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七年级上册数学《第 2 章有理数及其运算》
2.5 有理数的混合运算
有理数的混合运算
知识点一
◆有理数的混合运算：
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计
算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
“24 点”游戏技巧
知识点二
技巧1:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之积:
3×8=24，4×6=24，2×12=24；
技巧2:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之和:
21+3=24，20 +4=24，18+6=24，16+8=24，15+9=24，14+10=24；
技巧3:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之差:
25−1=24，30−6=24，27−3=24，35−11=24，28−4=24，36−12=24.题型一 有理数的混合运算
解题技巧提炼
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应
按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简
化．
1．（2023秋•二道区校级期末）下列四个式子中，计算结果最小的是（ ）
1 1 1 1
A．﹣3+ B．﹣3− C．﹣3× D．﹣3÷
2 2 2 2
2．（2023秋•鄞州区期末）下列四个式子中，计算结果最大的是（ ）
A．﹣23+（﹣1）2 B．﹣23﹣（﹣1）2 C．﹣23×（﹣1）2 D．﹣23÷（﹣1）2
3．（2024•高州市校级模拟）下列式子计算正确的是（ ）
A．（﹣1）6×32＝6
1 1
B．8÷（− ）×5＝8×（− ）＝﹣4
10 2
1
C．﹣32× =−1
9
D．4﹣（﹣8）÷2＝4﹣4＝04．下列各式中．计算结果得0的是（ ）
A．﹣22+（﹣2）2 B．﹣22﹣22 C．﹣22﹣（﹣2）2 D．（﹣2）2+22
5．（2023秋•济宁期中）下列运算错误的是（ ）
A．﹣8﹣2×6＝﹣20
B．（﹣1）2016+（﹣1）2015＝0
C．﹣（﹣3）2＝﹣9
4 3
D．2÷ × =2
3 4
6．（2023秋•金东区期末）计算：
（1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4；
3 1 1
（2）−14+|6−10|−( − + )×(−24)．
4 6 8
7．（2024•肇源县开学）计算：
2
（1）−23+(−5) 2× −|−3|．
5
1 3 1
（2）(−1) 2023+(− )+(− + )×(−2) 3．
3 8 48．（2023秋•隆回县期末）计算：
1
（1）4×(−1) 2024−13+(− )−|﹣43|；
2
1
（2）−14−(1−0.5)× ×[3−(−3) 2 ]．
3
1 1
9．（2023•馆陶县二模）淇淇在计算：(−1) 2022−(−2) 3+6÷( − )时，步骤如下：
2 3
1 1
解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+6÷ −6÷ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯①
2 3
＝﹣2022+6+12﹣18………………………②
＝﹣2048…………………………………③
（1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 ；（填序号）
（2）请给出正确的解题过程．
10．计算：
（1）2×（﹣3）3﹣4×（﹣3）+15；
1 1 1 1
（2）| − |÷(− )− ×(−2) 3．
3 2 12 8
1 2
（3）﹣|﹣9|÷（﹣3）2+（ − ）×（﹣12）．
2 3
1
（4）﹣14﹣（1﹣0.5）× −|1﹣（﹣5）2|．
3题型二 含乘方的程序图运算题
解题技巧提炼
利用有理数的加减乘除乘方混合运算解决程序计算题的关键就是弄清楚题图给出
的计算程序，根据程序列出算式解答即可．
1．如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为﹣1时，输出的数值为 ．
2．（2023秋•蓝山县期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值为﹣2，则输出的结果为 ．
3．（2023秋•潮州期末）如图是一个计算程序，若输入a的值为﹣1，则输出的结果b为（ ）
A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6
4．（2023春•承德期末）根据图所示的程序计算，若输入 x的值为2，则输出y的值为 ；若输入x
的值为﹣1，则输出y的值为 ．5．按照以下程序图输入x的值为﹣3，则输出的y值为 ．
6．（2023•襄阳模拟）按照如图所示的计算程序，若输入结果是﹣3，则输出的结果是 ．
7．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的 x为﹣2时，最后输出
的结果y是 ．8．（2023秋•朝阳区月考）如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的 x
为﹣2时，最后输出的结果y是 ．
9．按如图所示的程序进行计算，如果把第一次输入的数是 18；而结果不大于100时，就把结果作为输入
的数再进行第二次运算，直到符合要求为止，则最后输出的结果为（ ）
A．72 B．144 C．288 D．576
题型三 含乘方的新定义运算问题
解题技巧提炼
新定义运算问题主要是运用题目中所给的新定义的运算方式进行计算即可，注意
计算时的运算顺序，也是对有理数的混合运算的考查.
1．（2024•泸县二模）从n个不同元素中取出m个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取
出m个元素的组合数，用符号 表示．已知“!”是一种数学运算符号，且1!＝1，2!＝2×1＝2，3!＝
Cm
n
n!
3×2×1＝6，4!＝4×3×2×1＝24…，若公式Cm= （n≥m，m，n 为正整数），则C5为
n m!(n−m)! 7（ ）
A．21 B．35 C．42 D．70
2．（2024•甘肃）定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn﹣mn（m，n均为整数，且m≠0）．例：
2*3＝23﹣2×3＝2，则（﹣2）*2＝ ．
3．（2024•杭锦后旗模拟）我们规定：x y＝（x+2）2﹣y，例如：3 5＝（3+2）2﹣5＝20，则1 （﹣
2）的值为（ ） ⊗ ⊗ ⊗
A．4 B．7 C．8 D．11
4．（2023秋•重庆期末）定义一种新运算：a※b＝b2﹣ab，则（﹣2）※（﹣1）的是（ ）
A．﹣1 B．1 C．3 D．2
5．（2023秋•潢川县校级期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2a，则
3*（﹣2）＝ ．
6．用“☆”定义一种新运算：对任意给定的两个有理数 a，b，有 a☆b＝3ab2+2ab+a，如：1☆3＝
3×1×32+2×1×3+1，则（﹣2）☆3＝ ．
7．（2023秋•肥城市期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数 x和y，x☆y＝a2x+ay+1（a为常
数），如：2☆3＝a2•2+a•3+1＝2a2+3a+1．若1☆2＝3，则3☆6的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．13
8．（2024•新华区校级三模）刘谦的魔术表演风靡全国，嘉琪也学刘谦发明了一个魔术盒，当数对（a，
b）（a，b为有理数）进入其中时，会得到一个新的有理数：a2+2b+1，例如把（1，2）放入其中，就
会得到12+2×2+1＝6．
（1）把（﹣1，﹣2）放入其中，求得到的新有理数．
（2）若把（﹣2，﹣n）放入其中，得到的新有理数为﹣1，则求n的值．
9．规定一种新运算法则：a※b＝ab﹣2a+b2.例如：1※2＝1×2﹣2×1+22＝4．请用上述运算法则回答下列
问题．
（1）求3※（﹣1）的值；
1
（2）求（﹣4）※（ ※2）的值；
2（3）若m※5的值为40，求m的值．
10．（2023秋•朝阳区校级期中）探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
（+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]；
（﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]；
0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2．
0*0＝02+02＝0
（1）归纳*运算的法则：
两数进行*运算时， ．（文字语言或符号语言均可）特别地，
0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算， ．
（2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝ ．
（3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理
由．
题型四 含乘方的探究规律题
解题技巧提炼
乘方运算中的数或数列呈现一定的规律性，可以从符号和绝对值两个方面考虑数
的变化规律，由特殊到一般，由得到的规律来解决问题．
1．（2023秋•淮南期末）观察下面三行数．﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…
﹣1，5，﹣7，17，﹣31，…
﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…
（1）求第一行的第n个数；（n为正整数）
（2）求第二行的第6个数、第三行的第7个数；
（3）取每一行的第k个数，这三个数的和能否是﹣127？若能，求出k的值，若不能，请说明理由．
2．观察下列等式，找出规律然后在空格处填上具体的数字．
1+3＝4＝22，
1+3+5＝9＝32，
1+3+5+7＝16＝42，
1+3+5+7+9＝25＝52，
根据规律填空1+3+5+7+9+…+2021＝ ．
3．观察下面三行数：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ①
0，6，﹣6，18，﹣30，66，…； ②
﹣2，1，﹣5，7，﹣17，31，…． ③
（1）按第①行数的规律，分别写出第7和第8个数；
（2）请你分别写出第②③行的第7个数；
（3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和．
4．观察下面三行数：
﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，…；
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…；﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，…．
（1）第一行第十个数是 ；
（2）第二行第n个数是（n为正整数）；
（3）取每行的第十个数，计算这三个数的和．
5．观察下列运算过程：
S＝1+3+32+33+…+32016+32017，①
①×3，得3S＝3+32+33+…+32017+32018，②
32018−1
②﹣①，得2S＝32018﹣1，S= ．
2
用上面的方法计算：1+5+52+53+…+52017．
6．（2024春•邗江区期中）（ 1）填空：31﹣30＝3（ ㅤ ）×2；32﹣31＝3（ ㅤㅤ ）×2；
33﹣32＝3（
ㅤㅤ
）×2；
（2）探寻（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立；
（3）计算：30+31+32+…+32024．
1 1 1
7．已知13＝1= ×12×22，13+23＝9= ×22×32，13+23+33＝36= ×32×42，…，按照这个规律完成下列问
4 4 4
题：
1
（1）13+23+33+43+53＝ = × 2× 2．
4
1
（2）猜想：13+23+33+…+n3＝ × ．
4（3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403．
8．（2023秋•永定区期中）观察下面算式的演算过程：
1 1×3+1 4 22
1+ = = = ；
1×3 1×3 1×3 1×3
1 2×4+1 9 32
1+ = = = ；
2×4 2×4 2×4 2×4
1 3×5+1 16 42
1+ = = = ；
3×5 3×5 3×5 3×5
1 4×6+1 25 52
1+ = = = ．
4×6 4×6 4×6 4×6
…
（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：
1 62
1+ = ；
5×7 5×7
1 72
1+ = ；
6×8 6×8
1 1 (2n+1) 2 ．（n为正整数）
+ =
2n×(2n+2) 2n(2n+2)
1 1 1 1 1
（2）根据规律计算：（1+ ）×（1+ ）×（1+ ）×（1+ ）×…×（1+ ）×
1×3 2×4 3×5 4×6 98×100
1
（1+ ）．
99×101
9．【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．
例如2÷2÷2，记作2③，读作“2的圈3次方”；再例如（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3），记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”；
一般地，把a÷a÷a÷⋯÷a（a≠0，n为大于等于2的整数）记作aⓝ，记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
¿
【初步探究】
1
（1）直接写出计算结果：2③＝ ，（− ）⑤＝ ；
2
（2）关于除方，下列说法错误的是 ；
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何大于等于2的整数c，1的圈c次方＝1；
C．7⑨＝8⑧；
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算
如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方的形式．
1
（﹣3）④＝ ；5⑥＝ ；（− ）⑩＝ ．
2
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成乘方的形式等于 ．
1 1 1 1
（3）算一算122÷（− ）④×（− ）⑧﹣（ ）⑳×（− ）19．
3 2 3 3
题型五 “24 点”游戏解题技巧提炼
技巧1:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之积:
3×8=24，4×6=24，2×12=24；
技巧2:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之和:
21+3=24，20 +4=24，18+6=24，16+8=24，15+9=24，14+10=24；
技巧3:将给定的四张牌面上的数字凑成两数之差:
25-1=24，30−6=24，27−3=24，35−11=24，28−4=24，36−12=24.
1．（2023秋•栖霞市期中）小新玩“24点”游戏，游戏规则是对数进行加、减、乘、除混合运算（每张卡
片只能用一次，可以加括号）使得运算结果是24或﹣24．小新已经抽到前3张卡片上的数字分别是﹣
1，5，8，若再从下列4张中抽出1张，则其中不能与前3张算出“24点”的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023秋•宁远县期中）“算24点”的游戏规则是：用“+﹣×÷”四种运算符号把给出的4个数字连接
起来进行计算，要求最终算出的结果是24．例如，给出2，2，2，8这四个数，可以列式（2÷2+2）×8
＝24．以下的4个数用“+﹣×÷”四种运算符号不能算出结果为24的是（ ）
A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8
3．有一次小明在做24点游戏时抽到的四张牌分别是7、7、1、2，每张牌只能用一次，可以用加、减、乘、
除等运算，请写出一个成功的算式： ＝24．
4．（2023秋•顺德区校级月考）在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，﹣6，3，10，运用所学过的
有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是 （写出一种即可，每个数字都要
用到并且只能用一次）．
5．（2023秋•山亭区期末）有一种24点的游戏，游戏规则是：任取四个1～13之间的自然数，将这四个
数（每个数只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于 24，例如对1、2、3、4可做运算：
（1+2+3）×4＝24．现有四个有理数7，﹣2，3，﹣4，运用上述规则写出算式，使其运算结果等于24，
你的算式是 ．
6．（2023秋•长安区期末）嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52
张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用
一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为 24 的算式
．7．（2023秋•成华区校级期中）你会玩“24点”游戏吗？从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，
根据牌面上的数字进行混合运算（每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为
24或﹣24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数．J、Q、K、A分别代表11、12、13、1，
小明抽到了黑桃3，方块4，红桃6，梅花10，他运用下面的方法凑成了：3×{10﹣[﹣4﹣（﹣6）]}＝
24．（提示数2，数3可列23＝8或32＝9）
（1）如果抽到的是红心2，黑桃3，方块3，梅花6，你能凑成24吗？
（2）如果抽到的是黑桃A，方块2，黑桃2，黑桃3，你能凑成24吗？
（3）如果抽到的是黑桃5，黑桃A，梅花5，方块5，你能凑成24吗？
8．（2023秋•连江县期中）有一种“24点”的游戏，其规则是：任取4个数，将这4个数（每个数只能用
一次）进行加、减、乘、除混合运算，使其结果为24．例如：1，2，3，4，做运算（1+2+3）×4＝24．
（1）现有4个有理数：2、4、10、7，根据上述规则，请你写出2种不同的列式方法，使其结果等于
24；
（2）将﹣12，﹣6，4，8这4个有理数列成一个算式，使得计算结果为24（写出一种即可）．
9．（2023秋•长安区校级期中）小明有如图所示的5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成
下列各问题．
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，并求这个最大值；
（2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，并求这个最小值；
（3）算24点游戏：从中取出4张卡片，用学过的“+，﹣，×，÷”运算，使计算结果为24．请写出2个运算式并进行计算．
