文档内容
专题 02 “8”字型
【基本模型】
①如图1，AB∥CD AOB∽△COD ；
⇔△ ⇔
②如图2，∠A＝∠D AOB∽△DOC ．
⇔△ ⇔
③模型拓展：如图，∠A＝∠C AJB∽△CJD ．
⇔△ ⇔
【例题精讲】
例1．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，
则△ABC的面积为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【详解】∵平行四边形ABCD∴ ，AD=BC
∵E为边AD的中点
∴BC=2AE
∵
∴∠EAC=∠BCA
又∵∠EFA=∠BFC
∴△AEF∽△CBF
如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G，
则 ，
∴ ，
∵△AEF的面积为2
∴
故选C．
例2.如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD于点F，如果
△AEF的面积是▱4，那么△BCE的面积是 3 6 ．
【答案】36
1 1
【解析】∵在 ABCD中，AO= AC，∵点E是OA的中点，∴AE= CE，
2 3
▱AF AE 1
∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴ = = ，
BC CE 3
∵S ＝4，S （ AF）2 1，
AEF △AEF = =
S BC 9
△ △BCE
∴S ＝36
BCE
△
例3．如图，在△ABC中，BC＝6， ，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交
CE于点Q，当CQ＝ CE时，EP+BP的值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】C
【详解】解：如图，延长EF交BQ的延长线于G．
∵ ，
∴EG∥BC，
∴∠G＝∠GBC，
∵∠GBC＝∠GBP，
∴∠G＝∠PBG，
∴PB＝PG，
∴PE+PB＝PE+PG＝EG，
∵CQ＝ EC，∴EQ＝3CQ，
∵EG∥BC，∴△EQG∽△CQB，∴ ＝ ＝3，
∵BC＝6，∴EG＝18，∴EP+PB＝EG＝18，故选：C．
例4.如图， ， ， 分别交 于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵AB∥CD，∴ ，
∴A选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，
∴△CEG∽△CDH，
∴ ，∴ ，
∵AB∥CD，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴B选项正确，不符合题目要求；
∵AB∥CD，AE∥DF，
∴四边形AEDF是平行四边形，∴AF=DE，
∵AE∥DF，∴ ，
∴ ；
∴C选项正确，不符合题目要求；
∵AE∥DF，
∴△BFH∽△BAG，
∴ ，
∵AB＞FA，∴
∴D选项不正确，符合题目要求．
故选D．
【变式训练1】如图，在 中， ， ， ，点 为 上一点，连接 ，
为 上一点， 于点 ，当 时，求 的长．
【答案】
【详解】解：如解图，补成矩形 ，延长 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴设 ，则 ，
又∵在矩形 中， ，
∴ ，∴ ，即 ，解得 ．
∴ ．
【变式训练2】如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交
AC、CD于点P、Q．（1）求证： PCQ∽ RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值．
△ △
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】解：（1）∵ ，∴ ．
又∵ ．∴ ．
（2）∵四边形 和四边形 都是平行四边形，
∴ ， ．∴ ， ．
又∵点 是 中点，∴ ．
由（1）知 ，∴ ，∴ ．
又∵ ，∴ ．
【变式训练3】如图，在矩形 中， 分别为边 ， 的中点， 与 ， 分别交于点M，
N．已知 ， ，则 的长为_________．【答案】
【详解】解：过点E作EH∥AD，交点BF于点G，交CD于点H，
由题意可知：EH∥BC，∴△BEG∽△BAF，∴ ，
∵AB=4，BC=6，点E为AB中点，F为AD中点，
∴BE=2，AF=3，∴ ，∴EG= ，
∵EH∥BC，∴△EGN∽△DFN，△EGM∽△CBM，
∴ ， ,
∴ ， ，即 ， ，
∴ ， ，
∵E为AB中点，EH∥BC，
∴G为BF中点，∴BG=GF= BF= ，
∴NG= = ，MG= BG= ，
∴MN=NG+MG= ，
故答案为： .【变式训练4】如图，在 中 ， 、 分别是 、 的中点，动点 在射线 上， 交
于点 ， 的平分线交 于点 ，当 时， _____．
【答案】12
【详解】如图，延长BQ交射线EF于点M
、 分别是 、 的中点， ，
平分 ，
， ，
由 得 ，
，即
故答案为：12．
【课后训练】
1.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝3，DE＝5，BD＝4，则DC的长等于 ．AD CD
【解析】∵∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E，∴△ADC∽△BDE，∴ = ，
BD DE
3 CD 15
∵AD＝3，DE＝5，BD＝4，∴ = ，∴CD= ，
4 5 4
2．如图，一人站在两等高的路灯之间走动， 为人 在路灯 照射下的影子， 为人 在路灯
照射下的影子．当人从点 走向点 时两段影子之和 的变化趋势是（ ）
A．先变长后变短 B．先变短后变长
C．不变 D．先变短后变长再变短
【答案】C
【详解】解：连接DF，已知CD=EF，CD⊥EG,EF⊥EG,
∴四边形CDFE为矩形. ∴DF∥GH,∴
又AB∥CD，∴ .
设 =a，DF=b,∴ ,
∴ ∴ ∴GH= ，
∵a,b的长是定值不变，
∴当人从点 走向点 时两段影子之和 不变．
故选：C.3．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若 ，则
___．
【答案】2
【详解】解：延长CF、BA交于M，
∵E是CD的中点，F是AE的中点，
∴EF＝AF，CE＝ DC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴CE＝ AB，∠ECF＝∠M，
在△CEF和△MAF中 ，
∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，
∵CE＝ AB，∴BM＝3CE，
∵DC∥AB，
∴△CEG∽△MBG，∴ ，
∵BE＝8，
∴ ，
解得：GE＝2，
故答案为：2．
4．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，
CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
而BE=AB，
∴BE=CD，
而BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形，∴BD∥CE，
∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；
（2）∵AD2=AB•AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，
∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，
∵CD∥AF，BD∥CE，
∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，
而∠NMC=∠CMD，
∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，
∴MC•CD=MD•CN，而CD=AB，∴CM•AB=DM•CN．5．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求 的值．
【答案】
【详解】解法1：如图2，过点D作AC的平行线交BN于点H．
因为 ．
所以 ，
所以 ．
因为D为BC的中点，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．因为M为AD的中点，所以 ．
所以 ，
所以 ．
解法2：如图3，过点C作AD的平行线交BN的延长线于点H．
因为 ，所以 ，
所以 ．
因为D为BC的中点，所以 ．
因为M为AD的中点，所以 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ，
所以 ．
解法3：如图4，过点A作BC的平行线交BN的延长线于点H．因为 ，所以 ，
所以 ．
因为M为AD的中点，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ．
因为D为BC的中点，且 ，
所以 ．
解法4：如图5，过点D作BN的平行线交AC于点H．
在 中，
因为M为AD的中点， ，
所以N为AH的中点，即 ．
在 中，因为D为BC的中点， ，所以H为CN的中点，即 ，
所以 ．
所以 ．6．如图，在平行四边形 中，E为 边的中点，连接 ，若 的延长线和 的延长线相交于点
F．
（1）求证： ；
（2）连接 和 相交于点为G，若 的面积为2，求平行四边形 的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）24．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点E为DC的中点，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的面积为2，∴ ，即 ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
7．已知：如图，在 ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，
CF与DE相交于点G△．
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【详解】证明：（1）∵BC2=BF•BA，
∴BC：BF=BA：BC，而∠ABC=∠CBF，
∴ ，
∵DE∥BC，∴ ，
∴ ，
∴DF：BC=DG：BA，
∴DF•AB=BC•DG；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，为 的中位线，
∴AH=2EG，
∵AH∥DG，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即2DF•EG=AF•DG．
8．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，
如：在线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题，请你利用重
心的概念完成如下问题：
（1）若 是 的重心（如图），连结 并延长交 于 ，证明： ；
（2）若 是 的一条中线（如图）， 是 上一点，且满足 ，试判断 是 的重心吗？
如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若 是 的重心，过 的一条直线分别与 、 相交于 、 （均不与 的顶点重合）
（如图），求证： ．
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【详解】（1）证明：如图，连结 并延长交 于点 ，连结 ．
∵点 是 的重心，
∴ 是 的中点， 是 的中点， 是 的中位线，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ∽ ，
∴ ， ，
∴ ．
（2）点 是 的重心．
证明：如图，作 的中线 ，与 边交于点 ，与 的另一条中线 交于点 ，则 是的重心，
根据（1）中的证明可知 ，
而由条件 ，点 与点 重合（是同一个点），
所以点 是 的重心．
（3）如图，分别过 、 、 、 作 的垂线，垂足分别为 、 、 、 ，
证明：∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ∽ ，
∴ ，
∴ ．
又在四边形 中可证 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ∽ ，∴ ．
∵点 是 的重心，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即原命题得证．
9．（1）如图，若 为 的内角平分线，请问： 成立吗？并说明你的理由．
（2）如图， 中， ， ， ， 为 上一点且 ， 交其内角角
平分线 与 ．试求 的值．
【答案】(1)见解析;(2) .
【详解】（1）结论成立．理由如下：如图，过 点作 交 的延长线于点 ．∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ， ∽ ，
∴ ，
∴ ．
（2）如图，连结 ．
∵ 为 的内角角平分线， ， ，
∴由（1）得， ．
又∵ ，
∴ ，
∴
∴ ．
∴ ．
∴ ∽ ．∴ ．
