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2023年上海市15区中考数学一模汇编
专题 04 向量的线性运算（34 题）
一．选择题（共12小题）
1．（2022秋•金山区校级期末）已知 ，下列说法中不正确的是（ ）
A． B． 与 方向相同
C． D．
【分析】根据已知条件可知： 与 的方向相同，其模是3倍关系．
【解答】解：A、由 知： ﹣3 ＝ ，原说法不正确，符合题意；
B、由 知： 与 的方向相同，原说法正确，不符合题意；
C、由 知： 与 的方向相同，则 ，原说法正确，不符合题意；
D、由 知：| |＝|3 |，原说法正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有方向，又有大小．
2．（2022秋•徐汇区期末）下列命题正确的个数是（ ）
①设k是一个实数， 是向量，那么k与 相乘的积是一个向量；
②如果k≠0， ，那么 的模是|k|| |；
③如果k＝0，或 ，那么 ；
④如果k＞0， 的方向与 的方向相反．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由平面向量的性质，即可判断．
【解答】解：①设k是一个实数， 是向量，那么k与 相乘的积是一个向量，正确，故①符合题意；②如果k≠0， ，那么 的模是|k|| |，正确，故②符合题意；
③如果k＝0，或 ，那么k ＝ ，故③不符合题意；
④如果k＞0， 的方向与 的方向相同，故④不符合题意．
因此正确的有2个．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量，关键是掌握平面向量的性质．
3．（2022秋•徐汇区期末）已知 和 都是单位向量，下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平面向量模的定义、相等向量的定义以及向量加减运算法则即可求出答案．
【解答】解：A、由题意可知| |＝| |＝1，故A符合题意．
B、 与 方向不一定相同，故B不符合题意．
C、 是带有方向和数量的，故C不符合题意．
D、 ﹣ 仍然是向量，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是正确理解平面向量模的定义、相等向量的定义以及向量加减
运算法则，本题属于基础题型．
4．（2022秋•黄浦区校级期末）已知 ＝2 ，下列说法中不正确的是（ ）
A． ﹣2 ＝0 B． 与 方向相同
C． ∥ D．| |＝2| |
【分析】根据平面向量的性质进行一一判断．
【解答】解：A、由 ＝2 得到： ﹣2 ＝ ，故本选项说法不正确．B、由 ＝2 知， 与 方向相同，故本选项说法正确．
C、由 ＝2 知， 与 方向相同，则 ∥ ，故本选项说法正确．
D、由 ＝2 知，| |＝2| |，故本选项说法正确．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2022秋•闵行区期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．如果 为单位向量，那么 ＝| |
B．如果 、 都是单位向量，那么 ＝
C．如果 ＝﹣ ，那么 ∥
D．如果| |＝| |，那么 ＝
【分析】根据平面向量的定义、共线向量的定义以及平面向量的模的定义进行分析判断．
【解答】解：A、如果 为单位向量，且 与 方向相同时，那么 ＝| | ，故本选项不符合题意．
B、如果 、 都是单位向量且方向相同，那么 ＝ ，故本选项不符合题意．
C、如果 ＝﹣ ，则向量 与﹣ 的大小相等、方向相反，那么 ∥ ，故本选项符合题意．
D、若| |＝| |，那么 与 的模相等，但是方向不一定相等，即 ＝ 不一定成立，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面向量的知识，注意平面向量既有大小，又有方向，属于易错题．
6．（2022秋•静安区期末）如果非零向量 、 互为相反向量，那么下列结论中错误的是（ ）
A． ∥ B． C． D．
【分析】非零向量 、 互为相反向量，则非零向量 、 大小相等，方向相反．
【解答】解：∵非零向量 、 互为相反向量，∴ ∥ 且 ＝﹣ 且| |＝| |，
∴ + ＝ ．
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面向量，注意理解平面向量有关的定义是关键．
7．（2022秋•嘉定区校级期末）如图，在△ABC中，点D是在边BC上一点，且BD＝2CD， ，
，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】由BD＝2CD，求得 的值，然后结合平面向量的三角形法则求得 的值．
【解答】解：∵BD＝2CD，
∴BD＝ BC．
∵ ＝ ，
∴ ＝ ．
又 ＝ ，
∴ ＝ + ＝ + ．
故选：D．【点评】此题考查了平面向量的知识，解此题的关键是注意平面向量的三角形法则与数形结合思想的应
用．
8．（2022秋•杨浦区校级期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．如果m、n为实数，那么
B．如果k＝0或 ，那么
C．如果k≠0，且 ，那么 的方向与 的方向相同
D．长度为1的向量叫做单位向量
【分析】由平面向量的性质，即可得A与B正确，又由长度为l的向量叫做单位向量，可得D正确，向
量是有方向性的，所以C错误．
【解答】解：A、根据向量的性质得 ，故本选项正确；
B、如果k＝0或 ，那么 ，故本选项正确；
C、因为向量是有方向性的，所以C错误；
D、长度为l的向量叫做单位向量，故本选项正确．
故选：C．
【点评】此题考查了平面向量的性质．题目比较简单，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性质是
解此题的关键．
9．（2022秋•青浦区校级期末）已知非零向量 、 ，且有 ＝﹣2 ，下列说法中，不正确的是（ ）
A．| |＝2| | B． ∥
C． 与 方向相同 D． +2 ＝
【分析】根据非零向量 、 ，有 ＝﹣2 ，即可推出| |＝2| |， ∥ ， 与 方向相反， +2 ＝ ，
由此即可判断．【解答】解：∵非零向量 、 ，且有 ＝﹣2 ，
∴| |＝2| |， ∥ ， 与 方向相反， +2 ＝ ，
故A，B，C正确，D错误，
故选：D．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（2022秋•黄浦区期末）矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，如果 ＝ ， ＝ ，那么（
）
A． ＝ （ ﹣ ）B． ＝ （ ﹣ ） C． ＝ ﹣ D． ＝ （ + ）
【分析】在△BCD中， 的终点是 的起点，两者和是以B点为起点，D点为终点的向量．
【解答】解：如图所示：
∵ ＝ +
＝ ﹣
＝ ﹣ ，
∴ ＝ ＝ （ ﹣ ）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面向量，矩形的性质，注意掌握三角形法则是解此题的关键．
11．（2022秋•徐汇区校级期末）若非零向量 和 互为相反向量，则下列说法中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】向量 和向量 方向相反，则 ∥ ，| |＝| |， + ＝ ，由此结合选项进行判断即可．【解答】解：∵非零向量 和 互为相反向量，
∴向量 和向量 方向相反，
∴ ∥ ， ≠ ，
故A、B不符合题意；
∵向量 和向量 方向相反，
∴向量 和向量 的模相等，
∴| |＝| |，
故C符合题意；
∵向量 和向量 方向相反，
∴ + ＝ ，
故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查平面向量，熟练掌握相反向量的定义及性质是解题的关键．
12．（2022秋•杨浦区期末）已知 为非零向量， ＝3 ， ＝﹣2 ，那么下列结论中错误的是（ ）
A． ∥ B．| |＝ | |
C． 与 方向相同 D． 与 方向相反
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【解答】解：∵ ＝3 ， ＝﹣2 ，
∴ ＝﹣ ，
∴ ∥ ，| |＝ | |， 与 发方向相反，
∴A，B，D正确，故选：C．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二．填空题（共11小题）
13．（2022秋•闵行区期末）化简： （﹣3 + ）﹣ ＝ ﹣ 2 ．
【分析】运用实数的运算法则解答即可．
【解答】解： （﹣3 + ）﹣
＝ ×（﹣3 ）+ ﹣
＝﹣2 ．
故答案为：﹣2 ．
【点评】本题主要考查了平面向量的知识，实数的运算法则同样能适用于平面向量的计算过程中．
14．（2022秋•青浦区校级期末）计算：3（ ﹣2 ）﹣2（ ﹣3 ）＝ ．
【分析】实数的运算法则同样适用于该题．
【解答】解：3（ ﹣2 ）﹣2（ ﹣3 ）
＝3 ﹣3 ﹣2 +3
＝（3﹣2） +（﹣3+3）
＝ ．
故答案是： ．
【点评】考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加法结合律即可解题，属于基础计算题．
15．（2022秋•黄浦区期末）计算：3（2 ﹣ ）﹣（3 +2 ）＝ 3 ﹣ 5 ．
【分析】运用乘法分配律进行计算．
【解答】解：3（2 ﹣ ）﹣（3 +2 ）＝6 ﹣3 ﹣3 ﹣2
＝3 ﹣5 ．
故答案为：3 ﹣5 ．
【点评】本题主要考查了平面向量，实数的运算法则同样能适应于平面向量的计算过程中，属于基础题．
16．（2022秋•青浦区校级期末）计算：3（ +2 ）﹣2（ ﹣ ）＝ +8 ．
【分析】乘法结合律也同样应用于平面向量的计算．
【解答】解：原式＝3 +6 ﹣2 +2 ）＝ +8 ．
故答案是： +8 ．
【点评】本题主要考查了平面向量，属于基础题，实数的运算法则同样应用于平面向量的计算．
17．（2022秋•徐汇区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分
别交EF、BC于点G、H，若 ＝ ， ＝ ，则用 、 表示 ＝ ．
【分析】由梯形中位线定理得到EF＝ ，结合梯形的性质，平行四边形的判定与性质求得GF的
长度，利用平面向量表示即可．
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，则AD∥HC，AH∥CD，
∴四边形AHCD是平行四边形．
∴AD＝HC．
又EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF＝ ，且GF＝AD．
∴EG＝EF﹣GF＝ ﹣AD＝ ．∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ．
故答案是： ．
【点评】考查了平面向量和梯形中位线定理，注意：向量既有大小又有方向．
18．（2022秋•嘉定区校级期末）如果向量 、 、 满足关系式 ，那么 ＝ + （用
向量 、 表示）．
【分析】根据平面向量的加减法计算法则和方程解题．
【解答】解： ，
﹣ +2 ﹣ ＝0，
﹣ + ＝0，
＝ + ．
故答案是： + ．
【点评】此题考查平面向量，此题是利用方程思想求得向量 的值的，难度不大．
19．（2022秋•杨浦区校级期末）如图，已知在△ABC中，AD＝2，AB＝5，DE∥BC．设 ， ，
试用向量 、 表示向量 ＝ ．【分析】首先由DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，由 ， ，即可求得 ，由相似三角形的对
应边成比例，即可得到 ， ；即可求得 ．
【解答】解：∵AD＝2，AB＝5，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及向量的意义与运算．此题难度一般，解题时要注意
数形结合思想的应用．
20．（2022秋•金山区校级期末）如图，BE、AD分别是△ABC的两条中线，设 ＝2 ， ＝ ，那么向
量 用向量 ， 表示为 2 ．【分析】根据BE、AD分别是△ABC的两条中线得出BC＝2BD，BE＝ ，再根据平面向量的减法运
算法则即可求解．
【解答】解：∵BE、AD分别是△ABC的两条中线，
∴BC＝2BD，BE＝ ，
∵ ＝2 ， ＝ ，
∴ ， ，
∴ ＝2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了三角形重心的性质，平面向量的的减法运算法则，熟练掌握三角形重心的性质，平
面向量的的减法运算法则是解题的关键．
21．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，设向量 ＝ ， ＝ ，
用向量 、 表示 为 +2 ．
【分析】根据梯形的性质和三角形法则解答．
【解答】解：如图，在梯形ABCD中，∵AD∥BC，BC＝2AD， ＝ ，∴ ＝2 ＝2 ，
∴ ＝ + ＝ +2 ，
故答案是： +2 ．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及梯形的性质．注意利用图形求解是关键．
22．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，点G是△ABC的重心，DE过点G且平行于BC，点D、E分别在
AB、AC上，设 ＝ ， ＝ ，那么 ＝ ﹣ ．（用 、 表示）
【分析】先根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1），求得
与 的数量关系，然后再根据 ＝ ﹣ ，可得 与 、 的数量关系．
【解答】解：连接AG，并延长AG交BC于点F．
∵DE∥BC，
∴AG：AF＝DE：BC；
又∵点G是△ABC的重心，
∴AG：AF＝2：3，∴DE：BC＝2：3；即 ： ＝2：3；
∵ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ （ ﹣ ）＝ ﹣ ，
故答案为： ﹣ ．
【点评】本题主要考查了三角形的重心、平面向量．在解答此题时要注意两点：①三角形的重心的性
质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1，即AG：GF＝2：1，而不是AG：AF＝
2：1；②平面向量是有方向的．
23．（2022秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D．设 ， ，那
么 ＝ （结果用 、 的式子表示）．
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，根据三线合一的性质可得： ＝ ＝ ，然后由三
角形法则，求得答案．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ，
∴ ＝ + ＝ + ．
故答案为： + ．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应
用．
三．解答题（共11小题）24．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，AE与BD交于点F，
DE：EC＝1：2．
（1）求BF：DF的值；
（2）如果 ＝ ＝ ，试用 、 表示向量 ．
【分析】（1）由平行四边形的性质得DC∥AB，从而△ABF∽△EDF，利用相似三角形的性质得比例式，
从而解得BF：DF；
（2）先求出BF＝ ，再利用向量的加法可得答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴△ABF∽△EDF，
∴ ，
∵DE：EC＝1：2，
∴DC：DE＝3：1，
∴AB：DE＝3：1，
∴BF：DF＝3：1；
（2）∵BF：DF＝3：1，
∴DF＝ BD，
∵ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ ＝ ﹣ ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质
是解题的关键．
25．（2022秋•静安区期末）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，AE＝
EC．
（1）求证：DE∥BC；
（2）设 ， ，试用向量 、 表示向量 ．
【分析】（1）由平行线分线段成比例进行证明；
（2）由三角形法则求得 ，然后由AE与EC的比例关系求得向量 ．
【解答】（1）证明：BD＝2AD，AE＝ EC，
∴ ＝ ＝ ．
∴DE∥BC；
（2）解：∵ ， ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ．
∴ ＝ ﹣ ．
【点评】本题主要考查了平面向量，掌握平行线的判定，三角形法则即可解答该题，属于基础题．
26．（2022秋•徐汇区校级期末）如图，在△ABC中，∠BCD＝∠A，AD＝5，DB＝4．
（1）求BC的长；
（2）若设 ， ，试用 、 的线性组合表示向量 ．【分析】（1）由∠BCD＝∠A，公共角∠CBD＝∠ABC，可证出△BCD∽△BAC，再利用相似三角形的
性质可求出BC的长．
（2）由AD：BD＝5：4，可得 ＝ ，结合 ＝ + ，即可求出结论．
【解答】解：（1）∵∠BCD＝∠A，∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BC＝6或BC＝﹣6（不符合题意，舍去），
∴BC的长为6；
（2）∵AD：BD＝5：4，
∴AD：AB＝5：9，
∴ ＝ ，
∴ ＝ + ＝ + ＝ + （ + ）＝ + （﹣ + ）＝ + ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平面向量．解题的关键是：（1）利用相似三角形的
判定定理，证出△BCD∽△BAC；（2）根据各向量之间的关系，用 、 的线性组合表示出向量 ．
27．（2022秋•青浦区校级期末）如图，已知△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝6，AC＝8．
设 ， ．
（1）请直接写出向量 、 关于 、 的分解式， ＝ ； ＝ ．
（2）连接BE，在图中作出向量 分别在 、 方向上的分向量．【可以不写作法，但必须写出结论】【分析】（1）过点A作BC的平行线，过点C作BA的平行线，两直线相交于点F，得出 ，
，进而得出 ，通过证明△ABC∽△ADE，根据相似三角形对应边成比
例即可进行解答；
（2）连接BE，过点E作AB的平行线，交BC于点G，即可进行解答．
【解答】解：（1）过点A作BC的平行线，过点C作BA的平行线，两直线相交于点F，
∵AF∥BC，CF∥BA，
∴四边形ABCF为平行四边形，
∴AF＝BC，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ，则 ， ，
∴ ， ，故答案为： ， ．
（2）如图所示：向量 分别在 、 方向上的分向量为 、 ．
【点评】此题考查了向量、向量的平行四边形法则和三角形法则、相似三角形的判定和性质等知识，数
形结合是解题的关键．
28．（2022秋•闵行区期末）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，且DE经过
△ABC的重心，设 ＝ ， ＝ ．
（1） ＝ ﹣ + （用向量 ， 表示）；
（2）求作： + ．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【分析】（1）根据三角形的重心的性质，平面向量的三角形法则即可求解；
（2）根据平面向量的三角形法则作图即可．
【解答】解：（1）∵D经过△ABC的重心，DE∥BC，
∴ ，
∵ ＝﹣ + ，
∴ ＝﹣ + ．故答案为：﹣ + ；
（2）如图所示：
【点评】本题考查了平面向量，三角形的重心，作图—复杂作图，关键是熟练掌握三角形的重心的性质，
平面向量的三角形法则．
29．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边
BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．
（1）求EC：BC的值；
（2）设 ＝ ， ＝ ，那么 ＝ + ， ＝ ﹣ ﹣ （用向量 、 表示）
【分析】（1）根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题；
（2）利用三角形法则计算即可；
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴ ＝ ＝3，
∴ ＝3，
∴EC：BC＝2：3．
（2）∵ ＝ ，AC＝2AO，∴ ＝2 ，
∵ ＝ + ＝ +2 ，EC＝ BC，
∴ ＝ + ，
∵AD∥BE，
∴ ＝ ＝ ，
∴BG＝ BD，
∵ ＝ + ＝ + ＝ + +2 ＝2 +2 ，
∴ ＝ （2 +2 ）＝ + ，
∴ ＝﹣ ﹣
故答案为 + ，﹣ ﹣ ．
【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练
掌握基本知识，属于中考常考题型．
30．（2022秋•浦东新区校级期末）如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设
＝ ， ＝ ．
（1）求向量 （用向量 、 表示）；
（2）在图中求作向量 在 、 方向上的分向量．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得 ，又由点M、N是边DC、BC的中点，根据三角
形中位线的性质，即可求得向量 ；
（2）首先平移向量 ，然后利用平行四边形法则，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ，
∵点M、N分别为DC、BC的中点，
∴ ；
（2）作图：结论： 、 是向量 分别在 、 方向上的分向量．
【点评】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握平行四
边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．
31．（2022秋•浦东新区期末）如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，DE∥BC，AD＝3，DE＝2．
（1）求AE：AC的值；
（2）设 ，求向量 （用向量 、 表示）．【分析】（1）由BE平分∠ABC，DE∥BC，可得∠ABE＝∠DEB，BD＝DE＝2，故 ＝ ＝ ，即
AE：AC的值是 ；
（2）由AE＝ AC，可得 ＝ + ，故 ＝ + ＝﹣ + ．
【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴BD＝DE＝2，
∵AD＝3，
∴AB＝AD+BD＝3+2＝5，
∵DE∥BC，
∴ ＝ ＝ ，
∴AE：AC的值是 ；
（2）由（1）知AE＝ AC，
∵ ＝ + ，
∴ ＝ + ，
∴ ＝ + ，
∴ ＝ + ＝﹣ + + ＝﹣ + ．
【点评】本题考查平行线分线段成比例，等腰三角形判定，向量和差等知识，解题的关键是熟练掌握基
本知识，属于中考常考题型．
32．（2022秋•徐汇区期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，AC、DE相交于
点F．
（1）求DF：EF的值；（2）如果 ， ，试用 、 表示向量 ．
【分析】（1）利用三角形相似的判定和性质即可解决问题；
（2）利用三角形法则即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴△ADF∽△CEF，
∴ ＝ ，
∵BE＝2CE，
∴AD＝BC＝3CE，
∴ ＝ ＝3；
（2）由（1）知，DF：EF＝3，
∴EF＝ DE，
∴ ＝ ，
∵BE＝2CE，
∴BE＝ BC，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ， ，
∴ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣（ ﹣ ）＝ ﹣ ，
∴ ＝ （ ﹣ ）＝ ﹣ ．【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练
掌握基本知识，属于中考常考题型．
33．（2022秋•杨浦区期末）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，对角线AC、BD相交于点O，
设 ＝ ， ＝ ，试用 、 的式子表示向量 ．
【分析】根据平面向量定理即可表示．
【解答】解：∵AD∥BC，BC＝2AD，
∴ ＝ ＝ ．
∴ ＝ ，即OA＝ AC．
∵ ＝ ， ＝ ， 与 同向，
∴ ＝2 ．
∵ ＝ + ＝ +2 ．
∴ ＝ + ．
【点评】本题考查了梯形、平面向量定理，解决本题的关键是掌握三角形法则．
34．（2022秋•黄浦区期末）已知：如图，平行四边形 ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，对角线
BD分别交AM、AN于点 E、F，且DE：EF：BF＝1：2：1．
（1）求证：MN∥BD；
（2）设 ＝ ， ＝ ，请直接写出 关于 、 的分解式．【分析】（1）由平行四边形的性质可得，DM∥AB，BN∥AD，AB＝CD，AD＝BC，所以
△DEM∽△BEA，△BFN∽△DFA，则DE：BE＝DM：AB＝1：3，BN：AD＝BF：DF＝1：3，所以
DM：DC＝BN：BC＝1：3，由平行线分线段成比例可得结论；
（2）由向量的差可知， ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，易得MN：BD＝CM：DC＝2：3，所以BD＝ MN，由
此可得结论．
【解答】（1）证明：在平行四边形ABCD中，
∴DM∥AB，BN∥AD，AB＝CD，AD＝BC，
∴△DEM∽△BEA，△BFN∽△DFA，
∴DE：BE＝DM：AB＝1：3，BN：AD＝BF：DF＝1：3，
∴DM：DC＝BN：BC＝1：3，
∴MN∥BD；
（2）解：∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
由（1）知，MN∥BD，DM：DC＝BN：BC＝1：3，
∴MN：BD＝CM：DC＝2：3，
∴BD＝ MN，
∴ ＝ ＝ ﹣ ．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，平面向量的计算等相关知识，
熟练掌握相关知识是解题关键．
