解法2提示：先计算原式的倒数，（ − + ）÷50= × − × + × = ，故原式等于
3 4 12 3 50 4 50 12 50 300
300．
1 2 1 1 2
（1）请你用解法2的方法计算：（− ）÷（ − + − ）；
30 3 10 6 5
3 7 7 7 7 3 7 7
（2）（1 − − ）÷（− ）+（− ）÷（1 − − ）现在这个题简单了吧？来吧，试试吧！
4 8 12 8 8 4 8 12
3．阅读下面解题过程：
1 1
计算：5÷（ −2 −2）÷6
3 2
1 1
解：5÷（ −2 −2）×6
3 2
25
＝5÷（− ）×6…①
6
＝5÷（﹣25）…②
1
=− ⋯③
5
回答：
（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错因是 ，第二处是
，错因是 ．
（2）正确结果应是 ．24
4．学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：49 ×（﹣5），看谁算的又快又
25
对．
1249 1249 4
小明的解法：原式=− ×5=− =−249 ；
25 5 5
24 24 4
小军的解法：原式=(49+ )×(−5)=49×(−5)+ ×(−5)=−249 ．
25 25 5
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
24 1
（2）小强认为还有更好的方法：把49 看作(50− )，请把小强的解法写出来．
25 25
5
（3）请你用最合适的方法计算：9 ×（﹣3）．
6
1 1 5
5．数学老师布置了一道思考题“计算：（− ）÷( − )”，小明仔细思考了一番，用了一种不同的
12 3 6
方法解决了这个问题．
1 5 1 1 5
小明的解法：原式的倒数为（ − ）÷(− )=（ − ）×（﹣12）＝﹣4+10＝6，
3 6 12 3 6
1 1 5 1
所以（− ）÷( − )= ．
12 3 6 6
（1）请你判断小明的解答是否正确，并说明理由．
（2）请你运用小明的解法解答下面的问题．
1 1 1 3
计算：（− ）÷( − + )．
24 3 6 8题型十四 有理数乘除法规律探究题
解题技巧提炼
上面的解题方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重
新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．解答本题的关键是明确题
意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．
1．观察下列各式：
1 1 1 1 1
=1− ， = ×(1− )；
1×2 2 1×3 2 3
1 1 1 1 1 1 1
= − ， = ×( − )；
2×3 2 3 3×5 2 3 5
1 1 1 1 1 1 1
= − ， = ×( − )；
3×4 3 4 5×7 2 5 7
解答下列各题：
1 1 1 1
（1）尝试并计算： + + +...+ ；
1×2 2×3 3×4 2017×2018
1 1 1 1
（2）尝试并计算： + + +...+ ；
1×3 3×5 5×7 99×101
1 1 1 1 1 1 1
（3）| −1|+| − |+| − |+...+| − |；
2 3 2 4 3 100 99
（ 4 ） 尝 试 并 计 算 ：
1 1 1 1 1 1
+ + +...+ + + ．
3×4×5 4×5×6 5×6×7 98×99×100 99×100×101 100×101×1022．观察下列各式：
1 2 1
× =
2 3 3
1 2 3 1
× × =
2 3 4 4
1 2 3 4 1
× × × =
2 3 4 5 5
…
1 2 3 n
（1）猜想 × × ×⋯× = ；
2 3 4 n+1
（2）根据上面的规律，解答下列问题：
1 1 1 1 1 1
①（ −1）×（ −1）×（ −1）×…×（ −1）×（ −1）×（ −1）
100 99 98 4 3 2
1 1 1 1
②将2016减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，以此类推，直到最后减去
2 3 4 5
1
余下的 ，最后结果是多少？
2016
3．（2023秋•成县期中）阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实
这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问
题来解决．
1 1 1 1
例如：计算 + + + ．
1×2 2×3 3×4 4×5
此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非
常简单．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
分析方法：因为 =1− ， = − ， = − ， = − ，所以，将以上4个等式
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 4×5 4 5
两边分别相加即可得到结果，解法如下：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + =（ 1− ） + （ − ） + （ − ） + （ − ） ＝ 1
1×2 2×3 3×4 4×5 2 2 3 3 4 4 51 1 1 1 1 1 1 1 4
− + − + − + − =1− = ．
2 2 3 3 4 4 5 5 5
任务：
1
（1）猜想并写出： = ；（n为正整数）
n(n+1)
1 1 1 1 1
（2）①应用上面的方法计算： + + + + ⋯ + ．
1×2 2×3 3×4 4×5 2021×2022
1 1 1 1
②直接写出下列式子的计算结果： + + + ⋯ + = ．
1×2 2×3 3×4 n(n+1)
1 1 1 1
（3）类比应用上面的方法探究并计算： + + + ⋯ + ．
2×4 4×6 6×8 2020×2022
