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专题18.9 三角形的中位线（分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·全国·八年级竞赛）如图，在 中， 平分 交于点 ，点 为边
的中点，已知 ，那么 的周长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·四川宜宾·九年级统考期末）如图， 是 的中位线， 的平分线交 于点
F，连接 并延长交 于G，若 ， ，则 的长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）如图，在平行四边形 中， ， ，
，点 、 分别是边 、 上的动点．连接 ，点 为 的中点，点 为 的中点，
连接 ．则 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）如图，在 中， ，点E是 的中点，
点F是 内一点，且 是 ，连接 并延长，交 于点G．若 ，则 的长为
（ ）A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图， 是 的中位线， 是 的中点， 的延长
线交 于点 ，若 的面积为2，则 的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．9
6．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）如图， 是 的中线，E是 的中点，F是 延长
线与 的交点，若 ，则 （ ）
A．3 B．2 C． D．
7．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以点 ， 为
圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于 ， 两点， 和 交于点 ；②以点 为圆心，
长为半径画弧，交 于点 ；③分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，
连接 ， 和 相交于点 ，连接 ．若 ， ，则 的长为（ ）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
8．（2024上·山东淄博·九年级统考期末）如图，点A，B为定点，定直线 ， 是 上一动点，点
M，N分别为 的中点，下列各值：①线段 的长；② 的周长；③ 的面积；④四边形
的面积；⑤ 的大小．其中随点P的移动而不变的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①③④
9．（2024下·全国·八年级专题练习）已知：四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的
中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5 B．1＜MN≤5 C． ＜MN＜ D． ＜MN≤
10．（2024上·甘肃天水·九年级统考期末）如图，已知△ABC面积为1，连接△ABC三边的中点构成
第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，则第2022个三角形的面积是
（ ）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，在 中， 分别是 的中点，P是
上任意一点， 的面积为S，那么 面积为 ．
12．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）如图，已知 ， ， ，
垂足为 ，点 分别是 的中点．若 ，则 的长为 ．
13．（2024·全国·八年级竞赛）如图，在 中， ， ， ，若
， ， 则 的长度为 ．14．（2024上·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校联考阶段练习）如图， 中，
， ， ，点 为 边上的中点，将 沿 对折，使点 落在同一平面内的点
处，连接 ，则 的长为 ．
15．（2024·全国·八年级竞赛）如图， 和 均是等边三角形，点D、E、F分别是 三
边的中点，点P在 边上，连接 ．若 ， ，则 ．
16．（2024上·山东泰安·八年级统考期末）如图，已知四边形 中， ，
点 分别是边 的中点，连接 ，则 的长是 ．
17．（2024上·山东淄博·八年级统考期末）如图，在平行四边形 中，点E、F分别是边的中点，连接 ，G、H分别是 的中点，连接 ，若 ， ， ，
则 ．
18．（2024上·浙江宁波·八年级校考期末）在 中， ， ， ，点 在边
上运动（不与 重合），以 为边向 外作正 ，如图，过点 作射线垂直于线段 ，
为射线上一动点，取 中点 ，连结 ，则 的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·福建泉州·八年级校考期中）图，已知以 的边 、 分别向外作等腰
与等腰 ，其中 ，连接 、 ， 和 相交于点O．
（1）求证： ； （2）求 的大小；
（3）连接 ，取 的中点F，再连接 ，猜想 与 的关系，并证明．
20．（8分）（2021下·湖北武汉·八年级校考阶段练习）在 中， ，分别以 、
为斜边，向 的内侧作等腰 、等腰 ，点M是 的中点，连接 ．
（1）若 ， ，求 的长．
（2）试探求线段 、 和 的数量关系，并证明你的结论．21．（10分）（2024上·浙江温州·八年级校联考期中）如图， 和 都是等腰直角三角形，
，点E，F分别在射线 ， 上， ，点M为 的中点，点P在 上，
， ，
（1）当点E在 的延长线上，证明 ；
（2）当 为直角三角形，求 的长
（3）直接写出 的最小值_____________．
22．（10分）（2024上·山东济宁·八年级济宁学院附属中学校考期末）【回归课本】
鲁教版初中数学八上教材第137﹣138页探索并证明了三角形中位线定理这个重要命题，请用文字语言
表述三角形中位线定理： ．
【回顾证法】
证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．图2是其中一种辅助线的添加方法．
已知：如图1， 是 的中位线．（请结合图2，补全求证及证明过程）
求证： ．
证明：
【实践应用】
如图3，B，C两地被池塘隔开，在没有任何测量工具的情况下，小明通过下面的方法测出了B，C间
的距离：先在直线 外选一点A，连接 ， ，然后步测出 ， 的中点D，E，并测出 的长
度为12米，则B，C两点间的距离为 米．
【深入探究】
如图4，DE是 的中位线， 是 边上的中线． 与 是否互相平分？请证明你的结论．
23．（10分）（2023上·广东广州·八年级广州四十七中校考期中）如图（1）， 于点C，点E
在线段 上，且 ， ，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）如图（2）连接 ，O为线段 中点，过点C作 于点F，连接 ，
①连接 ，求证： ；
②求 的大小．
（3）在第（2）的条件下延长 交 于点H，判断线段 与线段 的数量关系，并说明理由．24．（12分）（2024上·四川成都·八年级统考期末）【阅读理解】
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
该定理可以通过以下方法进行证明．
已知：如图1，在 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接 ．
求证： ， ．
证明：建立如图2所示的平面直角坐标系 ，其中点 与原点 重合，点 在 轴正半轴上，则点
．
设 ， ，
点 ， 分别是 ， 的中点，点 的坐标为①，点 的坐标为②．
点 和点 的③坐标相同，
轴．即 ．
又由点 和 的坐标可得 的长为④．
．
请完善以上证明过程，并按照番号顺序将相应内容填写在下列横线上：
① ；② ；③ ；④ ．
【联系拓展】
如图3，在 中， ， 是线段 上的动点（点 不与 ， 重合），将射线 绕
点 顺时针旋转 得到射线 ，过 作 于点 ，点 是线段 的中点，连接 ．
（1）若 ， ， ，求 的长；
（2）请探究线段 与 之间满足的数量关系．参考答案：
1．A
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相关性质定理，准确添加辅助
线是解题关键．
延长 交 于点F，利用全等三角形的判定和性质求得 的长，根据三角形中位线定理求得
的长，进而求得 的长，从而可求三角形周长．
解：延长 交 于点F，
∵ 平分 交于点 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 为边 的中点，
∴
∴ ，
∴ 的周长为
故选：A．
2．B
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第
三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据中位线性质求出 ， ，根据等腰三
角形的性质与判定求出 ，再求出 的长，最后可得答案．
解：∵ 是 的中位线，∴ ，
∵ 是 的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
3．D
【分析】如图，取 的中点M，连接 、 、 ，作 于N．首先证明 ，
求出 ， ，利用三角形中位线定理，可知 ，求出 的最小值即可解决问题．
解：如图，取 的中点M，连接 、 、 ，作 于N．
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
∵垂线段最短，
∴当点G在点N时， 的最小，即 的最小值为 的长，此时 也最小，
∴ 最小值为 ， 的最小值为 ．
故选：D．
【点拨】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形
的性质、垂线段最短，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明 ，
属于中考选择题中的压轴题．
4．B
【分析】延长 交 的延长线于H，可证 是 的中位线，由中垂线的性质可得 ，
可求 ，由“ ”可证 ，可得 ，根据线段的和差可求解．
解：如图，延长 交 的延长线于H，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵E是边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ 是 的中垂线，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，线段垂
直平分线的性质，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
5．B
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定、三角形的面积计算，正确作出辅助线、
证明 是解题的关键．过点 作 交 于 ，证明 ，根据全等三角形
的性质得到 ，计算即可．
解：过点 作 交 于 ，
则 ，
在 和 中，
，
，
， ，
， 是 的中点，，
，
的面积为2
的面积为6，
故选： ．
6．B
【分析】 的中点H，连接 ，根据三角形中位线定理得到 ， ，证明
，根据全等三角形的性质得到，计算即可．
解：取 的中点H，连接 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故选：B．
【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
7．A
【分析】本题考查作图 基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，利用三角
形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解．
解：由作图可知 垂直平分线段 ， 平分 ， ，
， ，
，
， ，
，
．
故选：A．
8．D
【分析】根据三角形的中位线定理，三角形的周长公式，面积公式，逐一进行判断即可．
解：∵点M，N分别为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵点A，B为定点，
∴ 的长为定值，
∴ 的长为定值，故①正确；
∵ 的周长为 ，
∵ 是 上一动点，
∴ 不是定值，
∴ 的周长不是定值，故②错误；
∵ ，∴ ，
∴ 点到 的距离不变，
∵ 的长为定值，
∴ 的面积等于 乘以 点到 的距离，为定值，故③正确；
∵同理可得： 的面积为定值，
∴四边形 的面积等于 的面积减去 的面积，为定值；故④正确；
∵ 是 上一动点，
∴ 的大小随着点P的移动而变化；故⑤错误．
综上，正确的是①③④，
故选D．
【点拨】本题考查三角形的中位线定理，平行线间的距离，三角形的面积公式．熟练掌握相关知识点，
是解题的关键．
9．D
【分析】当AB∥CD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位
线及三边关系可得MN的其他取值范围．
解：连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．
∵M是边AD的中点，AB=2，MG∥AB，
∴MG是 ABD的中位线，BG=GD，MG= AB= ×2=1；
△
∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3，
∴NG是 BCD的中位线，NG= CD= ×3= ，
△
在 MNG中，由三角形三边关系可知MG-NG＜MN＜MG+NG，即 -1＜MN＜ +1，
△
∴ ＜MN＜ ，
当MN=MG+NG，即MN= 时，四边形ABCD是梯形，
故线段MN长的取值范围是 ＜MN≤ ．
故选D．【点拨】此题主要考查了三角形的中位线，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形的中
位线定理和三角形的三边关系求解.
10．D
【分析】根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对应的边的长度的 ，所以新
三角形面积是前一个三角形的 ．
解：△ABC面积为1，因为每条中位线均为其对应边的长度的 ，所以：
第2个三角形对应面积为 =（ ）2；
第3个三角形对应的面积为 × =（ ）4；
第4个三角形对应的面积为 × × ＝（ ）6；
……
以此类推，第n个三角形对应的面积为（ ）2n-2（n≥2），
所以第2022个三角形对应的面积为（ ）2×2022-2=（ ）4042= ．
故选：D．
【点拨】本题考查了中位线定理，解题关键是找出每一个新的三角形面积是上一个三角形面积的 的
规律，进行分析解决题目．
11．
【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积，解题的关键是利用中位线定理，证得 是
的一半， 是 的一半．作 于 ，交 于 ，根据三角形中位线定理得出，进而证得 ，然后利用三角形面积公式即可求得 ，即可求
解．
解：如图，作 于 ，交 于 ，
∵ 、 分别是 、 的中点，
，
的面积为S，
面积为 ，
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查求线段长，涉及平行四边形性质、等腰直角三角形的判定与性质、含 的直角三
角形性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质等知识，证明 是等腰直角三角形，得出
，由勾股定理结合含 角的直角三角形的性质得出 ，最后再由三角形中位线定
理即可得出答案，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键．
解：在 ， ，则 ，
， ，
在 中，由等腰直角三角形性质得到 ，在 ，则 ，
在 中， ，设 ，则 ，解得 ，
，
点 分别是 的中点，
是 的中位线，则 ，
故答案为： ．
13．
【分析】此题考查了中位线性质定理，等腰三角形的判定与性质和勾股定理，延长 交 于点 ，
证明 ，从而有 ， 是 的中位线，再根据等腰三角形的性质与判定得出
，最后由勾股定理即可求解，解题的关键是是熟练掌握以上知识点的应用．
解：如图，延长 交 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的中位线，即点 是 的中点，即 是 的中线，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
故答案为： ．14．7.2/ /
【分析】本题主要考查了翻折变换、勾股定理、三角形中位线定理等知识，连接 ，利用勾股定理
可求 的长度是本题的关键．由折叠的性质可得 ， ，由勾股定理可求 ， 的长，
结合三角形中位线的性质即可求 的长度．
解：连接 ，如下图，
∵将 沿 对折，使点 落在同一平面内的点 处，
∴ ， ，
∵点 为 边上的中点，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 为 的中位线，
∴ ．
故答案为：7.2．
15．3
【分析】连接 ，利用等边三角形的性质、三角形中位线的性质、平行线的性质等知识，找到条件，
即可证明 ，即可得到答案．
此题主要考查了等边三角形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定等知识，证明是解题的关键．
解：如图，连接 ，
∵点D、E、F分别是 三边的中点，
∴ ， ，
∵ 和 均是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3
16．
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的
关键．取 的中点G，连接 ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出
，并求出 ，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
解：如图，取 的中点G，连接 ，∵E、F分别是边 的中点，G是 的中点，
∴ 分别是 的中位线，
∴ 且 ， 且 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
17．
【分析】连接 并延长交 于P，连接 ，根据平行四边形的性质得 ，证明
，根据全等三角形的性质得到 ， ，根据勾股定理，含30度角的直角三角
形的性质和三角形的中位线定理即可得到结论．
解：如图，连接 并延长交 于P，连接 ，过点E作 交 的延长线于点K，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点E、F分别是边 的中点， ， ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点G是 的中点， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，
含30度角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质．作
，取 的中点 ，连接 ，证明点 在 的垂直平分线上，推出 在同一直线上，当 时， 取得最小值；利用直角三角形的性质求得 ，据此求解即可．
解：作 ，取 的中点 ，连接 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点 在 的垂直平分线上，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是正三角形，
∴ ，点 在 的垂直平分线上， ，
∴ 在同一直线上，
∴当 时， 取得最小值，此时 ，
∴ ，
∴ ，由勾股定理得 ，
故答案为： ．
19．（1）见分析；（2） ；（3） ，
【分析】（1）根据 与 为等腰三角形，有边和角相等的关系，利用角度变换即可证明
，则有 成立；
（2）根据上问可得 ，再由直角三角形得， ，通过角度代换即可求
得答案．
（3）延长 至G使 ，连接 ，首先判断出 ，得到
，利用平行线性质得同旁内角得 ，周角定义得
，进一步得到 得 ，有 得数量关系；
延长 交 于点H， 由 得 ，由平角定义得 ，则有
垂直．
解：（1）证明：∵ 与 为等腰三角形，
∴ ， ，
∴ 得
在 和 中，
∴ ，
则
（2）由 得 ，
∵ 为等腰三角形，
∴ ，
则
．
（3）延长 至G使 ，连接 ，如图，∵点F为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
延长 交 于点H，
由 得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
则 ，
综上所述， ， ．
【点拨】本题主要考查等腰直角三角形性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，解题
的关键为利用倍长中线法构造出全等三角形．
20．（1） ；（2） 见分析
【分析】（1）根据勾股定理求得 ， ，计算线段的差即可得到 的长．
（2）延长 ，交 于点N，证明 ，得到 ， ， 是
的中位线，利用中位线定理证明即可．
解：（1）∵ ， ， 都是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
故A，D，E三点共线，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
（2）线段 、 和 的数量关系为 ．理由如下：
如图，延长 ，交 于点N，
∵ ，∴ ，
∴ ， ，
+
∵点M是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴
∴线段 、 和 的数量关系为 ．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理的应用，
勾股定理，熟练掌握中位线定理和勾股定理是解题的关键．
21．（1）见详解；（2） 或者 ；（3）
【分析】（1）先证明四边形 是正方形，即 ，再证明 ，问
题得解；
（2）当 为直角三角形，且 时，先证明 是 的中位线，问题随之得解；当
为直角三角形，且 时，连接 ， ，先证明 是等腰直角三角形，即可得
垂直平分 ，再证明 、 共线，则有 垂直平分 ，进而可得 ，设 ，则
， ，在 中，根据 ，可得
，解方程即可求解；
（3）当点E在线段 上时，设 、 交于点G，过E点作 ，交 于点H，先证
明 ，即可得点G与点M重合，同理可证：当点E在线段 的延长线上时，可得点M在线
段 上，再根据垂线段最短即可求解．
解：（1）∵ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，∵ ，
∴四边形 是正方形，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）当 为直角三角形，且 时，如图，
∵ ，
∴ ，
∵点M为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当 为直角三角形，且 时，连接 ， ，如图，∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵点M为 的中点，
∴ ， ，
∴ 垂直平分 ，
∵ ，
∴ ，
∴ 、 共线，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
解得： ，
即此时， ，
综上： 为直角三角形， 为 或者 ；（3）当点E在线段 上时，
设 、 交于点G，过E点作 ，交 于点H，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点G为 中点，
∵点M为 的中点，，
∴点G与点M重合，
∴点M在线段 上，
同理可证：当点E在线段 的延长线上时，点M在线段 上，
根据垂线段最短可知：当 时， 有最小值，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ 有最小值为 ．
【点拨】本题考查了正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的判
定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，画出图形，分类讨论，灵活运用考点知识，是解答本题的关
键．
22．【回归课本】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 【回顾证法】见分析
【实践应用】 【深入探究】平分，见分析
【分析】回归课本：由三角形的中位线定理可知，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的
一半，于是得到问题的答案；
回顾证法：作 交 的延长线于点 ，则 ，可证明 ，可以得到四边
形BCFD是平行四边形，则 且 ，即可得到结论；
实践应用：连接 ，由三角形的中位线定理得 ，则 米，于是得到问题的答
案；
深入探究：连接 ，设 交 于点 ，由 是 的中位线， 是 边上的中线， 所以
分别是 的中点，则 ，且 ，所以
，可证明 ，得 ，所以 与 互相平分.
解：回归课本： 由三角形的中位线定理可知，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一
半，
故答案为：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
回顾证法：已知: 如图 , 是 的中位线．
求证： 且 ．
证明: 如图 ，作 交 的延长线于点 ，则 ，
∵ 是 的中位线，
∴ ，
在 和 中,，
∴ ，
∴ ，
∴ , 且 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，且 ，
∴ ，且 ，
故答案为: , 且 ；
实践应用：如图 ，连接 ，
∵ 分别为 的中点，
，
米，
（米），
∴ 两点间的距离是 米,
故答案为: ；
深入探究： 与 互相平分，
证明: 如图 ，连接 , 设 交 于点 ，∵ 是 的中位线， 是 边上的中线，
∴ 分别是 的中点，
且 ,
，
在 和 中,
，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 互相平分．
【点拨】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质、三角形
的中位线定理的证明与应用等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．（1）证明过程见分析；（2）①证明过程见分析；② ；（3） ，理由见分析
【分析】（1）根据垂线的定义求得 ，再利用“ ”证明 ，即可
得出结论；
（2）①由（1）可得 ，根据等腰直角三角形的判定与性质可得 ，即可
得出结论；
②取 的中点G，连接 ， ，根据三角形中位线定理可得 ，即 ，
，再根据四边形 的内角和是 ，可得 ，即可求解；
（3）过点C作 于点M，证明 ，可得 ， ，
，从而可证 是等腰直角三角形，可得 ，再由 ，可得点
O、F、M三点共线，即可求解．
解：（1）证明：∵ ，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解：①由（1）可得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵O为线段 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②取 的中点G，连接 ， ，
∵点O是 的中点，点G是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵四边形 的内角和是 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解： ，理由如下：过点C作 于点M，
由（1）可得， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴点O、F、M三点共线，
∴M点即是H点，
∴ ．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线定理、四
边形内角和，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．[阅读理解] ① ；② ；③纵；④ ；[联系拓展]（1）见分析；（2）【分析】本题考查了几何图形的变换，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线，中点坐标公式，
关键是构造三角形的中位线．
[阅读理解]
点 ， 分别是 ， 的中点，根据中点坐标公式可求中点坐标，完成填空．
[联系拓展]
（1）连结 ， 是等边三角形，证明 ， ， 三点共线， 是 的中位线，可求
的长是 的一半．
（2）在射线 上截取 ，连结 ， ． 是 的中位线， ，再证
， ，可得 与 的关系．
解：[阅读理解]
① 是 的中点， ， ，
．
② ， ， 是 的中点，
．
③点 和点 的纵坐标相同．
④ ．
故答案为：① ；② ；③纵；④ ．
[联系拓展]
（1） 是 的中点， ，
，
，
，
．
，， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
， ， 三点在同一直线上， 为 的中点．
为 的中点，
是 的中位线，
．
，
，
．
（2）在射线 上截取 ，连结 ， ．
， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
，
， ，
，
．
，
，，
，
， ，
．
，
．
