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七年级下册数学《第八章 二元一次方程组》
8.3 实际问题与二元一次方程组
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
知识点一
◆1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起
来，找出题中的等量关系，列出方程组.
◆2、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系．
（4）列：根据等量关系，列出方程组．
（5）解：解方程组，求出未知数的值．
（6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答．
实际问题中的基本数量关系：
知识点二
◆◆行程问题：路程=速度×时间；
◆◆工程问题：
①工作量＝人均效率×人数×时间；
②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量；
◆◆销售问题：
利润
①利润＝售价﹣进价，利润率= ×100%
进价
②售价=进价+利润=进价×（1+利润率）=标价×折扣题型一 和、差、倍分问题【例题1】（2022春•南岗区期末）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5
辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，那么3辆大货车与5辆小货车一次可以运货 吨．
解题技巧提炼
设未知数时，一般是求什么设什么，并且所列方程的两个数与未知数的个数相
等，解这类应用题，要抓住题中反映数量关系的关键字﹣﹣﹣和、差、倍、分、
几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少……明确各种反映数量关系的关键
字的含义．
【变式1-1】（2022春•沭阳县期末）现有100元和20元的人民币共33张，总面额1620元．则其中面
额100元的人民币有（ ）
A．12张 B．14张 C．20张 D．21张
【变式1-2】（2022秋•朝阳区校级期末）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作
用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知1片银杏树叶1年
的平均滞尘量比1片国槐树叶1年的平均滞尘量的2倍少4mg，若2片国槐树叶与1片银杏树叶一年的
平均滞尘总量为84mg．请分别求出1片国槐树叶和1片银杏树叶一年的平均滞尘量．
【变式1-3】（2021秋•广平县期末）如图，两根铁棒直立于桶底水平的水桶中，在桶中加入水，一根
1 1
露出水面的长度是它的 ，另一根露出水面的长度是它的 ，两根铁棒的长度之和为55，求两根铁棒
3 5
的长度．【变式1-4】（2022春•新昌县期末）游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳
帽．如果每位男孩看到的蓝色游泳帽是红色游泳帽的两倍，而每位女孩看到的蓝色游泳帽比红色游泳
帽多12顶，你知道男孩与女孩各有多少人吗？
【变式1-5】（2022•成武县校级开学）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出大
楼共有4道门，其中2道正门大小相同，2道侧门大小也相同，安全检查中，对4道门进行了测试：当
同时开启1道正门和2道侧门时，2分钟内可通过560名学生；当同时开启1道正门和1道侧门时，4
分钟内可通过800名学生，求平均每分钟1道正门和1道侧门各可通过多少名学生？
题型二 配套问题
【例题2】（2022春•和平区校级期末）某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24
个，已知一个螺栓配套两个螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓
和生产螺帽的人数分别为（ ）
A．50人，40人 B．30人，60人 C．40人，50人 D．60人，30人解题技巧提炼
生产中的配套问题很多，如螺钉与螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿
的配套衣身与衣袖的配套等，各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数
可把它们之间的数量关系以及所需材料的总和表示出来，从而得到方程组，使问
题得以解决.
【变式2-1】（2022秋•甘井子区校级期末）某工厂生产茶具，每套茶具有1个茶壶和4只茶杯组成，生
产这套茶具的主要材料是紫砂泥、用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作
这些茶具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少千克紫砂泥做茶杯、恰好配成这种茶具多少套？
【变式2-2】（2022春•南关区校级月考）一套仪器由2个A部件和5个B部件构成．用1m3钢材可做40
个A部件或200个B部件，现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部
件，恰好能使这种仪器刚好配套？
【变式2-3】（2021秋•梁河县期末）某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，生产这套
茶具的主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作这些茶
具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少个千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具多少套？
【变式2-4】一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300
条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌
腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？【变式2-5】（2021秋•全椒县期末）在手工制作课上，老师组织班级同学用硬纸制作圆柱形茶叶筒．
全班共有学生50人，其中男生x人，女生y人，男生人数比女生人数少2人．已知每名同学每小时剪
筒身40个或剪筒底120个．
（1）求这个班男生、女生各有多少人？
（2）原计划男生负责剪筒底，女生负责剪筒身，若要求一个筒身配两个筒底，请说明每小时剪出的筒身
与筒底能否配套？如果不配套，请说明如何调配人员，才能使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套？
题型三 数字问题
【例题3】（2022秋•中宁县期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和是 8，个位数字与十位数字互
换后所成的新数比原数小18，则原数是（ ）
A．26 B．62 C．35 D．53
解题技巧提炼
对于数字问题，一般设某位上的数字，而不是直接设某数是多少，用到的是间接
设未知数的方法，同时要注意两位（或三位）数的表示方法.
【变式3-1】（2022秋•榆次区校级期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是7，若十位上的数与个位上的数对换，得到的两位数与原来的两位数的差是9，则现在的两位数是（ ）
A．43 B．34 C．25 D．52
【变式3-2】（2022春•淄博期末）爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到
的里程碑上的数如下：
时刻 9：00 10：00 11：30
里程碑上的数 是一个两位数，它的 是一个两位数，它的 是一个三位数，它比
两个数字之和是6 十位与个位数字与 9：00时看到的两位
9：00所看到的正好 数中间多了个0
互换了
则10：00时看到里程碑上的数是（ ）
A．15 B．24 C．42 D．51
【变式3-3】（2022秋•嘉峪关校级期末）一个两位数的十位上的数字与个位上数字之和为8，把这个数
减去36后，结果恰好成为十位数字与个位数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（ ）
A．26 B．62 C．71 D．53
【变式3-4】（2022春•肇源县期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数之和是7，如果把这个两位
数加上9，所得的两位数的个位数字，十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字，求这
个两位数是多少？
【变式3-5】一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到
新数比原数的2倍多10．求原来的两位数．
题型四 行程问题---相遇、追击问题
【例题4】（2021秋•平桂区 期末）甲、乙二人相距6千米，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向
而行，1小时相遇，则甲、乙二人的平均速度各是（ ）A．3千米/时，4千米/时 B．4千米/时，2千米/时
C．2千米/时，4千米/时 D．4千米/时，3千米/时
解题技巧提炼
行程问题中的基本关系式是：路程＝速度×时间.
相遇问题常用到的等量关系：甲行的路程+乙行的路程=两地间的路程.
追及问题常用到的等量关系：快者路程－慢者行程=追及的路程.
【变式4-1】（2021秋•金台区期末）甲、乙两人从相距36km的两地相向而行，如果甲比乙先走2h，那
么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇，甲、乙两人的速度
分别是多少？
【变式4-2】一列火车从A站开往B站，若火车以90千米/时的速度行驶，能准时到达B站，现火车以
80千米/时的速度行驶了2小时后把速度提高到120千米/时，也能准时到达B站，求A、B两站之间的
距离．
【变式4-3】甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙步行．如果乙先走 20km，那么甲用1
小时就能追上乙；如果乙先走1小时，那么甲只用15分钟就能追上乙，求甲、乙二人的速度．
【变式4-4】甲、乙两人在400米的环形跑道上同一起点同时背向起跑，40秒后相遇，若甲先从起跑点出发，半分钟后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过3分钟后乙追上甲，求甲、乙两人的速度．
【变式4-5】（2022春•新乐市校级月考）小王沿街匀速行走，发现每隔12分钟从背后驶过一辆8路公
交车，每隔4分钟从迎面驶来一辆8路公交车．已知每辆8路公交车的行驶速度相同，且每相邻的两
辆8路公交车相距1200米，则8路公交车的行驶速度为（ ）
A．100m/分钟． B．200m/分钟 C．300m/分钟 D．400m/分钟
题型五 行程问题---航行问题
【例题5】（2023•市北区校级开学）若一艘轮船沿江水顺流航行120km需用3小时，它沿江水逆流航行
60km也需用3小时，设这艘轮船在静水中的航速为xkm/h，江水的流速为ykm/h，则根据题意可列方程
组为（ ）
A．{3x−y=60 B．{3(x+ y)=120
3x+ y=120 3(x−y)=60
C．{3(x−y)=120 D．{3x+ y=60
3(x+ y)=60 3x−y=120解题技巧提炼
航行问题：
顺流速度=静水速度＋水流速度； 逆流速度=静水速度－水流速度.
顺风速度=无风速度＋风速； 逆风速度=无风速度－风速.
往返于A、B两地时，顺流（风）航程=逆流（风）航程
【变式5-1】（2022秋•铜仁市期末）解诗谜：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，
试问风速是多少？题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了4分钟；回来时
逆风，4分钟只走了600里，试求风的速度为 ．
【变式5-2】（2022春•蓬江区校级月考）已知A市至B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B
市，需要2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分．求飞机的速度与风速．
【变式5-3】A市至B市的航线长9750km，一架飞机从A市顺风飞往B市需12.5h，它逆风飞行同样的
航线需13h，求飞机的平均速度与风速？
【变式5-4】已知某江上游甲地到下游乙地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，此轮船现由
甲地顺流而下到达乙地用18小时，由乙地逆流而上到达甲地用24小时，求此轮船在静水中的速度以
及此江水流的速度．
【变式5-5】（2021春•安居区月考）一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要 48小时，顺流而下需要32小时，若水流速度为8千米/时，则两码头之间的距离是多少千米？
题型六 行程问题---环形跑道问题
【例题6】（2021•重庆模拟）某体育场的环形跑道长400米，甲、乙同时从同一起点分别以一定的速度
练习长跑和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30秒相遇一次；如果同向而行，那么每隔80秒
乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？设甲的速度是 x米/秒，乙的速度是y米/秒，则列出的方
程组是（ ）
A．{30(x+ y)=400 B．{30(y−x)=400
80(y−x)=400 80(x+ y)=400
C．{30(x+ y)=400 D．{30(x−y)=400
80(x−y)=400 80(x+ y)=400
解题技巧提炼
环形跑道问题：
同相向而行的等量关系:乙程-甲程=跑道长；
背向而行的等量关系:乙程+甲程=跑道长.
【变式6-1】（2021春•昆明期末）甲、乙两名同学都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出
3 9
发，反向而行，每隔 分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔 分钟快的追上慢的一
2 2
次．已知甲比乙跑得快，求甲、乙两名同学每分钟各跑多少圈？【变式6-2】甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔2min相
遇一次，如果同时同地出发，同向而行，每隔10min相遇一次，已知甲比乙跑得快，环形跑道每圈400
米，甲、乙二人每分钟各跑多少米？
【变式6-3】甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟两人
首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．
【分析】设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，根据环形问题的数量
关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程﹣慢者走的路程＝环形周长建立方程求出其解即
可．
【变式6-4】在400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动，若反向而行，40秒
后两人第一次相遇；若同向而行，200秒后甲第一次追上乙．
（1）你能求出甲、乙两人的速度吗？
（2）若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、乙的方向一致，出发后20秒甲追上丙，出
发后100秒乙追上丙，请问出发时，丙在甲、乙前方多少米？丙的速度是多少？【变式6-5】小亮和小莹练习赛跑，如果小亮先让小莹跑3秒，那么小亮跑6秒就能追上小莹；如果小
亮让小莹先跑20米，那么小亮跑10秒就追上小莹．
（1）两人每秒各跑多少米；
（2）在400米环形跑道上，两人从同一起点相向跑，第一次相遇时，用是多少秒．
题型七 工程问题
【例题7】一件工作，甲，乙合作20天后乙再单独做8天才完成，如果甲的效率提高10%，乙的效率提
高20%，合作20天就可完成全部工作，则甲独做这件工作多少天可以完成（ ）
A．28天 B．34天 C．48天 D．58天
解题技巧提炼
工程问题：
①工作量＝人均效率×人数×时间；
②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量；
【变式7-1】（2021•泰州）甲、乙两工程队共同修建150km的公路，原计划30个月完工．实际施工
时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工．甲、乙两
工程队原计划平均每月分别修建多长？【变式7-2】某小区计划对外墙进行装饰维护．若甲、乙两个装饰公司合作施工，则共需要 6天完成，
小区总共需要支付9.6万元；若甲装饰公司先单独施工2天，则乙装饰公司还需要8天来完成剩下的装
饰工作，小区总共需要支付9.2万元．问：甲、乙两个装饰公司每天分别收取多少费用？
【变式7-3】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共
3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，问：
（1）甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？
（2）已知甲组单独完成需要12天，乙组单独完成需要24天，单独请哪组，商店所付费用较少？
【变式7-4】（2023•定安县一模）阅读理解：
为打造陶子河沿岸的风景带，有一段长为 360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工
程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天．
（1）根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下：
{
x+ y=()
甲：{ x+ y=() ，乙： ．
x y
24x+16 y=() + =()
24 16
根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所
列的方程组：
甲：x表示 ，y表示 ；
乙：x表示 ，y表示 ；
（2）求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？【变式7-5】（2022春•杭州月考）某家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完
成，需付两组费用共3520元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用
3480元．
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）现有三种施工方案：①单独请甲组装修；②单独请乙组装修；③请甲，乙两组合做．若装修完
后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．
题型八 商品销售问题
【例题8】（2022•义乌市模拟）某商场按定价销售某种商品时，每件可获利45元；按定价的8.5折销售
该商品8件与将定价降低35元销售该商品12件所获利润相等．该商品的进价、定价分别是（ ）
A．95元，180元 B．155元，200元
C．100元，120元 D．150元，125元
解题技巧提炼
销售问题基本的数量关系式：
利润
①利润＝售价﹣进价，利润率= ×100% .
进价
②售价=进价+利润=进价×（1+利润率）=标价×折扣.
【变式8-1】（2022秋•西安期末）直播带货已经成为年轻人购物的新时尚．某网红为回馈粉丝，在直
播间为某品牌带货促销：凡购买该品牌产品均享受13%的补贴（凭付款截屏到线上客服处返现）．某粉丝购买该品牌电视和空调各一台共花去6000元，且该空调的单价比所买电视的单价的2倍还多600
元．
（1）该粉丝可以到线上客服处返多少元现金？
（2）该粉丝所买的空调与电视的单价各是多少元？
【变式8-2】（2022•甘井子区校级模拟）某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八
折，乙种商品打七五折，已知打折前，买6件甲种商品和3件乙种商品需600元；打折后，买50件甲
种商品和40件乙种商品需5200元．
（1）打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？
（2）某人购买甲种商品80件，乙种商品100件，问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元？
【变式8-3】（2022秋•和平区期末）（列二元一次方程组求解）
水果经营户老李用520元从水果批发市场批发苹果和橙子共50千克，然后到水果市场去卖，已知苹果和
橙子当天的批发价和零售价如表所示：
品名 苹果 橙子
批发价（元/千克） 8 12
零售价（元/千克） 10 15
（1）求老李购进的苹果和橙子各多少千克？
（2）如果苹果和橙子全部卖完，请直接写出老李能赚 元．
【变式8-4】（2022秋•南山区校级期末）某商场第1次用390000元购进A、B两种商品，销售完后获得
利润60000元，它们的进价和售价如下表：（总利润＝单件利润×销售量）
商品价格 进价（元/件） 售价（元/件）
A 1000 1200B 1200 1350
（1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原进价购进A、B两种商品，购进B商品的件数不变，而购进A商品的件数是第1次的
2倍，B商品按原售价销售，而A商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润
等于18000元，则A种商品是打几折销售的？
【变式8-5】（2022秋•渠县期末）正值春夏换季的时节，某商场用 12000元分别以每件120元和60元
的价格购进了某品牌衬衫和短袖共140件．
（1）商场本次购进了衬衫和短袖各多少件？
（2）若该商场以每件180元的价格销售了衬衫总进货量的25%，将短袖在成本的基础上提价20%销售，
在销售过程中，有5件衬衫因损坏无法销售，为了减少库存积压，该商场准备将剩下的衬衫在原售价的基
础上降价销售，每件衬衫降价多少元，该商场销售完这批衬衫和短袖正好达到利润25.5%的预期目标．
题型九 解决分类问题
【例题9】（2021春•奉化区校级期末）某公园的门票价格规定如表：
购票人数 1～50人 51～100人 100以上
票价 10元/人 8元/人 5元/人
（1）某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515
元．问：甲、乙两班分别有多少人？
（2）若有A、B两个团队共160人，以各自团队为单位分别买票，共用950元，问A、B两个团队各有多
少人？
解题技巧提炼
本题运用了分类讨论思想，找到两个基本的等量关系式后，应根据不同范围的
重量找到相应的价格作答，在进行分类讨论时，要做到标准统一，既不重复，也
不遗漏。
【变式9-1】（2022秋•迎泽区校级月考）利用二元一次方程组解决问题：
心理学中，一个人的新习惯或理念的形成，至少需要坚持不懈的努力 31天．老师准备为同学们购买自律
打卡本，共同促进大家自律习惯的养成．临近双12，天猫活动规则：满500减20，满800减40，满800
同时还可以叠加20元的店铺券．某款打卡本价格如下表：
购买数量/本 1～50 51～100 100以上
每本价格/元 12 10 8
某校八年级（1）（2）两个班共102人，其中（1）班人数较少，有40多人，不到50人，（2）班人数较
多，有50多人，不到60人．如果两班都以班级为单位分别购买，则一共应付 1078元；如果两班联合起
来一起购买，则可以节省不少钱．
（1）两班各有多少名学生；
（2）联合起来购买还能省多少钱．【变式9-2】某水果批发市场苹果的价格如下表：
购买苹果（千克） 不超过20千克的部 20千克以上但不超过40千克的部分 40千克以上的部
分 分
每千克的价格 6元 5元 4元
（1）①若小明第一次购买15千克需付费 元；
②若小明第二次购买26千克需付费 元．
（2）若小强分两次共购买100千克，第一次购买a千克，且第二次购买的重量超过第一次购买的重量，
小强两次购买苹果共付费多少元？（用含a的代数式表示）
【变式9-3】（2022•南京模拟）为庆祝六一儿童节，某市中小学统一组织文艺汇演，甲、乙两所学校共
92人（其中甲校的人数多于乙校的人数，且甲校的人数不足90人）准备统一购买服装参加演出．下面
是某服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1～45套 46～90套 91套及以上
每套服装的价格（元/套） 60 50 40
如果两所学校分别单独购买服装，一共应付款5000元．
（1）如果甲、乙两校联合购买服装一共需要付款 元；
（2）甲、乙两所学校各有多少学生准备参加演出？（列方程组解应用题）
（3）如果甲校有10名同学因故不能参加演出，请你为两所学校设计一种最省钱的购买服装方案．
