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第四章 指数函数与对数函数
知识点一、指数及指数幂的运算
1.根式的概念
的 次方根的定义：一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中
当 为奇数时，正数的 次方根为正数，负数的 次方根是负数，表示为 ；当 为偶数时，正数的
次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为 .
负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.
式子 叫做根式， 叫做根指数， 叫做被开方数.
2.n次方根的性质：(1)当 为奇数时， ；当 为偶数时，
(2)
3.分数指数幂的意义：
；
要点诠释：
0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义.
4.有理数指数幂的运算性质：
(1) (2) (3)
知识点二、指数函数及其性质
1.指数函数概念
一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域为 .
2.指数函数函数性质：
函数
指数函数
名称
定义
函数 且 叫做指数函数
y y ax y ax y
图象
y 1 y 1 (0,1)
(0,1)
1 1
定义域 O 0 x O 0 x
值域
过定点 图象过定点 ，即当 时， .
奇偶性 非奇非偶单调性 在 上是增函数 在 上是减函数
函数值的
变化情况
变 化 对
在第一象限内，从逆时针方向看图象， 逐渐增大；在第二象限内，从逆
图象的影
时针方向看图象， 逐渐减小.
响
知识点三：对数与对数运算
1.对数的定义
(1)若 ，则 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数，
叫做真数.
(2)负数和零没有对数.
(3)对数式与指数式的互化： .
2.几个重要的对数恒等式
， ， .
3.常用对数与自然对数
常用对数： ，即 ；自然对数： ，即 (其中 …).
4.对数的运算性质
如果 ，那么
①加法：
②减法：
③数乘：
④⑤
⑥换底公式：
知识点四：对数函数及其性质
1.对数函数定义
一般地，函数 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域 .
2.对数函数性质：
函数
对数函数
名称
定义
函数 且 叫做对数函数
x 1
y
y log x
a
图象
x 1
y y log x 1 (1,0)
a
O 0 x
1
定义域
O 0 (1,0) x
值域
过定点 图象过定点 ，即当 时， .
奇偶性 非奇非偶
单调性 在 上是增函数 在 上是减函数
函数值的
变化情况
变 化 对
在第一象限内，从顺时针方向看图象， 逐渐增大；在第四象限内，从顺
图象的影
时针方向看图象， 逐渐减小.
响
知识点五：函数、方程的有关问题
1．函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理
如果函数 在一个区间 上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即
，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点 ，使 ，
这个 也就是方程 的根.
要点诠释：
①满足上述条件，我们只能判定区间内有零点，但不能确定有几个．若函数在区间内单调，则只有一
个；若不单调，则个数不确定．
②若函数 在区间 上有 ， 在 内也可能有零点，例如 在
上， 在区间 上就是这样的．故 在 内有零点，不一定有
．
③若函数 在区间 上的图象不是连续不断的曲线， 在 内也可能是有零点，例如函
数 在 上就是这样的．
（2）利用方程求解法
求函数的零点时，先考虑解方程 ，方程 无实根则函数无零点，方程 有实根
则函数有零点．
（3）利用数形结合法
函数 的零点就是方程 的实数根，也就是函数 的图象与
的图象交点的横坐标．
2.用二分法求函数零点的一般步骤：
已知函数 定义在区间D上，求它在D上的一个零点x 的近似值x，使它满足给定的精确度.
0
第一步：在D内取一个闭区间 ，使 与 异号，即 ，零点位
于区间 中.
第二步：取区间 的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算 和 ，并判断：①如果 ，则 就是 的零点，计算终止；
②如果 ，则零点位于区间 中，令 ；
③如果 ，则零点位于区间 中，令
第三步：取区间 的中点，则此中点对应的坐标为
.
计算 和 ，并判断：
①如果 ，则 就是 的零点，计算终止；
②如果 ，则零点位于区间 中，令 ；
③如果 ，则零点位于区间 中，令 ；
……
继续实施上述步骤，直到区间 ，函数的零点总位于区间 上，当 和 按照给定的精确
度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数 的近似零点，计算终止.这时函数
的近似零点满足给定的精确度.
要点诠释：
（1）第一步中要使：①区间长度尽量小；② 、 的值比较容易计算且 ．
（2）根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的．对于求方程
的根，可以构造函数 ，函数 的零点即为方程 的根．
知识点六：函数的实际应用
求解函数应用题时一般按以下几步进行：
第一步：审题
弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型.
第二步：建模
在细心阅读与深入理解题意的基础上，引进数学符号，将问题的非数学语言合理转化为数学语言，然
后根据题意，列出数量关系，建立函数模型.这时，要注意函数的定义域应符合实际问题的要求.
第三步：求模
运用数学方法及函数知识进行推理、运算，求解数学模型，得出结果.
第四步：还原
把数学结果转译成实际问题作出解答，对于解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，使其符合实
际背景.
上述四步可概括为以下流程：实际问题(文字语言) 数学问题(数量关系与函数模型) 建模(数学语言) 求模(求解数学问题) 反
馈(还原成实际问题的解答).
类型一：指数、对数运算
例1.计算
(1) ； (2) ；
(3) ；(4)
【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好.
【答案】(1) ；(2)1；(3)3；(4)14。
【解析】(1)原式= ；
(2)原式=
=
=1- + =1
(3)原式=
=
=2+ =3；
(4)令 ，两边取常用对数得=
=
=
即 =14。
【总结升华】这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运
算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧.
类型二：指数函数、对数函数的图象与性质
例2.已知函数 若 ，则 的取值范围是（ ）．
A. B. 或 C. D. 或
【答案】A
【解析】依题意 或 即 或 ，所以 ，故选A。
例3.设函数 若 ，则实数 的取值范围是( ) ．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】解法一：①若 ，则 ，
，得 ，得 ，解得 。
②若 则 ，，
解得
由①②可知
解法二：特殊值验证
令
，满足 ，故排除A、D。
令 ， ，
不满足 ，故排除B。
【总结升华】本题考查了分段函数的性质、分类思想的应用.
y=log (x2 −6x+8)
1
例4．函数 3 的单调递增区间是（ ）
A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2）
【思路点拨】这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，其单调性由这两个
函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
【答案】D
y=log (x2 −6x+8)
1
【解析】函数 3 是由 复合而成的， 是减函
数， 在 上单调递增，在 上单调递减，由对数函数的真数必须大于零，即
，解得 或 ，所以原函数的单调递增区间是 ，故选D。
例5．已知函数y=( )|x+1|。
（1） 作出图象；
（2） 由图象指出其单调区间；（3） 由图象指出当x取什么值时函数有最值。
【思路点拨】思路一：化去绝对值符号 将函数写成分段函数的形式 作图象 写出单调区间
写出x的取值；思路二：利用函数图象的变换作函数图象 写出单调区间 写出x的取值。
【解析】（1）图象作法一：由已知可得
其图象由两部分组成：
一部分是：
另一部分是：
图象如图：
图象作法二：先作函数 的图象，再作函数 图象。
作法：将函数 图象在y轴左侧去掉，保留右侧，再把右侧沿y轴翻折到左侧得到函数
图象（上图中虚线），再将函数 图象向左平移1个单位得到函数 图象。
（2）由图象知函数在 上是增函数，在 上是减函数。
（3）由图象知当 时，函数有最大值1，无最小值。x
例6.已知f(x)=log (a -1)(a>0,a≠1)
a
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论函数f(x)的单调性.
【思路点拨】(1)本题求f(x)的定义域，但由于在条件中已知函数的解析式，所以，在求解方法上，可以考
虑函数的真数大于零，解不等式.(2)本题求f(x)的单调性，但由于在条件中已知函数为复合函数，所以在解
题方法上，可用复合函数求其单调性.
x x x
【解析】(1)使f(x)=log (a -1)有意义，则a -1>0，即a >1，
a
当a>1时，x>0；当01时，函数的定义域为 {x|x>0}；
当01时，设01时，函数f(x)在(0,+∞)上为增函数；
当00 c∈(a,b) f (c)=0
A．若 ，不存在实数 使得 ；
f (a)f (b)<0 c∈(a,b) f (c)=0
B．若 ，存在且只存在一个实数 使得 ；
f (a)f (b)>0 c∈(a,b) f (c)=0
C．若 ，有可能存在实数 使得 ；
f (a)f (b)<0 c∈(a,b) f (c)=0
D．若 ，有可能不存在实数 使得 ．
【答案】 C
【解析】对于A选项：可能存在；对于B选项：必存在但不一定唯一
例8．求函数 零点的个数．
【思路点拨】此题考查函数零点个数问题，方法一：数形结合法，注意到函数 的图像
不易作，舍之；方法二：转化为相应方程的解的个数问题．而方程 不易解，舍之．若将方程
变形为： ．构造函数 与 ，方程 的根即为方程组 的
解，函数 的零点个数即为函数 与 图像的交点的个数．
【答案】0
【解析】函数 与 图像如图所示：
由此易知，函数 与 的图像交点个数为0，即得：函数 的零点个数为0．
【总结升华】函数 零点个数的求法之一是：数形结合法，将方程 变形为：
，构造函数 与 ，这两个函数的交点个数即为函数 的零点的个数．
这种方法数形结合，直观性强．例9． 与 分别是实系数一元二次方程 和 的一个根，且 ，
．
求证：方程 有且仅有一根介于 与 之间．
证明：令
与 分别是实系数一元二次方程 和 的一个根，
， ，
故 ， ，
，
，
方程 有且仅有一根介于 与 之间
【总结升华】这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法：只要判断区间[a，b]的端点值的乘积是
否满足 ，还要看函数 的图象在[a，b]上是否是连续曲线即可．
解答这类判断函数零点的大致区间的选择题，只需用函数零点的存在性定理依次检验所提供的区间，
即可得到答案．
例10．借助计算器或计算机用二分法求方程 的一个近似解．（精确到0.01）
【思路点拨】利用二分法求方程近似解的实质为求相应函数的近似零点，本题转化为求函数
的近似零点．注意到 ，则方程 在[-l，0]内有实根，再用二分法
求近似解．
【解析】考查函数 ，因为 ， ，所以方程 在[-
l，9]内有实数解．如此，得到方程 的实数解所在区间的表：
1 左端点 右端点
第1次 -1 0
第2次 -1 0.5
第3次 -0.75 -0.5
第4次 -0.75 -0.625
第5次 -0.6875 -0.625
第6次 -0.6875 -0.65625
第7次 -0.6875 -0.671875
第8次 -0.6875 -0.6796875
第9次 -0.6875 -0.68359735
第10次 -0.6875 -0.685546875
至此，可以看出，区间[-0.687 5，-0.685546875]内的所有值，都精确到0.01都是0.69，所以0.69是方
程精确到0.01的实数解．
【总结升华】二分法就是一种程序，一种算法．用二分法求函数零点的近似值应注意：
（1）选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使长度尽量小；
（2）要依据条件定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还
是继续计算；
（3）所要求的精确度不同则得到的结果不同；选取的起始区间不同，最后得到结果也不同，但它们
都符合给定的精确度．
类型四：函数模型极其应用
例11.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高/cm 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
体重/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
（1）根据表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重 y
kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模型的解析式;
（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为
175cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？
【思路点拨】由上表中的数据不能直接发现数量关系，需要利用散点图探寻问题的函数模型
由画出的散点图，观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线，根据这些点的分布情况
（快速增长），可以考虑用增长的函数模型作为这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男
性体重 与身高 的函数关系.
【答案】（1） （2）偏胖
【解析】(1)身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图根据点的分布特征可以考虑以 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高的函数
模型.
选取表其中两组数据 ， 代入 得：
用计算机算得
，
这样，得到函数模型：
.
将已知数据代入上述解析式，或作出上述函数模型的图像，可以发现这个函数模型与已
知数据的拟合度较好，这说明它能较好的反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
(2)如何应用模型判断某男生的体重是否正常？
将 代入 ，得
由计算器算得
由于
所以，这个男生偏胖.
【总结升华】用数据拟合函数模型时，如何从散点图观察函数，需要平时积累一些常见的函数模型，
并了解具体模型适用的大致的实际问题．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得
到数据，再通过数据拟合得到的．
