文档内容
人教版初中数学七年级下册
8.1 二元一次方程组 教学设计
一、教学目标：
1.了解二元一次方程（组）及其解的定义；
2.会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解；
3.能根据实际问题列出简单的二元一次方程组.
二、教学重、难点：
重点：二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念.
难点：利用二元一次方程、二元一次方程组的相关概念解决问题.
三、教学过程：
复习回顾
1.什么叫方程？
含有未知数的等式叫做方程.如：2x+3=5，x+y=8.
2.什么叫一元一次方程？
在一个方程中，只含有一个未知数(元)，并且未知数的指数是1(次)，这样的方程叫做一元
一次方程.如：2x+3=5，y+6=8.
问题引入
引言：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在10场
比赛中得到16分，那么这个队胜负场数分别是多少？
你会用已经学过的一元一次方程解决这个问题吗？
解：设胜的场数是x，则负的场数是(10-x)，根据题意得：
2x+(10-x)=16
解得，x=6
负的场数：10-6=4答：这个队胜6场，负4场.
知识精讲
思考：上述问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是 x ，负的场数是 y ，你能
用方程把这些条件表示出来吗？
胜的场数+负的场数=总场数 x+y=10
胜场积分+负场积分=总积分 2x+y=16
二元一次方程：
x+y=10；2x+y=16
这两个方程有什么特点？与一元一次方程有什么不同？
【归纳】上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数(x和y)，并且含有未知数的项的次数
都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
注意：1.“一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数；
2.方程的左右两边都是整式.
典例解析
例1.哪些是二元一次方程？为什么？
（1）x2＋y＝20；（2）2x＋5＝10；（3）2a＋3b＝1；（4）x2＋2x＋1＝0；（5）2x＋y＋z＝
1.
解：(1)含有两个未知数，但是x的次数是2次，所以不是；
(2) 一元一次方程；
(3) 二元一次方程；
(4) 含有一个未知数，并且x的最高次数是2次，所以不是；
(5) 含有三个未知数，所以不是.
【针对练习】判断下列方程是不是二元一次方程？
(1)x+y=11；(2)m+1=2；(3)x2+y=5；(4)3x－π=11；(5) －5x=4y+2；(6)7+a=2b+11c；
2
(7)7x+ =13; (8)4xy+5=0.
y
解：(1)(5)是二元一次方程.
【点睛】判断一个方程是否为二元一次方程的方法:一看原方程是否是整式方程且只含有两个
未知数；二看整理化简后的方程是否具备两个未知数的系数都不为 0，且含未知数的项的次
数都是1.
例2.已知方程(m﹣2)xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．解：∵（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，
∴n﹣1=1，|m﹣1|=1，
解得：n=2，m=0或2，
若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去，
则m=0，n=2．
【针对练习】1．(m−1)x|m|+ y2n+5=3是二元一次方程，则m=_____，n=______．
2.若方程 是二元一次方程，试求 的值．
(m−3)x|m|−2=3 yn+1+4 m, n
解：∵方程 是二元一次方程，
(m−3)x|m|−2=3 yn+1+4
∴m−3≠0，|m|−2=1，n＋1＝1，
∴m＝−3，n＝0．
知识精讲
二元一次方程组
上述问题中包含了两个必须同时满足的条件，也就是未知数x，y必须同时满足方程x+y=10
和2x+y=16.
{x+ y=10
把这两个方程合在一起，写成 ，就组成了一个方程组.这个方程组中有两个未知数，
x+ y=16
含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方
程组.
注：(1) 2个未知数；(2) 未知数的项的次数是1； (3) 方程的左右两边都是整式.
典例解析
例3.下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点睛】掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程
组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
【针对练习】下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）知识精讲
探究：满足方程x+y=10，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填在表中.
如果不考虑方程x+y=10与前面实际问题的联系，那么x=-1，y=11；x=0.5，y=9.5……也都是
这个方程的解.
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
上表中哪对x，y的值还满足方程2x+y=16.
x=6，y=4既满足方程x+y=10，又满足方程2x+y=16.也就是说，x=6，y=4是方程x+y=10与方
{x+y= 10 ¿¿¿¿
程2x+y=16的公共解. 我们把x=6，y=4叫做二元一次方程组 的解，这个解通常记
{x=6¿¿¿¿
作 .
联系前面的问题可知，这个队在10场比赛中胜6场、负4场.
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
典例解析
{x=3
例4.若 是关于x，y的方程x+my=13的一个解，则m的值是( )
y=2
A．−5 B．5 C．−8 D．8
{x=3
解：把 代入方程x+my=13，
y=2
得3−2m=13，
解得m=−5．故选：A．
{x=−2 {2x−y=m
例5.若 是方程组 的解，则m=_____；n=_____．
y=3 x+ny=−3
解：把
{x=−2
代入方程组
{2x−y=m
，
y=3 x+ny=−3
{ −4−3=m
−2+3n=−3
{m=−7
解得： 1
n=−
3
【针对练习】
1．二元一次方程x+2y=6 的一个解是（ ）
{x=2
2.方程x−y=−2与下面方程中的一个组成的二元一次方程组的解 ，那么这个方程可以是
y=4
（ ）
4 1
A．3x−4 y=16 B． −y=−2 C． x+ y=0 D．2(x+ y)=6x
x 4
{ax+5 y=15 {x=−3
例6.解方程组 时，小卢由于看错了系数a，结果得到的解为 ，小龙由于看
2x−by=−1 y=−1
{x=5
错了系数b，结果得到的解为 ，求a+b的值．
y=4
解：∵小卢由于看错了系数a，
{x=−3
∴把 代入2x−by=−1得：−6+b=−1，解得：b=5，
y=−1
∵小龙由于看错了系数b，
{x=5
∴把 代入ax+5 y=15得：5a+20=15，解得：a=−1，
y=4
∴a+b=−1+5=4．
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
1
A.3x−2y=4z B.6xy+9=0 C.4x= y−1 D. +4 y=6
x
2.下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
3.已知两数x，y之和是10, x比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是( )
{2x−y=4 {x=2
4.已知关于x，y的二元一次方程组时 ，的解为 ，其中“♥”是不小心被墨水
kx+ y=2 y=♥
涂的，则k的值为（ ）
A.1 B.−1 C.2 D.−2
5.下列说法错误的是（ ）
{x+2y=3 {x−3 y=5
A． 是一个二元一次方程组 B． 是一个二元一次方程组
3x−y=2 y+5z=1
{ x=1 {2x+ y=−1 1
C． 是方程组 的解 D．二元一次方程 x−7 y=11有无数个解
y=−3 x−y=4 5
6.已知y=2x+2， 当x=-2时， y=_____;当y=-1时，x=______.
{x=2
7.已知 是y=kx-3的一组解，则k=____.
y=1
{x=2 {x=−1 { x=3
8.在下列三对数中,① ，② ，③ ，______是方程3x+y=8的解，______是
y=2 y=−9 y=−1
方程2x -y=7的解.9.若方程2x2m-3-3yn-2=5是二元一次方程，则mn=_____.
10.方程x+3y=6的正整数解为_________.
{ x=1
11.若 适合方程3x-4my=1,则m=_______.
y=−1
12.加工某种产品须经两道工序，第一道工序每人每天可完成 900件，第二道工序每人每天可
完成1200件.现有7位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每天第一、二道工序
所完成的件数相等？请列出符合题意的二元一次方程组.
【参考答案】
1. C
2. B
3. B
4. A
5. B
6. -2;-1.5
7. 2
8. ①③;②③
9. 6
{x=3
10.
y=1
11. -0.5
12.解：设安排第一道工序为x人，第二道工序为y人.根据题意得
四、教学反思：
通过自主探究和合作交流，建立二元一次方程的数学模型，学会逐步掌握基本的数学知识和
方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，
增进学好数学的信心，增加对数学较全面的体验和理解.
