文档内容
人教版初中数学七年级下册
第八章 二元一次方程组 章节复习 教学设计
一、教学目标：
1.正确认识二元一次方程组及其相关的概念.
2.理解解方程组的思路，并会用代入法和加减法解二元（或三元）一次方程组.
3.学会运用二元一次方程组解决有关应用问题.
三、教学过程：
知识网络
知识梳理
一、二元一次方程(组)相关概念
二元一次方程
上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数(x和y)，并且含有未知数的项的次数都是1，
像这样的方程叫做二元一次方程.
注：1.“一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数；
2.方程的左右两边都是整式.
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
二元一次方程组方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样
的方程组叫做二元一次方程组.
注：(1) 2个未知数；(2) 未知数的项的次数是1； (3) 方程的左右两边都是整式.
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
二、二元一次方程组的解法
代入消元法
将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法，叫做消元思想.
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一个
方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，简称代入
法.
代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个
未知数的式子表示出来；
第二步：把此式子代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程；
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；
第四步：回代求出另一个未知数的值；
第五步：把方程组的解表示出来；
第六步：检验(口算或在草稿纸上进行笔算)，即把求得的解代入每一个方程看是否成立.
加减消元法
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别
相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简
称加减法.
【解题要点】同一未知数的系数不相等也不互为相反数时，找系数的最小公倍数，利用等式
的性质，使得未知数的系数相等或互为相反数.
【主要步骤】三、二元一次方程组的实际应用
考点梳理考点解析
考点 1 ： 二元一次方程 ( 组 ) 的有关概念
例1.已知方程(m﹣2)xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．
解：∵（m﹣2）xn﹣1+2y|m﹣1|=m是关于x、y的二元一次方程，
∴n﹣1=1，|m﹣1|=1，
解得：n=2，m=0或2，
若m=2，方程为2y=2，不合题意，舍去，
则m=0，n=2．
例2.下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
{ax+5 y=15 {x=−3
例3.解方程组 时，小卢由于看错了系数a，结果得到的解为 ，小龙由于看
2x−by=−1 y=−1
{x=5
错了系数b，结果得到的解为 ，求a+b的值．
y=4
解：∵小卢由于看错了系数a，
{x=−3
∴把 代入2x−by=−1得：−6+b=−1，解得：b=5，
y=−1∵小龙由于看错了系数b，
{x=5
∴把 代入ax+5 y=15得：5a+20=15，解得：a=−1，
y=4
∴a+b=−1+5=4．
【迁移应用】
【1-1】下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
1
A.3x−2y=4z B.6xy+9=0 C.4x= y−1 D. +4 y=6
x
【1-2】下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
【1-3】若方程 是二元一次方程，试求 的值．
(m−3)x|m|−2=3 yn+1+4 m, n
解：∵方程 是二元一次方程，
(m−3)x|m|−2=3 yn+1+4
∴m−3≠0，|m|−2=1，n＋1＝1，
∴m＝−3，n＝0．
考点 2 ： 二元一次方程组的解法 - 代入消元法
例4.解下列方程组：
{ x+ y=10① {x−3 y=−2①
(1) (2)
2x+ y=16② 2x+ y=3②
解:由①，得 y=10-x ③
把③代入②，得 2x+10-x=16
解这个方程，得 x=6
把x=6代入③，得y=4
{x=6
所以这个方程组的解是
y=4
解:由①，得 x=3y-2 ③
把③代入②，得 2(3y-2)+y=3
解这个方程，得 y=1
把y=1代入③，得x=1{x=1
所以这个方程组的解是
y=1
例5.若方程5x2m+n+4y3m-2n=9是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值.
{2m+n=1
解：根据已知条件可列方程组：
3m−2n=1
由①得n = 1 –2m③
把③代入②得：3m – 2（1 – 2m）= 1
3
解这个方程，得 m=
7
3 1
把m= 代入③，得 n=
7 7
3 1
所以m的值为 ， n的值为 .
7 7
【迁移应用】
{ y=1−x
【2-1】用代入法解方程组 时，代入正确的是( )
x−2y=4
A.x-2-x=4 B.x-2-2x=4 C.x-2+2x=4 D. x-2+x=4
{ 2
y= x
【2-2】用代入法解方程组 3 各式中正确的( )
3x=2y+1
2 2 3
A.3x=2× x+1 B.3x=2× y+1 C.3x=2× y+1 D.3x=2x×6x+1
3 3 2
【2-3】如果|y+3x -2|+|5x+2y-2|=0， 求x、y的值.
{y+3x−2=0
解:根据已知条件，得:
5x+2y−2=0
由①，得 y=2-3x ③
把③代入②，得 5x+2(2-3x)-2=0
解这个方程，得 x=2
把x=2代入③，得 y=-4
{ x=2
所以这个方程组的解是
y=−4
答: x的值是2，y的值是-4.
考点 3 ： 二元一次方程组的解法 - 加减消元法
例6.用加减法解方程组：(1)
{x+2y=9 ①
(2)
{5x+2y=25①
(3)
{ 2x+5 y=16 ①
(4)
3x−2y=−1 ② 3x+4 y=15② 3x+2y=5 ②
{2x+3 y=6 ①
3x−2y=−2②
解：(1)①+②，得 4x=8
x=2
把x=2代入①，得 2+2y=9
y=3.5
{ x=2
所以这个方程组的解是
y=3.5
解：(2)①×2，得 10x+4y=50 ③
③-②，得 7x=35
x=5
把x=5代入②，得 3×5+4y=15
y=0
{x=5
所以这个方程组的解是
y=0
解：(3)①×3，得 6x+15y=24 ③
②×2，得 6x+4y=10 ④
14
③-④，得 11y=14，解得 y=
11
14 14 9
把y= 代入①，得 2x+5× =8，解得 x=
11 11 11
9
{ x=
11
所以这个方程组的解是
14
y=
11
解：(4)①×2，得 4x+6y=12 ③
②×3，得 9x-6y=-6 ④
6
③+④，得 13x=6，解得 x=
13
6 6 22
把x= 代入①，得 2× +3y=6，解得 y=
13 13 136
{ x=
13
所以这个方程组的解是
22
y=
13
{2x+5 y=−k+3
例7.已知方程组 的解满足5x−y=4，则k的值是（ ）
7x+4 y=3k−1
A．−1 B．2 C．−3 D．−4
【迁移应用】
{ 2y+3x=1①
【3-1】用加减法消元法解方程组 ，则①-②得( )
3x−5 y=−4②
A.2y=1 B.5y=4 C.7y=5 D. -3y=- 3
{2x−3 y=5①
【3-2】用加减法消元法解方程组 ，正确的方法是( )
x=3 y+7②
A.①+②，得2x=5 B.①+②，得3x=12
C.①×②，得3x+7=5 D.先将②变为x -3y=7③，再①-③，得x=-2
{2x−y=5k+6
【3-3】若关于 x，y 的方程组 的解满足 x+ y=2022 ，则 k 的值为（ ）
4x+7 y=k
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【3-4】选择适合的解法解下列方程组.
{x+4 y=2 ① {2x+3 y=3 ①
(1) (2) (3)
3x+5 y=20 ② 5x−3 y=2 ②
{2x−3 y=1 ①
4x+7 y=5 ②
11.解：(1)①×3，得 3x+12y=6 ③
③-②，得 7y=-14
y=-2
把y=-2代入②，得 3x+5×(-2)=20
x=10
{x=10
所以这个方程组的解是
y=−2
解：(2)①+②，得 7x=5
5
x=
75 5
把x= 代入①，得 2× +3y=3
7 7
11
y=
21
5
{ x=
7
所以这个方程组的解是
11
y=
21
解：(3)①×2，得 4x-6y=2 ③
② - ③ ，得 13y=3
3
y=
13
3 3
把y= 代入②，得 4x+7× =5
13 13
11
x=
13
11
{ x=
13
所以这个方程组的解是
3
y=
13
考点 4 ： 二元一次方程组的特殊解法列举
{ 2(x−y) x+ y
例8.解方程组 − =−1
3 4
6(x+ y)−4(x−y)=12
解：设x-y=a，x+y=b，
{2a b
− =−1
原方程组可化为 3 4
6b−4a=12
{a=−1
解得 4
b=
3
1
{x−y=−1 { x=
6
∴ 4 解得
x+ y= 7
3 y=
61
{ x=
6
所以原方程组的解为
7
y=
6
【迁移应用】
【4-1】解方程组{ 2(x+ y)+3(x−y)=30 ①
2(x+ y)−3(x−y)=6 ②
解：由①+②，得 4(x+y)=36
所以 x+y=9 ③
由① - ②，得 6(x-y)=24
所以 x-y=4 ④
{x+ y=9
解由③④组成的方程组
x−y=4
{x=6.5
解得
y=2.5
【4-2】利用整体代入法解下列方程:
{ x−3
(1){ x+1=2(y−1)① (2) −3 y=0①
2
3(x+1)=5(y−1)+4②
2(x−3)−5=2y②
解:将(x+1)看作一个整体.
把①代入②，得3×2(y-1)=5(y-1)+4.解这个方程，得 y=5
把y=5代入①，得 x=7
{x=7
所以这个方程组的解是
y=5
解:将(x-3)看作一个整体.
由①，得x-3=6y ③
把③代入②，得2×6y-5=2y
解这个方程，得y=0.5
把y=0.5代入③，得x=6
{ x=6
所以这个方程组的解是
y=0.5
考点 5 ： 二元一次方程组的解法的典型应用{ 2x+ y=k
例9.若关于x、y的二元一次方程组 的解满足4x+y=15，求k的值．
x−2y=−12k
{ 2x+ y=k①
解：
−2y=−12k②
①×2+②，得5x＝−10k，解得：x＝−2k ，
把x＝−2k代入①，得2×(−2k)+ y=k，
解得：y=5k．
把x＝−2k，y=5k代入方程4x+y＝15，
得4×(−2k)+5k=15，
解得：k=−5．
{2x+ y=5 {ax+by=8
例10.若方程组 与 有相同的解，求a+b的平方根.
ax−by=4 x−y=1
{2x+ y=5 {ax+by=8
解：∵方程组 与 有相同的解，
ax−by=4 x−y=1
{2x+ y=5
∴ ，
x−y=1
{x=2
解得：
y=1
{ax+by=8 {2a+b=8
∴ 化为： ，
ax−by=4 2a−b=4
{a=3
解得： ∴a+b=5，∴a+b的平方根为：±√5．
b=3
【迁移应用】
{3x+2y=2m
【5-1】如果关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，求m的值．
x−y=3m+5
{3x+2y=2m ①
解：∵ 的解互为相反数，
x−y=3m+5②
∴x+ y=0③，
将③代入①得x=2m，
将x=2m代入③得y=−2m，
将x=2m，y=−2m代入②中得2m+2m=3m+5，
∴m=5．
{3x−2y=4 {2mx−3ny=19
【5-2】当m，n分别取何值时，方程组 与 的解相同？
mx+ny=7 5 y−x=3{3x−2y=4①
解：联立得： ，
−x+5 y=3②
①+②×3得：13 y=13，
解得：y=1，
把y=1代入②得：x=2，
{ 2m+n=7
代入得： 解得：m=4，n=−1．
4m−3n=19
考点 6 ： 二元一次方程组的实际应用
例11.某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0～3km，超过3km的部分按每千米另收费.
甲说：“我乘这种出租车走了11km，付了17元.”
乙说：“我乘这种出租车走了23km，付了35元.”
请你算一算：出租车的起步价是多少元？超过3km后，每千米的车费是多少元？
分析：本问题涉及的等量关系有：
总车费=0～3km的车费(起步价)+超过3km的车费.
解 设出租车的起步价是x元,超过3km后每千米收费y元.
根据等量关系,得{x+(11−3)y=17
x+(23−3)y=35
{ x=5
解这个方程组，得
y=1.5
答：这种出租车的起步价是5元，超过3km后每千米收费1.5元.
例12.某校现有校舍20000m2，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若
建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校
舍？(单位为m2)新校舍面积=被拆除旧校舍面积×4
校舍总面积=20000×(1+30%)
解：设拆除旧校舍为x m2，新建校舍为y m2，根据题意，列出方程组
{ y=4 x ¿ ¿ ¿ ¿
{x= 2000 ¿¿¿¿
解这个方程组，得
答：拆除旧校舍为2000 m2，新建校舍为8000 m2.
例13.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工
具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解 2辆A型汽车、3辆B型
汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），
请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售 1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利6000元，
在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多
少元？
(1)解：设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，
{2a+3b=80
由题意可得
3a+2b=95
{a=25
解得
b=10
答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元；
(2)解：设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，由题意可得25m+10n=180且m>0，n>0，
{m=2 {m=4 {m=6
解得 或 或
n=13 n=8 n=3
∴该公司共有三种购买方案，
方案一：购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车；
方案二：购买4辆A型汽车，购买8辆B型汽车；
方案三：购买6辆A型汽车，购买3辆B型汽车；
(3)解：当m=2，n=13时，获得的利润为：8000×2+6000×13=94000（元），
当m=4，n=8时，获得的利润为：8000×4+6000×8=80000（元），
当m=6，n=3时，获得的利润为：8000×6+6000×3=66000（元），
由上可得，最大利润为94000元，
∴购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车获利最大，最大值为94000元．
【迁移应用】
【6-1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是30；这个两位数除以它的各位数
字之和，商是5、余数是6．这个两位数是多少？
解：设这个两位数的十位数字是x，个位数字是y．
所以可列：{10x+ y−3(x+ y)=30
5(x+ y)+6=10x+ y
{x=6
解得：
y=6
所以10x+ y=66
所以这个两位数是66．
【6-2】某校为7年级寄宿学生安排宿舍，每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间住6人，
则有一间只住4人，求该年级寄宿的学生人数和宿舍间数？
解：设寄宿生人数为x人，宿舍间数为y间，
{ x−5 y=4
由题意，得
x−(y−1)=4
{x=34
解得：
y=6
答：寄宿生人数为34人，宿舍间数为6间．
【6-3】小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为 120岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多 12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差．他们三人的年龄分别是多少？
解：设小亮的年龄为x岁，爸爸的年龄为y岁，则爷爷的年龄为（120–x–y）岁，根据题意
{120−x−y=x+ y+12
得，
y−x=120−x−y−y
{x=14
解得
y=40
∴120–x–y=66．
答：小亮的年龄为14岁，爸爸的年龄为40岁，爷爷的年龄为66岁．
【6-4】在长为10m，宽为8m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个全等的
小长方形花圃，其示意图如图所示．则小长方形花圃的长和宽分别是多少？
解：设小长方形花圃的长为xm，宽为ym，
{2x+ y=10
由题意得
x+2y=8
{x=4
解得
y=2
答：小长方形花圃的长为4m，宽为2m.
【6-5】如图，飞腾公司从 A 地购进原料若干吨，加工成产品后销往 B 地.已知公路运费为
1.5元/（t·km），铁路运费为 1 元/（t·km），飞腾公司共支付公路运费 750 元，铁路
运费 4000 元.根据以上信息计算：购进原料多少吨？加工后销往 B 地的产品为多少吨？
解：设购进原料 x t，加工后销往 B 地的产品为 y t.解得
答：购进原料20t.加工后销往B地的产品为10t
【6-6】甲、乙两人同时加工一批零件，前 3小时两人共加工126件，后5小时中甲先花了1
小时修理工具，之后甲每小时比以前多加工10件，乙由于体力消耗较大，每小时比原来少加
工1件，结果在后5小时内，甲比乙多加工了15件，甲、乙两人原来每小时各加工多少件？
解：设甲原来每小时加工x件，乙每小时加工y件，依题得：
{ 3x+3 y=126
4(x+10)−5(y−1)=15
{x=20
解方程组得：
y=22
答：甲原来每小时加工20件，乙原来每小时加工22件．
【6-7】某人用24000元买进甲、乙两种股票，如果甲股票升值 15％，乙股票下跌10％时卖
出，共获利1350元，试问某人买的甲、乙两股票各是多少元？
{ x+ y=24000
解：设买了甲、乙两股票各是x元，y元，由题意得：
x(1+15%)+ y(1−10%)=24000+1350
{x=15000
解得
y=9000
答：买了甲股票15000元，乙股票9000元．
【6-8】某商场以一定的进价购迸一批服装，并以一定的单价出售，平均每天卖出 10件，30
天共获利15000元， 现在为了尽快回笼资金，商场决定将每件衣服降价 20%出售，结果平均
每天比降价前多卖10件，这样30天可获利12000元，问这批衣服每件的进价及降价前出售
的单价各是多少?
解:设这批衣服每件的进价为x元，降价前出售的单价是y元，根据题意，列得方程组
{ 10×(y−x)×30=15000
(10+10)×[(1−20%)y−x]×30=12000
{x=100
解这个方程组，得
y=150答:这批衣服每件的进价为100元，降价前出售的单价是150元.
