文档内容
5.3 二元一次方程组的应用 导学案
第1课时 鸡兔同笼
1.能根据 “鸡兔同笼” 及类似古算题的题意，找出等量关系，列出二元一次方程组并求解，掌握用
二元一次方程组解决实际问题的基本方法.
2.通过对比算术推理、一元一次方程、二元一次方程组三种解法，理解二元一次方程组在解决含两个
未知量问题时的优势，强化数学模型思想.
学习重点：掌握用二元一次方程组解决 “鸡兔同笼” 及类似实际问题的步骤（审、设、列、解、验、
答）；能从实际问题中准确找出等量关系，列出二元一次方程组.
学习难点：理解二元一次方程组设元的思路，体会其与一元一次方程设元的区别与优势；准确解读古
算题的文字表述，提炼复杂情境中的等量关系.
.
第一环节 自主学习
新知自研：自研课本P120-P121页的内容，思考：
【学法指导】
情景引入
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传尤为
广泛,飘洋过海流传到了日本等国.
●探究一：应用二元一次方程组解古算题
◆1.“鸡兔同笼”题为:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?
提示：“上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”的意思是什么?
你能算出鸡兔各几只吗？
译文：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚.问笼子里鸡和兔各有多
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1少只?
思考：已知条件是什么？所求问题是什么？隐藏了什么条件？
已知条件是： 3 5 个头 ， 9 4 只脚 ；
所求问题是： 鸡和兔 的 数量 ；
隐藏的条件是： 鸡 有 2 只脚，兔有 4 只脚 .
◆2.小组讨论：你能用几种方法解决这一问题？
【解法一】算术推理
如果都是鸡，35 头应该有 70 只脚，实际有 94 只脚，多出 2 4 只脚，应该是兔子的，
每只兔子多两只脚，所以兔子应该有 1 2 只.所以鸡有 3 5 － 1 2 ＝ 23 ( 只 )（列式算）.
【解法二】用一元一次方程求解
思考：趣题中有怎样的等量关系？
解：设有鸡 x 只，则有兔（35－x）只．
由题意得 2 x ＋ 4× （ 3 5 － x ）＝ 9 4 ．
解得： x ＝ 2 3 ．
所以 兔的只数为： 3 5 － x ＝ 1 2 ．
答：有鸡23 只，兔12 只．
【解法三】用二元一次方程组求解
设鸡有 x 只，有兔y 只，
鸡 兔 合计
只数 x y 35
脚数 2x 4y 94
根据表格你能列出方程吗？
【解答】解：设有鸡 x 只，兔 y 只．
{ x+ y=5
由题意得：
2x+4 y=94
{x=23
解得：
y=12
答：有鸡23 只，兔12 只.
对比三种解法，总结优势：
◆3.小组讨论：“算术法、一元一次方程法、二元一次方程组法，这三种方法各有什么优缺点？”
总结：
算术法：优点是无需设未知数，缺点是逻辑推理复杂，仅适用于简单问题；
一元一次方程法：优点是比算术法更系统，缺点是需用一个未知量表示另一个未知量，列方程时易出错；
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2二元一次方程组法：优点是直接设两个未知量，更贴合问题的数量关系，列方程更直观，缺点是需要解方
程组，计算步骤稍多，但整体更易理解和掌握.
总结：“当实际问题中含有两个未知量，且有两个等量关系时，用二元一次方程组解决更便捷.”
◆4.总结归纳：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
审题：弄清题意和题目中的数量关系；
设元：用字母表示题目中的未知数（设两个未知数）；
列方程组：根据两个等量关系列出方程组；
解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值；
检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
【例题导析】
自研下面典例的内容，回答问题：
典例分析
例1：今有甲、乙怀钱，各不知其数.甲得乙十钱，多乙余钱五倍.乙得甲十钱，适等.问甲、乙怀钱各几何？
（选自《张丘建算经》）
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙的 10 钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多 5 倍；
如果乙得到甲的 10 钱，那么两人钱数相等.甲、乙两人各带了多少钱?
【分析】等量关系： 甲 +10= 5 （乙 -1 0 ） ， 乙 +10 = 甲 -1 0 .
【解答】解：设甲的钱数为 x，乙的钱数为 y ，根据题意，得
{x+10=5(y−10)
x−10= y+10
{x=38
解这个方程组，得：
y=18
答：甲带了 38 钱，乙带了 18 钱.
例2 隔壁听到人分银，不知人数不知银. 只知每人五两多六两，每人六两少五两，问你多少人数多少银？
【分析】等量关系： 人数 ×5= 银两数 ﹣ 6； 人数 ×6= 银两数 + 5
【解答】解：设人数为x人，银两为y两，依题意得：
{5x= y−6
6x= y+5
{x=11
解得：
y=61
答：人数为11 人，银两为61 两.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3第二环节 合作探究
小组群学
在小组长的带领下：
A.探讨如何列二元一次方程解决古代数学问题，重点探讨如何找等量关系；
B.交流例题的解题思路和易错点.
C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.
1．《周髀算经》是古老的数理天文学著作，书中记载了一种用于度量日影长度的圭表．已知圭的长度比
表的长度长5尺，且圭和表的长度之和为21尺，设圭的长度为x 尺，表的长度为y ，则可列方程组为 （
B ）
A.
{& y−x=5
B.
{&x−y=5
C.
{&x+ y=5 D.
&x+ y=21 &x+ y=21 &x−y=21 {&x+ y=5
2.古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，&百y根−腿x地=2里1钻，两者各几何？”其大意
为：耠子和耧共有63个，共有100条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设
{ x+ y=63
耠子有x个，耧有y个，则可列出关于x，y的二元一次方程组为 ．
x+2y=100
3.《算法统宗》是我国明代著名数学家程大位的数学名著，它里面有这样一道题：我问开店李三公，众客
都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？若设该店
有客房x间，房客y人，根据题意，可列方程组为{ 7x+7= y ．（只列不解）
9(x−1)= y
4.我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两.问
牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问
每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)某商人准备用28两银子买牛和羊(要求既有羊又有牛，且银两须全部用完)，且羊的数量不少于牛数量
的2倍，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
（1）解：设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4{&5x+2y=19
依题意得： &2x+5 y=16 ，
解得： ，
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子；
解：（2）设购买m头牛，n只羊，
依题意得：3m+2n=28，
3
整理得：n=14− m，
2
∵m、n均为正整数，
∴m为2的倍数，
∵羊的数量不少于牛数量的2倍，
{&m=2
∴
&n=11
∴n≥2m，
{&m=4
或
&n=8
商人有2种购买方法：
①购买2头牛，11只羊；②购买4头牛，8只羊．
题型一 鸡兔同笼问题
1．我国古代数学著作《孙子算经）中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有 16头，下有44足，问
鸡兔各几何．”设鸡x只，兔y只，可列方程组（ ）
{ x+ y=16 { x+ y=16
A． B．
2x+4 y=44 2x+2y=44
{ x+ y=16 { x+ y=16
C． D．
4x+4 y=44 4x+2y=44
【分析】根据“上有16头，下有44足”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵上有16头，
∴x+y＝16；
∵下有44足，
∴2x+4y＝44．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5{ x+ y=16
∴根据题意可列方程组 ．
2x+4 y=44
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题
的关键．
2．如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有6条腿，1对翅膀．现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，
10对翅膀，则蜻蜓和蝉的只数分别是（ ）
A．3，4 B．4，3 C．2，5 D．5，2
【分析】设蜻蜓是x只，蝉是y只，根据现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，列出二元一次方程
组，解方程组即可．
【解答】解：设蜻蜓是x只，蝉是y只，
{6x+6 y=42
由题意得： ，
2x+ y=10
{x=3
解得： ，
y=4
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．我国古代数学著作《九章算术》“方程”章中有一问题：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊
五，值金八两．问牛值金几何？”原文翻译为：现有牛 5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价
值金8两．问：一头牛值金（ ）两．
3 10 20 34
A． B． C． D．
5 7 21 21
【分析】设一头牛值金x两，一头羊值金y两，根据牛5头，羊2头，价值金10两；牛2头，羊5头，价
{5x+2y=10
值金8两得： ，即可解得答案．
2x+5 y=8
【解答】解：设一头牛值金x两，一头羊值金y两，
{5x+2y=10
根据题意得： ，
2x+5 y=8
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 634
{x=
解得 21，
20
y=
21
34
∴一头牛值金 两；
21
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组．
4．鸡兔同笼，是中国古代著名典型趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问
题：“今有雉兔同笼，上有20头，下有54足，问雉、兔各几何？”翻译过来就是：鸡和兔在同一个笼子
里，数一数共有20个头，54条腿，问鸡和兔各几只？（列方程组解答）
【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据“鸡和兔在同一个笼子里，数一数共有20个头，54条腿”，列出二
元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，
{ x+ y=20
由题意得： ，
2x+4 y=54
{x=13
解得： ，
y=7
答：鸡有13只，兔有7只．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．我国古代数学典籍《孙子算经》中有著名的“鸡兔同笼”问题，其原文为“今有鸡兔同笼，上有三十
五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”．其大意是“现有若干只鸡和若干只兔放在一个笼子里，从上面
数共有35个头，从下面数共有94只脚，问笼子里鸡和兔各有多少？请你用所学的知识进行解答．
【分析】设鸡有x只，兔有y只，由题意：从上面数共有35个头，从下面数共有94只脚，列出二元一次
方程组，解方程组即可．
【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，
{ x+ y=35
由题意得： ，
2x+4 y=94
{x=23
解得： ，
y=12
答：鸡有23只，兔有12只．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 7题型二 和、差、倍分问题
6．现有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元．则其中面额100元的人民币有（ ）
A．12张 B．14张 C．20张 D．21张
【分析】根据“有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元”可得相应的方程组．
【解答】解：设100元的人民币为x张，20元的人民币y张，根据题意得：
{ x+ y=33
，
100x+20 y=1620
{x=12
解得： ，
y=21
即面额100的人民币有12张．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题干信息找出等量关系并据此列式计算是解题的关键．
7．有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运
货35吨，那么3辆大货车与5辆小货车一次可以运货 吨．
【分析】设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据“2辆大货车与3辆小货车
一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨”，即可得出关于x，y的二元一次方
程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（3x+5y）中即可求出结论．
【解答】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，
{2x+3 y=15.5
依题意得： ，
5x+6 y=35
{ x=4
解得： ，
y=2.5
∴3x+5y＝3×4+5×2.5＝24.5，
∴3辆大货车与5辆小货车一次可以运货24.5吨．
故答案为：24.5．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
1
8．开学初乐乐用自己积攒的零用钱购买一些文具，他先花了零用钱的 买了一支钢笔，接着又用剩下零用
3
3
钱的 买了一个全自动削笔机，已知这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元，请问乐乐购买这支钢笔花了
4
多少钱？
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用及分数的计算，根据题意列出方程是解题的关键．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 8设乐乐积攒的零用钱为 元，则一支钢笔花了1 元，全自动削笔机花了( 1) 3 1 元，继而得到
x x 1− × x= x
3 3 4 2
1 1
x− x=21，再解方程即可．
2 3
【解答】设乐乐积攒的零用钱为x元，
则一支钢笔花了1 元，全自动削笔机花了( 1) 3 1 元，
x 1− × x= x
3 3 4 2
又这个全自动削笔机比这支钢笔贵了21元，
1 1
所以 x− x=21，解得x=126，
2 3
1
一支钢笔花了 x=42元．
3
答：乐乐购买这支钢笔花了42元钱．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
1
9．如图，两根铁棒直立于桶底水平的水桶中，在桶中加入水，一根露出水面的长度是它的 ，另一根露出
3
1
水面的长度是它的 ，两根铁棒的长度之和为55，求两根铁棒的长度．
5
【分析】设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm．因为两根铁棒之和为55cm，故可得方程：
2 4
x+y＝55，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程 x= y，把两个方程联立，组成方程组，解方程
3 5
组即可求解．
【解答】解：设较长铁棒的长度为xcm，较短铁棒的长度为ycm，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 9{x+ y=55
由题意得： ，
2 4
x= y
3 5
{x=30
解得： ，
y=25
答：较长铁棒的长度为30cm，较短铁棒的长度为25cm．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关
系，列出方程组．
10．北大附中畅春园校区教学楼有4层，其中初一、初二的班级教室都在2﹣4层，共有35个班，1200名
学生．进出教学楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．周一早上参加升旗仪式
时，各班从教室出发，如果通过两道正门和一道侧门走到操场，那么4分钟可以集合完毕；如果通过两道
侧门和一道正门走到操场，那么5分钟可以集合完毕（出门跑到操场指定位置的时间忽略不计）．
求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少人？
【分析】设一道正门平均每分钟可以通过x人，一道侧门平均每分钟可以通过y人，根据两种假设列方程
组求解即可．
【解答】解：设一道正门平均每分钟可以通过x人，一道侧门平均每分钟可以通过y人，
根据题意得{4(2x+ y)=1200，
5(x+2y)=1200
{x=120
解得 ．
y=60
答：一道正门平均每分钟可以通过120人，一道侧门平均每分钟可以通过60人．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并
找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．
题型三 盈不足问题
11．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵
树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有 3只，则5只没地方
去，若每棵树上有5只，则多了一棵树．”设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组（ ）
A．{ 3 y+5=x B．{ 3x+5= y
5(y−1)=x 5(x−1)= y
{3 y+5=x {3 y=x+5
C． D．
5 y=x−5 5 y=x−5
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 10【分析】直接利用已知表示出乌鸦的数量进而得出答案．
【解答】解：设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组：
{ 3 y+5=x ．
5(y−1)=x
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键．
12．在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一
房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住 7人，那么有7人无房可
住；如果每一间客房住 9 人，那么就空出一间房．设该店有客房 x 间，房客 y 人，则可列方程组为
（ ）
A．{ 7x+7= y B．{ 7x+7= y
9(x−1)= y 9(x+1)= y
C．{ 7x−7= y D．{7x−7= y
9(x−1)= y 9(x+1)= y
【分析】根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间
房”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住，
∴7x+7＝y；
∵如果每一间客房住9人，那么就空出一间房，
∴9（x﹣1）＝y．
∴根据题意可列方程组{ 7x+7= y ．
9(x−1)= y
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 11的关键．
13．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为：客人一起分银子，若每人 7两，还剩4两；
若每人9两，还差8两；则①人数为 人；②银子共有 两．
【分析】设有x人，y两银子，列出方程组，解方程组即可求解．
【解答】解：设有x人，y两银子，
{y−7x=4
由题意可得， ，
9x−y=8
{ x=6
解得 ，
y=46
∴有6人，46两银子，
故答案为：6，46．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到等量关系，列出方程组是解题的关键．
14．一千官兵一千布，一官四尺无零数，四兵才得布一尺，请问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官
兵分一千尺布，一名军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官和士兵各有多少名？
【分析】设军官有x名，士兵有y名．由题意列出二元一次方程组，解方程组可得出答案．
【解答】解：设军官有x名，士兵有y名．根据题意得：
{
x+ y=1000
，
1
4x+ y=1000
4
{x=200
解得 ．
y=800
答：军官有200名，士兵有800名．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关
键．
15．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少
两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若 2个人共用1个盘子，则
少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问
题．
【分析】设有x个客人，y个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解即可．
【解答】解：设有x个客人，y个盘子．
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 12x
{ = y+2
根据题意，得 2 ，
x
+3= y
3
{x=30
解得 ，
y=13
答：有30个客人，13个盘子．
【点评】本题考查数学常识，根据题意列二元一次方程组并求解是解题的关键．
▲1．总结归纳：用二元一次方程组解决实际问题的步骤：
审题：弄清题意和题目中的数量关系；
设元：用字母表示题目中的未知数（设两个未知数）；
列方程组：根据两个等量关系列出方程组；
解方程组：利用代入消元法或加减消元法解出未知数的值；
检验并答：检验所求的解是否符合实际意义，然后作答.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 13
