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专项 01 勾股定理的基本应用
考点1 求线段长
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形 ABC的两直角边长分别
a，b c a2 b2 c2
为 ，斜边长为 ，那么 .
考点2 求面积
类型一 直角三角形中求斜边上的高
类型二 结合乘法公式巧求面积或长度
类型三 巧妙割补求面积
类型四 “勾股树”及其拓展类型求面积
考点3 解直角三角形
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边
在 中， ，则 ， ，
②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系
③可运用勾股定理解决一些实际问题
考点4 利用勾股定理证明平方关系
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中 ，所以 .方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中 ，所以 .
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以 .
【考点1 求线段长】
【典例1-1】（2022八下·德阳期末）已知△ABC中，BC＝4，AB＝5，∠C＝90°，则
AC＝（ ）
A．6 B．√41 C．4 D．3
【典例1-2】（2021八上·龙泉期末）若直角三角形的两边长分别是5和12，则它的斜边
长是( )
A．13 B．13或 √119 C．√119 D．12或
13
【变式1-1】（2021八上·丹东期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，如果AB=8，
BC=6，那么AC的长是（ ）．
A．10 B．2√7 C．10或2√7 D．7
【变式1-2】（2021八上·槐荫期末）直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长
为（ ）
A．13 B．14 C．√89 D．1【变式1-3】（2020秋•宝安区期末）若一直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边长为
（ ）
A．10 B． C．10或 D．14
【考点2 求面积】
【典例2】（2020春•东城区校级期末）若三个正方形的面积如图所示，则正方形 A的面积
为（ ）
A．6 B．36 C．64 D．8
【变式2-1】（2021八上·临漳期中）如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以
AB、BC、AC为边向外作正方形，若三个正方形的面积分别为225、400、S，则S的
值为（ ）
A．25 B．175 C．600 D．625
【变式2-2】（2021秋•和平区期末）如图，分别以此直角三角形的三边为直径在三角形外
部画半圆，若S ＝9 ，S ＝16 ，则S ＝ ．
1 2 3
π π【变式2-3】（2021八上·渠县期中）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所
有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，
D的面积和是 cm2.
【典例3】（2021八上·佛山月考）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点
A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
2 3 4
A． √5 B． √5 C． √5 D．√5
5 5 5
【变式3-1】（2021八上·通州期末）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂
足为D．如果AC=6，BC=3，则BD的长为（ ）
3 3√3
A．2 B． C．3√3 D．
2 2【变式3-2】（2021八上·六盘水月考）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的
边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（ ）
A．√2 B．2 C．√5 D．3
【考点3 解直角三角形】
【典例4】（2021秋•紫金县期中）如图，在△ABC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，AC＝20，
BC＝15，BD＝9，求AD的长．
【变式4-1】（2021八上·北镇期中）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB＝
5，BD＝3，AD＝4，AC＝8，求CD的长．
【变式4-2】（2021八上·连南期中）已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝
5，CD＝3，求BC的长．【变式4-3】（2021八上·襄汾期末）在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有
一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为500米，与公路上另一停靠
站B的距离为1200米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米
范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请
通过计算进行说明．
【典例5】（2021八上·楚雄期中）一个25米长的梯子 AB ，斜靠在一竖直的墙 AO
上，这时的 AO 距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B外
移多少米？【变式5-1】（2021八上·禅城期末）如图，校园内有一块长方形草地，为了满足人们的
多样化品求，在草地内拐角位置开出了一条路，走此路可以省 m的路．
【变式5-2】（2021八上·揭阳月考）如图，一木杆在离地面9米处断裂，木杆顶部落在
离木杆底端12米处，则木杆折断之前高 米．
【变式5-3】（2020春•盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左
墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如
果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，
则小巷的宽为（ ）
A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米
【典例6】（2021八上·绿园期末）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海
里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船
到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少．【变式6-1】（2021秋•卧龙区校级月考）如图所示，甲渔船以8海里/时的速度离开港
口O向东北方向航行，乙渔船以6海里/时的速度离开港口O向西北方向航行，他们同时出
发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距（ ）
A．12海里 B．13海里 C．14海里 D．15海里
【变式6-2】（2021秋•绿园区期末）如图，甲乙两船从港口 A同时出发，甲船以16海
里/时速度沿北偏东40°方向航行，乙船沿南偏东50°方向航行，3小时后，甲船到达C岛，
乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问：乙船的航速是多少？
【典例7】（2021八上·滕州月考）印度数学家什迦罗（1141年-1225年）曾提出过“荷
花问题”：平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？如图所示：
荷花茎与湖面的交点为O，点O距荷花的底端A的距离为0.5尺；被强风吹一边后，荷
花底端与湖面交于点B，点B到点O的距离为2尺，则湖水深度 OC 的长是
尺．
【变式7-1】（2021八上·南海期末）如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度
BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 m．
【变式7-2】（2021秋•吉安期中）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距25km，
C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图），已知DA＝
10km，CB＝15km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收
购站E的直线距离相等，请求出收购站E到A站的距离．
考点4 利用勾股定理证明平方关系
【典例8】（2021八上·朝阳期末）（阅读理解）我国古人运用各种方法证明勾股定理，
如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四
个直角三角形直角边长分别为a、b，斜边长为c．图中大正方形的面积可表示为
1 1
(a+b) 2，也可表示为c2+4× ab，即(a+b) 2=c2+4× =ab，所以a2+b2=c2．
2 2（1）（尝试探究）美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个
全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE，其中△BCA≌△ADE，∠C=∠D=90°，
根据拼图证明勾股定理．
（2）（定理应用）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边长分别
为a、b、c．求证：a2c2+a2b2=c4−b4．
【变式8-1】（2021秋•海州区期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它
是由四个全等的直角三角形围成的，若 AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为
12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长
是（ ）
A．148 B．100 C．196 D．144
【变式8-2】（2021秋•深圳期末）如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图
是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE＝10，BE＝24，则EF的长是（ ）
A．14 B．13 C．14 D．14
【变式8-3】（2021八上·灵石期中）我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推理验
证数学规律和公式，这种方法称之为“无字证明”，它比严谨的数学证明更为优雅与
有条理．三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一
书中用割补的方法构造了“无字证明”图形（如图①）．其中四个直角三角形较长的
直角边长都为a，较短的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为1
c2，也可以表示为4× ab+（a﹣b）2，由此推导出一个重要的定理．
2
（1）此图可以推导出你学过的什么定理？请写出定理的内容；
（2）图②为美国第二十任总统伽菲尔德创造的“无字证明”图形，请你利用图②推
导（1）中的定理．
（3）根据（1）中的定理，解决下面的问题：如图③，在一条东西走向河流的一侧
有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的
路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同
一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，
求新路CH比原路CA少多少千米？1.（2021八上·紫金期中）由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树
干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（ ）
A．8m B．10m C．16m D．18m
2．（2021八上·阳山期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，BC＝2．以AB
为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．5 B．6 C．12 D．13
3．（2021八上·即墨期中）如图，在 3×3 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为
1，点 A ， B ， C 都在格点上，若 BD 是 △ABC 的边 AC 上的高，则 BD 的
长为（ ）
5 10 13
A． √26 B． √26 C． √13 D．
13 13 77
√13
13
4．（2021八上·禅城期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一
根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的
水面，则这个芦苇的高度是（ ）
A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺
5．（2021八上·槐荫月考）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们
从门口 A 处出发先往东走 8km ，又往北走 2km ，遇到障碍后又往西走 3km ，
再向北走到 6km 处往东拐，仅走了 1km ，就找到了宝藏，则门口 A 到藏宝点 B
的直线距离是（ ）
A．20km B．14km C．11km D．10km
6．（2021八上·德惠期末）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个
全等的直角三角形围成的.若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边
分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是
（ ）
A．51 B．49 C．76 D．无法确定
7．（2021八上·牡丹月考）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还
多 1m ，当他把绳子的下端拉开 5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（
）A．12m B．10m C．13m D．8m
8．（2021八上·北镇期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
CD⊥AB于点D，则CD的长为 ．
9．（2021八上·薛城期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，AB＝8，若两
阴影部分都是正方形，C、D、E在一条直线上，且它们的面积之比为1：3，则较大的
正方形的面积 ．
10．（2021八上·紫金期中）如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为
S，S，S，且S=4，S=8，则S= .
1 2 3 1 2 3
11．（2021八上·农安期末）如图，在一只底面半径为3cm，高为8cm的圆柱体状水杯
中放入一支13cm长的吸管，那么这支吸管露出杯口的长度是 ．12．（2021八上·紫金期中）如图，在△ABC中，∠ADC＝∠BDC＝90°，AC＝20，BC
＝15，BD＝9，求AD的长．
13．（2021八上·佛山月考）如图，小刚想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端A处
的绳子垂到地面B处后还多2米.当他把绳子拉直并使下端刚好接触到地面C处，发现
绳子下端到旗杆下端的距离为6米，请你帮小刚求出旗杆的高度AB长．
14．（2021八上·未央期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开
门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何?题目大意是：如图1、2
（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点 C 和点 D
距离门槛 AB 都为1尺（1尺=10寸），则 AB 的长是多少?15．（2021八上·叶县期末）某条道路限速 70km/ ℎ, 如图，一辆小汽车在这条道路上
沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方 30m 的C处，过
了 2s 后，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速测检测仪间的距离为 50m ，这
辆小汽车超速了吗？
16．（2021八上·如皋期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，
∠C=45°，AB=2
求：
（1）AC的长；
（2）三角形ABC的面积（结果保留根号）17．（2021八上·长春期末）如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要
从公路AB上的D处开凿隧道通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距
离为3km，与公路上另一停靠站B的距离为4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．
（1）求修建的公路CD的长；
（2）若公路CD建成后，一辆货车由C处途经D处到达B处的总路程是多少km？
18．（2021八上·薛城期中）如图，E、F是等腰Rt△ABC的斜边BC上的两动点，
∠EAF=45°，CD⊥BC且CD=BE．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）求证：EF2=BE2+CF2．
19．（2021八上·南阳月考）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称
之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记
载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人
称之为“赵爽弦图”，流传至今.如图①是用四个能够完全重合的直角三角形拼成的图
形，其中直角边长分别为a，b，斜边长为c，用含a，b，c的代数式表示：（1）大正方形的面积为 ；小正方形的面积为 ；
（2）四个直角三角形的面积和为 ，根据图中面积关系，可列出a，b，c
之间的关系式为 ；
（3）如图②，以直角三角形的三边为直径，分别向外部作半圆，则 S ， S ，
1 2
S 满足的关系是 ；
3
（4）如图③直角三角形的两条直角边长分别为3、5，分别以直角三角形的三边为
直径作半圆，则图中两个月形图案（阴影部分）的面积和为 .
20．（2021八上·达州期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科
技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东
西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点， 且点 C与直线 AB上两
点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m 以内可以
受到洒水影响.
（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为10 m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判
断着火点C能否被扑灭？
