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5.3 分式方程
题型一 判断是否是分式方程
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】③④⑤⑨
7．【答案】①④
题型二 解分式方程
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】C
5．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；
（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】（1）解： ，
去分母，得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
所以 是原方程的解．
（2）解： ，
去分母，得： ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
检验：当 时， ，
所以 是原方程的解．
6．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程等知识，解分式方程的步骤一般为3步，①去分母，化为整式方程；②解
整式方程；③检验．
（1）根据解分式方程的步骤解方程即可求解；
（2）根据解分式方程的步骤解方程即可求解．
【详解】（1）解： ，
方程两边同乘 得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
分式方程的解为 ；
（2）解： ，
方程两边同乘 得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
是分式方程的增根，原分式方程无解．
7．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验
即可得．
【详解】解：
去分母得，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司检验：将 代入 ．
∴原方程的解为 ．
8．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检
验即可得到分式方程的解．
【详解】解： ，
方程两边乘 ，得
解得： ．
检验：当 时， ．
所以，原分式方程的解为 ．
9．
【答案】(1)无解
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
（1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得；
（2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】（1）解： ，
去分母，得 ，
解得 ，
检验：将 代入 ，
∴原方程无解；
（2）解： ，
去分母得， ，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司检验：将 代入 ，
∴原方程的解为 ．
10．
【答案】(1)
(2)原方程无解
【分析】此题考查了解分式方程，正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．
（1）将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可．
（2）将分式方程去分母化为整式方程，解整式方程求出解并检验即可．
【详解】（1）解： ，
化为整式方程得 ，
去括号得， ，
解得： ，
检验： 时， ，
故 是原方程的解．
（2）解： ，
化为整式方程得 ，
去括号得， ，
移项，合并同类项得 ，
解得： ，
检验： 时， ，
故 是增根，原方程无解．
题型三 根据分式方程解的情况求值
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】B
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学科网（北京）股份有限公司5．【答案】 且
6．【答案】
7．
【答案】(1) 且
(2) 且
(3) 的值为 或 或
(4) 或
【分析】本题考查了分式方程的解以及解分式方程，分式方程有增根和无解时求字母的值，解题的关键是
掌握相关知识．
（1）先解分式方程得到 ，再根据该分式方程的解为正数得到 ，且 ，即可求解；
（2）先解分式方程得到 ，再根据该分式方程的解为负数得到 ，且 ，即可求解；
（3）先解分式方程得到 ，再根据该分式方程有增根得到 或 或 ，即可求解；
（4）先解分式方程得到 ，再根据该分式方程无解，可得 或 ，即可求解．
【详解】（1）解：
，
该分式方程的解为正数，
，且 ，
解得 且 ；
（2）解：
，
方程有解，且解为负数，
，且 ，
且 ；
（3）解：
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学科网（北京）股份有限公司，
该方程有增根，
或 或 ．
的值为 或 或 ；
（4）解：
，
分式方程无解，
或 ，
或 ．
题型四 分式方程无解问题
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】5
6．【答案】 或
7．【答案】6
8．
【答案】(1)
(2)0或4
【分析】本题考查分式方程的解与增根的概念．特别注意增根是使原方程分母为零的根，但在解方程过程
中可能引入的无效解，需代入化简后的方程求出对应的 值．
（1）把 代入方程计算即可求出k的值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）由分式方程有增根求出 的值，分式方程去分母后代入计算即可求出 的值．
【详解】（1）解：（1）∵方程的解为 ，
∴ ，
解得 ；
（2）由分式方程有增根，得到 或 ，解得 ，
分式方程去分母得： ，
把 代入方程得： ，解得： ，
把 代入方程得： ，
故 的值为0或4．
题型五 列分式方程
1．【答案】A
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】
9．【答案】
10．【答案】
题型一 分式方程的行程问题
1．
【答案】高铁的平均速度为
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司设动车的平均速度为 ，则高铁的平均速度为 ，根据题意列出方程，求出 的值即可解答．
【详解】解：设动车的平均速度为 ，则高铁的平均速度为 ，
根据题意，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
则 ，
答：高铁的平均速度为 ．
2．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的行程问题，列分式方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
设小王原计划的平均速度为 ，根据题意列出分式方程求解．
【详解】解：设小王原计划的平均速度为 ，
由题意得 ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意．
答：小王原计划的平均速度为 ．
3．
【答案】25海里/时
【分析】本题主要考查列分式方程解应用题，根据题意确定等量关系，列出方程是解题的关键．
根据监测直升机从A港出发，刚好追上“福建舰”所用的时间与“福建舰”试航所用的时间相等作为等量
关系列分式方程求解即可．
【详解】解：设“福建舰”的试航速度为 海里/时，则监测直升机的速度为 海里/时，
由题意得， ，
解得 ，
答：“福建舰”的试航速度为25海里/时．
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学科网（北京）股份有限公司4．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
（ ）解法一：设大巴车的平均速度为 ，则中巴车的平均速度为 ，根据结果两校学生同
时到达纪念馆，列出分式方程，解方程，即可解决问题；
（ ）解法二：设大巴车行驶的时间为 ，根据中巴车的平均速度比大巴车的平均速度快 ，列出分
式方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设大巴车的平均速度为 ，则中巴车的平均速度为 ，
根据题意可列方程，得 ，
解得： ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：大巴车行驶的时间为 ，
故答案为： ；
（2）解：设大巴车行驶的时间为 ，
根据题意得： ，
解得 ，
经检验， 是原分式方程的解，且符合题意，
答：大巴车行驶的时间为 ，
故答案为： ．
5．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)乙骑自行车的速度为300米/分钟
(2)出发6分钟后，两人与学校的距离相等
【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系．
（1）设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是 （米/分钟），公交车的速度是2x（米/分
钟），根据题意列方程即可得到结论；
（2）乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟，甲步行600米所
需时间 （分钟）设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为 米，
然后分类讨论列方程求解即可．
【详解】（1）解：设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是 （米/分钟），公交车的速度
是2x（米/分钟），
根据题意得
解得： ，
经检验 是方程的根，且符合题意
答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；
（2）解：由（1）可得，乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分
钟
甲步行600米所需时间 （分钟）
设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为 米，
当 时，甲与学校的距离为 米，
设
解得 （不合题意，舍去）
当 时，甲与学校的距离为 （米）
设
解得
∴出发6分钟后，两人与学校的距离相等．
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学科网（北京）股份有限公司6．
【答案】(1) ； 0.5
(2)见解析
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确的列方程是解题的关键．
（1）根据甲机器狗比乙机器狗每秒多跑0.5米，甲机器狗跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等，分
别列出分式方程即可；
（2）设乙机器狗这次运铁饼的速度是 ，则甲机器狗这次运铁饼的速度是 ，根据甲机器狗
跑135米与乙机器狗跑120米所用时间相等，列出分式方程，解方程即可．
【详解】（1）解：小佳同学设乙机器狗这次运铁饼的速度是 ，可列方程为 ；
小琪同学设甲机器狗这次运铁饼的所用时间是 ，可列方程为 ；
故答案为： ； ；
（2）解：设乙机器狗这次运铁饼的速度是 ，则甲机器狗这次运铁饼的速度是 ，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：乙机器狗这次运铁饼的速度是 ．
7．
【答案】(1)
(2)乙客车；理由见解析
【分析】本题考查了分式方程的应用以及分式的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关
键．
（1）设甲客车的平均速度为 ，则乙客车的平均速度为 ，利用时间 路程 速度，结合甲客
车比乙客车多用 ，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）利用时间 路程 速度，可求出甲、乙两客车所用时间，作差后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲客车的平均速度为 ，则乙客车的平均速度为 ，
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学科网（北京）股份有限公司根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意．
答：甲客车的平均速度为 ；
（2）解：乙客车用时少先返回学校，理由如下：
甲客车所用时间为 ，
乙客车所用时间为
，
， ， ，
， ，
，
乙客车用时少先返回学校．
题型二 分式方程的工程问题
1．【答案】
2．
【答案】(1)甲组单独完成此项工作需要6小时，乙组单独完成此项工作需要3小时
(2)1小时
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设甲组单独完成此项工作需要x小时，则甲组的工作效率为 ，乙组的工作效率为 ，利用甲
组完成的工作量+乙组完成的工作量=总工作量，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值
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学科网（北京）股份有限公司即甲种单独完成此项工作所需时间 ，再将其代入 中，即可求出乙种单独完成此项工作所需时间；
（2）设甲、乙合作了m小时，则剩下的工作由乙组单独完成还需 小时，根据要求完成扫
雪工作不超过 小时，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：设甲组单独完成此项工作需要x小时，则甲组的工作效率为 ，乙组的工作效率为
，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
小时
答：甲组单独完成此项工作需要6小时，乙组单独完成此项工作需要3小时；
（2）解：设甲、乙合作了m小时，则剩下的工作由乙组单独完成还需 小时，
根据题意得： ，
解得： ，
的最小值为
答：甲乙两组至少合作1小时才能完成任务．
3．
【答案】(1)原计划每天铺设路面80米
(2)完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元
【分析】此题考查了分式方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
（1）设原计划每天铺设路面x米，根据共用13天完成道路改造任务列方程并解方程即可；
（2）分别计算出提高工作效率前和提高工作效率后的天数，根据每天支付给工人的工资计算即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：设原计划每天铺设路面x米，
由题意可得， ，
解得： ，
经检验： 是方程的解，
答：原计划每天铺设路面80米；
（2）由（1）得，
（天）， （天），
总费用为： ，
∴答：完成整个工程后承包商共支付工人工资21900元．
4．
【答案】(1) 天
(2) 天
【分析】本题考查了工程问题的应用，核心是利用“工作效率 工作时间 工作量”的关系，通过设未知
数建立方程求解．熟练掌握工作效率、工作时间与工作量的数量关系是解题关键．
（1）先确定甲、乙两队的工作效率，再根据“两队合作的工作量之和 总工作量”列方程求解合作完成时
间；
（2）先设甲队单独工作的时间，再结合“甲单独完成的工作量 两队合作完成的工作量 总工作量”列
方程求解．
【详解】（1）解： 甲施工队单独完成需要 天，乙施工队单独完成需要 天，
甲施工队每天完成 ，乙施工队每天完成 ，
设两队合作施工 天可以完成，
则 ，
解得： ，
答：若两队合作施工， 天可以完成．
（2）解：由（1）得，甲施工队每天完成 ，乙施工队每天完成 ，
设甲队先单独工作了 天，
则 ，
14 / 32
学科网（北京）股份有限公司解得： ，
答：甲队先单独工作了 天．
5．
【答案】
0.6万平方米
【分析】本题主要考查分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键．
设原计划每天绿化的面积为x万平方米，根据题意列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为 万平方米，
∴依题意得：
解得 ．
经检验 是原方程的解，且符合题意．
答：原计划每天绿化的面积是0.6万平方米．
6．
【答案】
20天
【分析】本题考查分式方程的应用，解决本题的关键是根据方案建立等式．
通过设规定工期为x天，根据方案A与方案B可得到甲队与乙队单独完成的天数，根据方案C中甲、乙两
队的工作量关系列出方程求解．
【详解】解：设规定工期为x天，则甲队单独完成需x天，乙队单独完成需 天，
根据方案C，甲、乙两队合作4天后，余下的工程由乙队单独做正好完成，可列方程：
，
方程两边同乘 ，得： ，
化简得： ，
即 ，解得 ，
经检验， 是原方程的解且符合题意，
答：规定的工期是20天．
7．
【答案】(1)甲工程队每天施工4千米，乙工程队每天施工3千米
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学科网（北京）股份有限公司(2)甲工程队每天施工费 万元，乙工程队每天施工费1万元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．
（1）设甲工程队每天施工x千米，乙工程队每天施工 千米，根据甲队单独完成工程的天数是乙队单
独完成天数的 ，列出方程，解方程即可；
（2）设乙工程队每天施工费x万元，甲工程队每天施工费 万元，根据甲队施工天数比乙队多3天，列
出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设甲工程队每天施工x千米，乙工程队每天施工 千米，根据题意得：
，
解得 ，
经检验 是原方程的解，
（千米），
答：甲工程队每天施工4千米，乙工程队每天施工3千米．
（2）解：设乙工程队每天施工费x万元，甲工程队每天施工费 万元，根据题意得：
，
解得 ，
经检验 是原方程的解，
，
答：甲工程队每天施工费 万元，乙工程队每天施工费1万元．
8．
【答案】A型机单独工作完成这批零件需要15小时
【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
设A型机完成这批零件所用的时间为 小时，则B型机完成这批零件所用的时间为 小时，根据题意列出
方程求解即可．
【详解】解：A型机单独工作完成这批零件需要 小时，则B型机单独工作完成这批零件需要 小时．
依题意得：
解得：
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学科网（北京）股份有限公司检验：当 时， ， ， ，符合题意，
所以原分式方程的解为 ．
答：A型机单独工作完成这批零件需要15小时．
题型三 分式方程的经济问题
1．
【答案】升级1条甲类生产线需投入30万元，升级1条乙类生产线需投入25万元
【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
设升级1条乙类生产线需投入 万元，则升级1条甲类生产线需投入 万元，根据用120万元升级甲
类生产线的条数和用100万元升级乙类生产线的条数相同，可列出关于 的分式方程，解之经检验后，即
可得出结论．
【详解】解：设升级1条乙类生产线需投入 万元，则升级1条甲类生产线需投入 万元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
（万元）．
答：升级1条甲类生产线需投入30万元，升级1条乙类生产线需投入25万元．
2．
【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为 元， 元；
(2)最多可以采购 个乙种型号玩偶．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题关键是找准等量关系，正确列出
分式方程和根据各数量之间的关系列出不等式的方程．
（1）先设甲型玩偶单价为 元，乙型玩偶的单价为 元，再求出各自的个数，根据甲型玩偶的数量比乙
型玩偶的数量多 个列分式方程即可；
（2）先设采购 个乙型玩偶，得出采购 个甲型玩偶，根据总价 单价 数量列不等式即可．
【详解】（1）解：设甲种型号玩偶的单价为 元，根据题意得
，
两边同乘 得， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
解得 ．
经检验 是分式方程的解．
．
答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为 元， 元．
（2）解：设可以采购 个乙型玩偶，
根据题意得， ，
，
，
解得 ．
答：最多可以采购 个乙种型号玩偶．
3．
【答案】甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元
【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲型号机器人单价为 万元，则乙型号机器人单价为 万
元，依题意列出方程，求解即可得出答案，掌握分式方程的应用是解题的关键．
【详解】解：设甲型号机器人单价为 万元，则乙型号机器人单价为 万元，依题意得：
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
∴ （万元），
答：甲型机器人单价为50万元，乙型机器人单价为70万元．
4．
【答案】购买一个“喜洋洋”的单价为88元，购买一个“乐融融”的单价为58元
【分析】本题考查分式解应用题，读懂题意，找准等量关系列出分式方程求解是解决问题的关键．
设购买一个“乐融融”的单价为 元，则购买一个“喜洋洋”的单价为 元．由用880元购买“喜洋
洋”吉祥物的数量是 ，用290元购买“乐融融”吉祥物数量是 ，然后根据题意列出分式方程，
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学科网（北京）股份有限公司求解后验根即可得到答案．
【详解】解：设购买一个“乐融融”的单价为 元，则购买一个“喜洋洋”的单价为 元．
根据题意得 ，
解得 ．
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
（元），
答：购买一个“喜洋洋”的单价为88元，购买一个“乐融融”的单价为58元．
5．
【答案】(1)第一批哈密瓜每件进价是 元
(2)第二批哈密瓜赚了 元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
（1）设第一批哈密瓜每件进价是 元，则第二批哈密瓜的进价是 元，根据水果店老板用 元购
进一批哈密瓜，很快售完；老板又用了 元购进第二批哈密瓜，所购件数是第一批的 倍，列出分式方
程，解方程即可；
（2）求出第二批哈密瓜的售价和件数，即可解决问题．
【详解】（1）解：设第一批哈密瓜每件进价是 元，则第二批哈密瓜的进价是 元，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：第一批哈密瓜每件进价是 元．
（2）解：由（1）得：第二批哈密瓜的进价为 （元），件数为 （件），
所以第二批哈密瓜的利润为： （元）．
答：第二批哈密瓜赚了 元．
6．
【答案】2.4元
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找出数量关系是解题的关键．
设李老师上周购买的菠菜每斤 元，则本周购买的菠菜为每斤 元，根据题意列出分式方程求解
即可．
【详解】解：设李老师上周购买的菠菜每斤 元，则本周购买的菠菜为每斤 元，
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是该分式方程的解，且符合题意．
答：李老师上周购买的菠菜每斤2.4元．
7．
【答案】(1)“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为75元
(2)至少购进“乾坤圈”牌的服装28套
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出方程和不等式，是解题
的关键：
（1）设“乾坤圈”品牌服装每套进价为x元，根据哪吒用2000元购进“乾坤圈”牌服装的数量是用750
元购进“混天绫”牌服装数量的2倍，列出方程即可；
（2）设购进“乾坤圈”牌的服装a套，根据两种服装全部售出后，可使总的获利不少于2000元，列出不
等式进行求解即可．
【详解】（1）解：设“乾坤圈”品牌服装每套进价为x元，则“混天绫”品牌服装每套进价为 元，
由题意得： ，
解得： ，
经检验： 是原分式方程的解，且符合题意，
∴ ；
答：“乾坤圈”品牌服装每套进价为100元，“混天绫”品牌服装每套进价为75元；
（2）解：设购进“乾坤圈”牌的服装a套，则购进“混天绫”牌服装 套，
由题意得： ，
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学科网（北京）股份有限公司解得： ，
a为整数，
∵a的最小值为28，
∴答：至少购进“乾坤圈”牌的服装28套．
题型四 分式方程和差倍分问题
1．【答案】
2．【答案】45
3．
【答案】400件
【分析】本题考查了分式方程的运用，设改造后每天生产的产品件数为x件，则改造前每天生产的产品件
数为 件，由此列方程求解即可．
【详解】解：设改造后每天生产的产品件数为x件，则改造前每天生产的产品件数为 件，由题意
可得：
，
解得 ，
检验：当 时，原方程有意义，
是方程的解．
答：改造后每天生产的产品件数为400件．
4．
【答案】(1)甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食
(2)甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确理解题意列出对应的方程是解题的
关键．
（1）设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了 千克，根据甲种机器人搬运的粮食
总量比乙种机器人搬运的粮食总量的2倍少 建立方程求解即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运 千克粮食，根据甲种机器人完
成搬运任务的时间比乙种机器人多用了3小时建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设乙种机器人搬运了x千克粮食，则甲种机器人搬运了 千克，
由题意得
解得 ，
，
答：甲种机器人搬运了1200千克，乙种机器人搬运了700千克粮食；
（2）解：设乙种机器人每小时搬运m千克粮食，则甲种机器人每小时搬运 千克粮食，
由题意得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
则 ，
答：甲种机器人每小时搬运120千克粮食，乙种机器人每小时搬运100千克粮食．
5．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意列出方程求解是解题的关键．
设战士人数为 ，根据两次分苹果的差异列出方程求解．
【详解】设哨所共有 名战士，
第一次分苹果，每人分得 个，
第二次分苹果，每人分得 个，
由于第二次每人比第一次多分 个，
，
解得： ，
检验可得： 是方程的解；
这个哨所共有 名战士．
6．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握根据等量关系列分式方程并求解是解题的关键．
设分子为未知数，根据“分母比分子的4倍少1”表示出分母，再结合“分子加1后分数值为 ”列方程求
解．
【详解】解：设分子为 ，则分母为 ．
，
，
，
，
，
∴ ，
经检验， 是分式方程 的解，
∴分母： ，
故此分数为 ．
7．
【答案】B种机器人每小时还书 本
【分析】本题考查了分式方程和差倍分问题，解题关键是掌握正确列出分式方程求解．
设B型机器人每小时还书x本，则A型机器人每小时还书 本，列出分式方程求解即可．
【详解】解： 设B型机器人每小时还书x本，则A型机器人每小时还书 本．
根据题意，得： ，
解得： ．
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：B种机器人每小时还书 本．
8．
【答案】A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩
【分析】本题考查了分式方程的应用，设 型号收割机每台每天收割玉米 亩，则 型号收割机每台每天
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学科网（北京）股份有限公司收割玉米 亩，根据“收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1
天”列方程求解即可．
【详解】解：设 型号收割机每台每天收割玉米 亩，则 型号收割机每台每天收割玉米 亩，
得 ，
解得 ．
经检验， 是原分式方程的解，
．
答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩．
题型五 分式方程的其他实际问题
1．【答案】D
2．【答案】
3．
【答案】理由见解析
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解此题的关键．
根据买了相同数量的中性笔和圆珠笔，列出分式方程，解方程，进而求出圆珠笔的数量，即可解决问题．
【详解】解：∵每支圆珠笔为x元，则中性笔价格为 元，
因此可列方程 ，
解得 ，经检验， 是分式方程的解，
则圆珠笔的数量为 ，
∵圆珠笔的数量一定是整数，
∴ 不符合题意．
故嘉嘉搞错了．
4．
【答案】人工收费通道每小时通过240辆车， 通道每小时通过600辆车
【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确理解题意，设出未知数，找到等量关系．
设人工收费通道每小时通过 辆车，则 通道每小时通过 辆车；根据通过1200辆车时 通道比
人工收费通道少用3小时，列出方程求解．
【详解】解：设人工收费通道每小时通过 辆车，则 通道每小时通过 辆车
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学科网（北京）股份有限公司由题意，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
则
答：人工收费通道每小时通过240辆车， 通道每小时通过600辆车．
5．
【答案】(1)甲校的学生人数是900人，乙校的学生人数是1000人
(2)甲校的人均图书册数是20册，乙校的人均图书册数是18册
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
（1）设乙校的人数为 人．根据“甲校比乙校人均图书册数多2册”可列方程，即可；
（2）根据（1）求得的两校学生人数，直接计算人均图书册数．
【详解】（1）解：设乙校的人数为 人，则甲校的学生人数为 人
根据题意可列分式方程： ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
（人），
答：甲校的学生人数是900人，乙校的学生人数是1000人；
（2）解：甲校人均图书为 （册），
乙校人均图书为 （册），
答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册．
6．
【答案】(1)需要 清水
(2)能达到洗衣目标
(3)二
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，核心是利用题目给出的浓度关系式，结合不同漂洗策略的条件
进行计算，通过对比结果确定最优方案．
（1）直接将已知的漂洗前后浓度代入浓度关系式，解方程求出所需清水量；
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学科网（北京）股份有限公司（2）先将清水均分，再分两次代入浓度关系式计算最终浓度，与洗衣目标对比；
（3）对比两次策略的用水量和漂洗效果，判断更优方案．
【详解】（1）解：把 ， ，代入 得，
，
解得： ，经检验，符合题意，
答：只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ，需要 清水．
（2）解：第一次漂洗：把 ， 代入 得，
；
第二次漂洗：把 ， 代入 得，
；
，
进行两次漂洗，能达到洗衣目标．
（3）解：由（1）和（2）的漂洗结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能节约用水，所以从洗
衣用水策略方面，应选择策略二更优．
7．
【答案】600亩
【分析】本题考查了分式方程的应用，设该村成立合作社前柿子种植面积为x亩，则成立合作社后柿子种
植面积为 亩．根据亩产量不变列方程，即可求解．
【详解】解：设该村成立合作社前柿子种植面积为x亩，则成立合作社后柿子种植面积为 亩．根
据亩产量不变，得
．
解得 ．
检验：当 时， ．
所以，原分式方程的解为 ．
答：该村成立合作社前柿子种植面积为600亩．
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学科网（北京）股份有限公司8．
【答案】
【分析】本题考查运用分式方程解决实际问题，熟练掌握比的意义，列方程是解题的关键．设边衬的宽度
为 ，表示出装裱后的长和宽，根据“整幅图画长与宽的比是 ”即可列出方程，求解并检验即可．
【详解】解：设边衬的宽度为 ，依题意，得 ．
解得： ．
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：边衬的宽度为 ．
9．
【答案】(1)“丰收2号”小麦的单位面积产量高
(2) 的值为3
(3)
【分析】（1）因为总产量相等，所以面积小的试验田，其单位面积产量就高，分别求出“丰收1号”和
“丰收2号”的面积，并比较大小，即可求解；
（2）根据题（1）的结果和题意列出等式，求解即可；
（3）由（2）知， ，利用十字相乘法进行因式分解即可得．
【详解】（1）解：由题意，得“丰收1号”小麦的单位面积产量 ，
“丰收2号”小麦的单位面积产量 ，
，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴“丰收2号”小麦的单位面积产量高．
（2）解：由题意，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
经检验， 是分式方程的解，并符合题意，
∴ 的值为3．
（3）解：由（2）知， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用、分式方程的解法、以及利用十字相乘法分解因式，根据题意列
出分式方程是解题关键．
10．
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【分析】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键，
（1）根据 和 ，代入可求得 ，取倒数即可得到答案；
（2）设 的电阻值为 ，由题意可得 ，再根据 列出方程，解方程即可得到答案；
（3）由 可得 ，取倒数即可得到 ．
【详解】（1）解：∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：设 的电阻值为 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ 的电阻值比 的电阻值大 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴ ， ．
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
题型一 分式方程的综合运用
1．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程和数字的变化类规律探究．先把方程左边的每一项拆分为两个分式的
差，方程即可化简，最后解方程并检验即可．
【详解】解： ，
，
，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，
原方程的解是 ．
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学科网（北京）股份有限公司2．
【答案】(1) ，
(2)
(3)8
【分析】本题考查完全平方公式，分式方程；理解十字分式方程的定义以及题目中的答题方法是解题的关
键．
（1）类比题目中十字分式方程的答题方法即可求解；
（2）结合运用十字分式方程并代数运算即可求解；
（3）把原方程变形为 ，再结合运用十字分式方程的解得到 ，
，代入式子根据平方的非负性求解即可．
【详解】（1）解： 可化为 ，
∴ ， ．
（2）解∶∵十字分式方程 的两个解分别为 ， ，
∴ ， ，
．
（3）解：关于 的十字分式方程可化为 ，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 的最大值为8．
3．
【答案】(1) ；② ；
①
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解；
（2）根据绝对值和偶次方的非负性得 ， ，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解；
（3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可．
【详解】（1）解：①∵
∴类比得 ，
故答案为： ；
② ，
故答案为： ；
（2）解：∵ 满足 ，即
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司；
（3）解： ，
，
，
，
，
，
，
经检验， 是原方程的解，
∴原方程的解为 ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消
法的应用以及熟练求解分式方程．
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学科网（北京）股份有限公司
