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专题 02 “8”字型
【基本模型】
①如图1，AB∥CD AOB∽△COD ；
⇔△ ⇔
②如图2，∠A＝∠D AOB∽△DOC ．
⇔△ ⇔
③模型拓展：如图，∠A＝∠C AJB∽△CJD ．
⇔△ ⇔
【例题精讲】
例1．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，
则△ABC的面积为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
例2.如图，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，联结BE并延长交AD于点F，如果
△AEF的面积是▱4，那么△BCE的面积是 ．例3．如图，在△ABC中，BC＝6， ，动点P在射线EF上，BP交CE于点D，∠CBP的平分线交
CE于点Q，当CQ＝ CE时，EP+BP的值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
例4.如图， ， ， 分别交 于点G，H，则下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，在 中， ， ， ，点 为 上一点，连接 ，
为 上一点， 于点 ，当 时，求 的长．
【变式训练2】如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交
AC、CD于点P、Q．（1）求证： PCQ∽ RDQ；（2）求BP：PQ：QR的值．
△ △【变式训练3】如图，在矩形 中， 分别为边 ， 的中点， 与 ， 分别交于点M，
N．已知 ， ，则 的长为_________．
【变式训练4】如图，在 中 ， 、 分别是 、 的中点，动点 在射线 上， 交
于点 ， 的平分线交 于点 ，当 时， _____．
【课后训练】
1.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝3，DE＝5，BD＝4，则DC的长等于 ．
2．如图，一人站在两等高的路灯之间走动， 为人 在路灯 照射下的影子， 为人 在路灯照射下的影子．当人从点 走向点 时两段影子之和 的变化趋势是（ ）
A．先变长后变短 B．先变短后变长
C．不变 D．先变短后变长再变短
3．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若 ，则
___．
4．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，
CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
5．如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求 的值．
6．如图，在平行四边形 中，E为 边的中点，连接 ，若 的延长线和 的延长线相交于点F．
（1）求证： ；
（2）连接 和 相交于点为G，若 的面积为2，求平行四边形 的面积．
7．已知：如图，在 ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，
CF与DE相交于点G△．
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．
8．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，
如：在线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题，请你利用重
心的概念完成如下问题：
（1）若 是 的重心（如图），连结 并延长交 于 ，证明： ；
（2）若 是 的一条中线（如图）， 是 上一点，且满足 ，试判断 是 的重心吗？
如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若 是 的重心，过 的一条直线分别与 、 相交于 、 （均不与 的顶点重合）
（如图），求证： ．
9．（1）如图，若 为 的内角平分线，请问： 成立吗？并说明你的理由．
（2）如图， 中， ， ， ， 为 上一点且 ， 交其内角角
平分线 与 ．试求 的值．
