文档内容
4.5利用三角形全等问题测距离
模型梳理：延长一倍、作垂直、作平 行 构造全等三角形
一、单选题
1．（2021·广东梅州·七年级期末）如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在河岸BF上取两点C、D，
使CD＝BC，再作DE⊥BF，垂足为D，使A、C、E三点在一条直线上，测得ED＝30米，因此AB的长是（ ）
A．10米 B．20米 C．30米 D．40米
2．（2021·全国·七年级期末）如图为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得
∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测
得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（ ）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
3．（2021·辽宁·沈阳市第四十三中学七年级期中）如图，为了测量池塘东西两边 、 之间的宽度，小明同学先
从 点向南走到点 处，再继续向南走相同的距离到达点 ，然后从点 开始向西走到点 处，使 、 、 三
点在同一条直线上，此时测量 、 间的距离就是 、 间的距离，这里判断 的直接依据是
（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4．（2021·山东泰安·七年级期中）如图为了测量B点到河对而的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，
测得 ， ，然后在M处立了标杆，使 ， ，得到 ，所
以测得 的长就是A，B两点间的距离，这里判定 的理由是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·陕西·清涧县教学研究室七年级期末）如图，小强在实验室做实验的时候，不小心把一块三角形仪器打
碎了，王老师要去配制一块形状完全一样的三角形仪器．利用全等三角形判定定理，那么王老师应该携带（ ）A．第①块 B．第③块 C．第②块 D．任意一块
6．（2021·四川·成都市温江区教育科学研究培训中心七年级期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点
停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离到达
C点．然后他向左直行，当看到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．那么C，D两点间的距离
就是在A点处小明与游艇的距离．在这个问题中，可作为证明 的依据的是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
7．（2021·陕西·西安市铁一中学七年级阶段练习）如图，已知 ， ， ，则 ， 两点
间的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·四川成都·七年级期末）在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测
量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（ ）A．5厘米 B．6厘米 C．2厘米 D． 厘米
9．（2021·广东·深圳外国语学校七年级期末）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使
AB⊥BC，BO＝OC，CD⊥BC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，从而可通过测量CD的长度得
知小河的宽度AB．在这个问题中，判断△ABO≌△DCO的最佳依据是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
10．（2021·云南·昆明市第三中学七年级期末）如图，测量河两岸相对的两点 ， 的距离时，先在 的垂线
上取两点 、 ，使 ，再过点 画出 的垂线 ，当点 ， ， 在同一直线上时，可证明
，从而得到 ，则测得 的长就是两点 ， 的距离，判定 的依据是
（ ）
A．“ ” B．“ ” C．“ ” D．“ ”
11．（2021·广东深圳·七年级期末）如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的
距离．我军战士想到一个办法，他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部
点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E上；最后，他用步测的办法量出自己与E点的
距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定△ABC≌△DFE的理由可以是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA
12．（2021·云南昆明·七年级期末）在新修的花园小区中，有一条“Z”字形绿色长廊 （如图），其中，在 、 、 三段绿色长廊上各修建一凉亭 、 、 ，且 是 的中点， 、 、 在一
条直线上．若在凉亭 与 之间有一池塘，不能直接到达，要想知道 与 之间的距离，要测出的长度是
（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·山西省灵石县教育局教学研究室七年级阶段练习）如图，测量河两岸相对的两点A，B的距离时，先
在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再过点D画出BF的垂线DE，当点A，C，E在同一直线上时，可
证明△EDC≌△ABC，从而得到ED＝AB，则测得ED的长就是两点A，B的距离．判定△EDC≌△ABC的依据是（
）
A．“边边边” B．“角边角”
C．“全等三角形定义” D．“边角边”
14．（2020·广东·深圳市南山区第二外国语学校（集团）七年级期中）小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她
利用适当的工具，使AB⊥BC，BO=OC，CD⊥BC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，从而可通
过测量CD的长度得知小河的宽度AB．在这个问题中，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是（ ）
A．SSS B．ASA
C．SAS D．HL
15．（2020·福建宁德·七年级期末）如图，公园里有一座假山，要测假山两端 A ， B 的距离，先在平地上取一
个可直接到达 A 和 B 的点 C ，分别延长 AC ， BC 到 D ， E ，使CD CA ， CE CB ， 连接 DE ．这样就可利用三角形全等，通过量出 DE 的长得到假山两端 A ， B 的距离．其中说明两个三角形全等的依据是
（ ）
A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS
16．（2020·重庆南岸·七年级期末）为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，
使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD=BC，得到 ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得AB的长．
那么 ABC≌△ADC的理由是（ ） △
△
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
二、填空题
17．（2022·山东淄博·七年级期末）如图，小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的 处有一电
线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树 处，接着再向前走了30步到达
处，然后他左转 直行，当小刚看到电线塔．树与自己现处的位置 在一条直线时，他一共走了140步．如果小
刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离________．
18．（2021·全国·七年级课时练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边 OA，OB 上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 M，N 重合，过角尺顶点C 作射
线 OC．由此做法得 △MOC≌△NOC 的依据是____．
19．（2021·山东烟台·七年级期中）如图，要测量水池宽AB，可从点A出发在地面上画一条线段AC，使
AC⊥AB，再从点C观测，在BA的延长线上测得一点D，使∠ACD=∠ACB，这时量得AD＝110m，则水池宽AB的
长度是___m．
20．（2020·山东泰安·七年级期末）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一
块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带________去玻璃店．
21．（2021·辽宁沈阳·七年级期末）如图， ， ， m，则 ， 两点间的距离为
________m．
22．（2022·山东泰安·七年级期末）如图，小明站在堤岸的A点处，正对他的S点停有一艘游艇．他想知道这艘游艇距离他有多远，于是他沿堤岸走到电线杆B旁，接着再往前走相同的距离，到达C点．然后他向左直行，当看
到电线杆与游艇在一条直线上时停下来，此时他位于D点．小明测得C、D间的距离为90米，则在A点处小明与
游艇的距离为______米．
23．（2021·山东枣庄·七年级期末）如下图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距
离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接 ，取 的中
点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作 交 的延长线于点D，此时测得 米，那么
A，B间的距离是__________米．
24．（2021·陕西·无七年级期末）为迎接全国第十四届运动会，我校举行“缓堵保畅，安全出行，小手拉大手活
动”每天值班老师和部分学生在校门两边站岗执勤（线段 所在区域）。如图， ， 与 相交
于 ， 于点 ， ，已知 米，请根据上述信息求出执勤区域 的长度是______．
25．（2021·河南平顶山·七年级期末）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点
C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，
所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里得到△MBC≌△ABC的依据是 ______．26．（2021·陕西·交大附中分校七年级阶段练习）如图， ， ，墙 与 分别是由4块和3
块厚度为8cm的砖块垒成，请问两个墙脚之间的距离 的长为______cm．
27．（2021·江苏泰州·七年级期末）如图，课间小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两张凳子之间（凳
子与地面垂直），已知两张凳子的高AD＝70，BE＝50，则两张凳子之间的距离为________．
28．（2021·全国·七年级专题练习）如图，在锐角 中，AC＝10， ，∠BAC的平分线交BC于点
D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是_______________
三、解答题
29．（2022·山东东营·七年级期末）如图，要测量水池中一朵荷花E距岸边A和岸边D的距离．作法如下：
（1）任作线段AB，取中点O；
（2）连接DO并延长至点C，使 ；
（3）连接BC；（4）用仪器测得E、O在一条直线上，且直线EO交CB于点F，要测量AE、DE，则只需测量BF、DF即可，为
什么？
30．（2021·山东烟台·七年级期中）如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明和小颖想用绳子测量A，B两
点间的距离，他们想出了这样一个办法：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC并延长到D，
使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB；连接DE并测量出它的长度，DE 的长度就是A、B两点间的距
离”
（1）你能说明其中的道理吗？
（2）你还有别的不同的方法吗？（可以使用直角工具）请写出具体方法，并说明理由．
31．（2021·河南郑州·七年级期末）为测量一池塘两端A，B间的距离，小红和小颖两位同学分别设计了两种不同
的方案，如图．
方案一：如图①，先过点B作AB的垂线BF，再在射线BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线
DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B间的距离．
方案二：如图②，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测
出BC的长即为A，B间的距离．
（1）以上两位同学所设计的方案，可行的是 ．
（2）请你选择一个可行的方案，说说它可行的理由．参考答案：
1．C
【详解】
解：∵BF⊥AB，DE⊥BF，
∴∠ABC＝∠BDE
在△EDC和△ABC中，
，
∴△EDC≌△ABC（ASA）．
∴ED＝AB．
∵ED＝30米，
∴AB＝30米．
故选：C．
2．D
【详解】
解：在 ABC和 MBC中 ，
△ △
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故选：D．
3．C
解：根据题意得： ，
∴ ．
故选：C
4．C
【详解】
解：在 和 中，
∴ (ASA) ．
故选C．
【点睛】本题考查全等三角形判定的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5．B
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．
【详解】
解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，
只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据
已知条件进行选择运用．
6．C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理进行解答．
【详解】
解：在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（ASA）；
或∵AS∥CD，
∴∠S＝∠D．
在△ABS与△CBD中，
，
∴△ABS≌△CBD（AAS）；
综上所述，作为证明△SAB≌△DCB的依据的是ASA或AAS．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．
7．B
【解析】【分析】
首先证明△AOB和△DOC全等，再根据全等三角形对应边相等可得答案．
【详解】
解：∵AC=DB，AO=DO，
∴AC-AO=BD-OD，
即OB=OC，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），
∴AB=CD=70m，
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的应用，以及两点之间的距离，关键是掌握全等三角形对应边相等．
8．D
【解析】
【分析】
只要证明 AOB≌ DOC，可得AB＝CD，即可解决问题．
【详解】
解：在 AOB和 DOC中，
，
∴ AOB≌ DOC（SAS），
∴AB＝CD＝5厘米，
∵EF＝6厘米，
∴圆柱形容器的壁厚是 ×（6﹣5）＝ （厘米），
故选：D．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的判定及性质解决实际问题．
9．C
【解析】
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出符合题意的答案．
【详解】
解： ， ，
，
在 和 中，
，
，
则证明 的依据的是 ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是正确掌握全等三角形的判定方法．
10．B
【解析】
【分析】
先根据垂直的定义得到∠ABC=∠EDC=90°，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】
解：根据题意得AB⊥BC，DE⊥CD，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
∵CD=BC，∠ACB=∠ECD，
∴根据“ASA”可判断△EDC≌△ABC．
故选：B．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条
件．
11．C
【解析】
【分析】
根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】
解：士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E
上；
得∠A=∠D，
∵AC=DF，
∴∠ACB=∠DFE=90°，∴判定△ABC≌△DFE的理由是ASA．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键．
12．A
【解析】
【分析】
只需要根据平行线的性质和已知条件，证明△EMB≌△FMC即可得到答案.
【详解】
解：∵AB∥CD
∴∠B=∠C，∠BEM=∠CFM
∵M是BC的中点
∴BM=CM
∴△EMB≌△FMC（AAS）
∴EM=FM
∴只需要测量出EM的长度即可
故选A.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解.
13．B
【解析】
【分析】
由“ASA”可证△EDC≌△ABC．
【详解】
解：由题意可得∠ABC＝∠CDE=90°，
在△EDC和△ABC中 ，
∴△EDC≌△ABC（ASA），
故选：B．【点睛】
本题考查三角形全等的判定，掌握判定方法正确推理论证是解题关键．
14．B
【解析】
【分析】
由题目所给条件易得 ， ，BO=OC，然后直接利用全等三角形的判定方法得出
符合题意的答案．
【详解】
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （ASA），
则证明 的依据的是ASA．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
15．D
【解析】
【分析】
图形中隐含对顶角的条件，利用两边且夹角相等容易得到两个三角形全等．
【详解】
解：根据题意可得：
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DCE（SAS），
∴AB=DE，
∴依据是SAS，
故选：D．【点睛】
此题主要考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等解决实际问
题．
16．A
【解析】
【分析】
根据已知条件可找到两边对应相等且夹角相等，利用SAS即可证明 ACB≌△ACD,由此即可解决问题．
【详解】 △
解：∵∠ACB=90°
∴∠ACB=∠ACD=90°
则在 ACB和 ACD中,
△ △
∴△ABC≌△ADC（SAS）,
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法,属于中考常考题型．
17．40米
【解析】
【分析】
根据题意所述画出示意图，根据AAS可得出△ABC≌△DEC，即可求出DE的长度，也就得出了AB的长度．
【详解】
解：根据题意画出图形如图：在 与 中，
，
，
小刚一共走了140步，AD=60步，
DE=140-60=80(步)，
又 一步大约50厘米，
DE=80×50=4000(厘米)=40(米)，
故估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，像此类应用类的题目，一定要仔细审题，根据题意建立数学模型．
18．SSS##边边边
【解析】
【分析】
由作图过程可得MO=NO，NC=MC，再加上公共边CO=CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．
【详解】
解：∵在△ONC和△OMC中 ，
∴△MOC≌△NOC（SSS），
∴∠BOC=∠AOC，
故答案为：SSS．【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
19．110
【解析】
【分析】
利用全等三角形的性质解决问题即可．
【详解】
解：∵AC⊥BD，
∴∠CAD＝∠CAB＝90°，
∵CA＝CA，∠ACD＝∠ACB，
∴△ACD≌△ACB（ASA），
∴AB＝AD＝110m，
故答案为110．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
20．③
【解析】
【分析】
观察每块玻璃形状特征，利用ASA判定三角形全等可得出答案．
【详解】
第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；
第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．
故答案为：③．
【点睛】
本题属于利用ASA判定三角形全等的实际应用，难度不大，但形式较颖，要善于将所学知识与实际问题相结合．
21．
【解析】
【分析】
由 ， ，可得 ，从而可得 ，所以 ，又 m，则 ， 两点
间的距离即可求解．
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴在 与 中，∴ ,
∴ ，
∵ m，
∴ ， 两点间的距离为 m．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质，解决本题的关键是判定 与 全等．
22．90
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】
解：在△ABS与△CBD中，
∵ ，
∴△ABS≌△CBD（ASA），
∴AS＝CD=90（米）．
故答案是：90．
【点睛】
本题考查的是全等三角形在实际生活中的运用，能根据题意证明△ABS≌△CBD是解答此题的关键．
23．200
【解析】
【分析】
根据平行线的性质得到∠C=∠B，证明△CPD≌△BPA，根据全等三角形的性质解答．
【详解】
解：∵CD∥AB，
∴∠C=∠B，
在△CPD和△BPA中，
，∴△CPD≌△BPA（ASA），
∴AB=CD=200（米），
故答案为：200．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测
量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．
24．300m
【解析】
【分析】
由AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABO=∠CDO，由垂直的定义可得∠CDO=90°，易得OB⊥AB，由相邻两平行
线间的距离相等可得OD=OB，利用ASA定理可得△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质可得区域CD的长度．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠ABO=∠CDO，
∵OD⊥CD，
∴∠CDO=90°，
∴∠ABO=90°，即OB⊥AB，
∵相邻两平行线间的距离相等，
∴OD=OB，
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴CD=AB=300m．
即执勤区域CD的长度是300m，
故答案为：300m．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质定理，平行线的性质，证得△ABO≌△CDO是解答此题的关键．
25．ASA
【解析】
【分析】
利用全等三角形的判定方法进行分析即可．
【详解】
解：在△ABC和△MBC中，，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故答案为：ASA．
【点睛】
本题考查全等三角形的判断，是重要考点，掌握相关知识是解题关键
26．56
【解析】
【分析】
根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可
得∠BCE=∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，根据全等三角形的性质进行解答．
【详解】
解：∵AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=90°．
∴∠ACD+∠CAD=90°．
∴∠CAD=∠BCE，
又∵AC=CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CD+CE，
∴DE=BE+AD=24+32=56（cm）．
∴两墙之间的距离DE的长为56cm．
故答案为：56．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
27．120
【解析】
【分析】
根据余角的性质得到∠DAC＝∠BCE，根据全等三角形的性质得到DC＝BE＝50，AD＝CE＝70，于是得到结论．
【详解】
解：由题意可得：∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
则∠DAC＝∠BCE，
在△ACD和△CBE中，∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴DC＝BE＝50，AD＝CE＝70，
则两张凳子之间的距离为：50+70=120．
故答案为：120．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的应用，等腰直角三角形的性质，得出△ACD≌△CBE是解题关键．
28．5
【解析】
【分析】
如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，再根据两点之间线段最短可得
的最小值为BE，然后根据垂线段最短可得当 时，BE取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】
如图，在AC上取一点E，使 ，连接ME，
是 的平分线，
，
在 和 中， ，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取最小值，最小值为BE，
又由垂线段最短得：当 时，BE取得最小值，
，
，
解得 ，
即 的最小值为5，
故答案为：5．【点睛】
本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找
出 取得最小值时BE的位置是解题关键．
29．理由见解析
【解析】
【分析】
先利用“边角边”证明△AOD和△BOC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠A＝∠B，再利用“角边角”证明
△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，同理可证DE＝CF．
【详解】
解：∵O是AB的中点，
∴AO＝BO，
在△AOD和△BOC中
∵ ，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠A＝∠B，
∵E，O，F在一条直线上，
∴∠AOE＝∠BOF，
在△AOE和△BOF中
∵ ，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF，
同理可证DE＝CF．
【点睛】
本题考查了全等三角形的应用，解题的关键在于明确在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全
等三角形，将需要测量的线段转化到易测量的边上或者已知边上来，从而求解．30．（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）只需要证明△ABC≌△DEC得到AB = DE，即DE的长度就是A，B两点间的距离；
（2）在地面上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在AC的延长线上确
定点D，使CD＝AC，连接BD并测量BD的长度，BD的长度就是A、B两点之间的距离．
【详解】
解：（1）在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS）
∴AB = DE，即DE的长度就是A，B两点间的距离.
（2）方法：在地面上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在AC的延长
线上确定点D，使CD＝AC，连接BD并测量BD的长度，BD的长度就是A、B两点之间的距离，
理由：在△ABC和△DBC中，
∵
△ABC≌△DBC（SAS）
∴AB=BD，
∴通过测量BD的长可得AB的长．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够根据题意构造全等三角形．
31．（1）方案一、方案二；（2）见解析（答案不唯一）
【解析】
【分析】
（1）两位同学作出的都是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以，都是可行的；
（2）方案一利用的是“角边角”，方案二利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可．【详解】
解：（1）方案一、方案二；
故答案为：方案一、方案二；
（2）选方案一：由题意得，AB⊥BC，DE⊥CD，
∴∠ABC=∠EDC=90°，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB=ED，
∴测出DE的长即为A，B间的距离；
选方案二：∵AB⊥BD，
∴∠ABD=∠CBD=90°，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（ASA），
∴AB=BC；
∴测出BC的长即为A，B间的距离．
