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专题 02 一元一次不等式与一元一次不等式组压轴必练
选择题必练
1．若关于x的一元一次不等式组 有解，则m的取值范围为（ ）
A． B．m≤ C． D．m≤
2．关于x的不等式组 有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣ ＜a≤﹣ B．﹣ ≤a＜﹣ C．﹣ ≤a≤﹣ D．﹣ ＜a＜﹣
3．如果一元一次不等式组 的解集为x＞3．则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a≥3 C．a≤3 D．a＜3
4．若关于x的不等式组 的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）
A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7
填空题必练
5．若不等式组 有解，则a的取值范围是 ．
6．如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是 ．7．已知实数a，b，满足1≤a+b≤4，0≤a﹣b≤1且a﹣2b取最大值时，8a+2021b的值是
．
8．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ （其中a、b均为非零常数），
这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝ ＝b，已知T（1，﹣
1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组 恰好有3个整数
解，则实数P的取值范围是 ．
9．科学考察队的一辆越野车需要穿越650千米的沙漠，但这辆车每次装满汽油最多只能驶
600千米，队长想出一个方法，在沙漠中设一个储油点P，越野车装满油从起点A出发，
到储油点P时从车中取出部分油放进P储油点，然后返回出发点A，加满油后再开往
P，到P储油点时取出储存的所有油放在车上，再到达终点．用队长想出的方法，这辆
越野车穿越这片沙漠的最大距离是 千米．
10．如果关于x的不等式3x﹣a≤0只有3个正整数解，则a的取值范围 ．
解答题必练
11．对于实数x，规定[x]表示不小于x的最小整数，例如[1.2]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣2，
则
（1）填空：①[﹣ ]＝ ；
②若[πx]＝﹣2，则x的取值范围是 ．
（2）已知x为正整数，且[ ]＝3，求x的值．
12．某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4
个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个
G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种
装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．
（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？请列出二元
一次方程组解答此问题．
（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立
进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．
1．设原来每天安排x名工人生产G型装置，后来补充m名新工人，求x的值（用含m
的代数式表示）
2．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期内完成总任务？
13．去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中
小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共 8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮
用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出
来；
（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费 400元，乙种货车每辆需付运费
360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
14．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需
甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测
算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千
克共需资金155元．
（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过 9900元，且生产B产品不少于38
件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？
（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费40元，若生产一件B产品需加工
费50元，应选择哪种生产方案，使生产这60件产品的成本最低？（成本＝材料费+加
工费）
15．某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所
筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产此两种
型号挖掘机，所生产的此两种型号挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价如下表：
型号 A B
成本（万 200 240
元/台）
售价（万 250 300
元/台）
（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？
（2）该厂如何生产能获得最大利润？
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提
高m万元（m＞0），该厂应该如何生产获得最大利润？（注：利润＝售价﹣成本）
16．某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台．经预
算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的
冰箱生产成本和售价如下表：
型号 A型 B型
成本（元/台） 2200 2600
售价（元/台） 2800 3000
（1）冰箱厂有哪几种生产方案？
（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电
（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民
多少元？
（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、
实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买 4套，体育器材每套6000
元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的
情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种？17．为了美化校园环境，争创绿色学校，某县教育局委托园林公司对A，B两校进行校园
绿化，已知A校有如图（1）的阴影部分空地需铺设草坪，B校有如图（2）的阴影部分
空地需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮3500米2和2500米2出售，且售价一样，
若园林公司向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价表如下：
路程、运费单价表
A校 B校
路程（千米） 运费单价（元） 路程（千米） 运费单价（元）
甲地 20 0.15 10 0.15
乙地 15 0.20 20 0.20
（注：运费单价表示每平方米草皮运送1千米所需的人民币）
求：（1）分别求出图1、图2的阴影部分面积；
（2）若园林公司将甲地3500m2的草皮全部运往A校，请你求出园林公司运送草皮去
A、B两校的总运费；
（3）请你给出一种运送方案，使得园林公司支付出送草皮的总运费不超过15000元．专题 02 一元一次不等式与一元一次不等式组压轴必练
选择题必练
1．若关于x的一元一次不等式组 有解，则m的取值范围为（ ）
A． B．m≤ C． D．m≤
【答案】C
【解答】解： ，
解不等式①得，x＜2m，
解不等式②得，x＞2﹣m，
∵不等式组有解，
∴2m＞2﹣m，
∴m＞ ．
故选：C．2．关于x的不等式组 有四个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣ ＜a≤﹣ B．﹣ ≤a＜﹣ C．﹣ ≤a≤﹣ D．﹣ ＜a＜﹣
【答案】B
【解答】解：
由①得x＞8；
由②得x＜2﹣4a；
∵关于x的不等式组 有四个整数解，
∴其解集为8＜x＜2﹣4a，
且四个整数解为9，10，11，12，
则 ，
解得﹣ ≤a＜﹣ ．
故选：B．
3．如果一元一次不等式组 的解集为x＞3．则a的取值范围是（ ）
A．a＞3 B．a≥3 C．a≤3 D．a＜3
【答案】C
【解答】解：不等式组 的解集为x＞3，
∴有a≤3，
故选：C．
4．若关于x的不等式组 的整数解共有4个，则m的取值范围是（ ）A．6＜m＜7 B．6≤m＜7 C．6≤m≤7 D．6＜m≤7
【答案】D
【解答】解：由（1）得，x＜m，
由（2）得，x≥3，
故原不等式组的解集为：3≤x＜m，
∵不等式组的正整数解有4个，
∴其整数解应为：3、4、5、6，
∴m的取值范围是6＜m≤7．
故选：D．
填空题必练
5．若不等式组 有解，则a的取值范围是 ．
【答案】a＞﹣1
【解答】解：∵由①得x≥﹣a，
由②得x＜1，
故其解集为﹣a≤x＜1，
∴﹣a＜1，即a＞﹣1，
∴a的取值范围是a＞﹣1．
故答案为：a＞﹣1．
6．如图，要使输出值y大于100，则输入的最小正整数x是 ．
【答案】21
【解答】解：若x为偶数，根据题意，得：x×4+13＞100，
解之，得：x＞ ，所以此时x的最小整数值为22；
若x为奇数，根据题意，得：x×5＞100，
解之，得：x＞20，
所以此时x的最小整数值为21，
综上，输入的最小正整数x是21．
7．已知实数a，b，满足1≤a+b≤4，0≤a﹣b≤1且a﹣2b取最大值时，8a+2021b的值是
．
【答案】8
【解答】解：设a﹣2b＝m（a+b）+n（a﹣b），
∴a﹣2b＝（m+n）a+（m﹣n）b，
∴ ，
解得 ，
∴a﹣2b＝﹣ （a+b）+ （a﹣b），
∵1≤a+b≤4，0≤a﹣b≤1，
∴﹣2≤﹣ （a+b）≤﹣ ，0≤ （a﹣b）≤ ，
∴﹣2≤a﹣2b≤1，
∴a﹣2b有最大值为1，
此时﹣ （a+b）＝﹣ ， （a﹣b）＝ ，
解得a＝1，b＝0，
∴8a+2021b＝8．
故答案为：8．
8．对x、y定义一种新运算T，规定：T（x，y）＝ （其中a、b均为非零常数），
这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）＝ ＝b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若关于m的不等式组 恰好有3个整数
解，则实数P的取值范围是 ．
【答案】 ﹣ 2 ≤ P ＜﹣
【解答】解：∵T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，
∴ ＝﹣2， ＝1，
解得：a＝1，b＝3，
T（2m，5﹣4m）＝ ≤4，解得m≥﹣ ，
T（m，3﹣2m）＝ ＞P，解得m＜ ，
∵关于m的不等式组 恰好有3个整数解，
∴2＜ ≤3，
∴﹣2≤P＜﹣ ，
∴实数P的取值范围是﹣2≤P＜﹣ ，
故答案为：﹣2≤P＜﹣ ．
9．科学考察队的一辆越野车需要穿越650千米的沙漠，但这辆车每次装满汽油最多只能驶
600千米，队长想出一个方法，在沙漠中设一个储油点P，越野车装满油从起点A出发，
到储油点P时从车中取出部分油放进P储油点，然后返回出发点A，加满油后再开往
P，到P储油点时取出储存的所有油放在车上，再到达终点．用队长想出的方法，这辆
越野车穿越这片沙漠的最大距离是 千米．
【答案】800
【解答】解：设点P与点A距离为100a，每次装满汽油最多只能驶600千米，则100千
米的油耗为 箱，则第一次到达点P时，用油 箱，最多取出的1﹣2× ＝（1﹣ a）箱油，
车第二次到达点P时，还有（1﹣ ）箱油，
加上点P的油为1﹣ +1﹣ a，这些油应该小于等于1箱油，
即1﹣ +1﹣ a≤1，解得：a≥2，
当a＝2时，即AP＝200，
当第一次到达点P时，考虑到车正好返回，往返共400千米，最多留下200千米的油；
当第二次到达点P时，还有400千米的油，加上点P存有的200千米的油，共计600千
米的油，这样最大距离为200+600＝800，
故答案为800．
10．如果关于x的不等式3x﹣a≤0只有3个正整数解，则a的取值范围 ．
【答案】 9 ≤ a ＜ 12
【解答】解：3x﹣a≤0的解集为x≤ ；
其正整数解为1，2，3，
则3≤ ＜4，
所以a的取值范围9≤a＜12．
解答题必练
11．对于实数x，规定[x]表示不小于x的最小整数，例如[1.2]＝2，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣2，
则
（1）填空：
①[﹣ ]＝ ；
②若[πx]＝﹣2，则x的取值范围是 ．
（2）已知x为正整数，且[ ]＝3，求x的值．
【解答】解：（1）①[﹣ ]＝﹣3；
②若[x]＝﹣2，则x的取值π范围是﹣3＜x≤﹣2；
故答案为：①﹣3；②﹣3＜x≤﹣2．（2）由[ ]＝3知2＜ ≤3，
解得：3＜x≤5，
∵x取正整数，
∴x的值为4或5．
12．某工厂接受了20天内生产1200台GH型电子产品的总任务．已知每台GH型产品由4
个G型装置和3个H型装置配套组成．工厂现有80名工人，每个工人每天能加工6个
G型装置或3个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种
装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品．
（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？请列出二元
一次方程组解答此问题．
（2）为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立
进行G型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置．
1．设原来每天安排x名工人生产G型装置，后来补充m名新工人，求x的值（用含m
的代数式表示）
2．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期内完成总任务？
【解答】（1）解：设x人加工G型装置，y人加工H型装置，由题意可得：
解得： ，
6×32÷4＝48（套），
答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成48套GH型电子产品．
（2）由题意可知：3（6x+4m）＝3（80﹣x）×4，
解得： ．
×4＝240（个），
6x+4m≥240
6× +4m≥240．
解得：m≥30．答：至少需要补充30名新工人才能在规定期内完成总任务
13．去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中
小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．
（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？
（2）现计划租用甲、乙两种货车共 8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中
小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮
用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出
来；
（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费 400元，乙种货车每辆需付运费
360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？
【解答】解：（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x﹣80）件．
x+（x﹣80）＝320，
解这个方程，得x＝200．
∴x﹣80＝120．
答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件；
（2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8﹣m）辆．
得：
，
解这个不等式组，得2≤m≤4．
∵m为正整数，
∴m＝2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案．
设计方案分别为：
①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆；
（3）3种方案的运费分别为：
①2×400+6×360＝2960（元）；
②3×400+5×360＝3000（元）；
③4×400+4×360＝3040（元）；
∴方案①运费最少，最少运费是2960元．
答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元．14．某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需
甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测
算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千
克共需资金155元．
（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过 9900元，且生产B产品不少于38
件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？
（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费40元，若生产一件B产品需加工
费50元，应选择哪种生产方案，使生产这60件产品的成本最低？（成本＝材料费+加
工费）
【解答】解：（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，
依题意得： ，
解得： ；
答：甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元．
（2）设生产B产品a件，生产A产品（60﹣a）件．
依题意得：
解得：38≤a≤40；
∵a的值为非负整数，
∴a＝38、39、40；
答：共有如下三种方案：
方案1、A产品22个，B产品38个，
方案2、A产品21个，B产品39个，
方案3、A产品20个，B产品40个；
（3）生产A产品22件，B产品38件成本最低．理由如下：
设生产成本为W元，则W与a的关系式为：
W＝（25×4+35×1+40）（60﹣a）+（35×3+25×3+50）a＝55a+10 500，即W是a的一次函数，
∵k＝55＞0，
∴W随a增大而增大，
∴当a＝38时，总成本最低；
即生产A产品22件，B产品38件成本最低．
15．某工程机械厂根据市场需求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所
筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产此两种
型号挖掘机，所生产的此两种型号挖掘机可全部售出，此两型挖掘机的生产成本和售价
如下表：
型号 A B
成本（万 200 240
元/台）
售价（万 250 300
元/台）
（1）该厂对这两型挖掘机有哪几种生产方案？
（2）该厂如何生产能获得最大利润？
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提
高m万元（m＞0），该厂应该如何生产获得最大利润？（注：利润＝售价﹣成本）
【解答】解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机（100﹣x）台，
由题意得22400≤200x+240（100﹣x）≤22500，
解得37.5≤x≤40．
∵x取非负整数，
∴x为38，39，40．
∴有三种生产方案
①A型38台，B型62台；
②A型39台，B型61台；
③A型40台，B型60台．
答：有三种生产方案，分别是A型38台，B型62台；A型39台，B型61台；A型40台，
B型60台．
（2）设获得利润W（万元），由题意得W＝50x+60（100﹣x）＝6000﹣10x，
∴当x＝38时，W最大 ＝5620（万元），答：生产A型38台，B型62台时，获得最大利润．
（3）由题意得W＝（50+m）x+60（100﹣x）＝6000+（m﹣10）x
当0＜m＜10，则x＝38时，W最大，即生产A型38台，B型62台；
当m＝10时，m﹣10＝0则三种生产方案获得利润相等；
当m＞10，则x＝40时，W最大，即生产A型40台，B型60台．
答：当0＜m＜10时，生产A型38台，B型62台获利最大；当m＝10时，3种方案获利
一样；当m＞10时，生产A型40台，B型60台获利最大．
16．某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台．经预
算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的
冰箱生产成本和售价如下表：
型号 A型 B型
成本（元/台） 2200 2600
售价（元/台） 2800 3000
（1）冰箱厂有哪几种生产方案？
（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电
（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民
多少元？
（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、
实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买 4套，体育器材每套6000
元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的
情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种？
【解答】解：（1）设生产A型冰箱x台，则B型冰箱为（100﹣x）台，由题意得，
47500≤（2800﹣2200）x+（3000﹣2600）×（100﹣x）≤48000，
解得37.5≤x≤40，
∵x是正整数，
∴x取38，39或40．
有以下三种生产方案：
方案一 方案二 方案三
A型/台 38 39 40
B型/台 62 61 60（2）设投入成本为y元，由题意有，
y＝2200x+2600（100﹣x）＝﹣400x+260000，
∵﹣400＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝40时，y有最小值．
即生产A型冰箱40台，B型冰箱60台，该厂投入成本最少．
此时，政府需补贴给农民（2800×40+3000×60）×13%＝37960（元）．
（3）利润为（2800﹣2200）×40+（3000﹣2600）×60＝48000元，
设买体育器材a套，实验设备b套，办公用品c套，
由题意得a≤4…①
6000a+3000b+1800c＝48000…②
②化简得10a+5b+3c＝80，
易看出c必为5的倍数，且0＜c≤ ，所以c＝5，10，15，20；
①当c＝5时，2a+b＝13，易看出b为奇数且13﹣4×2≤b≤13﹣2，所以b＝5，7，9，
11；
②当c＝10时，2a+b＝10，易看出b为偶数且10﹣4×2≤b≤10﹣2，所以b＝2，4，6，
8；
③当c＝15时，2a+b＝7，易看出b为奇数且0＜b≤7﹣2，所以b＝1，3，5；
④当c＝20时，2a+b＝4，易看出b为偶数且0＜b≤4﹣2，所以b＝2．
∵当b＝2时，a＝1 c＝20或a＝4 c＝10当b＝5时，a＝1 c＝15或a＝4 c＝5等式同
时成立，
综上所述，b＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，11，即实验设备买法有10种．
17．为了美化校园环境，争创绿色学校，某县教育局委托园林公司对A，B两校进行校园
绿化，已知A校有如图（1）的阴影部分空地需铺设草坪，B校有如图（2）的阴影部分
空地需铺设草坪，在甲、乙两地分别有同种草皮3500米2和2500米2出售，且售价一样，
若园林公司向甲、乙两地购买草皮，其路程和运费单价表如下：
路程、运费单价表
A校 B校路程（千米） 运费单价（元） 路程（千米） 运费单价（元）
甲地 20 0.15 10 0.15
乙地 15 0.20 20 0.20
（注：运费单价表示每平方米草皮运送1千米所需的人民币）
求：（1）分别求出图1、图2的阴影部分面积；
（2）若园林公司将甲地3500m2的草皮全部运往A校，请你求出园林公司运送草皮去
A、B两校的总运费；
（3）请你给出一种运送方案，使得园林公司支付出送草皮的总运费不超过15000元．
【解答】解：（1）图1阴影面积＝90×40＝3600m2，图2阴影面积＝40×60＝2400m2．
（2）总运费＝3500×20×0.15+100×15×0.2+2400×20×0.2＝20400元．
（3）设甲地草皮运送x m2去A校，有（3500﹣x）m2运往B校，乙地草皮（3600﹣x）
m2运往A校，（x﹣1100）m2草皮运往B校．依题意得．
20×0.15x+（3500﹣x）×10×0.15+（3600﹣x）×15×0.20+（x﹣1100）×20×0.20≤1500，
x﹣1100≥0
解之得 1100≤x≤1340．
只要所设计的方案中运往A校的草皮在1100m2～1340m2之间都可．如甲地的草皮运往A
校1100m2，运往B校2400m2，乙地草皮运往A校2500m2，总运费14400元．
