文档内容
七年级上册数学《第 2 章有理数及其运算》
2.4 有理数的乘方
有理数的乘方的意义
知识点一
★有理数乘方的定义：求 n 个相同因数积的运算，叫做乘方．一般地，n 个相同的数 a 相乘，
简记为 ，即 .乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫
做指数．an读作a的n次方，也可以读作a的n次幂．（将an看作是a的n次方的结果时）
【注意】
（1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，5就是51 ，指数1通常省略不写.
（2）指数是2时读作平方（或二次方），指数是3时读作立方（或三次方）.
（3）指数n是正整数，底数a可以是任意有理数.
有理数的乘方的运算
知识点二
★1、乘方运算的符号法则：
（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（2）正数的任何正整数次幂都是正数，
0 的任何正整数次幂都是 0.
★2、有理数的乘方运算
计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值.有相反意义的量就可以用负数表示．
★3、底数为互为相反数的两个数（≠0）的幂的关系：
(1)互为相反数的两个非零数的同偶次幂相等，
即若a+b=0，则a2n=b2n (n为正整数，a≠0，b≠0).
(2)互为相反数的两个非零数的同奇次幂仍然互为相反数，
即若a+b=0，则a2n−1 +b2n−1=0(n为正整数，a≠0，b≠0)
（注：若n为正整数，则通常用2n表示整数，2n﹣1表示奇数）
科学记数法
知识点三
★1、科学记数法—表示较大的数
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，
这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此
规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是
前面多一个负号．
（3）小于−10 的数也可以用科学记数法表示，只是多了一个负号：记作−a×10 n,其中−10＜−a≤−1.
★2、科学记数法—原数
（1）科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把 a的小数点向右移动n位所得到的
数．
（2）把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科
学记数法表示一个数是否正确的方法．题型一 有理数乘方的概念
解题技巧提炼
有理数乘方的定义：求 n 个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做
幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n
次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）
1．（2024•河南）计算（
a⋅a⋅⋯⋅a
）3的结果是（ ）
¿
A．a5 B．a6 C．aa+3 D．a3a
2．（2024•丛台区校级四模）计算 3+3+3+⋯+3+4×4×4×⋯×4 的结果是（ ）
¿ ¿
A．3m+4ⁿ B．m3+4n C．3m+4n D．3m+n4
3．（2024春•肇源县校级月考）﹣43的意义是（ ）A．3个﹣4相乘 B．3个﹣4相加
C．﹣4乘3 D．43的相反数
4．（2023秋•胶州市校级月考）比较﹣33与（﹣3）3，下列说法正确的是（ ）
A．它们的底数相同，指数也相同
B．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
C．它们底数相同，但指数不相同
D．虽然他们底数不同，但是运算结果相同
5．（2023秋•长清区期中）下列说法正确的是（ ）
A．23表示2×3
B．﹣22与（﹣2）2互为相反数
C．（﹣2）2中﹣2是底数，2是幂
D．a3＝（﹣a）3
1 3
6．（2024春•南岗区校级月考）有理数（﹣1）2、﹣24、−( ) 、0、﹣|﹣3|、﹣（﹣5）中正数有
2
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．设n是一个正整数，则10n是（ ）
A．10个n相乘所得的积 B．一个（n﹣1）位整数
C．一个n位整数 D．一个1后面有n个0的数
¿
8．（2023•许昌一模）计算
2×2×⋯×2
=（ ）
3+3+3+⋯+3
¿
2m 2m 2m m2
A． B． C． D．
3n 3n n3 3n
9．（2022秋•怀仁市校级期末）设a是任意有理数，下列说法正确的是（ ）
A．（a+1）2的值总是正的 B．a2+1的值总是正的
C．﹣（a+1）2的值总是负的 D．a2+1的值中，最大值是1
题型二 有理数的乘方运算解题技巧提炼
1、有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然
后再计算幂的绝对值；
乘方的符号法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶
2、
次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．
1．（2024•天长市三模）﹣12024等于（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2024 D．2024
3
2．（2024•九龙坡区自主招生）计算：−(− ) 2=（ ）
2
9 9 9 9
A． B．− C． D．−
2 2 4 4
3．（2024春•浦东新区校级期中）下列各数中，数值相等的是（ ）
A．23和32 B．（﹣3）4和﹣34
C．（﹣4）3和﹣43 D．|﹣2|7和（﹣2）7
4．（2024•邯郸三模）若34×34×34＝3m，43+43+43+43＝4n，则m﹣n的值为（ ）
A．﹣5 B．0 C．3 D．8
5．（2024春•香坊区校级月考）下列计算正确的是（ ）
2 2 4
A．(− ) = B．33＝3×3＝9
3 3
C．﹣22＝﹣2×（﹣2）＝4 D．﹣13＝﹣1
1 1 1
6．若a＝﹣2×（ ）2，b＝（﹣2× ）2，c＝﹣（2× ）2，则下列大小关系中正确的是（ ）
3 3 3
A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．c＞a＞b
1
7．（2024春•姜堰区期中）若(−4) a=− ，则a＝ ．
64
8．（2024•岳阳楼区开学）（﹣2）4的相反数是 ．
9．（2023秋•碑林区校级期末）计算：
（1）（﹣5）4；
23
（2）− ；
5
（3）﹣（﹣0.3）3．
题型三 非负数的性质：偶次方解题技巧提炼
偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相
加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
1．（2024•德宏州模拟）若|m+3|+（n﹣2）2＝0，则m+n的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
2．（2023秋•隆阳区期末）如果实数a，b满足（a-2）2+|b﹣3|＝0，那么ba等于（ ）
1 1
A． B．− C．﹣9 D．9
9 9
3．（2024•雨花台区模拟）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣2|＝0，则（a+b）2024的值是（ ）
A．﹣2024 B．0 C．1 D．2024
4．（2024春•道里区校级月考）|y﹣2|+（x+3）2＝0，则xy的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．5 D．﹣5
5．（2024春•东坡区期末）若|m|＝3，n2＝4，且|m﹣n|＝n﹣m，则m+n的值为（ ）
A．﹣1 B．﹣1或5 C．1或﹣5 D．﹣1或﹣5
6．（2024春•从江县校级月考）若a2＝16，|b|＝5有意义，则a+b所有的可能值是（ ）
A．﹣1 B．﹣1或﹣9 C．1或9 D．±1或±9
7．（2023秋•瑶海区期中）若|a|＝7，b2＝4，且|a﹣b|＝|a|+|b|，则a+b的值为 ．
8．（2022秋•梁平区期中）若有理数x，y满足x2＝64，|y|＝2．
（1）求x、y的值；
（2）若x＞y，求x+y的值．
9．（2023秋•赣州期末）请根据图示的对话解答下列问题．（1）a＝ ，b＝ ．
（2）已知|m﹣a|+（b+n）2＝0，求mn的值．
10 ． 如 果 有 理 数 a 、 b 满 足 |ab﹣ 2|+ （ 1﹣ b ） 2 ＝ 0 ， 试 求
1 1 1 1
+ + +⋯+ 的值．
ab (a+1)(b+1) (a+2)(b+2) (a+2017)(b+2017)
题型四 乘方与相反数、倒数、绝对值等的综合
解题技巧提炼
1、互为相反数的两个数的偶次幂相等、奇次幂仍互为相反数；
2、相反数是它本身的数是0；
3、倒数等于它本身的数是1和﹣1；
4、绝对值和偶次方都具有非负性.
1．下列各数中，互为相反数的是（ ）
1
A．|﹣1|和1 B．﹣3和﹣（﹣2） C．（﹣2）2和﹣22 D．﹣3和
3a+b
2．已知a、b互为相反数，e的绝对值为3，m与n互为倒数，则 +e2−9mn的值为（ ）
3
A．1 B．3 C．0 D．无法确定
3．（2023春•梁山县期中）已知|x|＝2，y2＝9，且x＞y，求x+y的值.
4．已知：|a|＝3，|b|＝2，且a＜b，求（a+b）3的值．
5．（2023秋•东西湖区期中）已知|a﹣2|＝3，（b﹣2）2＝1，且ab＜0，求a+b的值．
6．已知a是绝对值最小的有理数，b是倒数等于本身的数，c的平方等于4，求a+b+c的值．
7．已知（x+3）2与|y﹣2|互为相反数，z是绝对值最小的有理数，求（x+y）y+xyz的值．8．（2023秋•井研县期末）已知|a|＝5，b2＝9，解答下列问题：
（1）由|a|＝5，b2＝9，可得a＝ ，b＝ ．
（2）若ab＜0，求|a+b|的值．
9．（2023秋•双辽市期中）已知|a|＝5，b2＝4，c3＝﹣8．若a＜b＜0，求a+b+c的值．
题型五 利用有理数的乘方解决实际问题
解题技巧提炼
用有理数的乘方运算解决实际问题时，关键是审清题意，把实际问题转化成数学
问题，常见的问题有拉面的条数、折纸的张数、绳子的长度、细胞分裂的个数等
1
n
（ ）
都利用2n或 2 .
1．（2023•馆陶县校级模拟）《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄为撮，十撮为勺，十勺为合．”
说明“抄、撮、勺、合”均为十进制．则十合等于（ ）
A．102圭 B．103圭 C．104圭 D．105圭
2．手工拉面是我国的传统面食．制作时，拉面师傅，将一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏
合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条截成了许多细细的面条，如下图所示．请问这样第
次捏合后可拉出128根面条．3．（2023春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂
成 6 个并死去一个，3 小时后分裂成 10 个并死去一个，按此规律，8 小时后细胞存活的个数是
（ ）
A．253 B．255 C．257 D．259
4．《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，
每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度
是（ ）
1 1 1 1
A．1− B．1− C． D．
25 24 25 24
5．拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重
复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细．
（1）将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？
（2）若刚开始时的面条的横截面积为8cm2，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？
（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀）
6．（2023秋•埇桥区期中）水葫芦是一种水生漂浮植物，有着惊人的繁殖能力．据研究表明：适量的水葫
芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用，若在适宜的条件下，1株水葫芦每5天就
能繁殖1株．（不考虑死亡、被打捞等其他因素）
（1）假设湖面上现有1株水葫芦，填写下表：
天数 5 10 15 … 25 … 5n
总株数 2 4 … …
（2）假定某个水域的水葫芦维持在1280株以内对水质净化有益．若现有10株水葫芦，请你计算，按
照上述生长速度，多少天时有1280株水葫芦？
7．如图，当你把一张纸对折1次时可以得到2层，对折2次时可以得到4层，对折3次时可以得到8层，
继续对折下去（最多折7次）．
（1）你能发现层数与折纸次数之间的关系吗？（2）如果每层纸的厚度是0.05毫米，求对折7次时纸的总厚度．
8．（2023秋•建邺区期中）某公司培养绿藻细胞制作绿藻粉，该公司制作1克的绿藻粉需要60亿个绿藻
细胞．
（1）在光照充沛的环境下，1个绿藻细胞每20小时可分裂成4个绿藻细胞，且分裂后的细胞继续分裂
现从1个绿藻细胞开始培养，经过15天后，共分裂成4k个绿藻细胞，求k的值．
（2）已知210＝1024，请判断（1）问中的4k个绿藻细胞是否足够制作10克的绿藻粉，并说明理由．
题型六 科学记数法表示较大的数
解题技巧提炼
科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位
的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．10的指数比原来的整数位数少
1．
1．（2024春•江南区期末）2024年“广西三月三•八桂嘉年华”文化旅游品牌活动在南宁青秀山风景区拉
开帷幕．主会场活动以“新民歌+非遗”为重点，将传统文化与民族文化魅力完美融合，呈现了一场极
具特色的文旅盛宴．青秀山风景区假日共接待游客约390000人次．数据“390000”用科学记数法表示
为（ ）
A．0.39×106 B．3.9×105 C．39×104 D．3.9×106
2．（2024•甘孜州）祖国江山美丽如画，川西风光多姿多彩．据四川省某州相关部门通报，“五一”期间，
全国各地众多游客前往旅游，共接待游客约1665000人次．将1665000用科学记数法表示应为（ ）A．0.1665×107 B．1.665×106
C．16.65×105 D．166.5×104
3．（2024春•莲湖区期末）2024年5月3日，中国探月工程“嫦娥六号”成功发射，向距离地球约
384400km的月球出发，并于5月8号成功实施近月制动．数据384400用科学记数法表示为（ ）
A．3.844×104 B．3.844×105
C．0.3844×106 D．38.44×104
4．（2024•陆良县二模）“有一种叫云南的生活”的核心体验地昆明，带给游客的会是什么感受？据报道，
今年“五一”假期，昆明共接待国内游客约11760000人次，同比增长6.13%．数据“11760000”用科学
记数法表示为（ ）
A．1.176×107 B．1.176×106
C．11.76×106 D．0.1176×107
5．（2024•南关区校级一模）哈尔滨冰雪大世界2024年春节期间晋升为网红打卡地，迎来各地游客，为了
给2025年的建造计划做准备，今年计划冰储存量达到去年的 2到3倍，接近20万立方米，数据“20
万”用科学记数法表示为（ ）
A．2×10 B．2×104 C．2×105 D．0.2×105
6．（2024春•沙坪坝区校级期末）2005年6月18日，重庆轨道交通第一条线路——2号线开通初期运营，
使重庆成为西部地区第一座开通城市轨道交通的城市．目前，重庆轨道交通现已开通运营 13条线路，
运营里程538公里，最高日客运量516.2万人次．其中，516.2万用科学记数法表示为 ．
7．（2024•海陵区一模）国家统计局 2024年1月17日公布数据：2023年全年国内生产总值（GDP）
1260582亿元．将数字1260582用科学记数法表示为1.260582×10n，则n为 ．
8．（2024•梁溪区二模）无锡博物院位于太湖广场中央，博物院内拥有文物近 40000件，以古代书画、历
代紫砂、惠山泥人和无锡近现代革命文物和民族工商业文物为主要收藏文物．数据40000用科学记数法
可表示为 ．
9．（2024•长汀县二模）“一带一路”是国家的发展战略，计划用10年左右的时间，使中国同沿线国家的
年贸易额突破25000亿美元．把25000用科学记数法表示为 ．
题型七 科学记数法---原数
解题技巧提炼
科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右
移动n位所得到的数．1．（2024•广东一模）国家统计局公布了2023年社会消费品零售情况，市场销售较快恢复，服务消费快速
增长，社会消费品零售总额比上年增长7.2%，约为4.7×105亿元.4.7×105的原数为（ ）
A．470 B．47000 C．470000 D．4700000
2．（2024•威远县校级模拟）据教育部消息，目前我国建成世界规模最大职业教育体系，共有职业学校
1.12×104所，在校生超过2.915×107人，则1.12×104表示的原数为（ ）
A．112000 B．1120 C．11200 D．112
3．（2024•扬中市二模）若整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1011，则原数中“0”的个数为（
）
A．4 B．6 C．7 D．10
4．（2024•金平区校级一模）2023年我国国内生产总值约1.26×106亿元，用科学记数法表示的数1.26×106
亿元的原数约为 亿元．
5．（2024•桥西区校级二模）一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×1010，则原数中“0”的个数
为 个．
6．（2023秋•莱西市期末）中国火星探测器“天问一号”到地球的距离约为1.92×109公里，其中1.92×109
是一个用科学记数法表示的数，它原来是一个 位数．
7．把下列用科学记数法表示的数还原成原数．
（1）地球的直径大约为1.28×107m，约为 km；
（2）地球与冥王星的距离最近时也有4.0×109km，记为 m；
（3）有资料统计，我国2021年前4个月，14家汽车行业国家重点企业共实现利润1.20×1010元，记
作 万元；
（4）某年我国在公路建设中投资2.61×106万元，记作 元．
8．将下列用科学记数法表示的数还原成原数．
（1）1.2×105
（2）2.3×107
（3）3.6×108
（4）﹣4.2×106．
