文档内容
5.3 分式的加减法
课堂知识梳理
1. 分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成
与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.
2. 分式的加减法:
分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相
加减.
(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;
A B A±B
± =
C C C
上述法则用式子表示是:
(2)异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减;
A C AD BC AD±BC
± = ± =
B D BD BD BD
上述法则用式子表示是:
课后培优练
培优第一阶——基础过关练
1．（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）小明的练习本上有如下四道题，其中有一道题他
做错了，这道题是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】A
【分析】分别计算各选项，进而可得结果．
【详解】解： ，A错误，故符合要求；
，B正确，故不符合要求；
，C正确，故不符合要求；
，D正确，故不符合要求；
故选：A．
1【点睛】本题考查了分式的乘方，分式的加减运算．解题的关键在于正确的运算．
2．（2023春·海南海口·八年级海口市第七中学校考期中）已知 ，则
的值是（ ）
A． B．2 C．1 D．4
【答案】C
【分析】由已知得 ，再整体代入计算即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，利用整体代入法是解题的关键．
3．（2023·浙江台州·统考一模）化简： _______．
【答案】1
【分析】利用同分母分式的减法运算即可得到答案．
【详解】解： ，
故答案为为：1
【点睛】此题考查了分式的减法运算，熟练掌握同分母分式相加减，分母不变，分子相加
减是解题的关键．
4．（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）计算 的结果是______．
【答案】1
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
【详解】解：原式
．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了分式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5．（2023·江苏扬州·统考一模）计算： ______．
【答案】 /
【分析】根据分式的加减运算进行计算即可求解．
2【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
6．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）若 ，则 的值为________．
【答案】2
【分析】根据 可得： ，据此求出分式 的值即可．
【详解】解： ，
，
．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，根据 求出 ，应用整体代入
法是解题的关键．
7．分式 ， ， 的最简公分母是 __.
【答案】 /
【分析】根据最简公分母的定义解决此题.
【详解】解： ，
根据最简公分母的定义，
这三个分式的最简公分母为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的找法是解决本题的关键.
8．我们常用一个大写字母来表示一个代数式，已知 ， ，则化简
3的结果为______．
【答案】 /
【分析】先把除法变成乘法再通分化简即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的加减乘除运算法则是解题关键．
9．甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，一艘轮船在静水中的速度为a
千米/时，水流的速度为b千米/时 ，轮船往返两个港口一次共需______小时.
【答案】
【分析】分别求出顺流和逆流时的速度，利用路程、时间、速度之间的关系即可列式求解．
【详解】解： 轮船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时 ，
顺流速度为 千米/时，逆流速度为 千米/时，
甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，
轮船往返两个港口一次共需时间为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式加减的应用，解题的关键是计算出轮船顺流和逆流时的速度，根据
路程、时间、速度之间的关系列出分式．
10．（2023春·河南洛阳·八年级统考期中）先化简，再求值： ，其
中 ．
【答案】 ， ．
【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的除法，然后代入数值计算即可得．
【详解】解：原式
4，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
11．（2023春·广东深圳·九年级深圳市宝安中学（集团）校考期中）化简分式：
，并当 代入求值．
【答案】 ，
【分析】先根据分式混合运算的相关运算法则将原式化简，再代入x的值计算即可．
【详解】解：
＝
当 时，原式
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的加减运算，熟练掌握相关运算法则
是解题的关键．
12．（2023春·山西晋城·八年级统考期中）（1）化简： ；
（2）先化简，再求值： ，其中
【答案】（1） ；（2） ；
【分析】（1）对括号里的式子进行通分，对括号外面的利用平方差公式进行分解，然后将
除法化为乘法，再进行约分即可；
（2）利用平方差公式，完全平方公式和分式的混合运算法则对原式进行化简，再把 的值
代入求解即可．
【详解】解：（1） ，
，
5，
；
（2） ，
，
，
，
，
当 时，
原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简及求值，熟练掌握平方差公式，完全平方公式和分式的混
合运算法则是解答本题的关键．
13．以下是某同学化简分式 的部分运算过程：
解：
原式 ．．．．．．．．．．第一步
．．．．．．．．．．第二步
． ．．．．．．．．．第三步
任务一：填空
(1)以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
(2)第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：
(3)直接写出该分式化简后的正确结果．
【答案】(1)二、分式的基本性质
(2)三、没有添括号
(3)
6【分析】（1）根据分式的性质，即可求解；
（2）根据同分母分式加减进行计算即可求解；
（3）根据分式的运算法则进行计算即可求解．
【详解】（1）以上化简步骤中，第二步是通分，通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：二、分式的基本性质．
（2）第三步开始出现错误，错误的原因是没有添括号，
故答案为：三、没有添括号．
（3）解：
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
14．定义：若两个分式的差的绝对值为 ，则称这两个分式属于“友好分式组”．
(1)下列3组分式：
① 与 ；② 与 ；③ 与 ，其中属于“友好分式组”的有
（只填序号）；
(2)若正实数 互为倒数，求证，分式 与 属于“友好分式组”；
(3)若 均为非零实数，且分式 与 属于“友好分式组”，求分式 的
值．
【答案】(1)②③；
(2)见解析；
(3) 或 ．
【分析】（1）根据分式运算，“友好分式组”的定义即可求解；
（2）根据“友好分式组”的定义，分式的运算法则即可求证；
7（3）根据“友好分式组”的定义，求出 的关系，再分类讨论，即可求解．
【详解】（1）解：① ；
② ；
③ ；
∴属于“友好分式组”的有②③，
故答案为：②③．
（2）解：∵ 互为倒数，
∴ ， ，
∴
，
∴分式 与 属于“友好分式组”．
（3）解：∵
，
∵ 与 属于“友好分式组”，
8∴ ，
∴ 或 ，
① ，② ，
把①代入 ，
把②代入 ，
综上所述： 的值为 或 ．
【点睛】本题主要考查定义新运算，理解定义新运算的法则，掌握分式的运算法则是解题
的关键．
培优第二阶——拓展培优练
15．分式 化简结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用分式加减乘除混合运算计算即可．
【详解】解：
，
故选A．
9【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键．
16．（2023·河北承德·校联考模拟预测）若 的运算结果为整式，则“ ”中的
式子可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．
【详解】解：A． ，是分式，不是整式，故本
选项不符合题意；
B． ，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；
C． ，是整式，故本选项符合题意；
D． 是分式，不是整式，故本选项
不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的混合运算和整式，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此
题的关键．
17．（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）若 的计算结果为正整数，则对 值
的描述最准确的是（ ）
A． 为自然数 B． 为大于 的偶数 C． 为大于 的奇数 D． 为正整数
【答案】C
【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式
，
由于 是正整数，
∴ 是大于 的奇数．
故选：C．
【点睛】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属
于基础题型．
1018．若分式 （A、B为常数），则A、B的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】等式右边进行分式的减法运算，再根据对应项的系数相等可求解．
【详解】解：∵
，
∴ ，
∴ ，则 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的加减法、解二元一次方程组，熟练掌握分式加减运算法则是解
答的关键．
19．（2023·辽宁朝阳·校考一模）对于任意的 值都有 ，则 ，
值为______，______．
【答案】 5
【分析】先计算 得到 ，利用 ，得
到 ，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵
，
11，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ，5
【点睛】此题考查了分式的加法运算，二元一次方程组的解法，熟练掌握分式运算法则是
解题的关键．
20．对于正数 ，规定 ，例如： ， ，
， …利用以上的规律计算：
_______．
【答案】
【分析】根据 ，得到 ，即可得到答案；
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∴
，
故答案为： ；
【点睛】本题考查分式化简求值及规律，解题的关键是得到 ．
1221．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨风华中学校考开学考试）学习分式运算过程中，
老师布置了一个任务：依据下面的流程图，计算 时需要经历的路径是______．
【答案】②④
【分析】根据分式的减法运算法则即可求出答案．
【详解】解：
，
根据运算可知，需要经历的路径是②④；
故答案为：②④．
【点睛】本题考查分式的减法运算，解题的关键是熟练运用分式的减法运算，本题属于基
础题型．
22．已知 ，则 __________．
13【答案】6
【分析】根据完全平方公式变形可得 ， ，由此即可解题.
【详解】解：∵
∴ ，即
∴
∴
∴
故答案为6.
【点睛】本题考查代数式的求值，根据条件利用完全平方公式变形，结合整体代入思想是
解决问题的关键．
23．若 ， ， ，则 _______．
【答案】
【分析】首先求出 ，将原代数式的分母变形为
，将该式进一步化简变形，借助已知条件即可解
决问题．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
14，
同理可得： ， ，
原式
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活
运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简，对综合的分析问题、解决问题的能力
提出了较高的要求．
24．（2023春·湖北黄石·八年级统考期中）先化简，再求值
，其中 ， ．
【答案】 ，
【分析】首先把分式化简，先算括号里面的减法，再算括号外的除法，化简后，再代入
x、y的值即可求解．
【详解】
15，
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查整式的运算，分式的化简的综合，掌握完全平方公式，平方差公式，乘
方运算，分式的性质，分式的化简、代入求值的方法是解题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
25．（2022·山东菏泽·统考中考真题）若 ，则代数式 的值
是________．
【答案】15
【分析】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可．
【详解】解：
=
=a(a-2)
=a2-2a，
∵a2-2a-15=0,
∴a2-2a=15，
∴原式=15．
故答案为：15．
【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
26．（2022·湖南·统考中考真题）有一组数据： ， ， ，
， ．记 ，则 __．
【答案】
【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算．
【详解】解： ；
16；
；
，
，
当 时，
原式
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
27．（2022·内蒙古·中考真题）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．
【详解】解：原式
当 时，原式 ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公
式，能约分的要约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键．
28．（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
17第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
【答案】任务一：①一 ，分式的性质； ②二，去括号没有变号；任务二：
【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；②利用去括号法则得出答案；
任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】任务一： 以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．
第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．
故答案为： 一，分式的性质；②二，去括号没有变号．
任务二：
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．
29．（2022·湖北黄石·统考中考真题）先化简，再求值： ，从-3，-
1，2中选择合适的a的值代入求值．
【答案】 ；
【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可．
18【详解】解：
∵ 且 ，
∴ 且 ，
∴ ，
当 时，原式 ．
19
