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8.3 实际问题与二元一次方程组
教学内容 8.3 实际问题与二元一次方程组 课时 1
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题，锻炼
抽象能力和运算能力，感受数学思维在实际生活中的作用.
核心素养 2.学会利用二元一次方程组解决几何、行程问题，提高综合应用能力，加强用
目标 数学语言描述现实世界的能力，培养模型意识和观念.
3.通过利用二元一次方程组解决几何问题，初步渗透数形结合的思想，发展几
何直观.
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题；
知识目标 2.学会利用二元一次方程组解决几何、行程问题.
教学重点 能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题．
教学难点 学会利用二元一次方程组解决几何、行程问题．
教学准备 课件
教学过程 主要师生活动 设计意图
一、新课 一、创设情境 导入新知
导入
引言：《孙子算经》是我国古代经典数学名著， 设计意图：通过实我国古
其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同 代经典数学名著，吸引学
笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几 生的学习兴趣.
何？”，该如何解决呢？
师生活动：学生独立思考并尝试解答.
二、探究 二、探究新知
新知
知识点一：和差倍分问题
探究一：养牛场原有30只大牛和15只小牛，1天
约用饲料675 kg；一周后又购进12只大牛和5只 设计意图：回顾所学，锻
小牛，这时1天约用饲料940 kg. 饲养员李大叔 炼学生运用消元法解二元
估计每只大牛1天约需饲料18 ~ 20 kg，每只小牛 一次方程组的解决问题的
能力，梳理解题方法.
1天约需饲料7 ~ 8 kg. 你认为李大叔估计的准确
吗？
师生活动：教师引导学生分析题目的数量关系，
学生独立思考完成计算，教师巡视.
总结
列二元一次方程组解决实际问题的步骤：
例1 变式：随着养牛场规模逐渐扩大，李大叔需聘请饲养员协助管理现有的42头大牛和20头小 设计意图：进一步巩固运
牛，已知甲种饲养员每人可负责8头大牛和4头 用消元法解二元一次方程
小牛，乙种饲养员每人可负责5头大牛和2头小 组的解决问题的方法.
牛，请问李大叔应聘请甲、乙两种饲养员各多少
人？
师生活动：教师引导学生分析题目给出的数量关
系，学生独立思考完成计算，教师巡视.
设计意图：培养根据具体
练习1. (双阳区)《孙子算经》是中国古代重要的 的数量关系，列出二元一
次方程组解决简单的实际
数学巨作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两
问题的能力，引导学生发
人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那
现并总结根据实际问题提
么甲共有 48 文；如果乙得到甲所有钱的 ，那
炼数量关系的方法.
么乙也共有钱 48 文，甲、乙原来各有多少钱？
师生活动：教师引导学生分析题目给出的数量关
系，总结提炼数量关系的方法，学生独立完成计
算.
定义总结
1.基本数量关系：各部分数量之和 = 全部数量；
2.方法：明显关系词，如此、是、多、少、倍、
共、几分之几等；
知识点二：几何问题
探究二：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面
积产量的比是 1：2．现要把一块长 200 m、宽
100 m 的长方形土地，分为两块小长方形土地，
分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使
甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4 ？
根据上面探究过程，如何解决这个问题呢？
师生活动：学生独立思考可小组讨论，在教师的
引导下分析解题思路. 设计意图：运用问题串的
方式，逐渐引导学生分析
提问1：解决应用题的一般步骤是什么？ 较为复杂的几何问题，培
预设： 养有条理的思维模式，加
深对方法的掌握.
提问2：把探究2抽象成数学语言是怎样的？
预设1：先要作出符合题意的长方形.如长方形
ABCD， AB = CD = 200 m，AD = BC = 100
m.
D C
A B 预设2：如长方形 ABCD要分割为两个小长方形，长方形 1 号和长方形 2 号
分别种甲、乙作物，甲、乙单位面积产量的比是
1:2.
提问3：该应用题的问题实质是什么呢？
预设：如何分割长方形 ABCD.
设计意图：培养学生的实
践能力，发展创新意识和
动手实践 发散性思维.
将一个长方形分成两个小长方形.
预设：学生独立思考并作图，选学生回答.
① 竖画 ② 横画
D F C
D C
E F
A E B A
B
提问4：你能找出探究二中的找等量关系吗？
预设：① 大长方形的长 = 200 m；
② 甲、乙两种作物总产量比 = 3∶4.
设计意图：锻炼学生运用
提问5：请同学们列方程解决探究二中的问题. 二元一次方程组解决实际
预设：学生独立思考并作答，选两名学生板书， 问题的能力，梳理并巩固
教师巡视规范解题思路. 学生解二元一次方程组的
步骤和方法.
方法一：竖画
解：如左图所示分割，
设 AE＝ x m，BE＝ y m.
则有：
解得：x = 120，y = 80.
方法二：
解：如左图所示分割，
设 DE＝ x m，AE＝ y m.
则有：
设计意图：加锻炼学生利
解得：x = 60，y = 40. 用二元一次方程组解决几
何问题的能力.
教师安排学生课后完善解题过程.
练习2. 在长为 20 m、宽为 16 m 的长方形空地
上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相
同的小长方形花圃，其示意图如图所示，求每个
小长方形花圃的面积.师生活动：教师引导学生分析解题思路，学生独
立思考完成解答.
知识点三：复杂的实际问题
探究三： 如图，长青化工厂与 A，B 两地有公
路、铁路相连．这家工厂从 A 地购买一批每吨
1 000 元的原料运回工厂，制成每吨 8 000 元的
设计意图：培养学生利用
产品运到 B 地．公路运价为 1.5 元/(t·km)，铁
图表处理信息的能力和习
路运价为 1.2 元/(t·km)，这两次运输共支出公路
惯，提高解题技巧，锻炼
运费 15 000 元，铁路运费 97 200 元．这批产品
运用二元一次方程组解决
的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
复杂的实际问题的能力.
师生活动：学生独立思考后，教师引导学生分析
数量关系及设相应未知数.
借助列表分析，确定题目中的数量关系.
学
生
独
立
思
考完成表格，教师引导学生观察表格和题干，分
析题目中的数量关系：
设计意图：锻炼利用图表
由上表，列出方程组，并独立完成计算 处理信息的能力和习惯，
掌握生产生活中常见的配
套数量关系，感受所学在
实际生活中的应用.
总结
对于复杂的实际问题，可以通过列表的方法将所
有的数量关系进行整理，发现等量关系，列出方
程组.练习3. 某车间有 22 名工人，每人每天可以生产
三、当堂 1200 个螺钉或 2000 个螺母. 1 个螺钉需要配 2
练习 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，
应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
师生活动：学生独立思考，教师引导学生分析数
量关系及设相应未知数，学生独立完成计算.
设计意图：题1、2考查
总结 学生根据具体的数量关
1. 基本数量关系：配套数量比例； 系，列出二元一次方程组
2. 生产中常见的配套问题：螺钉和螺母、盒身与 解决简单的实际问题.
盒底、桌面与桌腿、衣身与衣袖等.
设计意图：考查学生利用
二元一次方程组解决几何
三、当堂练习
问题的能力.
1.(扬州中考)《孙子算经》是我国古代经典数学名
设计意图：考查学生利用
著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔
二元一次方程组解决行程
同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各
问题的能力.
几何？”，该如何解决呢？
2. 有甲、乙两数，甲数的 3 倍与乙数的 2 倍之
和等于 47，甲数的 5 倍比乙数的 6 倍小 1，这
两个数分别是多少？
3. 如图，8 块相同的小长方形地砖拼成一个大长
方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?
(单位 cm)
4. A 地至 B 地的航线长 9750 km，一架飞机从
A 地顺风飞往 B 地需 12.5 h，它逆风飞行同样
的航线需 13 h，求飞机的平均速度与风速.
8.3 实际问题与二元一次方程组
板书设计 1.基本数量关系：各部分数量之和 = 全部数量；
2.方法：明显关系词，如此、是、多、少、倍、共、几分之几等；
教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.
课后小结
本节课的教学重点是让学生经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住
实际问题的等量关系建立方程组模型.教学难点是在探究过程中分析题意，由
相等关系正确地建立方程组，从而把实际问题转化为数学问题.教学中，还要
教学反思
通过创设情境，使教学内容更加生活化，采用引发指导、多样评价、鼓励肯
定等多种教学方法，增强学生的学习兴趣，让学生体验成功，从而培养学生分析问
题、解决问题的能力.
