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第五章 一元一次方程
5.3 应用一元一次方程--水箱变高了
精选练习
基础篇
一、单选题
1．（2021·黑龙江·绥棱县教师进修学校期末）三角形三边比是 ，周长是72，那么，最长边是
（ ）
A．30 B．24 C．18 D．12
【答案】A
【分析】设最长边是x，按比例分配列比例式 ，故 ．
【详解】设最长边是x，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形，一元一次方程的简单应用，解决问题的关键是按比例分配列比例式．
2．（2023·福建·泉州五中三模）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，
不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.”其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则
剩余四两，如果每人分九两，则还差半斤（注： 明代时 1 斤＝16 两，故有“半斤八两”这个成语）．
设总共有 x 个人，根据题意所列方程正确的是（ ）
A．7x - 4 = 9x+8 B．7x+4 = 9x-8
C． D．
【答案】B
【分析】直接根据题中等量关系列方程即可．
【详解】解：根据题意，7x+4 = 9x－8，故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
3．（2022·全国·七年级课时练习）在一个底面直径为6cm，高为9cm的圆柱形瓶内注水，使水柱的高为
5cm，向瓶中放入一块长、宽、高分别为2cm，2cm，4cm的长方体铁块，则此时水柱的高为（ ）（ 取
3）
A． cm B． cm C． cm D． cm
【答案】D
【分析】利用长方体及圆柱的体积公式列出方程求解即可．
【详解】解：设水面将增高 ，由题意可得，
，
解得 ，
．
此时水柱的高为 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了体积公式，解题的关键是利用长方体及圆柱的体积公式列出方程．
4．（2022·四川·三台博强蜀东外国语学校七年级阶段练习）一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），
已知瓶子的底面积为 ，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是（ ） ．
A．80 B．70 C．60 D．50【答案】C
【分析】据“空余容积+水的体积=瓶子的容积”和圆柱的体积公式作答．
【详解】解：由左图知，水体积为40 cm3，
在左图中用v表示瓶子的体积，
空余容积为（v-40）cm3；
由右图知空余容积为 cm3，
由左右两图得到的空余容积应相等得方程：v-40=20．
v=40+20=60
故选择：C．
【点睛】本题考查列一元一次方程解应用题，掌握列一元一次方程解应用题的方法，关键是分析图形信息
找等量关系．
5．（2021·湖南·宁远县启慧学校七年级阶段练习）甲乙两桶共有48千克水，如果甲桶给乙桶加乙桶水的
一倍，然后乙桶又给甲桶加甲桶剩余水的一倍，那么两桶水的质量相等，问原来甲、乙两桶内各有多少千
克水？若设原来乙桶内水的质量为x千克，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用列表法，逐渐分析计算判断即可.
【详解】根据题意，列表得：根据题意，得
，
故选A.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，熟练运用列表法分析变化规律，寻找等量关系是解题的关键.
6．（2021·陕西·无七年级期末）为了保护生态环境，某山区县将该县某地一部分耕地改为林地，改变后林
地和耕地面积共有180平方千米，其中耕地面积是林地面积的25%，若设耕地面积为 平方千米，则根据
题意，列出方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先理解题意找出题中存在的等量关系：林地面积+耕地面积=180km2，耕地面积是林地面积的
25%，若设耕地面积为 平方千米，则林地面积为(180-x)平方千米，再由耕地面积是林地面积的25%，列方
程即可．
【详解】解：设耕地面积为xkm2，则林地面积应该表示为 平方千米，依题意得，
故选：B
【点睛】此类题目的解决需仔细分析题意，找准关键描述语：林地面积和耕地面积共有180km2，耕地面积
是林地面积的25%．进而利用方程即可解决问题．
二、填空题
7．（2022·江苏·南京民办求真中学七年级阶段练习）比例的两个内项分别为2和5，两个外项分别为x和
2.5，则x的值为_______．
【答案】4
【分析】根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，列方程求解即可．
【详解】解：由题意得： ，
解得： ，
故答案为：4．
【点睛】本题考查比例的基本性质：内项之积等于外项之积．
8．（2022·湖北襄阳·七年级期末）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）的销售瓶数的比为2：5．已知每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装_______大瓶．
【答案】20000
【分析】设每份为x瓶，则大瓶销售了2x瓶，小瓶销售了5x瓶，根据大小消毒液的总重量为22.5吨
=22500000克建立方程求出其解即可．
【详解】解：设每份为x瓶，则大瓶销售了2x瓶，小瓶销售了5x瓶，根据题意得：
2x×500+5x×250=22500000，
解得x=10000，
所以大瓶销售了：2×10000=20000瓶，
故答案是：20000．
【点睛】本题考查了运用比例问题的设每份为未知数的方法建立方程求解的运用，一元一次方程的解法的
运用，解答时运用设间接未知数降低解题难度是关键．
9．（2022·全国·七年级课时练习）将一根底面积为 平方厘米，高为 厘米的圆柱形铁块锻压成底面
积为 平方厘米的“胖”铁块，此时的高为____________.
【答案】 厘米.
【分析】设“胖”铁块的高为x厘米，根据锻造前的体积=锻造后的体积列方程求解即可.
【详解】设“胖”铁块的高为x厘米，由题意得
78.5x=28.26×10,
解之得
x=3.6.
故答案为 厘米.
【点睛】本题考查了几何图形中一元一次方程的应用，根据“锻造前的体积=锻造后的体积”得到等量关
系是解决本题的关键．
10．（2022·全国·七年级课时练习）如图，一个尺寸为 单位： 密封的铁箱中，有3dm高的液
体．当此铁箱竖起来 以 为底面 时，箱中液体的高度是________dm．
【答案】45．【分析】设当此铁箱竖起来 以 为底面 时，箱中液体的高度是 dm，根据等积法列方程求解即得．
【详解】设当此铁箱竖起来 以 为底面 时，箱中液体的高度是 dm
由题意得：
解得：
答：当此铁箱竖起来 以 为底面 时，箱中液体的高度是 dm
故答案为：45．
【点睛】本题考查了一元一次方程实际问题，解题关键是熟知前后液体体积不变．
三、解答题
11．（2021·全国·七年级课时练习）第一块试验田的面积比第二块试验田的3倍还多 ，这两块试验田
共 ，两块试验田的面积分别是多少？
【答案】第一块试验田面积为 ，第二块试验田面积为 ．
【分析】首先设第二块实验田面积是 ，则第一块实验田的面积 ，再根据两块实验田面积总和
是 ，列出方程即可．
【详解】解：设第二块实验田面积是 ，由题意得：
，
解得： ，
第一块实验田的面积： ．
答：两块试验田的面积分别是 ， ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再
列出方程．
12．（2022·全国·七年级专题练习）墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图实线所示（单位：
）．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图虚线所示．小颖所钉长方形的
长、宽各为多少厘米？
【答案】长为 ，宽为 ．
【分析】设长方形的长为 ，由梯形与长方形的周长相等列方程可得 ，再解方程
可得答案.【详解】解：设长方形的长为 ，
根据题意，得 ．
解得：
所以长方形的长为 ，宽为 ．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，图形的周长问题，理解题意，确定两个图形的周长相等列方
程是解题的关键.
提升篇
一、填空题
1．（2022·全国·七年级专题练习）根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产
品的销售数量（按瓶计算）比为2：5．某厂每天生产这种消毒液22.5t，则这些消毒液分装成的这两种产
品中有______瓶大瓶产品．
【答案】20000
【分析】设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，根据题意列方程求出x，则可知大瓶的数量
【详解】换算单位：22.5t=22.5×1000×1000g
设大瓶有2x瓶，小瓶有5x瓶，
根据题意列方程，得
500·2x+250·5x=22.5×1000×1000，
解得x=10000
2x=20000
∴大瓶有20000瓶．
故答案为：20000
【点睛】本题考查了列一元一次方程解应用题，一般情况下题目中出现比值问题，通常设每份为x，掌握
以上方法是解题的关键．
2．（2022·全国·七年级课时练习）一个圆锥与一个圆柱的底面积相等，已知圆锥与圆柱的体积比是1：4，
圆锥的高是4.8厘米，则圆柱的高是 ___厘米．
【答案】6.4
【分析】设圆柱的高为h，底面积为S，利用圆柱的体积=Sh，圆锥的体积= Sh，再据“圆锥与圆柱的体积比是1：4”即可求出圆柱的高．
【详解】解：设圆柱的高为h，底面积为S，
则 Sh= S×4.8
h= ×4.8
h=1.6
h=6.4
故答案为：6.4．
【点睛】本题考查了圆柱和圆锥的体积的计算方法的灵活应用，解题的关键是熟记圆柱和圆锥的体积公式．
3．（2021·湖北·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）七年级期末）如图，将长方形ABCD分割成1个
灰色长方形与204个面积相等的小正方形.若灰色长方形的长与宽之比为7：3，试求AD：AB的值．
【答案】9：4
【分析】可设灰色长方形的长上摆7x个小正方形，宽上摆3x个小正方形，因为将长方形ABCD分割成1个
灰色长方形与204个面积相等的小正方形，可表示出灰色长方形的长和宽，进而求出大长方形的长和宽，
从而可求解．
【详解】解：设灰色长方形的长上摆7x个小正方形，宽上摆3x个小正方形，
根据“长方形ABCD分割成1个灰色长方形与204个面积相等的小正方形”可知：
2(7x+3x)=204-4，
解得：x=10，
则灰色长方形的长上摆了70个小正方形，宽上摆了30个小正方形，
∴AD=72个小正方形的边长，AB=32个小正方形的边长，
∴AD：AB=72：32=9：4．
【点睛】此题考查理解题意能力及一元一次方程的应用，关键是看到灰色长方形的周长和204个小正方形
的关系从而求解．4．（2022·全国·七年级专题练习）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，
醐洒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清跴酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，
一斗醐洒酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清洒，醐洒酒各几斗？如果设清酒x斗，
那么可列方程为_________．
【答案】
【分析】设清酒x斗，则醐洒酒为（5-x）斗，一斗清酒价值10斗谷子，x斗清酒价值10x斗谷子；一斗醐
洒酒价值3斗谷子，（5-x）斗醐洒酒价值3（5-x）斗谷子．存在“换x斗清酒和（5-x）斗醐洒酒共用30
斗谷子”的等量关系，根据等量关系可列方程．
【详解】解：设清酒x斗，则醐洒酒为（5-x）斗．
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，准确分析出数量关系和等量关系是解决本题的关键．
5．（2022·重庆·黔江区育才初级中学校七年级期中）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地
形，决定在该村种植A、B、C三种经济作物增加收入，经过一段时间，该村已种植的A、B、C三种经济
作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，为了进一步提高该村的经济收入，将在该村余
下土地上继续种植这三种经济作物，经测算需将余下土地面积的 种植C经济作物，则C的种植总面积将
达到这三种经济作物种植总面积的 ，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了 ，则该村还需种植A、
B两种经济作物的面积之比是__________．
【答案】2:3
【分析】设该村已种植A经济作物面积3m，种植A经济作物单位面积产值为n，根据三种经济作物的面积
之比以及单位面积产值之比可得该村已种植B经济作物面积2m，已种植C经济作物面积4m，种植B经济
作物单位面积产值为2n，种植C经济作物单位面积产值为2n，设余下的面积为z，增加种植C经济作物
，可列方程 ，可得z=3m，设该村还需种植A种经济作物的面积a，还需
种植B两种经济作物的面积 ，利用A、B、C三种经济作物的总产值提高了 ，列方程，解方程即可．
【详解】解：设该村已种植A经济作物面积3m，种植A经济作物单位面积产值为n，
∵该村已种植的A、B、C三种经济作物的面积之比为3：2：4，单位面积产值之比为1：2：2，
∴该村已种植B经济作物面积2m，已种植C经济作物面积4m，种植B经济作物单位面积产值为2n，种植
C经济作物单位面积产值为2n，
设余下的面积为z，
∴增加种植C经济作物 ，
∴ ，
解得z=3m，
设该村还需种植A种经济作物的面积a，还需种植B两种经济作物的面积3m-a- ，
A作物面积： ，B作物面积： ，C作物面积： ，
A、B、C三种经济作物的总产值为 ，
=
= ，
A、B、C三种经济作物的原总产值= ，
∴ ，
解得 ， ，
该村还需种植A、B两种经济作物的面积之比是 ，
故答案为：2:3．
【点睛】本题考查代数式表示数，代数式在生活中运用，利用一元一次方程，仔细阅读抓住等量关系C的
种植总面积将达到这三种经济作物种植总面积的 ，且A、B、C三种经济作物的总产值提高了 ，列方程
解决问题是关键．二、解答题
6．（2022·全国·七年级）一圆柱形桶内装满了水，已知桶的底面直径为a，高为b．又知另一长方体形容器
的长为b，宽为a，若把圆柱形桶中的水倒入长方体形容器中（水不溢出），水面的高度是多少？
【答案】
【分析】根据水的体积始终相等列出方程求解即可．
【详解】解： 水的体积始终相等，设长方体容器高为 ，
，解得 ，
答：水面的高度是 ．
【点睛】本题考查了圆柱与长方体，考查了学生在现实情景中理解用字母表示数的意义，初步掌握用字母
表示数的方法；会用含有字母的式子表示数量；二是考查了学生圆柱体积计算公式、长方体体积计算公式
的灵活运用．关键是弄清这些水在圆形形容器、长方体容器中的体积不变．
7．（2022·全国·七年级课时练习）用一根长为 的铁丝围成一个长方形．
（1）使得该长方形的长比宽多 ，此时长方形的长、宽各为多少米？
（2）使得该长方形的长比宽多 ，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与（1）中所围
长方形相比，面积有什么变化？
（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与
（2）中相比又有什么变化？
【答案】（1）长方形的长为 ，宽为 ；（2）长方形的长为 ，宽为 ，它所围成的长方形
的面积比（1）中面积增大0.33m2；（3）正方形的边长为 ，它所围成的面积比（2）中面积增大
0.16m2 ．
【分析】（1）首先设长方形的宽为 ，则长为 ，根据长方形的周长公式可得方程
，再解即可；
（2）设此时长方形的宽为 ，则它的长为 ，求出边长，进而可得面积，再求出增加的量；
（3）利用（1）（2）中的数据进行比较即可．【详解】（1）设此时长方形的宽为 ，则它的长为 ．
根据题意，得 ．
解这个方程，得 ．
．
此时长方形的长为 ，宽为 ．
（2）设此时长方形的宽为 ，则它的长为 ．
根据题意，得
解这个方程，得 ．
．
此时长方形的长为 ，宽为 ，它所围成的面积为 ，
（1）中长方形所围成的面积为 ．此时长方形的面积比（1）中面积增大
．
（3）设正方形的边长为 ．
根据题意，得
．
解这个方程，得 ．
正方形的边长为 ，
它所围成的面积为 ，
比（2）中面积增大 ．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列
出方程．
8．（2022·全国·七年级专题练习）有一个盛水的圆柱体玻璃容器，它的底面直径为12cm（容器厚度忽略
不计），容器内水的高度为10cm．（1）如图1，容器内水的体积为______ （结果保留 ）．
（2）如图2，把一根底面直径为6cm，高为12cm的实心玻璃棒插入水中（玻璃棒完全淹没于水中），求
水面上升的高度是多少？
（3）如图3，若把一根底面直径为6cm，足够长的实心玻璃棒插入水中，求水面上升的高度是多少？
【答案】（1） ；（2）3cm；（3） cm
【分析】（1）结合题意，根据圆柱体体积公式计算，即可得到答案；
（2）根据题意，玻璃棒完全淹没于水中，即水面上升部分的体积就等于玻璃棒的体积；设水面上升的高
度为xcm，通过列方程并求解，即可得到答案；
（3）根据题意，水面上升部分的体积等于玻璃棒淹没部分的体积，设水面上升高度为xcm，通过列方程并
求解，即可得到答案．
【详解】（1）容器内水的体积为
故答案为： ；
（2）设水面上升的高度为xcm
根据题意得：
解得：
∴水面上升高度为3cm；
（3）设水面上升高度为xcm，
水面上升部分的体积为 ，玻璃棒淹没部分的体积为 ，
得： ，
解得：
∴水面上升高度为 cm．
【点睛】本题考查了有理数运算、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握含乘方的有理数混合运算、
一元一次方程的性质，从而完成求解．
