文档内容
七年级上册数学《第 2 章有理数及其运算》
2.3 有理数的乘除运算
有理数的乘法
知识点一
★1、有理数的乘法法则：
1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.．
2．任何数同 0 相乘，都得 0.
★2、有理数乘法的求解步骤:
(1)确定积的符号；
(2)确定积的绝对值．
【注意】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个因数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定积
的符号，在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
倒数
知识点二
◆倒数:乘积是 1 的两个数互为倒数．
1 1
一般地，a• =1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是 ．
a a
◆方法指引：
①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重
要．倒数是伴随着除法运算而产生的．
②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．
【注意】
倒数是两个数之间的一种关系，其中一个数叫另一个数的倒数，单独一个数不能称其为倒数．多个有理数的乘法
知识点三
◆几个不等于零的数相乘
几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．
当负因数有奇数个时，积为负；
当负因数有偶数个时，积为正．
◆几个数相乘，如果其中有因数为 0，积等于0.
有理数的乘法运算律
知识点四
◆1、有理数的乘法交换律：
两个数相乘，交换两个因数的位置，积相等.
即a b = b a.
◆2、有理数的乘法结合律：
三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积相等.
用字母表示为：(a b) c = a (b c).
【注意】用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如 a×b 可以写成 a·b 或 ab.
◆3、有理数的乘法分配律：
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.
用字母表示为：a(b+c) = a b +ac
有理数的除法
知识点五
◆1、有理数的除法法则：
有理数除法法则（一）：
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数.
1
b
用字母表示为：a÷b=a· (b≠0)；
有理数除法法则（二）：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
◆2、方法指引：
①能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；
②不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算；
◆3、有理数的乘除混合运算：
乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的
顺序进行计算）
有理数的加减乘除混合运算
知识点六
◆有理数的加减乘除混合运算
先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的.
【注意】进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
题型一 两个有理数相乘解题技巧提炼
1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.．
2．任何数同 0 相乘，都得 0.
1．（2024•丰泽区校级模拟）计算（﹣6）×（﹣1）的结果等于（ ）
A．7 B．﹣7 C．6 D．﹣6
【分析】根据有理数乘法的运算法则计算（﹣6）×（﹣1），然后再和题目中的四个选项进行比对即可
得出答案．
【解答】解：∵（﹣6）×（﹣1）＝6．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数的乘法运算，解答此题的关键是熟练掌握有理数乘法的运算法则：同号
两数相乘，积为正，异号两数相乘，积为负，并把两数的绝对值相乘．
1
2．（2024•河西区二模）计算（− ）×（﹣3）的结果等于（ ）
3
1 2
A． B．1 C．− D．﹣1
6 3
【分析】根据有理数的乘法法则：两数相乘，同号相乘得正，并把绝对值相乘，进行计算即可．
1
【解答】解：原式= ×3
3
＝1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法运算，解题关键是熟练掌握有理数的乘法法则．
3．（2023春•浦东新区期末）若两数之积为负数，则这两个数一定是（ ）
A．同为正数 B．同为负数 C．一正一负 D．无法确定
【分析】根据有理数的乘法法则，举反例，排除错误选项，从而得出正确结果．
【解答】解：例如（﹣2）×1＝﹣2，2×（﹣2）＝﹣4，所以C正确，
故选：C．
【点评】在进行有理数乘法运算时，首先判断两个乘数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定结
果符号．
4．（2024春•松江区期中）下列说法正确的是（ ）
A．正数和负数互为相反数
B．相反数等于它本身的只有0C．﹣a一定小于0
D．一个数和它的相反数之积一定为负数
【分析】根据相反数的定义以及有理数的乘法法则进行解题即可．
【解答】解：A、正数和负数互为相反数说法错误，不符合题意；
B、相反数等于它本身的只有0，故该项正确，符合题意；
C、﹣a不一定小于0，也有可能等于0，故该项不正确，不符合题意；
D、一个数和它的相反数之积不一定为负数，也可能是0，故该项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查有理数的乘法，相反数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
5．在2，﹣3，4，﹣5这四个数中，任取两个数相乘，所得的积最大是 ．
【分析】根据有理数的乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，而正数大于负数，可知同号两数相
乘的结果大于异号两数相乘的结果．故本题只需要计算两种情况，计算后比较即可．
【解答】解：2×4＝8，（﹣3）×（﹣5）＝15，
15＞8．
∴积最大是15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数乘法法则是解题关键．
6．计算：
5
（1）0×（− ）；
6
1
（2）3×（− ）；
3
（3）（﹣7）×（﹣1）；
1 6
（4）（− ）×（− ）．
6 7
【分析】根据有理理数的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝0；
1
（2）原式＝﹣3× =−1；
3
（3）原式＝7×1＝7；
1 6 1
（4）原式= × = ．
6 7 7
【点评】本题考查了有理数的乘法．解题的关键是掌握有理数的乘法法则，特别要注意积的符号．7．计算：
2 9
（1） ×（− ）；
3 4
2 15
（2）− ×（− ）；
5 4
1 4
（3）（+ ）×（− ）；
3 3
1
（4）（﹣3 ）×（﹣4）．
4
【分析】根据有理数的乘法法则解答即可．
2 9 3
【解答】解：（1） ×（− ）=− ；
3 4 2
2 15 3
（2）− ×（− ）= ；
5 4 2
1 4 4
（3）（+ ）×（− ）=− ；
3 3 9
1
（4）（﹣3 ）×（﹣4）＝13．
4
【点评】此题考查有理数的乘法，关键是根据有理数的乘法法则解答．
题型二 多个有理数相乘
解题技巧提炼
多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决
定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相
乘，有一个因数为0，积就为0．
1．（2023秋•郑州期中）下列算式中，运算结果为负数的是（ ）
A．0×（﹣5） B．4×（﹣3）×（﹣1）
C．（﹣1.5）×（﹣2）×（﹣3） D．（﹣2）×（﹣3）
【分析】先根据有理数的乘法法则进行计算，再选出结果为负数的选项即可．
【解答】解：A、0乘以任何数都得0，0既不是正数也不是负数，故该项不符合题意；
B、4×（﹣3）×（﹣1）＝12，故该项不符合题意；
C、（﹣1.5）×（﹣2）×（﹣3）＝﹣9．故该项符合题意；
D、（﹣2）×（﹣3）＝6，故该项不符合题意；故选：C．
【点评】本题考查有理数的乘法，能够掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
2．（2023秋•慈溪市月考）4个非零有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，正数有（ ）
A．1个或3个 B．1个或2个 C．2个或4个 D．3个或4个
【分析】根据多个数字相乘积为负数，得到负因式个数为奇数个，即可确定正数的个数．
【解答】解：4个有理数相乘，积的符号是负号，则这4个有理数中，负数有1个或3个，正数有3个
或1个．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2023秋•万州区月考）如果abcd＜0，a与b同号，那么另外两个数c与d（ ）
A．一定都是正数 B．一定都是负数
C．一定异号 D．一定同号
【分析】根据有理数乘法法则进行解答便可．
【解答】解：∵a与b同号，
∴ab＞0，
∵abcd＜0，
∴cd＜0，
∴c、d异号，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数乘法，熟记有理数乘法法则是解题的关键．有理数乘法法则：两数相乘，同
号为正，异号为负，并把绝对值相乘，任何数与0相乘都得0．
4．下列各式中，结果是正数的是（ ）
A．2×（﹣3）×4 B．2×3×（﹣4）
C．2×（﹣3）×（﹣4） D．（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）
【分析】根据有理数的乘法法则即可确定．
【解答】解：2×（﹣3）×4＝﹣24；
故A选项不符合题意；
2×3×（﹣4）＝﹣24，
故B选项不符合题意；
2×（﹣3）×（﹣4）＝24，
故C选项符合题意；（﹣2）×（﹣3）×（﹣4）＝﹣24，
故D选项不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的乘法，结果的符号是由负因数的个数决定．
5．（2023秋•冠县期中）已知a＝（﹣1）×（﹣2）×（﹣3），b＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣
45），下列叙述正确的是（ ）
A．a，b皆为正数 B．a，b皆为负数
C．a为正数，b为负数 D．a为负数，b为正数
【分析】根据有理数乘法的运算法则，有理数乘法运算中有偶数个负数相乘结果为正数，有奇数个负数
相乘结果为负数．
【解答】解：∵a＝（﹣1）×（﹣2）×（﹣3）中共有3个负数相乘，
∴a为负数，
∵b＝（﹣12）×（﹣23）×（﹣34）×（﹣45）中共有4个负数相乘，
∴b为正数，
∴a为负数，b为正数，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数乘法中符号的运算规律，其依据是：有理数乘法运算中有偶数个负数相乘结
果为正数，有奇数个负数相乘结果为负数．
6．若5个有理数的积是负数，则5个因数中正因数的个数可能是（ ）
A．1个 B．3个
C．1或3或5个 D．以上答案都不对
【分析】利用有理数的乘法，正数负数的定义判断．
【解答】解：∵5个有理数的积是负数，则5个因数中负因数的个数为1个，3个或5个，
∴正因数的个数为4个或2个．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．
7．计算：
（1）（﹣18）×（﹣49）×0×（﹣13）×（﹣49）；
（2）﹣5×（﹣8）×（﹣7）×（﹣0.125）；
1 2 3
（3）（− ）×（﹣1 ）×（﹣4）× ；
4 3 53 5
（4）− ×（− ）×（﹣6）．
5 6
【分析】根据有理数乘法法则进行计算便可．
【解答】解：（1）（﹣18）×（﹣49）×0×（﹣13）×（﹣49）
＝0；
（2）﹣5×（﹣8）×（﹣7）×（﹣0.125）
＝+5×8×7×0.125
＝35；
1 2 3
（3）（− ）×（﹣1 ）×（﹣4）×
4 3 5
1 5 3
=− × ×4×
4 3 5
＝﹣1；
3 5
（4）− ×（− ）×（﹣6）
5 6
3 5
=− × ×6
5 6
＝﹣3．
【点评】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数的乘法法则：几个有理数相乘，其中有
个因数为0，其积为0；几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积
为负，负因数个数为偶数积为正，并把绝对值相乘．
8．计算下列各式：
1
（1）（﹣8）×9×（﹣1.25）×（− ）；
9
4 1
（2）（﹣5）×6×（− ）× ；
5 4
7
（3）（﹣0.25）×（− ）×4×（﹣18）；
9
5 9 1
（4）﹣3× ×（− ）×（− ）；
6 5 4
3 4 7 5
（5） ×（− ）× × ；
7 5 12 8
4 5
（6）（﹣8）×（− ）×（﹣1.25）×（ ）．
3 4【分析】（1）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案；
（2）先确定符号，再用约分即可得答案；
（3）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案；
（4）先确定符号，再用约分即可得答案；
（5）先确定符号，再用约分即可得答案；
（6）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案；
5 1
【解答】解：（1）原式＝﹣8×9× ×
4 9
＝﹣10；
4 1
（2）原式＝5×6× ×
5 4
＝6；
1 7
（3）原式=− × ×4×18
4 9
＝﹣14；
5 9 1
（4）原式＝﹣3× × ×
6 5 4
9
=− ；
8
3 4 7 5
（5）原式=− × × ×
7 5 12 8
1
=− ；
8
4 5 5
（6）原式＝﹣8× × ×
3 4 4
50
=− ．
3
【点评】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法法则，注意计算时先确定积的符号．
题型三 倒数的概念及运用解题技巧提炼
1、乘积是 1 的两个数互为倒数．
2、求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一．
3、求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置．
1．（2024春•电白区期中）﹣2024的倒数是（ ）
1 1
A．﹣2024 B．2024 C．− D．
2024 2024
【分析】根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．
1
【解答】解：∵−2024=− ，
2024
故选：C．
【点评】本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．
2．（2024•从江县校级二模）﹣7的倒数是（ ）
1 1
A．7 B．1 C．− D．
7 7
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
1
【解答】解：﹣7的倒数是− ．
7
故选：C．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
3．（2024春•浦东新区期末）一个数的倒数是它的本身，这个数是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
【分析】乘积是1的两个数互为倒数．根据倒数的意义，可知一个数的倒数是它的本身，这个数一定是
1或﹣1，由此进行选择．
【解答】解：一个数的倒数是它的本身，这个数是1或﹣1．
故选：D．
【点评】此题考查1或﹣1的倒数的特殊性：明确1或﹣1的倒数是它的本身是解题的关键．
4．（2024•榕江县校级二模）若a与7互为倒数，则a＝（ ）
1 1
A．﹣7 B．− C．7 D．
7 7
【分析】根据倒数的定义回答即可．【解答】解：∵a与7互为倒数，
1
∴a= ．
7
故选：D．
【点评】本题主要考查的是倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数．
1
5．（2024•东昌府区校级模拟）−(− )的倒数是（ ）
3
1 1
A． B．− C．﹣3 D．3
3 3
【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数．据此进行解题即可．
1 1
【解答】解：﹣（− ）= ，
3 3
1
故−(− )的倒数是3．
3
故选：D．
【点评】本题主要考查的是倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
6．（2024•宝安区校级三模）﹣|﹣2025|的倒数是（ ）
1 1
A． B．2025 C．﹣2025 D．−
2025 2025
【分析】利用绝对值的定义可得原数为﹣2025，再根据倒数的定义即可求得答案．
1
【解答】解：﹣|﹣2025|＝﹣2025，其倒数为− ，
2025
故选：D．
【点评】本题考查倒数，相反数及绝对值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（2024•南山区模拟）下列互为倒数的是（ ）
1 1 1
A．﹣3和− B．﹣2和2 C．3和− D．﹣2和
3 3 2
【分析】根据互为倒数的意义，找出乘积为1的两个数即可．
1 1
【解答】解：A．因为(−3)×(− )=1，所以﹣3和− 是互为倒数，因此选项符合题意；
3 3
B．因为﹣2×2＝﹣4，所以﹣2与2不是互为倒数，因此选项不符合题意；
1 1
C．因为3×(− )=−1，所以3和− 不是互为倒数，因此选项不符合题意；
3 31 1
D．因为−2× =−1，所以﹣2和 不是互为倒数，因此选项不符合题意；
2 2
故选：A．
【点评】本题考查了倒数，解题的关键是理解互为倒数的意义是正确判断的前提，掌握“乘积为1的两
个数互为倒数”．
2 3
8．（2023秋•鹿邑县月考）已知两个数的积是− ，其中一个数的倒数是 ，则另一个数是 ．
9 4
【分析】根据倒数的定义求解即可．
4
【解答】解：由题意其中一个数为 ，
3
2 4
∴另一个数=− ÷（ ）
9 3
2 3
=− ×
9 4
1
=− ．
6
1
故答案为：− ．
6
【点评】本题考查有理数的乘法，解题的关键是理解题意，属于中考基础题．
题型四 运用乘法运算律进行简便计算
解题技巧提炼
在有理数的范围内，运用乘法的的交换律、结合律和分配律可以简化计算.
（1）乘法交换律：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变. 用字母表示
为：ab＝ba.
（2）乘法结合律：对于三个有理数相乘，可以先把前面两个数相乘，再把结果
与第三个数相乘；或者先把后两个数相乘，再把第一个数与所得结果相乘，积不
变. 用字母表示为：(ab)c=a(bc).
（3）乘法对加法的分配律：一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数
分别与这两个数相乘，再把积相加.用字母表示为：a(b＋c)＝ab＋ac
1
1．计算（﹣3）×（4− ），用分配律计算过程正确的是（ ）
2
1 1
A．（﹣3）×4+（﹣3）×（− ） B．（﹣3）×4﹣（﹣3）×（− ）
2 21 1
C．3×4﹣（﹣3）×（− ） D．（﹣3）×4+3×（− ）
2 2
【分析】乘法的分配律：a（b+c）＝ab+ac．
1
【解答】解：原式＝（﹣3）×[4+（− ）]
2
1
＝（﹣3）×4+（﹣3）×（− ）．
2
故选：A．
【点评】本题考查了乘法分配律在计算题中的应用．
2．运用运算律填空．
（1）﹣2×（﹣3）＝（﹣3）×（ ）．
（2）[（﹣3）×2]×（﹣4）＝（﹣3）×[（ ）×（ ）]．
（3）（﹣5）×[（﹣2）+（﹣3）]＝（﹣5）×（ ）+（ ）×（﹣3）．
【分析】（1）根据乘法交换律即可得出结果；
（2）根据乘法结合律即可得出结果；
（3）根据乘法分配律即可得出结果．
【解答】解：（1）∵ab＝ba，
∴﹣2×（﹣3）＝（﹣3）×（﹣2），
故答案为：﹣2；
（2）∵（ab）c＝a（bc），
∴[（﹣3）×2]×（﹣4）＝（﹣3）×[（ 2）×（﹣4）]，
故答案为：2，﹣4；
（3）∵a（b+c）＝ab+ac，
∴（﹣5）×[（﹣2）+（﹣3）]＝（﹣5）×（﹣2）+（﹣5）×（﹣3），
故答案为：﹣2，﹣5．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律是解决问题的关键．
47
3．（2023•邯郸二模）在简便运算时，把24×(−99 )变形成最合适的形式是（ ）
48
1 1
A．24×（﹣100+ ） B．24×（﹣100− ）
48 48
47 47
C．24×（﹣99− ） D．24×（﹣99+ ）
48 48
【分析】根据有理数的乘法分配律即可得出答案．1 1 47
【解答】解：∵﹣100+ =−（﹣100− ）=−99 ，
48 48 48
47 1
∴根据有理数的乘法分配律，把24×(−99 )变形成最合适的形式为24×（﹣100+ ）＝
48 48
1 4799
﹣24×100+24× =− ，可以简便运算．
48 2
故选：A．
【点评】本题考查有理数的乘法，正确掌握运算法则是解题的关键．
4．（2023秋•牟平区期中）用简便方法计算：
5 7
（1）(−1.25)× ×(−4)×(− )；
7 5
8
（2）(−99 )×18．
9
【分析】（1）利用有理数乘法的交换律与结合律计算即可得；
8 1
（2）将−99 改写成−100+ ，再利用有理数乘法分配律计算即可得．
9 9
5 7
【解答】解：（1）原式=[(−1.25)×(−4)]×[ ×(− )]
7 5
＝5×（﹣1）
＝﹣5．
1
（2）原式=(−100+ )×18
9
1
=−100×18+ ×18
9
＝﹣1800+2
＝﹣1798．
【点评】本题考查了有理数乘法的交换律与结合律、分配律，熟练掌握有理数乘法的运算律是解题关键．
5．（2023秋•宁远县校级月考）求值：
1 4 1
（1） ×（﹣16）×（− ）×（﹣1 ）；
4 5 4
5 8 1 3
（2）（− ）×（− ）×（﹣2 ）×（− ）．
11 13 5 4
【分析】根据有理数乘法法则进行计算便可．
1 4 1
【解答】解：（1） ×（﹣16）×（− ）×（﹣1 ）
4 5 41 4 5
=− ×16× ×
4 5 4
＝﹣4；
5 8 1 3
（2）（− ）×（− ）×（﹣2 ）×（− ）
11 13 5 4
5 8 11 3
= × × ×
11 13 5 4
6
= ．
13
【点评】本题考查了有理数乘法，关键是熟记和应用有理数法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并
把绝对值相乘，任何数与零相乘积为零；几个不为零的数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数的
个数为奇数时，积为负，负因数的个数为偶数时，积为正．
6．（2023秋•泰州月考）用简便方法计算：
15
（1）19 ×(−8)；
16
（2）（﹣99）×999．
【分析】（1）原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值；
（2）先将题目中的式子变形，然后根据乘法分配律可以解答本题．
1
【解答】解：（1）原式＝（20− ）×（﹣8）
16
1
＝20×（﹣8）− ×（﹣8）
16
1
＝﹣160+
2
1
＝﹣159 ；
2
（2）原式＝（1﹣100）×999
＝999﹣100×999
＝999﹣99900
＝﹣98901．
【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2023秋•泉州月考）计算：
1
（1）(−2)×(−7)×(+5)×(− )；
72018
（2）（﹣7）×（﹣20.19）× ×0．
2019
【分析】（1）根据有理数乘法运算中乘法的交换律和结合律进行简便运算；
（2）根据有理数乘法法则中任何数乘以0都得0计算即可．
1
【解答】解：（1）(−2)×(−7)×(+5)×(− )
7
1
=−2×7×5×
7
1
=−(2×5)×(7× )
7
＝﹣10×1
＝﹣10；
2018
（2）(−7)×(−20.19)× ×0
2019
＝0．
【点评】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数乘法法则“同号得正、异号得负”、多个因数相
乘时符号规律“奇负偶正”、任何数乘以0都得0是解题的关键．
8．（2023秋•靖西市期中）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算．
逆用乘法分配律解题
我们知道，乘法分配律是a（b+c）＝ab+ac，反过来ab+ac＝a（b+c）．这就是说，当
ab+ac中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到ab+ac＝a（b+c），进而可使运
5 5
算简便．例如：计算− ×23− ×17，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有
8 8
5 5 5 5 5
− ，因此逆用乘法分配律可得− ×23− ×17=− ×(23+17)=− ×40＝﹣25，
8 8 8 8 8
这样计算就简便得多．
计算：
（1）﹣29×588+28×588；
3 6 2
（2）﹣2023× +2023×(− )+2023× ．
7 7 7
【分析】（1）逆用分配律把原式化为588（﹣29+28），再计算即可；
3 6 2
（2）逆用分配律把原式化为2023(− − + )，再计算即可．
7 7 7
【解答】解：（1）﹣29×588+28×588
＝588（﹣29+28）＝588×（﹣1）
＝﹣588；
3 6 2
（2）−2023× +2023×(− )+2023×
7 7 7
3 6 2
=2023(− − + )
7 7 7
＝2023×（﹣1）
＝﹣2023．
【点评】本题考查的是有理数的乘法运算，掌握乘法分配律进行简便运算是解本题的关键．
9．简便计算：
（1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）；
5 2 3
（2）（ + − ）×（﹣12）；
12 3 4
1 1 3
（3）− ×(−19)− ×19− ×（﹣19）．
4 2 4
11 5
（4）（﹣48）×0.125+48× +(−48)×
8 4
【分析】（1）利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答案；
（2）运用乘法分配律进行计算即可．
（3）根据乘法分配律逆用简便计算．
（4）根据乘法分配律逆用简便计算．
【解答】解：（1）﹣1.25×（﹣5）×3×（﹣8）
＝[﹣1.25×（﹣8）]×（﹣5×3）
＝10×（﹣15）
＝﹣150；
5 2 3
（2）（ + − ）×（﹣12）
12 3 4
5 2 3
=− ×12− ×12+ ×12
12 3 4
＝﹣5﹣8+9
＝﹣4；
1 1 3
（3）− ×(−19)− ×19− ×（﹣19）
4 2 41 1 3
＝（ − + ）×19
4 2 4
1
= ×19
2
1
＝9 ．
2
11 5
（4）（﹣48）×0.125+48× +(−48)×
8 4
1 11 10
＝48×（− + − ）
8 8 8
＝0；
【点评】考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到
简化．
题型五 有理数的除法
解题技巧提炼
1、能整除时，将商的符号确定后，直接将绝对值相除；
2、不能整除时，将除数变为它的倒数，再用乘法计算；
1
1．（2024•沁水县二模）计算(−6)÷(− )的结果是（ ）
2
A．12 B．3 C．﹣3 D．﹣12
【分析】根据有理数的除法法则进行解题即可．
1
【解答】解：原式＝6÷
2
＝6×2
＝12．
故选：A．
【点评】本题考查有理数的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2023秋•衢江区期末）下列运算，结果正确的是（ ）
1 1
A．﹣7÷7＝1 B．7÷(− )=−
7 49
3 3
C．﹣36÷（﹣9）＝4 D．(− )÷(− )=2
10 5【分析】根据有理数的两个除法法则进行计算即可作出判断．
【解答】解：A、﹣7÷7＝﹣1≠1，故计算错误；
1 1
B、7÷(− )=−49≠− ，故计算错误；
7 49
C、﹣36÷（﹣9）＝4，故计算正确；
3 3 3 5 1
D、(− )÷(− )= × = ≠2，故计算错误；
10 5 10 3 2
故选：C．
【点评】本题考查有理数的除法运算，熟悉两个除法法则是关键．
3．（2023秋•威县期末）与8÷（﹣4）结果相同的是（ ）
1 1 1 1
A．8÷(− ) B． ×(−4) C．8×(− ) D． ÷(−4)
4 8 4 8
【分析】根据有理数的除法进行计算即可求解．
【解答】解：8÷（﹣4）＝﹣2，
1
A． 8÷(− )=8×（﹣4）＝﹣32，故该选项不符合题意；
4
1 1
B． ×(−4)=− ，故该选项不符合题意；
8 2
1
C． 8×(− )=−2，故该选项符合题意；
4
1 1 1 1
D． ÷(−4)= ×(− )=− ，故该选项不符合题意；
8 8 4 32
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的除法，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键．
4．（2023秋•西乡塘区校级月考）下列化简正确的是（ ）
−13 10 −75 −18 3
A． =−4 B．− =−2 C． =0 D． =
−3 5 0 12 2
【分析】分别根据有理数的除法运算法则化简求出即可．
−13 13
【解答】解：A、 = ，故此选项错误；
−3 3
10
B、− =−2，故此选项正确；
5
−75
C、 ，无意义，故此选项错误；
0−18 3
D、 =− ，故此选项错误．
12 2
故选：B．
【点评】此题主要考查了有理数的除法运算，正确化简求出是解题关键．
5．在﹣1，2，﹣3，5这四个数中，任意取两个数相除，其中最小的商是 ．
【分析】两个数相除，同号得正，异号得负，且正数大于一切负数，即可解答．
【解答】解：5÷（﹣1）＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了有理数的除法，解决本题的根据是熟记两个数相除，同号得正，异号得负．
6．（2023秋•泰山区期末）下列各式成立的是（ ）
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若a＞0、b＜0，则a+b＞0
C．若a+b＜0、ab＞0，则a＜0、b＜0
b
D．若 ＞0，则a＞0、b＞0
a
【分析】根据绝对值的性质判断A；根据有理数加法法则判断B；根据有理数乘法与加法判断C；根据
有理数除法判断D．
【解答】解：A．如|2|＝|﹣2|，但2≠﹣2，故选项错误；
B．如2+（﹣3）＜0，故选项错误；
C．因ab＞0，则a、b同号，又因a+b＜0，则a＜0、b＜0，选项正确；
b
D．因 ＞0，则a、b同号，a、b同为正，也可能a、b同为负，选项错误；
a
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数加法，有理数乘法，有理数除法，绝对值的定义，熟记这些知识是解题
的关键所在．
7．计算：(1)(﹣15)÷(﹣3)； (2)12÷(﹣)；
7 4
8 7
(3)(﹣0.75)÷(0.25)； (4)(- )÷(- ).
【分析】采用有理数的除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除解答．
【解答】（1）(﹣15)÷(﹣3)＝＋(15÷3)＝5；
（2）12÷(﹣)＝﹣(12÷)＝﹣48；
（3）(﹣0.75)÷(0.25)＝﹣(0.75÷0.25)＝﹣3.7 4 49
8 7 32
（4）(- )÷(- )=+（ ）= .
【点评】本题考查有理数的除法，正确掌握运算法则是解题的关键．
8．化简下列分数：
−28 2 −36 33
（1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
14 −6 −8 −72
【分析】两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可求解．
−28
【解答】解：（1） =−2；
14
2 1
（2） =− ；
−6 3
−36
（3） =4.5；
−8
33 11
（4） =− ．
−72 24
【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采
用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘
这个数的倒数”，再约分．
题型六 有理数的乘除混合运算
解题技巧提炼
(1) 有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算；
(2) 乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果
(乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算).
1．下面各算式中，结果最大的是（ ）
5 5 5 5
A．16× B．16÷ C． ÷16 D． ÷5
7 7 7 7
【分析】各项计算得到结果，比较即可．
5 80 5 7 112 5 5 1 5 5 5 1 1
【解答】解：16× = ，16÷ =16× = ， ÷16= × = ， ÷5= × = ，
7 7 7 5 5 7 7 16 112 7 7 5 7
112 80 1 5
∵ ＞ ＞ ＞ ，
5 7 7 1125
∴结果最大的是16÷ ，
7
故选：B．
【点评】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
1 1
2．（2023秋•利川市期末）计算：(− )×3÷ ×(−3)的结果是（ ）
3 3
A．﹣9 B．﹣1 C．3 D．9
【分析】先把除法运算统一成乘法运算，然后根据有理数的乘法法则计算即可．
1 1
【解答】解：(− )×3÷ ×(−3)
3 3
1
=− ×3×3×(−3)
3
＝9，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键．
3
3．（2023秋•黄岛区校级月考）将（﹣7）÷（− ）÷（﹣2.5）转化为乘法运算正确的是（ ）
4
4 4
A．（﹣7）× ×（﹣2.5） B．（﹣7）×（− ）×（﹣2.5）
3 3
4 2 3 5
C．（﹣7）×（− ）×（− ） D．（﹣7）×（− ）×（− ）
3 5 4 2
【分析】原式利用除法法则变形即可得到结果．
4 2
【解答】解：原式＝（﹣7）×（− ）×（− ），
3 5
故选：C．
【点评】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．（2023秋•沂水县期末）下列计算正确的是（ ）
1 1
A．0÷(−2)=0×(− )=−
2 2
1
B．1÷(− )=1×(−8)=−8
8
C．（﹣3）÷（﹣3）＝﹣3×3＝﹣9
D．（﹣32）÷（﹣8）＝﹣32÷8＝﹣4
【分析】根据有理数的除法法则进行判断便可．1
【解答】解：A、0÷(−2)=0×(− )=0，故此选项错误，不符合题意；
2
1
B、1÷(− )=1×(−8)=−8，故此选项正确，符合题意；
8
1
C、(−3)÷(−3)=−3×(− )=1，故此选项错误，不符合题意；
3
D、（﹣32）÷（﹣8）＝32÷8＝4，故此选项错误，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了有理数乘除法，熟记有理数乘除法法则是解题的关键．
5．计算：
5 2 2
（1）( )×(−4 )÷1 ；
7 3 3
1 2
（2）(−2 )÷(−1.2)×(−1 )．
7 5
【分析】（1）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可；
（2）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可．
5 2 2
【解答】解：（1）( )×(−4 )÷1
7 3 3
5 14 3
=( )×(− )×
7 3 5
＝﹣2；
1 2
（2）(−2 )÷(−1.2)×(−1 )
7 5
15 5 7
=(− )×(− )×(− )
7 6 5
5
=− ．
2
【点评】本题主要考查了有理数乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数乘除混合运算法则，准确
计算．
6．（2023秋•蒙城县校级月考）计算．
（1）（﹣8.46）×2.5×（﹣4）；
5 3
（2）（﹣0.75）÷ ÷(− )．
4 11【分析】（1）根据有理数的乘法法则计算即可；
（2）根据有理数的除法法则计算即可．
【解答】解：（1）（﹣8.46）×2.5×（﹣4）
＝8.46×2.5×4
＝8.46×（2.5×4）
＝8.46×10
＝84.6；
5 3
（2）（﹣0.75）÷ ÷(− )
4 11
5 3
＝0.75÷ ÷
4 11
3 4 11
= × ×
4 5 3
11
= ．
5
【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键．
7．（2023秋•洪泽区校级月考）计算：
3 3
（1）﹣3÷（− ）÷（− ）；
4 4
1
（2）（﹣12）÷（﹣4）÷（﹣1 ）；
5
2 7
（3）（− ）×（− ）÷0.25；
3 8
1 1
（4）（﹣2 ）÷（﹣5）×（﹣3 ）．
2 3
【分析】（1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答
案；
（2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；
（4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．
4 4
【解答】解：（1）原式＝﹣3×（− ）×（− ）
3 3
16
=− ；
31 5
（2）原式＝（﹣12）×（− ）×（− ）
4 6
5
=− ；
2
2 7
（3）原式＝（− ）×（− ）×4
3 8
7
= ；
3
5 1 10
（4）原式＝（− ）×（− ）×（− ）
2 5 3
5
=− ．
3
【点评】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
题型七 有理数的加减乘除混合运算
解题技巧提炼
有理数的加减乘除混合运算
（1）有理数的加减乘除混合运算顺序：先算乘除，再算加减；同级运算，应按
从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简
化．
1．“二十四点游戏”的规则为：给出4个有理数，用加、减、乘、除（可加括号）把给出的4个有理数
算成24，每个数必须用一次且只能用一次（不考虑顺序），先算出结果获胜，现有四个有理数3，4，
﹣6，﹣10，发挥你的聪明才智，运用“二十四点”游戏的规则，写出一种运算式，使其结果等于
24，你的运算式是 ．
【分析】考虑3×8＝24，4+20＝24，28﹣4＝24，可得结论．
【解答】解：根据有理数的运算可得：3×（4﹣6+10）＝24，[10﹣3×（﹣6）]﹣4＝24，4﹣10×（﹣6）
÷3＝24等．
故答案为：3×（4﹣6+10）＝24（答案不唯一）．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．3 1 5 1
2．计算：(− − + )÷ ．
4 6 12 36
【分析】把除法转化为乘法，根据乘法分配律计算即可．
3 1 5 1
【解答】解：(− − + )÷
4 6 12 36
3 1 5
=(− − + )×36
4 6 12
3 1 5
=− ×36− ×36+ ×36
4 6 12
＝﹣27﹣6+15
＝﹣18．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，把除法转化为乘法是解题的关键．
1 1 3 1
3．计算：1 ×(−2 + )÷(−2 )．
3 2 4 3
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则进行计算得出答案．
4 5 3 7
【解答】解：原式= ×(− + )÷(− )
3 2 4 3
4 10 3 3
= ×(− + )×(− )
3 4 4 7
4 7 3
= ×(− )×(− )
3 4 7
＝1．
【点评】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5 2
4．计算： ÷(0.75− )×6.8．
12 3
【分析】根据有理数的乘除运算以及有理数减法运算法则即可求出答案、
5 3 2
【解答】解：原式= ÷（ − ）×6.8
12 4 3
5 1
= ÷ ×6.8
12 12
5
= ×12×6.8
12
＝5×6.8
＝34．
【点评】本题考查有理数的乘除法以及减法运算，解题的关键是熟练运用有理数的乘除法以及减法运算法则，本题属于基础题型．
2 2 12
5．计算：1.25×( − )+ ÷6．
5 15 5
【分析】把小数化为分数，利用乘法分配律计算，把除法转化为乘法，利用有理数的乘法法则计算，最
后算加减即可．
5 2 5 2 12 1
【解答】解：原式= × − × + ×
4 5 4 15 5 6
1 1 2
= − +
2 6 5
11
= ．
15
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘法分配律a（b+c）＝ab+ac是解题的关键，注意运算顺序．
题型八 有理数乘除法与数轴的综合
解题技巧提炼
有理数乘除法与数轴的综合主要是根据数轴的意义和有理数的乘除法法则即可解
决问题.
1．（2023秋•赤坎区校级期末）如图，已知a，b是数轴上的两个数，下列不正确的式子是（ ）
a
A．a+b＜0 B．a﹣b＞0 C．ab＜0 D． ＞0
b
【分析】根据各点在数轴上的位置判断出a、b的符号及绝对值的大小，再对各选项进行分析即可．
【解答】解：由数轴图可知，a＞0，b＜0，a＜|b|，
a
∴ab＜0，a+b＜0，a﹣b＞0， ＜0，
b
∴ABC选项正确，D选项错误．
故选：D．
【点评】本题考查的是数轴，熟知上右边的数总比左边的数大是解答此题的关键．2．（2024•花都区一模）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．a﹣b＞0 C．|a|﹣|b|＜0 D．ab＜0
【分析】由数轴得，a＜0，b＞0，|a|＞|b|，进一步判断出a＜b，a﹣b＜0，|a|﹣|b|＞0，ab＜0，从而作
出判断．
【解答】解：由数轴得，a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
∴a＜b，a﹣b＜0，|a|﹣|b|＞0，ab＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了数轴，有理数的大小比较，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．
3．（2023秋•郯城县期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
a
A．a+b＜0 B．ab＜0 C．|a|＞|b| D． ＞0
b
【分析】先观察数轴判断a，b的正负和绝对值的大小关系，然后根据有理数的加法和乘除法则对各个
选项中的结论进行判断即可．
【解答】解：观察数轴可知：a＜0，b＞0，|b|＞|a|，
a
∴a+b＞0，ab＜0，|a|＜|b|， ＜0，
b
∴A，C，D选项中的结论错误，B选项中的结论正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的有关运算，解题关键是熟练掌握有理数的加法和乘除法则．
4．（2023秋•荔湾区期末）在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若a+b＜0，ac＜0，则下面四个
结论：①abc＜0；②b+c＜0；③|a|﹣|b|＞0；④|a﹣c|＜|a|，其中一定成立的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用有理数的加法，乘法法则判断即可．
【解答】解：∵a+b＜0，ac＜0，
∴a＜0，c＞0，b＞0且|a|＞|b|或b＜0，
∴abc＞0或abc＜0，选项①错误；b+c＞0或b+c＜0，选项②错误；
|a|＞|b|，即|a|﹣|b|＞0，选项③正确；
|a﹣c|＞|a|，选项④错误，
其中一定成立的结论个数为1．
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的乘法，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．（2023秋•黄岛区校级月考）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，在下列结论中：①a＞b；
b
②a+b＞0；③a﹣b＞0；④ab＜0；⑤ ＞0；正确的是（ ）
a
A．①②⑤ B．③④ C．①③⑤ D．②④
【分析】先由数轴得出b＜a＜0，再根据有理数的加、减、乘、除运算法则判断便可．
【解答】解：由数轴知，b＜a＜0，
∴①a＞b，选项正确，符合题意；
②a+b＜0，选项错误，不符合题意；
③a﹣b＞0，选项正确，符合题意；
④ab＞0，选项错误，不符合题意；
a
⑤ ＞0，选项正确，符合题意；
b
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，有理数乘法，有理数的除法，有理数加法，有理数减法，有理数大小比较，
关键是熟记运算法则．
6．（2023 秋•天宁区校级月考）有理数 a、b 在数轴上的位置如图所示，则下列各式成立的是
（填序号）．
①a+b＞0；
②a﹣b＞0；
③ab＜0；
④|b|＞a．
【分析】由数轴得出b＜0，a＞0，|a|＞|b|，然后根据有理数的加减法、有理数的乘法法则判断即可．【解答】解：由数轴得，b＜0，a＞0，|a|＞|b|，
∴a+b＞0，a﹣b＞0，ab＜0，|b|＜a，
∴①②③成立，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了数轴，有理数的乘法，有理数的加减法，绝对值，熟练掌握这些知识点是解题的关
键．
7．（2023秋•丰泽区期末）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，有如下四个结论：
①|a|＞3；
②ab＞0；
③b+c＜0；
④b﹣a＞0．
上述四个结论中，所有正确结论是 ．
【分析】根据图示，可得：﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，据此逐项判断即可．
【解答】解：根据题意，可得：﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，
∵﹣3＜a＜﹣2，
∴|a|＜3，
∴①不正确；
∵a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴②正确；
∵﹣2＜b＜﹣1，3＜c＜4，
∴b+c＞0，
∴③不正确；
∵﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，
∴b﹣a＞0，
∴④正确，
∴四个结论中，所有正确结论是②、④．
故答案为：②、④．
【点评】此题主要考查了有理数加减乘除的运算方法，绝对值的含义和求法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
题型九 有理数乘除法与相反数、倒数、绝对值的综合
解题技巧提炼
此类题考查了有理数的乘法，有理数的除法，相反数的性质、绝对值的性质，倒
数的定义，熟记运算法则是解题的关键，难点在于绝对值的化简要分情况讨论．
1．（2023秋•舞阳县期末）已知|x|＝4，|y|＝5，且xy＜0，则x+y的值等于（ ）
A．9或﹣9 B．9或﹣1 C．1或﹣1 D．﹣9或﹣1
【分析】先由绝对值的性质求得x、y的值，然后由xy＜0，分类计算即可．
【解答】解：∵|x|＝4，|y|＝5，
∴x＝±4，y＝±5．
∵xy＜0，
∴x＝4，y＝﹣5或x＝﹣4，y＝5．
当x＝4，y＝﹣5时，x+y＝4+（﹣5）＝﹣1；
当x＝﹣4，y＝5时，x+y＝﹣4+5＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是绝对值的性质、有理数的乘法、有理数的加法，分类讨论是解题的关键．
2．（2023秋•霍林郭勒市期末）若|a|＝3，|b|＝4，且ab＞0，则式子a+b的值是（ ）
A．7 B．1 C．1或﹣1 D．7或﹣7
【分析】根据绝对值的意义得到a＝±3，b＝±4，由ab＞0，则a＝3，b＝4或a＝﹣3，b＝﹣4，把它们
分别代入a+b中计算即可．
【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝4，
∴a＝±3，b＝±4，
∵ab＞0，
∴当a＝3时，b＝4，则a+b＝7，
当a＝﹣3时，b＝﹣4，则a+b＝﹣7．
综上所述，a+b的值是7或﹣7；
故选：D．
【点评】本题考查了绝对值：若a＞0，则|a|＝a；若a＝0，则|a|＝0；若a＜0，则|a|＝﹣a．也考查了分
类讨论的思想运用．3．（2023秋•南昌期末）已知a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a、
b、c三数的积为 ．
【分析】根据最小正整数的定义、最大的负整数的定义和绝对值的非负性即可求出a、b、c的值，从而求
出结论．
【解答】解：∵a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝0，
∴abc＝1×（﹣1）×0＝0．
故答案为：0．
【点评】此题考查的是有理数的大小比较，掌握最小正整数为1、最大的负整数为﹣1、绝对值最小的有
理数为0和有理数的乘法法则是解题的关键．
m
4．（2023秋•贵池区期末）已知|m|＝6，|n|＝2，且 ＞0，则m+n的值等于 ．
n
m
【分析】根据绝对值的性质可得m＝±6，n＝±2，再由 ＞0，可得到m＝6，n＝2或m＝﹣6，n＝﹣2，
n
再代入，即可求解．
【解答】解：∵|m|＝6，|n|＝2，
∴m＝±6，n＝±2，
m
∵ ＞0，
n
∴m＝6，n＝2或m＝﹣6，n＝﹣2，
当m＝6，n＝2时，m+n＝6+2＝8；
当m＝﹣6，n＝﹣2时，m+n＝﹣6﹣2＝﹣8；
综上所述，m+n的值等于±8．
故答案为：±8．
【点评】本题考查了绝对值的性质以及有理数的加法，求代数式的值，能正确得出相应字母的值是解本
题的关键．
5．（2023秋•武汉期末）已知a，b是有理数，且a＜0，ab＜0，a+b＜0，则下列结论：①b（a+b）＞
|−b| a−b |a|
0；②b＜﹣a；③ + − =1；④若|a﹣b|＝6，c是有理数，且满足|b﹣c|＝2，则|a
b |a−b| a
﹣c|＝8．其中正确的结论序号是 （把所有正确的序号都填上）．
【分析】根据两数相乘同号为正，异号为负可知b＞0，再由a+b＜0，可得b（a+b）＜0，b＜﹣a即可判|−b| a−b |a|
断①，②；由b＞0，a＜0，a﹣b＜0，化简绝对值 + − 即可判断③；根据a﹣b＜
b |a−b| a
0，|a﹣b|＝6，推出b＝a+6，再由|b﹣c|＝2，得到a﹣c＝﹣4或a﹣c＝﹣8，即可判断④．
【解答】解：∵a＜0，ab＜0，
∴b＞0，
∵a+b＜0，
∴b（a+b）＜0，b＜﹣a，故①错误，②正确；
∵b＞0，a＜0，
∴a﹣b＜0，
|−b| a−b |a| b a−b −a
∴ + − = + − =1−1+1=1，故③正确；
b |a−b| a b −(a−b) a
∵a﹣b＜0，|a﹣b|＝6，
∴a﹣b＝﹣6，
∴b＝a+6，
∵|b﹣c|＝2，
∴b﹣c＝2或b﹣c＝﹣2，
∴a+6﹣c＝2或a+6﹣c＝﹣2，
∴a﹣c＝﹣4或a﹣c＝﹣8，
∴|a﹣c|＝4或|a﹣c|＝8，故④错误；
∴正确的有②③．
故答案为：②③．
【点评】【点睛】本题主要考查了化简绝对值，有理数乘除法计算，有理数加减法计算，灵活运用所学
知识是解题的关键．
a b ab
6．（2023秋•宿城区期中）已知a，b都不是零，写出x= + + 的所有可能的值 ．
|a| |b| |ab|
【分析】要对a，b所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取值，代入求值．
【解答】解：对a，b的取值情况分类讨论如下：
a b ab
①当a，b都是正数时，x= + + =1+1+1＝3；
|a| |b| |ab|
a b ab
②当a，b都是负数时，x= + + =−1﹣1+1＝﹣1；
|a| |b| |ab|
a b ab
③当a，b中有一个正数，一个负数时， 、 、 中有一个1，两个﹣1，所以和为﹣1．
|a| |b| |ab|a b ab
+ + 的可能值是3或﹣1．
|a| |b| |ab|
【点评】本题主要考查了绝对值的定义及分类讨论的思想．注意分类讨论时要全面，要做到不重复不遗
漏．
7．（2023秋•林州市期中）已知：有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，a，b互为相反数，
且都不为零，c，d互为倒数．求：2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m的值．
【分析】直接利用相反数以及互为倒数的性质得出a+b＝0，cd＝1，进而分类讨论得出答案．
【解答】解：∵有理数m所表示的点与﹣1表示的点距离4个单位，
∴m＝﹣5或3，
∵a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数，
∴a+b＝0，cd＝1，
当m＝﹣5时，
∴2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m
＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m
＝﹣3﹣（﹣5）
＝2，
当m＝3时，
2a+2b+（a+b﹣3cd）﹣m
＝2（a+b）+（a+b）﹣3cd﹣m
＝﹣3﹣3
＝﹣6
综上所述：原式＝2或﹣6．
【点评】此题主要考查了倒数与相反数，正确把握相关定义是解题关键．
8．（2023秋•西湖区校级期中）在学习一个数的绝对值过程中，化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|
＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．请用这种方法解决下列问题．
a a
（1）当a＝3时，则 = ；当a＝﹣2时，则 = ．
|a| |a|
a b
（2）已知a，b是有理数，当ab＞0时，试求 + 的值．
|a| |b|
a b c b+c a+c a+b
（3）已知a，b，c是非零有理数，满足a+b+c＝0且 + + =1，求 + + 的值．
|a| |b| |c| |a| |b| |c|
【分析】（1）直接将a＝3，a＝﹣2代入求出答案；（2）分别利用a＞0，b＞0或a＜0，b＜0分析得出答案；
（3）根据a、b、c是非零有理数，a+b+c＝0且，利用分类讨论的方法可以求得所求式子的值．
【解答】解：（1）当a＝3时，＝1；
当a＝﹣2时，＝﹣1；
故答案为：1；﹣1．
（2）若a，b是有理数，当ab＞0时，分两种情况：
当a＞0，b＞0时，
+＝1+1＝2，
当a＜0，b＜0时，
+＝﹣1﹣1＝﹣2．
∴当ab＞0时，+的值为±2；
（3）∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c，
∴，
当a、b、c同为正数时，a+b+c＞0，，不满足条件；
当a、b、c为两正一负时，满足条件，不妨设a＞0，b＞0，c＜0，
∴；
当a、b、c为两负一正时，，不满足条件；
当a、b、c同为负数时，不满足条件，
综上，的值为：﹣1．
【点评】本题主要考查了绝对值，掌握分类讨论是关键．
题型十 有理数乘除法在实际生活中的应用
解题技巧提炼
用有理数的乘除法求解实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学问
题.
1．某冷冻厂一个冷库的室温是﹣2℃，现有一批食品需要在﹣12℃冷藏，如果每小时降温4℃，则几小时
能降到所需要的温度？
【分析】根据题意，利用降低的度数除以4列式即可求解．
【解答】解：[（﹣2）﹣（﹣12）]÷4
＝10÷4＝2.5（小时）．
答：6小时能降到所需要的温度．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，理清题目中的数量关是解决问题关键．
2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加袖的情况（注：“累计里程”指汽车从
出厂开始累计行驶的路程），在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
2021年2月10日 15 56000
2021年2月25日 50 56500
100
A．7升 B．8升 C．10升 D． 升
7
【分析】用总耗油量除以百千米数即可．
56500−56000
【解答】解：50÷
100
＝50÷5
＝10（升），
故选：C．
【点评】此题考查了运用有理数的运算解决实际问题的能力，关键是能准确理解问题中的数量关系并计
算求解．
3．煤矿井下A点的海拔为-164.5米，已知从A到B的水平距离是120米，每经过水平距离10米上升0.4
米，且B点在A点的上方，A点与B点的位置示意图如图所示．
（1）求B点的海拔；
（2）若C点海拔为-98.8米，C点在A点的正上方，每垂直升高10米用30秒，求从A点到C点所用的时
间．
【分析】（1）根据经过水平距离10米，海拔上升（或下降）0.4米，由题意列出算式，计算即可；
（2）根据每垂直升高10米用30秒，根据题意列出算式，计算即可．
【解答】解：（1）根据题意得-164.5+（120÷10）×0.4=-159.7（米）；
即B点的海拔为-159.7米；
（2）[-98.8-（-164.5）]÷10×30=197.1（秒），即从A点到C点所用的时间为197.1秒．
4．漳浦梁山，群峰并峙，巍峨秀丽，绵亘百余里．某日，小颖、小丽和小红利用温差测量梁山莲花峰的
高度，小颖在山脚测得温度是27℃．设漳浦地区的高度每增加100米，气温大约下降0.8℃．
（1）若此时小丽在山顶测得温度是19℃，则莲花峰的高度大约是多少米？
（2）若此时小红所在的高度为750米，则小红在750米处的温度大约是多少℃？
【分析】（1）莲花峰的高度＝山顶的温度与山脚的温度之差÷0.8×100．
（2）750米里有几个100米，气温就下降几个0.8℃．
【解答】解：（1）（27﹣19）÷0.8×100
＝8÷0.8×100
＝1000（米）
答：莲花峰的高度约是1000米．
（2）27﹣750÷100×0.8
＝27﹣6
＝21（℃）
答：小红在750米处的温度大约是21℃．
【点评】此题考查的是有理数的加法运算，掌握加法的交换律与结合律是解决此题的关
键．
5．（2023秋•鄞州区校级月考）在学习有理数的乘法时，李老师和同学们做了这样一个游戏：将2023这
1
个数说给第一名同学，第一名同学将它减去它的 的结果告诉第二名同学，第二名同学再将听到的结果
2
1 1
减去它的 的结果告诉第三名同学，第三名同学再将听到的结果减去它的 的结果告诉第四名同学，…
3 4
照这样的方法直到全班40名同学全部传完，最后一名同学将听到的结果告诉李老师．你知道最后的结
果吗？
1 1 1 1
【分析】根据题意可得2023×（1− ）×（1− ）×（1− ）×…×（1− ），再运算即可．
2 3 4 40
1 1 1 1
【解答】解：2023×（1− ）×（1− ）×（1− ）×…×（1− ）
2 3 4 40
1 2 3 39
＝2023× × × ×⋯×
2 3 4 40
2023
= ．
40【点评】本题考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法运算法则，弄清题意，列出代数式是解题的关
键．
6．某儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全
相同，若以每件47元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，则记录结果如下表所示：
售出件数 7 6 5 5 4 3
售价/元 +3 +2 ﹣2 0 ﹣1 +1
问该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
【分析】首先由进货量和进货单价计算出进货的成本，然后再根据售价计算出赚了多少钱．
【解答】解：如表格，7×（47+3）+6×（47+2）+3×（47+1）+5×47+4×（47﹣1）+5×（47﹣2）
＝350+294+144+235+184+225
＝1432，
∵30×32＝960，
∴1432﹣960＝472，
∴售完这30件连衣裙后，赚了472元．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，关键在于根据表格计算出一共卖了多少钱．
题型十一 有理数乘除法的程序计算题
解题技巧提炼
利用有理数的加减乘除混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出的计
算程序，根据程序列出算式解答即可．
1．（2023•铜仁市三模）如图，是一个简单的数值运算程序．当输入 x的值为﹣4，则输出的数值为
．
【分析】首先列出式子是：（﹣4）×（﹣3）﹣2，然后正确计算即可．
【解答】解：根据题意得：（﹣4）×（﹣3）﹣2＝12﹣2＝10．
故答案是：10．
【点评】本题考查了代数式的求值，正确列出式子是关键．
2．按照下列程序计算输入值x为20时，输出的值为 .【分析】根据程序图列出算式，然后计算即可.
【解答】解：输出的值为 ，
故答案为：198.
3．如图，按照图中的程序进行计算，如果输入的数字是3，那么输出的结果是 ．
【分析】利用程序图中的程序进行操作即可得出结论．
【解答】解：输入的数字是3，由题意得：
2×（﹣5）＝﹣15，
∵|﹣15|＝15＜40，
∴将﹣15重新输入，则得：
﹣15×（﹣5）＝75，
∵|75|＝75＞40，
∴输出的结果是：75；
故答案为：75．
【点评】本题主要考查了有理数的运算，本题是操作型题目，依据程序图中的程序进行运算是解题的关
键．
4．按如图程序输入一个数x，若输入的数x＝﹣1，则输出结果为 ．
【分析】根据图示的计算过程进行计算，代入x的值一步一步计算可得出最终结果．
【解答】解：当x＝﹣1时，﹣2x﹣4＝﹣2×（﹣1）﹣4＝2﹣4＝﹣2＜0，
此时输入的数为﹣2，﹣2x﹣4＝﹣2×（﹣2）﹣4＝4﹣4＝0，
此时输入的数为0，﹣2x﹣4＝0﹣4＝﹣4＜0，
此时输入的数为﹣4，﹣2x﹣4＝﹣2×（﹣4）﹣4＝8﹣4＝4＞0，
所以输出的结果为4．故答案为：4．
【点评】此题考查了代数式求值的知识，属于基础题，解答本题关键是理解图标的计算过程，难度一般
注意细心运算．
5．（2023秋•顺德区校级期末）如图所示的程序计算，如果输入x=﹣3，那么输出y的值为 ．
【分析】先把x=﹣3代入计算，再判断是否不小于0，再将x=﹣1代入，再判断，即可得到答案．
【解答】解：根据程序得：（﹣3）×（﹣2）×（﹣1）+5=﹣6+5=﹣1＜0，
再把x=﹣1代入得：（﹣1）×（﹣2）×（﹣1）+5=﹣2+5=3＞0，
∴输出y的值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数相关运算法则是关键．
题型十二 有理数乘除法的新定义运算问题
解题技巧提炼
新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意
计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查.
1．对于正整数a、b，规定一种新运算*，a*b等于由a开始的连续b个正整数的积，例如：2*3＝2×3×4＝
24，5*2＝5×6＝30，那么7*（1*2）的值等于多少？
【分析】根据新运算*的运算方法进行计算即可得解．
【解答】解：7*（1*2），
＝7*（1×2），
＝7*2，
＝7×8，
＝56．
【点评】本题考查了有理数的乘法，读懂题目信息，理解新运算的运算方法是解题的关键．
1 b 1 3 1
2．规定a※b= ÷(− )，例如2※3= ÷(− )=− ，则[2※（﹣5）]※4＝ ．
a 2 2 2 31 b
【分析】根据题意知道a※b等于 ÷(− )，用此方法计算[2※（﹣5）]※4的值．
a 2
1 −5 1
【解答】解：由题意可得：2※（﹣5）= ÷(− )= ，
2 2 5
1 4 5
※4=5÷(− )=− ，
5 2 2
故答案为：﹣2.5
【点评】此题考查有理数的除法，关键是根据题意得出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题．
3．（2023秋•港南区期末）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝4ab，如2*3＝4×2×3＝24．
（1）求3*（﹣4）的值；
（2）求（﹣2）*（6*3）的值．
【分析】分别根据运算“*”的运算方法列式，然后进行计算即可得解．
【解答】解：（1）3*（﹣4），
＝4×3×（﹣4），
＝﹣48；
（2）（﹣2）*（6*3），
＝（﹣2）*（4×6×3），
＝（﹣2）*（72），
＝4×（﹣2）×（72），
＝﹣576．
【点评】本题考查了有理数的乘法，是基础题，理解新运算的运算方法是解题的关键．
4．对于有理数a、b，定义运算：a※b＝a×b﹣a﹣b+1．
（1）计算（﹣3）※4的值；
（2）比较5※（﹣2）和（﹣2）※5的大小．
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果；
（2）两式利用题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：
原式＝（﹣3）×4﹣（﹣3）﹣4+1
＝﹣12+3﹣4+1
＝﹣12；
（2）根据题中的新定义得：
5※（﹣2）＝5×（﹣2）﹣5﹣（﹣2）+1＝﹣10﹣5+2+1＝﹣12，（﹣2）※5＝﹣2×5﹣（﹣2）﹣5+1＝﹣10+2﹣5+1＝﹣12，
则5※（﹣2）＝（﹣2）※5．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
5．（2023•孟村县二模）若a，b是有理数，定义一种运算“▲”：a▲b＝ab+2a﹣3b+2．
（1）计算3▲（﹣4）的值；
（2）计算（2▲3）▲（﹣6）的值；
（3）定义的新运算“▲”对交换律是否成立？请写出你的探究过程．
【分析】（1）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；
（2）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，进行计算即可；
（3）根据题目所给新定义运算顺序和运算法则，分别计算a▲b和b▲a，再进行比较即可．
【解答】解：（1）由题意得：3▲（﹣4）＝3×（﹣4）+2×3﹣3×（﹣4）+2＝8；
（2）由题意得（2▲3）＝2×3+2×2﹣3×3+2＝3，
3▲（﹣6）＝3×（﹣6）+2×3﹣3×（﹣6）+2＝8，
∴（2▲3）▲（﹣6）＝8；
（3）不成立，理由如下：
∵a▲b＝ab+2a﹣3b+2，b▲a＝ba+2b﹣3a+2，
∴a▲b≠b▲a（a≠b），即定义的新运算“▲”对交换律不成立．
【点评】本题主要考查了新定义下的有理数的混合运算，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给新
定义的运算顺序和运算法则．
6．（2023秋•富县期末）数学探究课上，老师布置的任务如下：
任务一：自学阅读材料．我们定义：如果两个有理数的差等于这两个有理数的商，那么这两个有理数就
叫做“差商等数对”．即：如果a﹣b＝a÷b，那么a与b就叫做“差商等数对”，记为（a，b）．例如：
9 9 9
4﹣2＝4÷2， −3= ÷3，则称数对（4，2），（ ，3）是“差商等数对”．
2 2 2
任务二：根据自学阅读材料，尝试解决下列问题：
（1）下列数对中，是“差商等数对”的是 ；（填序号）
1
①( ，−1)；
2
25
②( ，5)；
4
（2）若（m，6）是“差商等数对”，求出m的值；
（3）若（2a+b﹣6，9）是“差商等数对”，求2a+b的值．【分析】（1）根据“差商等数对”的定义分别判断即可；
m
（2）根据“差商等数对”的定义得出m−6=m÷6= ，即可求出m的值；
6
2a+b−6
（3）根据“差商等数对”的定义得出2a+b−6−9= ，即可求出2a+b的值．
9
1 1 3 1 1
【解答】解：（1）① −(−1)= +1= ， ÷(−1)=− ，
2 2 2 2 2
3 1
∵ ≠− ，
2 2
1
∴( ，−1)不是“差商等数对”；
2
25 5 25 5
② −5= ， ÷5= ，
4 4 4 4
25 25
∴ −5= ÷5，
4 4
25
∴( ，5)是“差商等数对”；
4
故答案为：②；
（2）因为（m，6）是“差商等数对”，
m
所以m−6=m÷6= ，
6
36
解得m= ；
5
（3）因为（2a+b﹣6，9）是“差商等数对”，
2a+b−6
所以2a+b−6−9= ，
9
129 1
解得2a+b= =16 ．
8 8
【点评】本题考查了有理数的除法、减法，理解“差商等数对”的定义是解题的关键．
题型十三 有理数乘除法材料阅读问题解题技巧提炼
材料阅读题要根据题中的材料来分析并解决问题，此题中是根据倒数法进行有理
数的混合运算，有些含分数的数学问题直接求解比较麻烦，而若把分子、分母上
下颠倒，则可立即找到突破口，这种解法称为倒数法，本题中先将被除数与除数
的位置互换，先求其结果，再求出原式的结果.
1 2 1 1 2
1．（2023秋•宁远县期中）数学老师布置了一道思考题“计算：(− )÷( − + − )”，小明和小
30 3 10 6 5
红两位同学经过仔细思考，用不同的方法解答了这个问题：
1 2 1 1 2
小明的解法：原式=(− )÷[( + )−( + )]
30 3 6 10 5
1 5 1
=(− )÷( − )
30 6 2
1
=− ×3
30
1
=−
10
2 1 1 2 1 2 1 1 2
小红的解法：原式的倒数为( − + − )÷(− )=( − + − )×(−30)
3 10 6 5 30 3 10 6 5
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
1
故原式=−
10
（1）你觉得 的解法更好．
（2）请你用自己喜欢的方法解答下面的问题：
1 1 3 2 2
计算：(− )÷( − + − )
42 6 14 3 7
【分析】两种解法都正确，第一种是一般的解法，按照有理数混合运算的顺序进行计算．第二种先求出
代数式的倒数，再求原数，较为简便，所以第二种好．
【解答】解：（1）你觉得小红的解法更好．（2分）
1 3 2 2 1
（2）原式的倒数为( − + − )÷(− )
6 14 3 7 42
1 3 2 2
=( − + − )×(−42)
6 14 3 7
＝﹣7+9﹣28+12＝﹣14，
1
故原式=− ．
14
【点评】本题很有创新，敢大胆的尝试新的解题方法，开拓了学生的解题思路，是一道好题．
1 1 1
2．（2023秋•蓬江区校级月考）阅读下列材料，计算：50÷（ − + ）．
3 4 12
1 1 1
解法1思路：原式＝50÷ −50÷ +50÷ =50×3﹣50×4+50×12；对吗？答： ；
3 4 12
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
解法2提示：先计算原式的倒数，（ − + ）÷50= × − × + × = ，故原式等于
3 4 12 3 50 4 50 12 50 300
300．
1 2 1 1 2
（1）请你用解法2的方法计算：（− ）÷（ − + − ）；
30 3 10 6 5
3 7 7 7 7 3 7 7
（2）（1 − − ）÷（− ）+（− ）÷（1 − − ）现在这个题简单了吧？来吧，试试吧！
4 8 12 8 8 4 8 12
【分析】解法1根据除法没有分配律进行判断；
（1）仿照解法2先计算原式的倒数，然后即可得出原式的结果；
（2）先计算原式前半部分的结果，然后根据倒数的定义求出后半部分的结果，即可求出原式的值．
【解答】解法1：不对；
理由：除法没有分配律，故解法1不对；
故答案为：不对；
2 1 1 2 1
（1）先计算原式的倒数，( − + − )÷(− )
3 10 6 5 30
2 1 1 2
= ×(−30)− ×(−30)+ ×(−30)− ×(−30)
3 10 6 5
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10，
1
故原式等于− ；
10
3 7 7 7
（2）(1 − − )÷(− )
4 8 12 8
7 8 7 8 7 8
= ×(− )− ×(− )− ×(− )
4 7 8 7 12 72
＝﹣2﹣（﹣1）−(− )
3
2
=−2+1+
3
1
=− ，
3
7 3 7 7
∴(− )÷(1 − − )=−3，
8 4 8 12
1 10
∴原式=− +(−3)=− ．
3 3
【点评】本题考查了有理数的混合运算，倒数的定义，关键是根据题中给出的计算方法举一反三．
3．阅读下面解题过程：
1 1
计算：5÷（ −2 −2）÷6
3 2
1 1
解：5÷（ −2 −2）×6
3 2
25
＝5÷（− ）×6…①
6
＝5÷（﹣25）…②
1
=− ⋯③
5
回答：
（1）上面解题过程中有两处错误，第一处是第 步，错因是 ，第二处是
，错因是 ．
（2）正确结果应是 ．
【分析】（1）根据除以一个数相当于乘以这个数的倒数和同级运算应从左到右的顺序依次进行计算，
即可得出答案；
（2）根据有理数的乘除法则进行计算即可．
【解答】解：（1）第一处是第①步，错因是除以一个数相当于乘以这个数的倒数，第二处是②，错
因是同级运算应从左到右的顺序依次进行计算；
故答案为：①，除以一个数相当于乘以这个数的倒数；②，同级运算应从左到右的顺序依次进行计算；
1 1
（2）5÷（ −2 −2）÷6
3 225 1
＝5÷（− ）×
6 6
6 1
＝5×（− ）×
25 6
1
=− ．
5
1
故答案为：− ．
5
【点评】此题考查了有理数的乘除法，掌握有理数的乘除法则是本题的关键，是一道基础题．
24
4．学习了有理数的乘法后，老师给同学们出了这样一道题目：计算：49 ×（﹣5），看谁算的又快又
25
对．
1249 1249 4
小明的解法：原式=− ×5=− =−249 ；
25 5 5
24 24 4
小军的解法：原式=(49+ )×(−5)=49×(−5)+ ×(−5)=−249 ．
25 25 5
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法较好？
24 1
（2）小强认为还有更好的方法：把49 看作(50− )，请把小强的解法写出来．
25 25
5
（3）请你用最合适的方法计算：9 ×（﹣3）．
6
【分析】（1）小军的方法计算简便；
1
（2）原式＝（50− ）×（﹣5），再由乘法分配律进行运算即可；
25
1
（3）原式＝（10− ）×（﹣3），再运算即可．
6
【解答】解：（1）小军的解法较好；
24
（2）49 ×（﹣5）
25
1
＝（50− ）×（﹣5）
25
1
＝50×（﹣5）− ×（﹣5）
25
1
＝﹣250+
54
＝﹣249 ；
5
5
（3）9 ×（﹣3）
6
1
＝（10− ）×（﹣3）
6
1
＝10×（﹣3）− ×（﹣3）
6
1
＝﹣30+
2
1
＝﹣29 ．
2
【点评】本题考查实数的运算，根据所给方法，灵活运用乘法分配律进行计算是解题的关键．
1 1 5
5．数学老师布置了一道思考题“计算：（− ）÷( − )”，小明仔细思考了一番，用了一种不同的
12 3 6
方法解决了这个问题．
1 5 1 1 5
小明的解法：原式的倒数为（ − ）÷(− )=（ − ）×（﹣12）＝﹣4+10＝6，
3 6 12 3 6
1 1 5 1
所以（− ）÷( − )= ．
12 3 6 6
（1）请你判断小明的解答是否正确，并说明理由．
（2）请你运用小明的解法解答下面的问题．
1 1 1 3
计算：（− ）÷( − + )．
24 3 6 8
【分析】（1）正确，利用倒数的定义判断即可；
（2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值．
【解答】解：（1）正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数；
1 1 3 1 1 1 3
（2）原式的倒数为（ − + ）÷（− ）＝（ − + ）×（﹣24）＝﹣8+4﹣9＝﹣13，
3 6 8 24 3 6 8
1 1 1 3 1
则（− ）÷（ − + ）=− ．
24 3 6 8 13
【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．题型十四 有理数乘除法规律探究题
解题技巧提炼
上面的解题方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重
新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．解答本题的关键是明确题
意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．
1．观察下列各式：
1 1 1 1 1
=1− ， = ×(1− )；
1×2 2 1×3 2 3
1 1 1 1 1 1 1
= − ， = ×( − )；
2×3 2 3 3×5 2 3 5
1 1 1 1 1 1 1
= − ， = ×( − )；
3×4 3 4 5×7 2 5 7
解答下列各题：
1 1 1 1
（1）尝试并计算： + + +...+ ；
1×2 2×3 3×4 2017×2018
1 1 1 1
（2）尝试并计算： + + +...+ ；
1×3 3×5 5×7 99×101
1 1 1 1 1 1 1
（3）| −1|+| − |+| − |+...+| − |；
2 3 2 4 3 100 99
（ 4 ） 尝 试 并 计 算 ：
1 1 1 1 1 1
+ + +...+ + + ．
3×4×5 4×5×6 5×6×7 98×99×100 99×100×101 100×101×102
【分析】（1）利用计算的规律，直接拆分计算即可；
（2）利用计算的规律，直接拆分计算即可；
（3）先去绝对值，再抵消法计算即可求解；
（4）利用计算的规律，两次拆分计算即可．
1 1 1 1
【解答】解：（1） + + +...+
1×2 2×3 3×4 2017×2018
1 1 1 1 1 1 1
＝1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 2017 2018
1
＝1−
20182017
= ；
2018
1 1 1 1
（2） + + +...+
1×3 3×5 5×7 99×101
1 1 1 1 1 1
= ×（1− + − +⋯+ − ）
2 3 3 5 99 101
1 1
= ×（1− ）
2 101
1 100
= ×
2 101
50
= ；
101
1 1 1 1 1 1 1
（3）| −1|+| − |+| − |+...+| − |
2 3 2 4 3 100 99
1 1 1 1 1 1 1
＝1− + − + − +⋯+ −
2 2 3 3 4 99 100
1
＝1−
100
99
= ；
100
1 1 1 1 1 1
（4） + + +...+ + +
3×4×5 4×5×6 5×6×7 98×99×100 99×100×101 100×101×102
1 1 1 1 1 1 1 1 1
= ×（ − + − +⋯+ − + − ）
2 3×4 4×5 4×5 5×6 99×100 100×101 100×101 101×102
1 1 1
= ×（ − ）
2 3×4 101×102
1 10290
= ×
2 3×4×101×102
1715
= ．
41208
【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．观察下列各式：
1 2 1
× =
2 3 3
1 2 3 1
× × =
2 3 4 41 2 3 4 1
× × × =
2 3 4 5 5
…
1 2 3 n
（1）猜想 × × ×⋯× = ；
2 3 4 n+1
（2）根据上面的规律，解答下列问题：
1 1 1 1 1 1
①（ −1）×（ −1）×（ −1）×…×（ −1）×（ −1）×（ −1）
100 99 98 4 3 2
1 1 1 1
②将2016减去它的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，再减去余下的 ，以此类推，直到最后减去
2 3 4 5
1
余下的 ，最后结果是多少？
2016
【分析】（1）根据所给各式发现规律，结果的分子为第1个分数的分子，分母为最后1个分数的分母；
（2）原式括号中变形计算后，约分即可得到结果；
（3）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
1 2 1
【解答】解：（1）∵ × =
2 3 3
1 2 3 1
× × =
2 3 4 4
1 2 3 4 1
× × × =
2 3 4 5 5
…
1 2 3 n 1
∴ × × ×⋯× =
2 3 4 n+1 n+1
1
故答案为： ；
n+1
99 98 97 2 1
（2）①原式=− ×（− ）×（− ）×…×（− ）×（− ）
100 99 98 3 2
1
=− ；
100
1 1 1 1
②由题意得，2016×（1− ）×（1− ）×…×（1− ）＝2016×
2 3 2016 2016
＝1．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2023秋•成县期中）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．
同学们学过有理数减法可以转化为有理数加法来运算，有理数除法可以转化为有理数乘法来运算．其实
这种转化的数学方法，在学习数学时会经常用到，通过转化我们可以把一个复杂问题转化为一个简单问
题来解决．
1 1 1 1
例如：计算 + + + ．
1×2 2×3 3×4 4×5
此题我们按照常规的运算方法计算比较复杂．但如果采用下面的方法把乘法转化为减法后计算就变得非
常简单．
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
分析方法：因为 =1− ， = − ， = − ， = − ，所以，将以上4个等式
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 4×5 4 5
两边分别相加即可得到结果，解法如下：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + =（ 1− ） + （ − ） + （ − ） + （ − ） ＝ 1
1×2 2×3 3×4 4×5 2 2 3 3 4 4 5
1 1 1 1 1 1 1 1 4
− + − + − + − =1− = ．
2 2 3 3 4 4 5 5 5
任务：
1
（1）猜想并写出： = ；（n为正整数）
n(n+1)
1 1 1 1 1
（2）①应用上面的方法计算： + + + + ⋯ + ．
1×2 2×3 3×4 4×5 2021×2022
1 1 1 1
②直接写出下列式子的计算结果： + + + ⋯ + = ．
1×2 2×3 3×4 n(n+1)
1 1 1 1
（3）类比应用上面的方法探究并计算： + + + ⋯ + ．
2×4 4×6 6×8 2020×2022
【分析】（1）根据题干给出的规律直接判断即可；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
（2）与（1）一样得到 + + +⋯+ = 1− + − + − +⋯+ − ，然
1×2 2×3 3×4 n(n+1) 2 2 3 3 4 n n+1
后进行合并；
1 1 1 1 1 1 1 1
（3）把原式变形为（2）中的形式得到 [（1− ）+（ − ）+（ − ）+…+（ − ）]，
4 2 2 3 3 4 1010 1011
然后利用（2）中的方法计算．
1 1 1
【解答】解：（1）通过观察可得： = − ；
n(n+1) n n+11 1 1 1 1
（2））① + + + + ⋯ +
1×2 2×3 3×4 4×5 2021×2022
1 1 1 1 1 1 1
＝1− + − + − +•••+ −
2 2 3 3 4 2021 2022
1
＝1−
2022
2021
= ．
2022
1
②根据规律可得：原式＝1− ．
n+1
1
故答案为：1− ．
n+1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1010
（3）原式= [（1− ）+（ − ）+（ − ）+…+（ − ）]= ×（1− ）= ．
4 2 2 3 3 4 1010 1011 4 1011 4044
【点评】本题考查有理数的混合运算，正确记忆先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算有括号先算括
号是解题关键．
