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专题 01 锐角三角形函数和特殊角的三角函数值
考点一 正弦、余弦、正切的概念辨析 考点二 求角的正弦值、余弦值、正切值
考点三 已知正弦值、余弦值、正切值求边长 考点四 求特殊角的三角函数值
考点一 正弦、余弦、正切的概念辨析
例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图，在 中， ，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据锐角三角函数的定义解答．
【详解】解：在Rt ABC中，∠B=90°，
△
则 ．
故选：C．
【点睛】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江·金华市南苑中学九年级阶段练习）已知在 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定义解答，正弦定义是在 中， ，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正
弦．【详解】解：∵ 中， ， ， ，
∴ ,
故选A．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数中的正弦，解决问题的关键是熟练掌握正弦的定义．
2．（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中
不等于 的是（ ） △
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知可得∠B=∠ACD，然后利用锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】A．∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD，
在Rt ACD中，cos∠ACD= ，
△
∴cosB= ，
故A不符合题意；
B．在Rt DBC中，cosB= ，故B不符合题意；
△
C．在Rt DBC中，cos∠BCD= ，
△
∵∠A≠45°，
∴∠B≠45°，∴∠B≠∠BCD，
∴cosB≠ ，
故C符合题意；
D．在Rt ABC中，cosB= ，故D不符合题意；
△
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数只与角度大小有关与角度位置无关是解题的关
键．
考点二 求角的正弦值、余弦值、正切值
例题：（2022·江苏·靖江市滨江学校九年级阶段练习）如图，在4×4正方形网格中，点A、B、C为网格交
点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接AC后，利用勾股定理求出所需的线段长度即可．
【详解】解：如图，连接AC
在Rt△BEC中，BC=∵AD⊥BC，
∴ ×BC×AD=8，
即 ，
解得 ，
在Rt△ADB中， ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数值的求解，能够构造直角三角形并用勾股定理求出线段长度是解题关键．
【变式训练】
1．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，
则∠APD的正切值为（ ）
A．3 B．2 C．2 D．
【答案】A
【分析】过C作CM∥AB，过D作DN⊥MC于N，从而可得∠APD＝∠NCD，然后利用勾股定理求出CN、
DN的值，最后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】：连接CM，DN，由题意得：CM∥AB，
∴∠APD＝∠NCD，
由题意得：
CN2＝12+12＝2，
DN2＝32+32＝18，
∴ ，
∴tan∠DCN＝ ＝ ＝3，
∴∠APD的正切值为：3，
故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数与勾股定理的综合应用，熟练掌握平行线的性质、勾股定理的应用、正切
函数的概念是解题关键 ．
2．（2022·山东潍坊·九年级阶段练习）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、O都在这
些小正方形的顶点上，那么 的值为 _____．
【答案】
【分析】连接 ，根据格点特点得出 ， ， ，即可得
出答案．
【详解】解：连接 ，如图所示：根据方格纸的特点可知， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了求锐角三角函数值，勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，
作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
3．（2022·北京市三帆中学模拟预测）如图，菱形 中， 、 相交于点 ，过点 作 ，
且 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，当 ， ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证 ，再证四边形 是平行四边形，然后由 即可得出结论；
（2）由锐角三角函数定义得 ，则 ，再由勾股定理得 ，然后由锐角三角函
数定义即可得出结论．（1）
证明： 四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
又 ，
平行四边形 是矩形；
（2）
解：如图，
四边形 是菱形，
， ， ，
在 中， ， ，
，
，
，
由（1）可知，四边形 是矩形，
， ，
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、锐角三角函数定义、勾
股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解题的关键．考点三 已知正弦值、余弦值、正切值求边长
例题：（2022·江苏·无锡市钱桥中学九年级阶段练习）在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝8，sinA＝ ，则
BC的长为（ ）
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，然后根据三角函数的知识进行解答即可．
【详解】解：如图
∠C＝90°，AB＝8，sinA＝ ，
，
解得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形，熟知正弦的定义：对边比斜边，是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2021·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12， ，则
BC＝___．
【答案】5
【分析】根据 ，可设BC=5x，则AB=13x，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，∠C＝90°，∴ ，
设BC=5x，则AB=13x，
∵ ，
∴ ，解得：x=1或-1（舍去），
∴BC=5．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校模拟预测）已知 中， ， ， ，
则 的长为___________．
【答案】
【分析】由锐角三角函数定义可知，在直角三角形中，正切是该角的对边与邻边的比．利用正切函数得出
两直角边的关系，再由勾股定理即可求出另一直角边 的长．
【详解】解： 在 中， ， ，
，
∴
，
∵
根据勾股定理：
，
（负值舍去）．
故答案为： ．【点睛】本题考查锐角三角函数和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理的计算是解答本题
的关键．
3．（2022·安徽宿州·一模）如图，在 中，∠B＝90°， ，若AB＝10，求BC的长．
【答案】
【分析】首先根据 求出AC，再根据勾股定理求出答案即可．
【详解】∵∠B＝90°，
∴ ．
∵AB＝10，
∴AC＝14，
∴ ．
∴BC的长为 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦值求出AC是解题的关键．
考点四 求特殊角的三角函数值
例题：（2022·山东·济南阳光100中学九年级阶段练习）计算：
(1)
(2) ．
【答案】(1)
(2)2【分析】（1）首先计算特殊角的三角函数值，然后计算乘方，再计算乘法，最后从左向右依次计算，求
出算式的值是多少即可．
（2）首先计算绝对值、零指数幂、二次根式和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次
计算，求出算式的值是多少即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有
理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面
的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【变式训练】
1．（2022·湖南·醴陵市教育局教育教学研究室模拟预测）计算： ．
【答案】9
【分析】根据负整数指数幂的法则，绝对值的性质，特殊角的三角函数值，0指数幂的法则进行计算便可．
【详解】解：原式
【点睛】本题主要考查了实数的运算，关键是熟记负整数指数幂的法则，绝对值的性质，特殊角的三角函
数值，0指数幂的法则．2．（2022·湖北·大悟县实验中学九年级阶段练习）计算：
【答案】
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂法则，特殊角三角函数值以及绝对值的代数意义计算即可得解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的运算及特殊三角函数值，熟练掌握各自的运算法则是解题的关键．
3．（2022·湖南·李达中学九年级阶段练习）计算：
【答案】
【分析】先化简各个项，再计算即可．
【详解】解：原式=
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据乘方、绝对值、特殊三角函数值、零指数幂先进行
化简．
一、选择题
1．（2022·山东·乳山市乳山寨镇中心学校九年级阶段练习）在 ABC中，∠A=105°，∠B=45°， 的值
是（ ） △
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】先求出∠C=30°，再求出 的值即可．
【详解】解： ABC中，∵∠A=105°，∠B=45°，
∴∠C=180°-105△°-45°=30°，∴
故选：A
【点睛】本题主要考查三角形内角和公式，正弦定理，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
2．（2022·黑龙江大庆·九年级阶段练习）在 中， 、 、 ，则 的值是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由勾股定理求出 ，再由正切的定义完成求解．
【详解】解：由勾股定理知：
，
，
故答案选：A．
【点睛】本题考查勾股定理和正切的定义，准确求解 是解题的关键．
3．（2022·上海·九年级专题练习）在 中， ．下列四个选项，正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理求出 的长，再根据锐角三角函数的定义判断即可．
【详解】解：如图，
根据勾股定理得：BC= = =3，
= ，= ，
= ，
= ，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，要注意 ．
4．（2022·山东·聊城江北水城旅游度假区北大培文学校九年级阶段练习）矩形ABCD中AB＝10，BC＝8，
E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，tan∠AFE等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】依据折叠的性质以及矩形的性质，易得∠AFE＝∠BCF；在Rt△BFC中，有BC＝8，CF＝10，由
勾股定理易得BF的长．根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，依据∠AFE＝∠BCF，可得tan∠AFE
的值．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝10，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BCF+∠BFC＝90°，
根据折叠的性质得：∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10，
∴∠AFE+∠BFC＝90°，
∴∠AFE＝∠BCF，
在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10，
由勾股定理得：BF＝ ＝ ＝6，
则tan∠BCF＝ ＝ ，∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝ ，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求三角函数值，勾股定理，余角的性质，根据折叠和勾股定理
求出 ，是解题的关键．
5．（2021·河北·唐山市第九中学九年级阶段练习）如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为
1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先根据圆周角定理可得 ，然后求出∠AED的正切值即可．
【详解】解：由圆周角定理得： ，
∴tan∠AED=tan∠ABD= ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正切三角函数、圆周角定理等知识点，利用圆周角定理得出 是解
答本题的关键．
二、填空题
6．（2022·浙江·九年级专题练习）计算：sin30°＝____．
【答案】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值化简即可．
【详解】解：sin30°＝ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，牢记各值是解答此题的关键．
7．（2022·江苏淮安·九年级阶段练习）已知Rt△ABC中，∠C=90°， ，则tanA=_____．【答案】
【分析】通过勾股定理先求出邻边的长，再求出tanA即可．
【详解】解：∵ ，在直角三角形ABC中，∠C=90°，设CB=a，则AB=4a，
在直角三角形ABC中， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查利用三角函数解直角三角形，能够通过三角函数值求出三边长是解题关键．
8．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，正方形 中，点 是边 的中点，
，则 ______．
【答案】
【分析】依题意设AE=x， 则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，先证明△CEM是直角三角形，再利用三
角函数的定义求解．
【详解】设AE=x， 则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴△CEM是直角三角形，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，根据题意，确定△CEM是直角三角形以及熟练掌握正弦等于对边
比斜边是解题的关键．
9．（2021·河南·油田十中九年级阶段练习）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格
点上，则 的正切值是______．
【答案】1
【分析】连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断 ABO是等腰直角三角形，即可求得答案．
【详解】解：连接AB， △
由勾股定理得：AB＝ ，AO＝ ，OB＝ ，
∴AB＝AO， ，
∴ ABO是以OB为斜边的等腰直角三角形，
∴△ ，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了勾股定理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、特殊角的三
角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
10．（2022·上海·九年级专题练习）图，已知在 中， ， ， ，点P是斜边
上一点，过点P作 交AC于点M，过点P作 的平行线，与过点M作 的平行线交于点Q．如果点Q恰好在 的平分线上，那么 的长为________．
【答案】
【分析】根据直角三角形的边角关系可求出 ， ，再根据相似三角形，用含有 的代数式表示
，再根据角平分线的定义以及等腰三角形的判定得出 ，进而列方程求出 即可．
【详解】解：在 中， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ＝ ＝ ，
设 ，则 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ， ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质以及平行四边形的
判定和性质，掌握直角三角形的边角关系以及相似三角形的判定和性质是解决问题的前提，用含有 的
代数式表示 、 、 是正确解答的关键．
三、解答题
11．（2022·吉林·长春市第五十二中学九年级阶段练习）计算： ．
【答案】1
【分析】直接利用零指数幂的性质以及二次根式的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而计算得出答
案．
【详解】解：原式＝3﹣2× ﹣1
＝3﹣1﹣1
＝1．
【点睛】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．12．（2022·广东·深圳市光明区公明中学九年级阶段练习）计算： sin45°﹣|﹣3|+（2022﹣π）0+（ ）﹣
1．
【答案】1
【分析】根据特殊角的三角函数值，绝对值，幂的运算，负整数指数幂，二次根式的运算将各项化简，然
后计算求解．
【详解】原式＝
＝1﹣3+1+2
＝1．
【点睛】此题考查实数的运算，熟练掌握实数的相关各种运算法则是解题的关键．
13．（2022·广东北江实验学校三模）计算： ．
【答案】
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，二次根式的性质化简各数，
然后即可求解．
【详解】解：原式＝
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，
掌握二次根式的性质是解题的关键．
14．（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）如图，在 中， ，E为 上一点，
交 于D，若 ，求 的值．【答案】
【分析】首先证明 ，得 ，进而即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题
的关键．
15．（2022·河北·邢台市第六中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD上BC于点D，若AD=6，
BC=12，tanC= ，求：
(1)CD的长
(2)cosB的值
【答案】(1)4
(2)【分析】（1）直接在Rt△ADC中根据正切的定义求解即可；
（2）先求出BD的长，再利用勾股定理求出AB的长，最后根据余弦的定义求解即可．
（1）
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵在Rt△ADC中， ，
∴ ；
（2）
解：由（1）得CD=4，
∴BD=BC-CD=8，
在Rt△ABD中，由勾股定理得： ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出CD的长是解题的关键．
16．（2023·广东·惠州市惠阳区朝晖学校九年级开学考试）如图，在平行四边形 中， 于点
， 于点 ，平行四边形 的周长为28，面积为40， ．求：
(1) 的长；
(2) 的值．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）先根据平行线的性质得到 ，再由 ，求出 ， ，再根据
平行四边形面积公式求解即可；（2）先证明 ，在 中， ，则 ．
（1）
解：∵平行四边形 中， ， ，平行四边形 的周长为28，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
（2）
解：∵在四边形 中， ， ， ，
∴ ，
又∵在平行四边形 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，求角的正弦值，四边形内角和定理等等，熟知平行四边形的
性质是解题的关键．
17．（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点A作
AE BD，交CB的延长线于点E．
(1)求证：AE=AC；
(2)若cos∠E= ，CE=12，求矩形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)矩形ABCD的面积为48【分析】（1）由矩形的性质，可得AC=BD，AD BC，故可证四边形AEBD是平行四边形，从而得出
AC=AE的结论；
（2）首先根据等腰三角形的性质得到EB的长，然后利用锐角三角函数求得AE的长，从而利用勾股定理
求得AB的长,最后求得面积即可．
（1）
证明：在矩形ABCD中，AC=BD，AD BC，
又∵ ，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴BD=AE，
∴ AC=AE；
（2）
解：在矩形ABCD中，
∴AB⊥EC，
∵AE=AC，
∴EB=BC，
∵CE=12，
∴EB=6，
∵ ，
∴AE=10，
由勾股定理得： ．
∴矩形ABCD的面积为 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识．解此题的
关键是能灵活运用矩形的性质，以及能利用锐角三角函数求线段．
18．（2022·浙江绍兴·一模）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接
AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正方形的性质得出AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3， ，∠G=90°，证出
，得出比例式求出 ，即可得出结果；
（2）由正方形的性质求出AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出
AM=4，FM=2，∠AMF=90°，根据正方形性质求出∠ACF=90°，根据直角三角形斜边上的中线性质求出
，根据勾股定理求出AF，即可得出结果．
（1）
解：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴AD=CD=BC=1，CG=FG=CE=3， ，∠G=90°，
∴DG=CG-CD=2， ，
∴ ，
∴DK：GK=AD：GF=1：3，
∴ ，
∴ ；
（2）
解：∵正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，如图所示：
则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF-AB=3 1=2，∠AMF=90°，
∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
∴ ，
在Rt△AMF中，由勾股定理得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上
的中线性质；本题有一定难度，特别是（2）中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质
才能得出结果．
19．（2022·四川·内江市市中区全安镇初级中学校九年级阶段练习）如图在矩形ABCD中，AB=12，P是边
AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为点E且点E在
AD上，BE交PC于点F.
(1)求证：△ABE∽△DEC
(2)当AD=25时，且AE＜DE时，求 的值(3)当BP=9时，求BE·EF的值.
【答案】(1)见详解
(2)
(3)108
【分析】（1）由BE⊥CG，得∠BEG=∠BEC=90°，∠AEB+∠DEC=90°，根据四边形ABCD是矩形，有
∠D=∠BAE=90°，进而可得∠AEB=∠DCE，问题即可得证；
（2）利用折叠的性质，得出∠PGC= PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB，即有
BP=BF；证明△ABE∽△DEC，设AE=∠x，建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再证明△ECF∽△GCP，设
BP=BF=PG=y，建立方程求解即可得出BP= ，即可得出结论；
（3）证明△GEF∽△EAB，即可得出结论．
（1）
证明：∵BE⊥CG，
∴∠BEG=∠BEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAE=90°，
∴∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠AEB=∠DCE，
又∵∠D=∠BAE=90°，
∴△ABE∽△DEC；
（2）
解：在矩形ABCD， ABC=90°，
∵△BPC沿PC折叠得∠到△GPC，
∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，
∵BE⊥CG，
∴ ，
∴∠GPF=∠PFB，
∴∠BPF=∠BFP，
∴BP=BF；当AD=25时，在（1）中已证明△ABE∽△DEC，
∴ ，
设AE=x，
∴DE=25﹣x，
在矩形ABCD中，有AB=CD=12，
∴ ，
∴x=9或x=16，
∵AE＜DE，
∴AE=9，即DE=16，
∴ ，
∴ ，
由折叠得，BP=PG，
∴BP=BF=PG，
∵ ，
∴△ECF∽△GCP，
∴ ，
设BP=BF=PG=y，
∴EF=BE-BF=15-y，
∴ ，
∴ ，
经检验， 是方程的解，
∴BP= ，
在Rt△PBC中， ；（3）
解：连接FG，
∵ ，BF=PG=BP=9，AB=12，
∴四边形BPGF是菱形，
∴ ，GF=BP=9，
∴∠GFE=∠ABE，
∵∠A= GEF=90°，
∴△GE∠F∽△EAB，
∴ ，
∴ ．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质以及正切
的知识，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
20．（2022·福建省福州第一中学九年级阶段练习）如图1，在矩形ABCD中， ， ，点E在射
线BC上，连接AE并延长，交射线DC于点F．将 沿直线AE翻折，点B的对应点为点 ，延长
交直线CD于点M．
(1)求证： ；
(2)如图2，若点 恰好落在对角线AC上，求 的值；
(3)当 时，求线段AM的长．【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3)线段 的长为 或 ．
【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质，即可得出 ，进而判定 ；
（2）由勾股定理求出 ，证明 ，根据相似三角形的性质得 ，在 中，由
正切的定义即可得出答案；
（3）分两种情况讨论：①点 在线段 上，②点 在 的延长线上，分别设 ，根据
中， ，得到关于 的方程，求得 的值即可．
（1）
证明：四边形 为矩形，
，
，
由折叠可知： ，
，
；
（2）
解：由（1）可知 是等腰三角形， ，
在 中， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
解得 ，
在 中，；
（3）
解：①当点 在线段 上时，如图3，
由 ，
，
，
，即 ，
，
由（1）可知 ．
设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
；
②当点 在 的延长线上时，如图4，由 ：
，
，即 ，
，
则 ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
．
综上所述：当 时，线段 的长为 或 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，折叠的性质，矩
形的性质，勾股定理的综合应用，解题的关键是运用分类讨论思想，依据勾股定理列方程进行计算求解，
解题时注意分类思想与方程思想的运用．
