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七年级下册数学《第八章 二元一次方程组》
本章知识综合运用
有 关 概 念
●●1、二次一次方程的定义：每个方程都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像
这样的方程叫做二元一次方程.
●●2、二次一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方
程的解.
●●3、二次一次方程组的定义：方程组有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一
共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
●●4、二元一次方程组的解定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次
方程组的解.
●●5、三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程
叫做三元一次方程.
●●6、三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，
并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
解二（三）元一次方程组
解二元一次方程组的思想是消元思想，即将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想方法.
解二元一次方程组的方法有两种：代入消元法和加减消元法.
●●1、代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入
另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
◆用代入法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示
出来．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．
④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．
⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
●●2、加减法：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边
分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
◆用加减法解二元一次方程组的一般步骤：
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的
两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．
②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
③解这个一元一次方程，求得未知数的值．
④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．
{x=a
⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用 的形式表示．
y=b
●●3、解三元一次方程组的基本思路：消元，先消去一个未知数，把“三元”化为“二元”，使
解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
◆◆解三元一次方程组的方法是代入消元法和加减消元法.
用方程组的解决实际问题
●●1、列二（三）元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系．
（4）列：根据等量关系，列出方程组．
（5）解：解方程组，求出未知数的值．
（6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答．
●●2、设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司个未知数，就要列几个方程．
题型一 二元一次方程（组）的识别
【例题1】 （2022春•偃师市校级期中）在①x+y＝6；②x（y+1）＝3；③3x+y＝z+1；④mn＝7中，
二元一次方程共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二元一次方程的定义即可求出答案．
【解答】解：①x+y＝6，是二元一次方程；
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司②x（y+1）＝3，含未知数的项的最高次数是2次，不是二元一次方程；
③3x+y＝z+1，含有三个未知数，不是二元一次方程；
④mn＝7，含未知数的项的最高次数是2次，不是二元一次方程．
所以二元一次方程共有1个．
故选：A．
【点评】本题考二元一次方程，解题的关键是熟练运用二元一次方程的定义．
解题技巧提炼
1、判断二元一次方程的方法是看它是否需满足三个条件：①首先是整式方程．
②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一
个条件的都不叫二元一次方程．
2、在识别二元一次方程组时，首先看是否有两个未知数，其次看含未知数的项的
次数是否是1，另外还要注意方程是不是整式方程.
【变式1-1】（2023春•东阳市月考）下列是二元一次方程的是（ ）
1
A．2x＝3 B．2x2＝y﹣1 C．y+ =−5 D．x﹣6y＝0
x
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
根据二元一次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．2x＝3，是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
B．2x2＝y﹣1，是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
1
C．y+ =−5，是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意；
x
D．x﹣6y＝0，是二元一次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方
程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次
方程．
【变式1-2】（2022秋•大东区期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
{x+ y=5 {x+ y=2
A． B．
y=2 y−z=6
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司{xy=4 {x2−1=0
C． D．
y=1 x+ y=5
【分析】利用二元一次方程组的定义判断即可．
{x+ y=5
【解答】解：A、 属于二元一次方程组，符合题意；
y=2
{x+ y=2
B、 不属于二元一次方程组，不符合题意；
y−z=6
{xy=4
C、 属于二元二次方程组，不符合题意；
y=1
{x2−1=0
D、 属于二元二次方程组，不符合题意，
x+ y=5
故选：A．
【点评】此题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解本题的关键．
【变式1-3】（2022秋•清河区校级期末）若关于x，y的方程xm+n+5ym﹣n+2＝8是二元一次方程，则mn的
值是 ．
{ m+n=1
【分析】根据二元一次方程定义可得 ，据此可得m、n的值，再代入计算即可．
m−n+2=1
【解答】解：∵关于x，y的方程xm+n+5ym﹣n+2＝8是二元一次方程，
{ m+n=1
∴ ，
m−n+2=1
{m=0
解得： ，
n=1
∴mn的值是0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了二元一次方程，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方
程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫
二元一次方程．
【变式1-4】（2022春•曹县期中）方程（a﹣5）|a﹣4|+5y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为
．
【分析】根据二元一次方程的定义得出a﹣5≠0，|a﹣4|＝1，再求出a即可．
【解答】解：∵方程（a﹣5）|a﹣4|+5y＝1是关于x，y的二元一次方程，
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司∴a﹣5≠0且|a﹣4|＝1，
∴a＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义和绝对值，能根据二元一次方程的定义得出 a﹣5≠0和|a﹣4|
＝1是解此题的关键．
{ (m−2)x=2
【变式1-5】（2022春•辉县市期末）已知方程组 是二元一次方程组，则m＝（ ）
3x−y|m|−1=1
A．1或﹣1 B．2或﹣2 C．﹣2 D．2
【分析】根据组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次
的整式方程解答．
{ m−2≠0
【解答】解：由题意得， ，
|m|−1=1
解得m＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的定义，解答时，一定要紧扣二元一次方程组的定义：组成二元
一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
题型二 利用二元一次方程的解求字母参数的值
{ x=2
【例题 2】（2023 春•东城区校级月考）已知 是二元一次方程 y﹣kx＝7 的解，则 k 的值是
y=−1
（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
{ x=2
【分析】将 代入二元一次方程y﹣kx＝7，得到关于k的一元一次方程，解方程即可求解．
y=−1
【解答】解：根据题意得，﹣1﹣2k＝7，
解得：k＝﹣4．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的解的定义，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司解题技巧提炼
利用二元一次方程的解求字母的参数的值的方法：将方程的解代入二元一次方
程，得到关于字母参数的新方程，解这个方程即可求出字母参数的值.
【变式2-1】（2023•建湖县一模）已知二元一次方程2x+3y＝3，其中x与y互为相反数，则x，y的值
为（ ）
A．x＝﹣4，y＝4 B．x＝4，y＝﹣4 C．x＝3，y＝﹣3 D．x＝﹣3，y＝3
【分析】x与y互为相反数，那么y＝−x，然后代入2x+3y＝3求出x的值，即可求解．
【解答】解：由题意得x+y＝0，即y＝−x，
代入2x+3y＝3，得
2x−3x＝3，
解得x＝−3，
则y＝3．
故选：D．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程解的含义是解本题的关键．
【变式2-2】（2021秋•建宁县期末）下面各组数值中，二元一次方程2x+y＝10的解是（ ）
{x=−2 { x=6 {x=4 {x=−3
A． B． C． D．
y=6 y=−2 y=3 y=4
【分析】把各选项的值代入方程验算即可．
【解答】解：A选项，2x+y＝﹣4+6＝2≠10，故该选项不符合题意；
B选项，2x+y＝12﹣2＝10，故该选项符合题意；
C选项，2x+y＝8+3＝11≠10，故该选项不符合题意；
D选项，2x+y＝﹣6+4＝﹣2≠10，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，把各选项的值代入方程验算是解题的关键．
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【变式2-3】（2022秋•沙坪坝区校级期末）若关于x、y的方程ax+y＝2的一组解是 ，则a的值
y=−1
为（ ）
1
A．1 B．﹣1 C． D．3
3
{ x=3
【分析】将 代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
y=−1
{ x=3
【解答】解：将 代入原方程得3a﹣1＝2，
y=−1
解得：a＝1，
∴a的值为1．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的
值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键．
{ x=3
【变式2-4】（2022秋•李沧区期末）若 是二元一次方程ax+by＝﹣2的一个解，则3a﹣2b+2024
y=−2
的值为 ．
【分析】把解代入二元一次方程中，把得到的等式和代数式整理变形，整体代入求值．
{ x=3
【解答】解：∵若 是二元一次方程ax+by＝﹣2的一个解，
y=−2
∴3a﹣2b＝﹣2，
∴3a﹣2b+2024
＝﹣2+2024
＝2022，
故答案为：2022．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，解题的关键是掌握整体代入求值．
{ x=1 {x=0
【变式2-5】（2022秋•迎泽区校级月考） 和 都是方程ax﹣y＝b的解，则ab＝ ．
y=−2 y=3
【分析】先将两组解分别代入方程ax﹣y＝b，可得a和b的值，即可求出代数式的值．
【解答】解：将两组解分别代入方程，
得a+2＝b，﹣3＝b，
∴a＝﹣5，b＝﹣3，
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∴ab＝（﹣5）﹣3=− ．
125
1
故答案为：− ．
125
【点评】本题考查了二元一次方程得解，将解代入方程求出a和b的值是解题的关键．
题型三 直接代入二元一次方程组的解求字母参数的值
{ x=2 {ax+by=4
【例题3】（2022春•嵊州市期末）已知 是方程组 的解，则a2﹣b2的值是 ．
y=−2 ax−by=6
【分析】根据二元一次方程组的解的定义，再根据平方差公式解决此题．
{2a−2b=4，
【解答】解：由题意得，
2a+2b=6．
{a−b=2，
∴ ．
a+b=3．
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解的定义、平方差公式，熟练掌握二元一次方程组的解的定义、
平方差公式是解决本题的关键．
解题技巧提炼
利用二元一次方程组的解求字母的参数的值的方法：将方程组的解代入二元一次
方程组中，得到关于字母参数的新方程组，解这个方程组即可求出字母参数的值.
{x+ y=〇 {x=−2
【变式3-1】（2022春•平南县期末）如果方程组 的解为 ，则被“〇”和“■”遮挡
2x+ y=5 y=■
的两个数分别是（ ）
A．7，9 B．9，7 C．1，﹣1 D．﹣1，1
【分析】根据二元一次方程组的解的定义解决此题．
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∴y＝9．
∴■＝9．
∴x+y＝﹣2+9＝7．
∴〇＝7．
故选：A．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解决本题的关键．
{x=4 {ax+by=5
【变式3-2】（2022春•永年区校级期末）已知 是方程组 的解，则a﹣b的值是（ ）
y=2 bx+ay=1
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
【分析】将x、y的值代入方程组后，两式相加化简即可得出答案．
{x=4 {ax+by=5
【解答】解：将 代入方程组 得，
y=2 bx+ay=1
{4a+2b=5①
，
4b+2a=1②
①﹣②得，2a﹣2b＝4，
∴a﹣b＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组解的问题，关键在于能够正确代入解并化简计算．
{x=2 {mx−ny=1
【变式3-3】（2022春•乐清市校级月考）若 是方程组 的解，试求3m﹣2n的值．
y=1 nx+my=8
{x=2 {2m−n=1①
【分析】将 代入方程组可得 ，先求m、n的值，再求3m﹣2n的值．
y=1 2n+m=8②
{x=2
【解答】解：由题意得，将 代入原方程组可得，
y=1
{2m−n=1①
，
2n+m=8②
①×2+②得，5m＝10，
解得m＝2，
把m＝2代入①得n＝3，
{m=2
∴方程组的解为
n=3
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【点评】本题考查了方程组的解的意义以及二元一次方程组的解法，熟练掌握解二元一次方程组的方法
是解题关键．
{x=1
【变式3-4】（2022春•通道县期中）若 是关于x、y的方程ax﹣by＝1的一个解，且a+b＝﹣5，求
y=2
a﹣b的值．
【分析】首先根据二元一次方程的解得出a﹣2b＝1，然后联立a+b＝﹣5组成二元一次方程组，解方程
组即可得出a，b的值，最后代入a﹣b中计算即可求出值．
{x=1
【解答】解：∵ 是关于x、y的方程ax﹣by＝1的一个解，
y=2
∴a﹣2b＝1，
∵a+b＝﹣5，
{a−2b=1
∴联立方程组 ，
a+b=−5
{a=−3
解得： ，
b=−2
∴a﹣b＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1．
∴a﹣b的值为﹣1．
【点评】本题考查二元一次方程的解，二元一次方程组的应用及代数式求值．能够求出 a，b的值是解
题的关键．
{x=1 {ax+by=8
【变式3-5】（2022春•隆阳区期中）已知 是二元一次方程组 的解．
y=2 ay−bx=1
（1）求a，b的值；
（2）求2ba的算术平方根．
{x=1
【分析】（1）将 代入原方程组，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出a，b的值；
y=2
（2）代入a，b的值，求出2ba的算术平方根即可．
{x=1 {a+2b=8①
【解答】解：（1）将 代入原方程组得： ，
y=2 2a−b=1②
由①可得：a＝8﹣2b③，
将③代入②得：2（8﹣2b）﹣b＝1，
解得：b＝3，
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∴a的值为2，b的值为3；
（2）∵a＝2，b＝3，
∵2ba＝2×3×2＝12，
∴2ba的算术平方根为2√3．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解以及算术平方根，解题的关键是：（1）熟练掌握解二元一次
方程组的方法及步骤；（2）熟练掌握算术平方根的概念．
题型四 求二元一次方程的特殊解
【例题4】（2022•温岭市校级自主招生）二元一次方程x+2y＝6的正整数解的个数是 ．
【分析】先用含y的代数式表示出x＝6﹣2y，再将符合条件的y的值代入x＝6﹣2y即可求解．
【解答】解：当y＝1时，x＝4，
当y＝2时，x＝2，
所以二元一次方程x+2y＝6的正整数解的个数是2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握用含y的式子表示x是解题的关键．
解题技巧提炼
最常见的求特殊解就是求整数解的情况,一般的方法是:①变形:把x看成常数,把
方程变形为用x表示y的形式.②划界:根据方程的解都是整数的情况,划定x的取
值范围.③试值:在x的取值范围内逐一试值.④确定:根据试值的结果得到二元一
次方程的整数解.
【变式4-1】（2022春•鹿城区校级期中）请写出二元一次方程2x+y＝6的一组正整数解 ．
【分析】由2x+y＝6，可得出y＝6﹣2x，代入x＝1求出y值，此题得解．
【解答】解：∵2x+y＝6，
∴y＝6﹣2x．
当x＝1时，y＝6﹣2×1＝4，
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∴ 是二元一次方程2x+y＝6的一组正整数解．
y=4
{x=1
故答案为： （答案不唯一）．
y=4
【点评】本题考查了二元一次方程的解，采用“给一个，求一个”的方法，求出二元一次方程的一组整
数解是解题的关键．
【变式4-2】（2023春•秀英区校级月考）对于二元一次方程x+3y＝10，有几组正整数解（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二元一次方程的解的定义解决此题．
【解答】解：由题意得，0＜x≤10，1≤y≤3．
当x＝1，则y＝3；
8
当x＝2，则y= （不符题意，舍去）；
3
7
当x＝3，则y= （不符合题意，舍去）；
3
当x＝4，y＝2；
5
当x＝5，y= （不符合题意，舍去）；
3
4
当x＝6，y= （不符合题意，舍去）；
3
当x＝7，y＝1；
2
当x＝8，y= （不符合题意，舍去）；
3
1
当x＝9，y= （不符合题意，舍去）；
3
当x＝10，y＝0（不符题意，故舍去）．
综上：符合条件的有3组．
故选：C．
【点评】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．
【变式4-3】（2023春•南岗区校级月考）关于x、y的二元一次方程2x+y＝7的自然数解有（ ）
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
【分析】将方程整理为y＝7﹣2x，将x的值依次代入，即可进行解答．
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当x＝1时，y＝7﹣2×1＝5，符合题意；
当x＝2时，y＝7﹣2×2＝3，符合题意；
当x＝3时，y＝7﹣2×3＝1，符合题意；
当x＝4时，y＝7﹣2×4＝﹣1，不符合题意；
综上：符合条件的自然数解有4组，
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看做已知数求出另一个未知数．
【变式4-4】（2023春•东阳市月考）二元一次方程x+2y＝5的正整数解有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．无数组
5
【分析】求出x＝5﹣2y，根据x、y为正整数得出5﹣2y＞0，求出y＜ ，再求出y＝1和2即可．
2
【解答】解：x+2y＝5，
x＝5﹣2y，
∵x、y都是正整数，
∴5﹣2y＞0，
5
即y＜ ，
2
∴y只能为1和2，
∴当y＝1时，x＝3，
当y＝2时，x＝1，
{x=3 {x=1
即方程的解有 和 两组，
y=1 y=2
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，能求出y只能为1和2是解此题的关键．
【变式4-5】（2022春•普陀区校级月考）关于x，y的二元一次方程2x+3y＝20的非负整数解的个数为（
）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】把x看作已知数表示出y，即可确定出非负整数解．
【解答】解：方程2x+3y＝20，
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司20−2x
解得：y= ，
3
当x＝1时，y＝6；x＝4，y＝4；x＝7，y＝2；x＝10，y＝0，共4个，
故选：C．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
题型五 二元一次方程特殊解的实际应用
【例题5】（2022春•香坊区校级月考）七年一班20名学生去春游，同时租用两种型号的车辆，一种车
每辆有8个座位，另一种车每辆有4个座位，要求租用的车辆不留空座，也不能超载，则可以租8个座
位的车 辆．
【分析】设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆，根据车座位数等于学生的人数列出
二元一次方程，再根据x、y都是正整数求解即可．
【解答】解：设租用每辆8个座位的车x辆，每辆有4个座位的车y辆，
根据题意得，8x+4y＝20，
整理得，2x+y＝5，
∵x、y都是正整数，
∴x＝1时，y＝3，
x＝2时，y＝1，
x＝3时，y＝﹣1（不符合题意，舍去），
所以，则可以租8个座位的车2或3辆．
故答案为：2或3．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键在于车辆数是正整数．
解题技巧提炼
本题的实质是根据实际问题列二元一次方程并求这个二元一次方程的特殊解，但
这些特殊解要符合实际情况.
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司【变式5-1】（2022春•嘉峪关校级期末）某地突发地震，为了紧急安置40名地震灾民，需要搭建可容纳
6人或4人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好（既不多也不少）能容纳这40名灾民，则不同的搭建方案有（
）
A．2种 B．3种 C．4种 D．6种
【分析】设搭建可容纳6人的帐篷x个，可容纳4人的帐篷y个，根据所搭建的帐篷恰好（既不多也不
少）能容纳这40名灾民，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数，即可得出共有4
种搭建方案．
【解答】解：设搭建可容纳6人的帐篷x个，可容纳4人的帐篷y个，
依题意得：6x+4y＝40，
3
∴y＝10− x．
2
又∵x，y均为自然数，
{ x=0 {x=2 {x=4 {x=6
∴ 或 或 或 ，
y=10 y=7 y=4 y=1
∴不同的搭建方案有4种．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【变式5-2】（2022春•费县期末）学校计划用200元钱购买A、B两种奖品（两种都要买），A种每个
15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】设购买A种奖品x件，B种奖品y件，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次
方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有2种购买方案．
【解答】解：设购买A种奖品x件，B种奖品y件，
依题意得：15x+25y＝200，
3
∴y＝8− x．
5
又∵x，y均为正整数，
{x=5 {x=10
∴ 或 ，
y=5 y=2
∴共有2种购买方案．
故选：B．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
【变式5-3】（2022春•同安区期中）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的
竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将
纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【分析】设做竖式和横式的两种无盖纸盒分别为x个、y个，再根据所需长方形纸板和正方形纸板的张
数列出方程组，然后根据x、y的系数表示出m+n并判断m+n为5的倍数，然后选择答案即可．
【解答】解：设做竖式的无盖纸盒为x个，横式的无盖纸盒为y个，
{4x+3 y=n
由题意得： ，
x+2y=m
两个方程相加得：m+n＝5（x+y），
∵x、y都是正整数，
∴m+n是5的倍数，
∵2018、2019、2020、2021四个数中只有2020是5的倍数，
∴m+n的值可能是2020，
故选：B．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式5-4】（2022秋•吉州区期末）某药店出售A、B两种N95的口罩，已知该店进货4个A种N95口
罩和2个B种N95口罩共需22元，进货8个A种N95口罩所需费用比进货4个B种N95口罩所需费用
多4元．
（1）请分别求出A、B两种N95口罩的进价是多少元？
（2）已知药店将A种N95口罩每个提价1元出售，B种N95口罩每个提价20%出售，小雅在该药店购
买A、B两种N95口罩（两种口罩均要购买），共花费40元，小雅有哪几种购买方案？
【分析】（1）设A种N95口罩的进价是x元，B种N95口罩的进价是y元，根据“该店进货4个A种
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司N95口罩和2个B种N95口罩共需22元，进货8个A种N95口罩所需费用比进货4个B种N95口罩所
需费用多4元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A种N95口罩m个，B种N95口罩n个，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二
元一次方程，再结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设A种N95口罩的进价是x元，B种N95口罩的进价是y元，
{4x+2y=22
依题意得： ，
8x−4 y=4
{x=3
解得： ．
y=5
答：A种N95口罩的进价是3元，B种N95口罩的进价是5元．
（2）设购买A种N95口罩m个，B种N95口罩n个，
依题意得：（3+1）m+5×（1+20%）n＝40，
3
解得：m＝10− n．
2
又∵m，n均为正整数，
{m=7 {m=4 {m=1
∴ 或 或 ，
n=2 n=4 n=6
∴小雅共有3种购买方案，
方案1：购买A种N95口罩7个，B种N95口罩2个；
方案2：购买A种N95口罩4个，B种N95口罩4个；
方案3：购买A种N95口罩1个，B种N95口罩6个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一
次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．
题型六 列二元一次方程组
【例题6】（2023春•渝中区校级期中）学校几位老师决定众筹某款年货大礼包，若每人出 18元，则盈
余3元；若每人出17元，则还差4元．设共有x位老师，年华大礼包价格为y元，则所列方程正确的是
（ ）
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司{18x= y−3 {18x= y+3
A． B．
17x= y+4 17x= y−4
{17x= y+3 {17x= y−3
C． D．
18x= y−4 18x= y+4
【分析】根据“若每人出18元，则盈余3元；若每人出17元，则还差4元”，可得出关于x，y的二元
一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵每人出18元，则盈余3元，
∴18x＝y+3；
∵每人出17元，则还差4元，
∴17x＝y﹣4．
{18x= y+3
∴根据题意可列二元一次方程组 ．
17x= y−4
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解
题的关键．
解题技巧提炼
会分析题意，根据实际问题中的等量关系式列出二元一次方程组.
【变式6-1】（2023•建昌县一模）我国民间流传一道数学名题．其题意为：一群老者去赶集，半路买了
一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两个．请问君子知道否，几个老者几个梨？没有老者 x人，有梨
y个，则可列二元一次方程组为（ ）
{ x= y+1 {x= y−1
A． B．
2x= y+2 2x= y+2
{ x= y−1 { x+ y=1
C． D．
2x= y−2 2x= y+2
【分析】题意中涉及两个未知数：几个老头几个梨．两组条件：一人一个多一梨，一人两个少二梨，可
列出二元一次方程组．
{x= y−1
【解答】解：依题意得 ．
2x= y+2
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，寻找建立方程组的两个等量关系是解题的关键．
【变式6-2】（2023春•北碚区校级月考）小张家在小王家西边100米，他们同时从各自家里出发，前往
小张家西边的博物馆．设小张每分钟走x米，小王每分钟走y米，如果出发10分钟后两人同时到达了博
物馆，并且小张3分钟行走的路程比小王5分钟行走的路程少210米，则可列方程组（ ）
{ 3x+210=5 y { 3x−210=5 y
A． B．
10 y−10x=100 10x−10 y=100
{ 3x+210=5 y { 3x−210=5 y
C． D．
10x−10 y=100 10 y−10x=100
【分析】出发10分钟后两人同时到达了博物馆，可列方程10y﹣10x＝210，小张3分钟行走的路程比小
王5分钟行走的路程少210米，可列方程3x+210＝5y，由此即可得到答案．
{ 3x+210=5 y
【解答】解：由题意得， ，
10 y−10x=100
故选：A．
【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关
键．
【变式6-3】（2023•市北区校级开学）若一艘轮船沿江水顺流航行120km需用3小时，它沿江水逆流航
行60km也需用3小时，设这艘轮船在静水中的航速为xkm/h，江水的流速为ykm/h，则根据题意可列方
程组为（ ）
{3x−y=60 {3(x+ y)=120
A． B．
3x+ y=120 3(x−y)=60
{3(x−y)=120 {3x+ y=60
C． D．
3(x+ y)=60 3x−y=120
【分析】根据“顺流航行120km需用3小时，它沿江水逆流航行60km也需用3小时”建立方程，即可得出
答案．
{3(x+ y)=120
【解答】解：根据题意，得 ．
3(x−y)=60
故选：B．
【点评】此题是由实际问题抽象出二元一次方程组，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题的关键．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司【变式6-4】（2022春•仁寿县期中）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一
个盒身可以和两个盒底可制成一个罐头盒．现有36张白铁皮，设用x张制盒身，y张制盒底，恰好配套
制成罐头盒，根据题意，可列方程组 ．
【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
{ x+ y=36
，
25x×2=40 y
{ x+ y=36
故答案为： ．
25x×2=40 y
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
4
【变式6-5】某工厂第一车间人数比第二车间人数的 少30人，如果从第二车间抽调10人到第一车间，
5
3
那么第一车间人数是第二车间人数的 ，求这两个车间原来的人数．若设第一车间原来有x人，第二车
4
间原来有y人根据题意，可得下列方程组（ ）
4 4
{ x= (y−30) { x= (y−30)
5 5
A． B．
3 3
x+10= (y−10) x+10= y−10
4 4
4 4
{ x= y−30 { x= y−30
5 5
C． D．
3 3
x= (y−10)+10 x+10= (y−10)
4 4
4 3
【分析】根据题意可知，第一车间的人数＝第二车间的人数× −30，（第二车间﹣10）× =第一车
5 4
间+10，根据这两个等量关系，可列方程组．
【解答】解：设第一车间的人数是x人，第二车间的人数是y人．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司4
{ x= y−30
5
根据题意得 ，
3
x+10= (y−10)
4
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，
列出方程组．
题型七 解二元一次方程组
{2x−y=5，
【例题7】（2023春•岱岳区校级月考）用代入法解方程组 时，代入正确的是（ ）
y=1+x
A．2x﹣1+x＝5 B．x﹣1+x＝5 C．x﹣1﹣x＝5 D．2x﹣1﹣x＝5
【分析】把②代入①得出2x﹣（1+x）＝5，再去掉括号即可．
{2x−y=5 ①
【解答】解： ，
y=1+x ②
把②代入①，得2x﹣（1+x）＝5，
2x﹣1﹣x＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解
二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
解题技巧提炼
1、用代入法解方程组时，选择方程用一个未知数表示另一个未知数是关键，它影
响着解题的繁简成对，应尽量选取系数比较简单的方程.
2、方程组中某个未知数的系数的绝对值相等,直接利用加减法消元，方程组中任
意一个未知数的系数的绝对值既不相等,也不成倍数关系, 要先变形再利用加减消
元法来解.
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司{ 6x+2y=4①
【变式7-1】（2023春•任城区校级月考）方程组 ，下列步骤可以消去未知数x的是（
3x−3 y=−6②
）
A．①×2+②×2 B．①×3﹣②×2 C．①﹣②×2 D．①+②×2
【分析】根据加减消元法进行求解即可．
【解答】解：A、①×2+②×2，得
9x﹣y＝﹣2，
变形后不能消元，故不符合题意；
B、①×3+②×2，得
x+y＝12，
变形后不能消元，故不符合题意；
C、①﹣②×2，得
8y＝16，
可以消去x，故符合题意．
D、①+②×2，得
3x﹣y＝﹣2，
变形后不能消元，故不符合题意；
C、①﹣②×2，得
8y＝16，
可以消去x，故符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解本题的关键．
{3x−y=10
【变式7-2】（2022秋•南海区期末）已知x、y是二元一次方程组 的解，那么x﹣y的值是
x−3 y=−2
（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【分析】将方程两式相加得，4x﹣4y＝8，即可求出答案．
【解答】解：将方程两式相加得，
4x﹣4y＝8，
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司∴x﹣y＝2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握整体思想是解题的关键．
【变式7-3】（2023春•南岗区校级月考）解下列方程组：
{a=2b+3 { 3m+b=11
（1） （代入消元法）； （2） （加减消元法）．
a=3b+20 −4m−b=11
【分析】（1）直接把①式代入②式，求出b的值，再将b的值代入①式，求出a的值即可；
（2）用①式加上②式，即可消去b，求出m的值，再将m的值代入①式，求出b的值即可．
{a=2b+3①
【解答】解：（1） ，
a=3b+20②
把①代入②得：2b+3＝3b+20，
解得：b＝﹣17，
把b＝﹣17代入①得：a＝2×（﹣17）+3，
解得：a＝﹣31，
{a=−31
∴原方程组的解为 ；
b=−17
{ 3m+b=11①
（2） ，
−4m−b=11②
由①+②得：﹣m＝22，
解得：m＝﹣22，
把m＝﹣22代入①得：3×（﹣22）+b＝11，
解得：b＝77，
{ b=77
∴原方程组的解为 ．
m=−22
【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，
具有消元的思想．
【变式7-4】（2023春•义乌市月考）解方程组：
{2x+ y=8 { 2x+ y=−11
（1） ； （2） ．
y=2x 3x+2y=−13
【分析】（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）运用加减消元法解答即可．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司{2x+ y=8 ①
【解答】解：（1） ，
y=2x ②
将②代入①得：2x+2x＝8，
解得：x＝2，
将x＝2代入②得y＝4，
{x=2
∴方程组的解为： ；
y=4
{ 2x+ y=−11 ①
（2） ，
3x+2y=−13 ②
①×2﹣②得：x＝﹣9，
把x＝﹣9代入①得：﹣18+y＝﹣11，
解得：y＝7，
{x=−9
所以方程组的解为 ．
y=7
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式7-5】（2023春•杭州月考）解方程组
{ x y 13
{ x+2y=1 + =
（1） ； （2） 2 3 2 ．
3x+2y=7
5x−2y=17
【分析】（1）利用加减消元法或代入消元法解方程组；
（2）先去分母，再利用加减消元或代入消元法解方程组．
{ x+2y=1①
【解答】解：（1） ，
3x+2y=7②
①﹣②得：﹣2x＝1﹣7，
解得x＝3，
把x＝3代入①得：3+2y＝1，y＝﹣1，
{ x=3
∴方程组的解为 ；
y=−1
{ x y 13
+ =
（2） 2 3 2 ，
5x−2y=17
{3x+2y=39①
整理方程组得： ，
5x−2y=17②
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司①+②得：8x＝56，x＝7，
把x＝7代入①得：21+2y＝39，y＝9，
{x=7
∴方程组的解为 ．
y=9
【点评】本题考查解一元二次方程组，掌握解一元二次方程组的方法是解题的关键．
题型八 用特殊方法解复杂的二元一次方程组
{3a m+2b n=5c {m=3
1 1 1
【例题 8】（2022 春•新建区校级期中）若方程组 的解是 ，则方程组
3a m+2b yn=5c n=4
2 2 2
{a x+b y=c
1 1 1
的解是（ ）
a x+b y=c
2 2 2
9
{x=
{x=4 5 {x=15 {x=9
A． B． C． D．
y=8 8 y=20 y=12
y=
5
9 8
{ a + b =c
{m=3 {9a +8b =5c 5 1 5 1 1
1 1 1
【分析】将 代入原方程组，可得出 ，变形后可得出 ，进而可得
n=4 9a +8b =5c 9 8
2 2 2 a + b =c
5 2 5 2 2
9
{x=
{a x+b y=c 5
1 1 1
出方程组 的解是 ．
a x+b y=c 8
2 2 2 y=
5
{m=3 {9a +8b =5c
1 1 1
【解答】解：将 代入原方程组得： ，
n=4 9a +8b =5c
2 2 2
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司9 8
{ a + b =c
5 1 5 1 1
∴ ，
9 8
a + b =c
5 2 5 2 2
9
{x=
{a x+b y=c 5
1 1 1
∴方程组 的解是 ．
a x+b y=c 8
2 2 2 y=
5
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做
二元一次方程组的解”是解题的关键．
解题技巧提炼
1、用整体代入法解特殊方程组.
2、用换元法解特殊方程组.
3、用整体加减法解轮换对称方程组.
{a x+b y=19 {x=4
1 1
【变式 8-1】已知关于 x、y 的方程组 的解是 请你运用学过的方法求方程组
a x+b y=26 y=5
2 2
{a (3m+2n)+b (2m−n)=19
1 1
中m、n的值．
a (3m+2n)+b (2m−n)=26
2 2
{3m+2n=4①
【分析】设3m+2n＝x，2m﹣n＝y，根据已知可得 ，即可解得m，n的值．
2m−n=5②
【解答】解：在方程组{a
1
(3m+2n)+b
1
(2m−n)=19
中，设3m+2n＝x，2m﹣n＝y，则方程组变形为
a (3m+2n)+b (2m−n)=26
2 2
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司{a x+b y=19
，
1 1
a x+b y=26
2 2
{a x+b y=19 {x=4
1 1
∵方程组 的解是 ，
a x+b y=26 y=5
2 2
{3m+2n=4①
∴ ，
2m−n=5②
①+②×2得：7m＝14，
∴m＝2，
把m＝2代入①得：6+2n＝4，
∴n＝﹣1，
∴m的值是2，n的值是﹣1．
【点评】本题考查解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的一
般方法及整体思想的应用．
【变式8-2】（2022秋•朝阳区校级期末）阅读以下材料：
{ x−y−1=0①
解方程组： ；
4(x−y)−y=0②
小亮在解决这个问题时，发现了一种新的方法，他把这种方法叫做“整体代入法”，解题过程如下：
解：由①得x﹣y＝1③，将③代入②得：
（1）请你替小亮补全完整的解题过程；
{
3x−y−2=0
（2）请你用这种方法解方程组： 6x−2y+1 ．
+3 y=10
5
【分析】（1）利用整体代入法进行求解即可；
（2）利用整体代入法进行求解即可．
【解答】解：（1）由①得x﹣y＝1③，
将③代入②得：4×1﹣y＝0，
解得y＝4，
把y＝4代入①得：x﹣4﹣1＝0，
解得x＝5，
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司{x=5
故原方程组的解是： ；
y=4
{
3x−y−2=0①
（2） 6x−2y+1 ，
+3 y=10②
5
{ 3x−y=2③
整理得： ，
2(3x−y)+1+15 y=50④
把③代入④得：2×2+1+15y＝50，
解得y＝3，
把y＝3代入①得：3x﹣3﹣2＝0，
5
解得x= ，
3
{ 5
x=
故原方程组的解是： 3．
y=3
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
【变式8-3】用换元法解二元一次方程组：
x+2y x−2y
{ − =16，
3 5
（1）
x+2y x−2y
− =7；
5 4
2x+3 y 2x−3 y
{ + =7，
4 3
（2）
2x+3 y 2x−3 y
+ =8．
3 2
【分析】观察方程组，（1）中都含有x+2y，x﹣2y，（2）中都含2x+3y，2x﹣3y，考虑运用换元法解原
方程组．
x+2y x−2y
{ − =16，
3 5
【解答】解：（1）
x+2y x−2y
− =7；
5 4
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司m n
{ − =16
3 5
设x+2y＝m，x﹣2y＝n，则 ，
m n
− =7
5 4
{m=60
解这个方程组，得 ，
n=20
{x+2y=60
则 ，
x−2y=20
{x=40
解这个方程组，得 ．
y=10
{x=40
∴原方程组的解为 ．
y=10
2x+3 y 2x−3 y
{ + =7，
4 3
（2）
2x+3 y 2x−3 y
+ =8．
3 2
m n
{ + =7
4 3
设2x+3y＝m，2x﹣3y＝n，则 ，
m n
+ =8
3 2
{m=60
解这个方程组，得 ，
n=−24
{ 2x+3 y=60
则 ，
2x−3 y=−24
{ x=9
解这个方程组，得 ．
y=14
{ x=9
∴原方程组的解为 ．
y=14
【点评】本题考查换元法解分式方程，理解换元的意义是正确解答的关键．
【变式8-4】（2022秋•山亭区期末）解方程（组）：
{ x+2y=1①
（1） ；
3x−2y=11②
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司{3(m+5)−2(n+3)=−1
（2）阅读材料：善于思考的小明同学在解方程组 时，采用了一种“整体换
3(m+5)+2(n+3)=7
元”的解法．
{3x−2y=−1 {x=1
解：把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，原方程组可化为 ，解得 ∴
3x+2y=7 y=2
{m+5=1 {m=−4
，∴原方程组的解为 ．请仿照小明同学的方法，用“整体换元”法解方程组
n+3=2 n=−1
{3(x+ y)−4(x−y)=5
x+ y x−y ．
+ =0
2 6
{3m−4n=5 {n=−1
【分析】设x+y＝m，x﹣y＝n，则原方程可化为 m n ，求出方程的解为 1 ，再得方程组
+ =0 m=
2 6 3
{ 1
x+ y=
3 ，解出方程组即可．
x−y=−1
【解答】解：设x+y＝m，x﹣y＝n，
{3m−4n=5
{3m−4n=5①
原方程可化为 m n ，即 ，
+ =0 3m+n=0②
2 6
②﹣①得，n＝﹣1，
1
把n＝﹣1代入②得，m= ，
3
{n=−1
∴ 1 ，
m=
3
{ 1
x+ y=
∴ 3 ，
x−y=−1
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司1
{x=−
3
解得 ．
2
y=
3
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，利用整体思想解方程组是解
题的关键．
【变式8-5】（2023春•沙坪坝区校级月考）阅读探索：
{(a−1)+2(b+2)=6
材料一：解方程组 时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
2(a−1)+(b+2)=6
{x+2y=6
解：设a﹣1＝x，b+2＝y，原方程组可化为 ，
2x+ y=6
{x=2 {a−1=2 {a=3
解得 ，即 ，解得 ．
y=2 b+2=2 b=0
{4x+10 y=6①
材料二：解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
8x+22y=10②
解：将方程②8x+20y+2y＝10，变形为2（4x+10y）+2y＝10③，把方程①代入③得，2×6+2y＝10，
{ x=4
则y＝﹣1；把y＝﹣1代入①得，x＝4，所以方程组的解为： ．
y=−1
根据上述材料，解决下列问题：
a b
{ ( −1)+2( +2)=4
4 3
（1）运用换元法解求关于a，b的方程组： 的解；
a b
2( −1)+( +2)=5
4 3
{a x+b y=c {x=10
（ 2 ） 若 关 于 x ， y 的 方 程 组 1 1 1的 解 为 ， 求 关 于 m ， n 的 方 程 组
a x+b y=c y=6
2 2 2
{5a (m−3)+3b (n+2)=c
1 1 1
的解．
5a (m−3)+3b (n+2)=c
2 2 2
{3x−2z+12y=47①
（3）已知x、y、z，满足 ，试求z的值．
2x+z+8 y=36②
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司a b
【分析】（1）用换元法替换 −1和 +2，解方程组即可；
4 3
（2）用换元法替换5（m﹣3）和3（n+2），根据已知条件解方程组即可；
3 7
（3）仿照题意将方程①变形为 (2x+z+8 y)− z=47③，然后把将方程②代入③得到关于z的方
2 2
程，解方程即可．
a b
【解答】解：（1）设 −1=x， +2= y，
4 3
{x+2y①
∴原方程可以化为 ，
2x+ y②
用②﹣①×2得：﹣3y＝﹣3，解得y＝1，
把y＝1代入到①得：x+2＝4，解得x＝2，
{x=2
∴方程组的解为 ，
y=1
a
{ −1=2
4
即 ，
b
+2=1
3
{a=12
解得 ，
b=−3
{a=12
∴原方程组的解为 ；
b=−3
{5(m−3)=x
（2）解：设 ，
3(n+2)= y
{a x+b y=c
1 1 1
则方程化为： ，
a x+b y=c
2 2 2
{5(m−3)=10
即 ，
3(n+2)=6
{m=5
解得 ；
n=0
（3）解：将方程①3x﹣2z+12y＝47，
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司3 7
变形为 (2x+z+8 y)− z=47③，
2 2
3 7
将方程②代入③得： ×36− z=47，
2 2
解得z＝2．
【点评】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体
组成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而
求原方程的解．
题型九 方程组的解满足某一附加条件求字母参数值
{3x+5 y=m+2
【例题9】（2022春•泌阳县期中）已知方程组 的解x、y互为相反数，则m的值是 ．
5x+3 y=m
【分析】由x与y互为相反数，得到y＝﹣x，代入方程组中消去y得到关于x与m的方程组，消去x即
可求出m的值．
{−2x=m+2
【解答】解：由题意得：y＝﹣x，代入方程组得： ，
2x=m
∴m+m+2＝0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
解题技巧提炼
求二元一次方程组中的字母参数的一般步骤：
①把字母参数看作已知数并解方程组；
②根据方程组解的特点，得到关于字母参数的方程；
③解方程组求得字母参数.
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司{3x+2y=2m
【变式9-1】（2022春•朝阳区校级期中）如果关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+2y
x−y=4m+5
＝0，求m的值．
【分析】先消m，求出x，y的值，再求m．
{3x+2y=2m①
【解答】解： ．
x−y=4m+5②
①×2﹣②得：5x+5y＝﹣5．
∴x+y＝﹣1，
∵x+2y＝0．
∴x＝﹣2，y＝1．
代入方程①得：﹣6+2＝2m．
∴m＝﹣2．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，消m后求出x，y的值是求解本题的关键．
{2x+ y=4+3a
【变式9-2】（2023•北碚区校级开学）关于x，y的方程组 的解满足x﹣2y＝﹣1，则a的
x+3 y=1−5a
值为 ．
【分析】①﹣②得x﹣2y＝3+8a，则3+8a＝﹣1，即可得出结论．
{2x+ y=4+3a①
【解答】解： ，
x+3 y=1−5a②
①﹣②得：x﹣2y＝3+8a，
∵x﹣2y＝﹣1，∴3+8a＝﹣1，
1
解得：a=− ，
2
1
故答案为：− ．
2
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，得出x﹣2y＝3+8a是解题的关键．
{2x−y=6
【变式9-3】（2022春•通州区期中）已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足x﹣y＝2，
3x−2y=k
求k的值．
【分析】将二元一次方程组中的两个方程相减，再结合已知即可求解．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司{ 2x−y=6①
【解答】解： ，
3x−2y=k②
②﹣①，得x﹣y＝k﹣6，
∵x﹣y＝2，
∴k﹣6＝2，
∴k＝8．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，结合已知条件，对二元一次
方程组灵活处理是解题的关键．
{ 3x+2y=2
【变式9-4】（2022春•上蔡县校级月考）已知方程组 的解满足x+y＝3，求m的值．
(m−1)x+3 y=3
【分析】由题意建立关于x，y的新的方程组，求得x，y的值，再代入x+y＝3中，求得k的值．
{3x+2y=2
【解答】解：由题意得 ，
x+ y=3
{x=−4
解得 ，
y=7
代入方程（m﹣1）x+3y＝3，
解得m＝5.5．
答：m的值是5.5．
【点评】此题考查方程组的解，本题实质是解三元一次方程组，通过先求得x，y这两元后，再求第三
元m的值，即解方程组关键是消元．
{3x+2y=m+1
【变式9-5】（2022•南京模拟）已知方程组 ，求：
4x+2y=m−1
（1）当m为何值时，x，y的符号相反，绝对值相等；
（2）当m为何值时，x比y大1．
【分析】（1）将m看作已知数表示出x与y，根据x，y的符号相反，绝对值相等，得到y＝﹣x，列出
关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值；
（2）将m看作已知数表示出x与y，根据x比y大1，得到x＝y+1，列出关于m的方程，求出方程的解
即可得到m的值．
【解答】解：方程组整理解得：x＝﹣2，y＝0.5m+3.5，
（1）当x，y的符号相反，绝对值相等，可得0.5m+3.5＝2，
解得：m＝﹣3；
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司（2）当x比y大1，可得：0.5m+3.5＝﹣3
解得：m＝﹣13
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
题型十 二元一次方程组的同解问题
{3x+ y=5 { 3x−by=5
【例题10】（2022春•永春县月考）已知方程组 的解也是方程组 的解，求
ax−2y=4 4x−5 y=−6
a，b的值．
【分析】根据题意可知两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组，再根据
二元一次方程组解的定义，即可求出答案．
【解答】解：3x+y＝5①4x﹣5y＝﹣6②，①×（﹣5）﹣②得，﹣19x＝﹣19，解得x＝1，
把x＝1代入①得，3+y＝5，解得y＝2，
{ 3x+ y=5 {x=1
所以方程组 的解是 ，
4x−5 y=−6 y=2
{x=1 {ax−2y=4
把 代入方程组 ，
y=2 3x−by=5
{a−4=4 { a=8
得 ，解得 ，
3−2b=5 b=−1
故答案为：a＝8，b＝﹣1．
【点评】本题考查了二元一次方程组解的定义及二元一次方程组的解法，解答此题的关键是要弄清题意，
两个方程组有相同的解，即说明第一个方程组的解也适合第二个方程组．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司解题技巧提炼
由于两个方程组的解相同，那么这一对x、y的值就应满足四个方程，从中选取两
个不含字母系数的方程组合成新的方程组，所求得解即为两个方程组的相同的
解，最后把相同的解代入含有其它字母参数的方程组中，就可以求出 字母参数的
值，并利用求出的字母参数的值解决问题.
{2x+3 y=19 {3x−2y=9
【变式10-1】（2022秋•北碚区校级期末）关于x，y的方程组 与 有相同的解，
ax+by=−1 bx+ay=−7
则a+4b−3的值为（ ）
A．−1 B．−6 C．−10 D．−12
{2x+3 y=19 {x=5 {ax+by=−1
【分析】解不等式组 ，可得出 ，将其代入 中，可求出a，b的值，再
3x−2y=9 y=3 bx+ay=−7
将a，b的值，代入a+4b−3中，即可求出结论．
{2x+3 y=19 {x=5
【解答】解：不等式组 的解为 ，
3x−2y=9 y=3
{x=5 {ax+by=−1 {5a+3b=−1
将 代入关于x，y的方程组 得： ，
y=3 bx+ay=−7 5b+3a=−7
{ a=1
解得： ，
b=−2
∴a+4b−3＝1+4×（﹣2）﹣3＝﹣10．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做
二元一次方程组的解”是解题的关键．
{ax+3 y=7 {−x+5 y=3
【变式10-2】（2022春•源汇区校级期中）若关于x、y的二元一次方程组 与 的
4x+ y=9 5x+by=8
解相同，则√a−b的值为（ ）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
{−x+5 y=3
【分析】先解方程组 ，再把方程组的解代入ax+3y＝7和5x+by＝8，求出a、b的值，代入
5x+by=8
计算即可．
{ax+3 y=7 {−x+5 y=3
【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组 与 的解相同，
4x+ y=9 5x+by=8
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司∴方程组组¿的解满足四个方程，
解方程组¿得，
{x=2
，
y=1
{x=2
把 ，分别代入ax+3y＝7和5x+by＝8得，
y=1
2a+3＝7，10+b＝8，
解得，a＝2，b＝﹣2；
∴√a−b=√2+2=2，故C正确．
故选：C．
【点评】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解和算术平方根，解题关键是明确同解方程的
意义，熟练掌握解二元一次方程组的步骤．
{4x−y=−5 { 3x+ y=−9
【变式10-3】（2022秋•榕城区期末）已知关于x，y的方程组 和 有相同的
ax+by=−1 3ax+4by=18
解，那么√a+b的算术平方根是（ ）
A．0 B．±√2 C．√2 D．2
{4x−y=−5 { ax+by=−1
【分析】由题意可知方程组 和 有相同的解，用代入消元法求得方程组的
3x+ y=−9 3ax+4by=18
{x=−2
解为 ，再求得b＝﹣7，a＝11，即可求解．
y=−3
{4x−y=−5 { ax+by=−1
【解答】解：由题意可知，方程组 和 有相同的解，
3x+ y=−9 3ax+4by=18
{4x−y=−5①
中，①+②得，x＝﹣2，
3x+ y=−9②
将x＝﹣2代入①得，y＝﹣3，
{x=−2
∴方程组的解为 ，
y=−3
{ ax+by=−1③
中，③×3，得3ax+3by＝﹣3⑤，
3ax+4by=18④
④﹣⑤得，by＝21，
∴b＝﹣7，
∴a＝11，
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司∴a+b＝4，
∴√a+b=2，
∴√a+b的算术平方根是√2，
故选：C．
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握代入消元法、加减消元法解二元一次方程组、并能
正确求算术平方根是解题的关键．
{3x−4 y=2 {2x+5 y=9
【变式10-4】（2022春•冠县期末）已知关于x，y的方程组 和 的解相同，则
ax−by=−4 bx+ay=3
（3a+b）2022的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0 D．2021
【分析】根据二元一次方程组的解的定义解决此题．
{3x−4 y=2 {x=2
【解答】解：由 ，得 ．
2x+5 y=9 y=1
{2a−b=−4
将x＝2，y＝1代入ax﹣by＝﹣4和bx+ay＝3中，得 ．
2b+a=3
{a=−1
∴ ．
b=2
∴（3a+b）2022＝（﹣3+2）2022＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
题型十一 二元一次方程组的看错解问题
{
ax+by=15①
【例题11】（2022春•宁远县期中）已知方程组 1 ，由于甲看错了方程①中的a，得到方
ax−by=− ②
2
{x=−3 {x=5
程组的解为 ，乙看错了②中的b，得到方程组的解为 ，若按正确的a，b计算，求原方程
y=−1 y=4
组的解．
【分析】把甲的结果代入②，乙的结果代入①组成方程组，求出解即可．
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【解答】解：根据题意，可知 满足方程②， 满足方程①，
y=−1 y=4
{ 1 {a=1
−3a+b=−
则 2，解得 5，
b=
5a+4b=15 2
5
{a=1 { x+ y=15
2
把 5，代入原方程组为 ，
b= 5 1
2 x− y=−
2 2
29
{x=
4
解得 ，
31
y=
10
29
{x=
4
∴原方程组的解为：解得 ．
31
y=
10
【点评】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
解题技巧提炼
求利用二元一次方程组解决错解问题的方法是正确的解代入任何一个方程当中都
对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而求出参数的值，然后利用参数的
值解决其它的问题.
{ ax+by=4①
【变式11-1】（2022春•铜梁区月考）已知方程组 ，由于甲看错了方程①中的a，得到
ax−by=−5②
{ x=1 { x=1
方程组的解为 ；乙看错了②中的b，得到方程组的解为 ．
y=−2 y=−1
（1）求a、b的值；
（2）求原方程组的正确解．
【分析】（1）将甲得到的方程组的解代入第二个方程，将乙得到方程组的解代入第一个方程，联立两
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司个方程求出a，b；
（2）确定出正确的方程组，求出方程组的解即可得到正确的解．
【解答】解：（1）将x＝1，y＝﹣2代入方程组中的第二个方程得：a+2b＝﹣5①，
将x＝1，y＝﹣1代入方程组中的第一个方程得：a﹣b＝4②，
{a+2b=−5
联立①②
a−b=4
{ a=1
解得： ；
b=−3
{ x−3 y=4 ①
（2）则方程组为 ，
x+3 y=−5 ②
①+②得：2x＝﹣1，
1
解得：x=− ，
2
1 3
将x=− 代入①得：y=− ，
2 2
1
{x=−
2
则方程组的正确解为 ．
3
y=−
2
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
【变式 11-2】（2022 春•上蔡县校级月考）甲，乙两人同时解关于 x，y 的二元一次方程组
{ 7
{ mx+ y=5① x= { x=3
．甲解题时看错了①中的m，解得 2 ，乙解题时看错了②中的n，解得 ，
2x−ny=13② y=−7
y=−2
试求原方程组的解．
【分析】把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值；把m与n的值代入方程组求
出解即可．
{ 7
x=
【解答】解：把 2 代入②得：7+2n＝13，
y=−2
解得：n＝3，
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司{ x=3
把 代入①得：3m﹣7＝5，
y=−7
解得：m＝4；
{ 4x+ y=5①
把m＝4，n＝3代入方程组得： ，
2x−3 y=13②
①×3+②得：14x＝28，即x＝2，
把x＝2代入①得：y＝﹣3，
{ x=2
则方程组的解为 ．
y=−3
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
{ax+5 y=15①
【变式11-3】（2022春•鹤城区校级期中）已知关于 x，y的方程组 ，甲同学由于看错
4x−by=−2②
{x=−3
了方程①中的a，得到方程组的解为 ；乙同学由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为
y=−1
{x=5
．
y=4
（1）求出原题中a和b的正确值是多少？
（2）求这个方程组的正确解是多少？
【分析】（1）甲同学看错了a，但是所得的方程组的解是满足方程②，乙同学看错了b，但是所得的
方程组的解满足①，由此得到关于a，b的方程；
{ −x+5 y=15①
（2）根据（1）所求得到原方程组为 ，利用加减消元法求解即可．
4x−10 y=−2②
{−3×4+b=−2
【解答】解：（1）由题意得 ，
5a+5×4=15
{a=−1
∴ ；
b=10
{ −x+5 y=15①
（2）由（1）得原方程组为 ，
4x−10 y=−2②
用①×2+②得：2x＝28，解得x＝14，
29
把x＝14代入①得：﹣14+5y＝15，解得y= ，
5
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司{x=14
∴原方程组的解为 29．
y=
5
【点评】本题主要考查了二元一次方程组错解复原问题，正确理解题意得到关于 a，b的方程是解题的
关键．
{ ax+ y=15，(1)
【变式11-4】（2021春•沂源县期中）已知方程组 甲由于看错了方程（1）中的a，
4x−by=−2．(2)
{x=−3 {x=4
得到方程组的解为 ，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为 ，若按正确的计
y=−1 y=3.
算，求x+6y的值．
【分析】将x＝﹣3，y＝﹣1代入（2）求出b的值，将x＝4，y＝3代入（1）求出a的值，进而确定出
方程组的解，即可求出x+6y的值．
【解答】解：将x＝﹣3，y＝﹣1代入（2）得：﹣12+b＝﹣2，即b＝10；
将x＝4，y＝3代入（1）得：4a+3＝15，即a＝3，
{ 3x+ y=15(1)
方程组为 ，
4x−10 y=−2(2)
74
（1）×10+（2）得：34x＝148，即x= ，
17
74 33
将x= 代入（1）得：y= ，
17 17
74 198
则x+6y= + =16．
17 17
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
{ax+by=2
【变式11-5】（2021春•新泰市期末）在解关于x，y的方程组 时，老师告诉同学们正确的解
cx−7 y=8
{ x=3 {x=−2
是 ，小明由于看错了系数c，因而得到的解为 ，试求a+b+c的值．
y=−2 y=2
【分析】将两对x与y的值代入方程组中第一个方程，求出a，b的值，将第一对x与y的值代入方程组
第二个方程求出c的值即可．
{3a−2b=2①
【解答】解：将x＝3，y＝﹣2；x＝﹣2，y＝2分别代入方程组第一个方程得： ，
−a+b=1②
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司①+②×2得：a＝4，
将a＝4代入②得：b＝5，
将x＝3，y＝﹣2代入方程组第二个方程得：3c+14＝8，即c＝﹣2，
则a+b+c＝7．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
题型十二 用二元一次方程组解决实际问题
【例题12】（2022秋•市中区校级期末）一张竞赛试卷有25道题，做对一道题得4分，做错一道题倒扣
1分，小明做了全部试题得到70分，则他做对的题有（ ）
A．16道 B．17道 C．18道 D．19道
【分析】设小明做对的题为x道，做错的题为y道，由题意：做对一道题得4分，做错一道题倒扣1分，
小明做了全部试题得到70分，列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设小明做对的题为x道，做错的题为y道，
{ x+ y=25
根据题意得： ，
4x−y=70
{x=19
解得： ，
y=6
即他做对的题为19道，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
解题技巧提炼
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验并作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
【变式12-1】（2022秋•章丘区校级期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（ ）
A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米
【分析】设小长方形地砖的长为x厘米，宽为y厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于x、y
的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设小长方形地砖的长为x厘米，宽为y厘米，
{ x+ y=60
根据题意得： ，
3x=2x+3 y
{x=45
解得： ，
y=15
则每个小长方形的周长＝2（x+y）＝120（厘米），
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式12-2】（2022秋•乐东县期末）某花店每盆甲品种鲜花的售价比每盆乙品种鲜花多5元；3盆甲品
种鲜花和1盆乙品种鲜花共售155元，求甲、乙两品种鲜花每盆售价各多少元？
【分析】设每盆甲品种鲜花的售价是x元，每盆乙品种鲜花的售价是y元，根据“每盆甲品种鲜花的售
价比每盆乙品种鲜花多5元，3盆甲品种鲜花和1盆乙品种鲜花共售155元”，可得出关于x，y的二元
一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设每盆甲品种鲜花的售价是x元，每盆乙品种鲜花的售价是y元，
{ x−y=5
根据题意得： ，
3x+ y=155
{x=40
解得： ．
y=35
答：每盆甲品种鲜花的售价是40元，每盆乙品种鲜花的售价是35元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式12-3】（2022秋•渠县校级期末）随着国家“亿万青少年学生阳光体育运动”活动的启动，某区
各所中小学也开创了体育运动的一个新局面．你看某校七年级（1）、（2）两个班共有100人，在两个
多月的长跑活动之后，学校对这两个班的体能进行了测试，大家惊喜的发现（1）班的合格率为96%，
（2）班的合格率为90%，而两个班的总合格率为93%，求七年级（1）、（2）两班的人数各是多少？
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司【分析】设（1）班有x人，（2）班有y人，根据题目中所述的两个等量关系可得出方程组，解出即可
得出答案．
【解答】解：设（1）班有x人，（2）班有y人，
{ x+ y=100
依题意得： ，
96%x+90% y=100×93%
{x=50
解得： ．
y=50
答：（1）、（2）班各有50个人．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解决此类题目的关键是仔细审题，将等量关系找到，然后
用方程解决．
【变式12-4】（2021秋•市北区期末）某商场购进甲、乙两种服装后，都加价40%再标价出售，春节期
间商场搞优惠促销，决定将甲、乙两种服装分别按标价的八折和九折出售，某顾客购买甲、乙两种服装
共付款182元，两种服装标价之和为210元，这两种服装的进价和标价各是多少元？
【分析】通过理解题意，可知本题存在两个等量关系，即甲种服装的标价+乙种服装的标价＝210元，
甲种服装的标价×0.8+乙种服装的标×0.9＝182元，根据这两个等量关系可列出方程组求解即可．
【解答】解：设甲的进价为x元，乙的进价为y元，依题意得：
{0.8×1.4x+0.9×1.4 y=182
，
1.4x+1.4 y=210
{ x=50
解得
y=100
1.4×50＝70，1.4×100＝140．
答：甲、乙进价分别为50元、100元，标价分别为70元、140元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，找合适的等量关系，列出方程组．
在设未知量时知道到底设哪个更简单，否则较难列出方程组．本题还需注意进价、标价之间的关系．
【变式12-5】（2021秋•王益区期末）周末，小玉骑自行车去五台山，出发时，她先以8km/h的速度走平
路，而后又以4km/h的速度上坡到达五台山，共用了1.5h；返回时，她先以12km/h的速度下坡，而后以
9km/h的速度走过平路，回到原出发点，共用了55min，求从出发点到五台山的路程．
【分析】设平路为x千米，坡路为y千米，根据往返所用的时间列出二元一次方程组，解方程组，即可
解决问题．
【解答】解：设平路为x千米，坡路为y千米，
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司x y 3
{ + =
8 4 2
根据题意得： ，
x y 55
+ =
9 12 60
{x=6
解得： ，
y=3
则x+y＝6+3＝9（千米）．
答：从出发点到五台山的路程是9千米．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【变式12-6】（2022春•宁远县期中）去年春季，蔬菜种植场在15公顷的大棚地里分别种植了茄子和西
红柿，总费用是26.5万元．其中，种植茄子和西红柿每公顷的费用和每公顷获利情况如表：
每公顷费用（万元） 每公顷获利（万元）
茄子 1.7 2.4
西红柿 1.8 2.6
请解答下列问题：
（1）求出茄子和西红柿的种植面积各为多少公顷？
（2）种植场在这一季共获利多少万元？
【分析】（1）设茄子种植面积为x公顷，西红柿种植面积为y公顷，构建方程组即可解决问题；
（2）分别求出茄子和西红柿的获利多少，即可解决问题；
【解答】解：（ 1）设茄子种植面积为x公顷，西红柿种植面积为y公顷，
{ x+ y=15
根据题意 ，
1.7x+1.8 y=26.5
{ x=5
解 ，
y=10
答：茄子种植面积为 5公顷，西红柿种植面积为10公顷；
（2）种植茄子获利：5×2.4＝12（万元），
种植西红柿获利：10×2.6＝26（万元）
共获利12+26＝38（万元），
答：种植场在这一季共获利38万元
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，属于中
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司考常考题型．
【变式12-7】（2022秋•将乐县期末）某商场用相同的价格分两次购进A型和B型两种型号的电脑，前
两次购进情况如下表．
A型（台） B型（台） 总进价（元）
第一次 20 30 210000
第二次 10 20 130000
（1）求该商场购进A型和B型电脑的单价各为多少元？
（2）已知商场A型电脑的标价为每台4000元，B型电脑的标价为每台6000元，两种电脑销售一半后，
为了促销，剩余的A型电脑打九折，B型电脑打八折全部销售完，问两种电脑商场获利多少元？
【分析】（1）设该商场购进A型电脑的单价为x元，B型电脑的单价为y元，利用总进价＝每台的进价
×进价数量，结合两次购进A型和B型两种型号的电脑的数量及总进价，即可得出关于x，y的二元一次
方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润＝销售单价×销售数量﹣总进价，即可求出结论．
【解答】解：（1）设该商场购进A型电脑的单价为x元，B型电脑的单价为y元，
{20x+30 y=210000
根据题意得： ，
10x+20 y=130000
{x=3000
解得： ．
y=5000
答：该商场购进A型电脑的单价为3000元，B型电脑的单价为5000元；
20+10 20+10 30+20 30+20
（2）根据题意得：4000× +4000×0.9× +6000× +6000×0.8× −210000﹣
2 2 2 2
130000
＝4000×15+4000×0.9×15+6000×25+6000×0.8×25﹣210000﹣130000
＝60000+54000+150000+120000﹣210000﹣130000
＝44000（元）．
答：两种电脑全部售出后商场获利44000元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司题型十三 解三元一次方程组
{
2x+ y=3
【例题13】（2022春•开福区校级期末）方程组 3x−z=7 的解为（ ）
x−y+3z=0
{
x=2
{
x=2
{
x=2 {x=2
A． y=1 B． y=−1 C． y=−1 D． y=1
y=−1 z=1 z=−1 z=1
【分析】由②③消去z，转化为二元方程组即可解决问题．
{ 2x+ y=3 ①
【解答】解： 3x−z=7 ②
x−y+3z=0 ③
②×3+③得到：10x﹣y＝21 ④
{ x=2
由①④解得 代入②得z＝﹣1，
y=−1
{
x=2
∴ y=−1，
z=−1
故选：C．
【点评】本题考查三元方程组，解题的关键是三元方程组转化为二元方程组，学会转化的数学思想，属
于中考常考题型．
解题技巧提炼
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，
消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．
②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．
③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到
一个关于第三个未知数的一元一次方程．
④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．
⑤最后将求得的三个未知数的值用大括号合写在一起即可．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司{x+ y=5
【变式13-1】（2022春•杨浦区校级期末）如果三元一次方程组为 y+z=6，那么x+y+z＝ ．
x+z=7
【分析】三个方程相加可得结论．
【解答】解：将三元一次方程组中的三个方程相加得2x+2y+2z＝18，
∴x+y+z＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查三元一次方程组，解题的关键是学会用整体思想解决问题，属于中考常考题型．
{
x+ y=5①
【变式13-2】（2021春•浦东新区期末）解方程组： y+z=−2②．
x+z=3③
【分析】利用加减消元法解方程组．
【解答】解：由 ①+②+③得：x+y+z＝3④，
④﹣①，得：z＝﹣2，
④﹣②，得：x＝5，
④﹣③，得：y＝0．
{
x=5
∴方程组的解是 y=0 ．
z=−2
【点评】本题考查加减消元法解三元一次方程组，掌握解方程组的步骤准确计算是解题关键．
【变式13-3】解下列三元一次方程组
{x−2y=−9①
y−z=2② ．
2z+x=47③
【分析】利用加减消元法解方程组即可．
【解答】解：③﹣①得：2z+2y＝56，
∴y+z＝28④，
②+④得：2y＝30，
∴y＝15，
把y＝15代入①得：x﹣30＝﹣9，
∴x＝21，
把y＝15代入②得：15﹣z＝2，
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司∴z＝13，
{x=21
∴ y=15．
z=13
【点评】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法或代入消元法是解答本题的关键．
{
x−2y=−1
【变式13-4】（2021春•普陀区期末）解方程组： 2x+ y+z=5．
x−3 y−z=0
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
{
x−2y=−1①
【解答】解： 2x+ y+z=5②，
x−3 y−z=0③
②+③得：3x﹣2y＝5④，
{x−2y=−1
由④和①组成一个二次一次方程组 ，
3x−2y=5
{x=3
解得： ，
y=2
{x=3
把 代入③3﹣6﹣z＝0，
y=2
解得：z＝﹣3，
{
x=3
所以原方程组的解是： y=2 ．
z=−3
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
【变式13-5】解下列三元一次方程组：
{ x−4 y+z=−3 { x+z−3=0，
（1） 2x+ y−z=18， （2） 2x−y+2z=2，
x−y−z=7； x−y−z=−3．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
{x−4 y+z=−3①
【解答】解：（1） 2x+ y−z=18②，
x−y−z=7③
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司①+②得：3x﹣3y＝15，即x﹣y＝5④，
①+③得：2x﹣5y＝4⑤，
④×5﹣⑤得：3x＝21，
解得：x＝7，
把x＝7代入④得：7﹣y＝5，
解得：y＝2，
把x＝7，y＝2代入③得：7﹣2﹣z＝7，
解得：z＝﹣2，
{
x=7
则方程组的解为 y=2 ；
z=−2
{
x+z−3=0①
（2） 2x−y+2z=2②，
x−y−z=−3③
②﹣③得：x+3z＝5④，
④﹣①得：2z＝2，
解得：z＝1，
把z＝1代入①得：x+1﹣3＝0，
解得：x＝2，
把x＝2，z＝1代入③得：2﹣y﹣1＝﹣3，
解得：y＝4，
{x=2
则方程组的解为 y=4．
z=1
【点评】此题考查了解三元一次方程组，以及解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：
代入消元法与加减消元法．
题型十四 三元一次方程组的解的简单应用
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司{ 2x+3 y=z
【例题14】（2022秋•南开区校级期末）已知 且x+y＝3，则z的值为（ ）
3x+4 y=2z+6
A．9 B．﹣3 C．12 D．不确定
【分析】用第二个方程减去第一个方程即可得到 x+y与z的关系，然后根据x+y＝3，即可得到z的值，
本题得以解决．
{ 2x+3 y=z ①
【解答】解：
3x+4 y=2z+6 ②
②﹣①，得
x+y＝z+6，
∵x+y＝3，
∴z+6＝3，
解得，z＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查解三元一次方程组，解答此类问题的关键是将原方程组变形，建立与已知条件 x+y的
关系，求出相应的z的值．
解题技巧提炼
三元一次方程组的简单应用有求字母系数问题，求比值问题，三元一次方程组与
非负数的综合等问题，主要是利用三元一次方程组的解的定义和解方程组的知识
来解决.
【变式14-1】（2022春•如东县期中）三个二元一次方程3x﹣y＝7，2x+3y＝1，y＝kx﹣9有公共解，则k
的值是（ ）
16
A．3 B．− C．﹣2 D．4
3
【分析】利用方程3x﹣y＝7和2x+3y＝1组成方程组，求出x、y，再代入y＝kx﹣9求出k值．
{3x−y=7①
【解答】解： ，
2x+3 y=1②
把①式两边乘3，得9x﹣3y＝21③，
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司②+①得11x＝22，得x＝2，
把x＝2代入①得6﹣y＝7，
解得y＝﹣1，
{ x=2
将 代入y＝kx﹣9得2k﹣9＝﹣1，
y=−1
解得k＝4．
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法
解二元一次方程组较简单．
【变式14-2】（2022春•娄底期中）在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝2；当x＝﹣1时，y＝0；当x
＝2时，y＝12，则a+b+c＝（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】先把x＝0时，y＝2；x＝﹣1时，y＝0；x＝2时，y＝12分别代入y＝ax2+bx+c，得到一个三元
一次方程组解这个方程组即可求出a，b，c的值，进而求得结果．
【解答】解：把x＝0时，y＝2；x＝﹣1时，y＝0；x＝2时，y＝12分别代入y＝ax2+bx+c，得
{
2=c
0=a−b+c ，
12=4a+2b+c
{a=1
解得， b=3，
c=2
∴a+b+c＝1+3+2＝6，
故选：C．
【点评】此题考查了三元一次方程组的解法，掌握三元一次方程组解的步骤是本题的关键，把三元一次
方程组通过消元转化成二元一次方程组再进行求解．
{ x+ y+z=7
【变式14-3】（2022春•辛集市期末）已知实数x，y，z满足 ，则代数式3（x﹣z）+1的
4x+ y−2z=2
值是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣6
{ x+ y+z=7 ①
【分析】将方程组 ②﹣①得：3x﹣3z＝﹣5，整理得：3（x﹣z）＝﹣5，把3（x
4x+ y−2z=2 ②
﹣z）＝﹣5代入代数式3（x﹣z）+1，即可得到答案．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司{ x+ y+z=7 ①
【解答】解：方程组 ，
4x+ y−2z=2 ②
②﹣①得：3x﹣3z＝﹣5，
整理得：3（x﹣z）＝﹣5，
把3（x﹣z）＝﹣5代入代数式3（x﹣z）+1得：
﹣5+1＝﹣4，
即代数式3（x﹣z）+1的值是﹣4，
故选：B．
【点评】本题考查解三元一次方程组，正确掌握加减消元法消去未知数是解决本题的关键．
{x+ y=3a
【变式14-4】已知方程组 y+z=5a的解使式子x﹣2y+3z的值等于﹣10，求a的值．
z+x=4a
【分析】把a看作已知数求出方程组的解表示出x，y，z，代入x﹣2y+3z＝﹣10中计算即可求出a的值．
{x+ y=3a①
【解答】解： y+z=5a②，
z+x=4a③
①+②+③得：x+y+z＝6a，
解得：z＝3a，x＝a，y＝2a，
代入x﹣2y+3z＝﹣10得：a﹣4a+9a＝﹣10，
5
解得：a=− ．
3
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
{4x−3 y−3z=0
【变式 14-5】（2012 春•黄陂区校级月考）已知 x、y、z 都不为零，且 ，求式子
2x−3 y+z=0
x−3 y+4z
的值．
6 y+z
【分析】先通过消元用z表示出x，y的值，再把x，y的代入要求的式子，最后进行约分即可．
{4x−3 y−3z=0①
【解答】解： ，
2x−3 y+z=0②
①﹣②得：2x＝4z，
解得：x＝2z，
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司5
把x＝2z代入②得：y= z，
3
5 x−3 y+4z
把x＝2z，y= z代入 得：
3 6 y+z
2z−5z+4z 1
= ．
10z+z 11
【点评】此题考查了解三元一次方程组，关键是通过消元用 z表示出x，y的值，再把x，y的代入要求
的式子，用到的知识点是代入法和加减法．
题型十五 列三元一次方程组解简单的实际问题
【例题15】（2021春•西湖区校级期中）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文→密文
（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文 a，b，c，对应密文 a+1，﹣
a+2b+4，b+3c+9，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（ ）
A．6，2，7 B．2，6，7 C．6，7，2 D．7，2，6
【分析】根据“加密规则为：明文a，b，c，对应密文a+1，﹣a+2b+4，b+3c+9”，即可得出关于a，
b，c的三元一次方程组，解之即可得出结论．
{
a+1=7
【解答】解：依题意得： −a+2b+4=12，
b+3c+9=22
{a=6
解得： b=7．
c=2
故选：C．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司解题技巧提炼
根据实际问题中蕴含的等量关系建立方程组模型，列出符合条件的方程组以达到
解决问题的目的.
【变式15-1】（2022秋•池州期末）一个三位数，各个数位上数字之和为 10，百位数字比十位数字大
1．如果百位数字与个位数字对调，则所得新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是（ ）
A．325 B．217 C．433 D．541
【分析】此题首先要掌握数字的表示方法，每个数位上的数字乘以位数再相加，设个位、十位、百位上
的数字为x、y、z，则原来的三位数表示为：100z+10y+x，新数表示为：100x+10y+z，故根据题意列三
元一次方程组即可求得．
【解答】解：设个位、十位、百位上的数字为x、y、z．
{
x+ y+z=10
依题意得： z−y=1 ，
3(100z+10 y+x)+61=100x+10 y+z
{
x=7
解得 y=1，
z=2
∴原来的三位数字是217．
故选：B．
【点评】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，解答此题的关键是列出方程组，用代入
消元法或加减消元法求出方程组的解．
【变式15-2】（2022春•侯马市期末）6月18日，最开始是京东的周年庆，2013年后，618就成了各大
电商平台的网购节了．在618当日，小梦在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选 3件甲，
2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、
乙、丙各两件时应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
{3x+2y+z=420
【分析】设甲、乙、丙三种商品的单价为x元、y元、z元，由题意可得方程组 ，两
2x+3 y+4z=580
式相加即可得解得5（x+y+z）＝1000，进一步计算即得答案．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司【解答】解：设甲、乙、丙三种商品的单价为x元、y元、z元，根据题意得：
{3x+2y+z=420
，
2x+3 y+4z=580
两式相加，得5（x+y+z）＝1000，
所以2（x+y+z）＝400，
即购买甲、乙、丙各两件时应该付款400元．
故选：B．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，分析题意列出方程组是解题的关键．
【变式15-3】（2021•宁波模拟）购买铅笔7支，作业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作
业本4本，圆珠笔1支共需4元．问购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需多少元？
【分析】设铅笔的单价为x元，作业本的单价为y元，圆珠笔的单价为z元，根据“购买铅笔7支，作
业本3本，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4本，圆珠笔1支共需4元”，即可得出关于
x，y，z的三元一次方程组，利用3×①﹣②，即可求出购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支所需
钱数．
【解答】解：设铅笔的单价为x元，作业本的单价为y元，圆珠笔的单价为z元，
{7x+3 y+z=3①
依题意得： ，
10x+4 y+z=4②
3×①﹣②得：11x+5y+2z＝5．
答：购买铅笔11支，作业本5本，圆珠笔2支共需5元．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
题型十六 综合压轴探究题
【例题16】为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”
生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费＝自来水销售费用+污水处理费用）
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下 a 0.80
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司超过17吨不超过30吨的部分 b 0.80
超过30吨的部分 6.00 0.80
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a，b的值．
（2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？
【分析】（1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出a、b的值；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得小王家本月用水量为多少吨．
【解答】解：（1）根据题意可得，
{17a+3b+20×0.8=66
，
17a+8b+25×0.8=91
{a=2.2
解得， ，
b=4.2
即a的值是2.2，b的值是4.2；
（2）设小王家6月份用水x吨，
根据题意知，30吨的水费为：17×2.2+13×4.2+30×0.8＝116，
∵184＞116，
∴小王家6月份计划用水超过了30吨
∴6.0（x﹣30）+116+0.80×（x﹣30）＝184，
解得，x＝40
即小王家6月份用水量40吨．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
解题技巧提炼
综合压轴探究主要是利用二元一次方程组解决较复杂的实际问题，关键是根据数
量关系列出方程组，并综合运用所学知识解决方案设计之类的问题.
【变式16-1】（2022春•庐阳区期末）一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由
4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．
（1）工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？
（2）现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A
型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．
①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示）
②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？
【分析】（1）设安排x名工人生产A型零件，则安排（60﹣x）名工人生产B型零件，根据生产的零件
总数＝每人每天生产的数量×人数，结合每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，即可得出
6x
关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入 中即可求出结论；
4
（2）①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，则安排（60﹣x）名工人生产B型零件，
同（1）可得出关于y的一元一次方程，解之可得出x的值；
②设至少需要补充m名新工人才能在规定期内完成总任务，安排 n名工人生产B型零件，则安排（60
﹣n）名工人及m名新工人生产A型零件，由每天需要生产1200÷20套设备，可得出关于m，n的二元
一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设安排x名工人生产A型零件，则安排（60﹣x）名工人生产B型零件，
6x 3(60−x)
根据题意得： = ，
4 3
解得：x＝24，
6x 6×24
∴ = = 36．
4 4
答：工厂每天应安排24名工人生产A型零件，工厂每天能配套组成36套产品．
（2）①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，则安排（60﹣x）名工人生产B型零件，
根据题意得：
6x+4m 3(60−x)
= ，
4 3
2
解得x＝24− m．
5
②设至少需要补充m名新工人才能刚好在规定期限完成生产任务，安排 n名工人生产B型零件，则安
排（60﹣n）名工人及m名新工人生产A型零件，
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司{ 6(60−n)+4m 1200
=
4 20
根据题意得： ，
3n 1200
=
3 20
{m=60
解得： ，
n=60
答：至少需要补充60名新工人才能刚好在规定期限完成生产任务．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正
确列出一元一次方程及二元一次方程组．
【变式16-2】（2022秋•成都期中）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1
辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨，某物流公司现有26吨货物，计划A型车a辆，B型
车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱车方案，并求出最少
租车费．
【分析】（1）根据2辆A型车和1辆B型车装满货物＝10吨；1辆A型车和2辆B型车装满货物＝11
吨，列出方程组即可解决问题．
（2）由题意得到3a+4b＝26，根据a、b均为正整数，即可求出a、b的值．
（3）求出每种方案下的租金数，经比较、分析，即可解决问题．
【解答】解：（1）设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货 吨、 吨，
{2λ+μ=10 λ μ
由题意得： ，
λ+2μ=11
解得： ＝3， ＝4．
故1辆λA型车和μ 1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨．
（2）由题意和（1）得：3a+4b＝26，
∵a、b均为非负整数，
{a=6 {a=2
∴ 或 ，
b=2 b=5
∴共有2种租车方案：
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司①租A型车6辆，B型车2辆，
②租A型车2辆，B型车5辆．
（3）方案①的租金为：6×100+2×120＝840（元），
方案②的租金为：2×100+5×120＝800（元），
∵840＞800，
∴最省钱的租车方案为方案②，租车费用为800元．
【点评】该题主要考查了列二元一次方程组或二元一次方程来解决现实生活中的实际应用问题；解题的
关键是深入把握题意，准确找出命题中隐含的数量关系，正确列出方程或方程组来分析、推理、解答．
【变式16-3】（2022春•海丰县期末）温州市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的
演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表：
购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～79套（含79套） 80套及以上
每套服装的价格 80元 70元 60元
经调查：两个乐团共75人（甲乐团人数不少于40人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费
5600元．请回答以下问题：
（1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？
（2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？
（3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福
利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责3位小
朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的
温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由．
【分析】（1）若甲、乙两个乐团合起来购买服装80套，则每套是60元，计算出总价，即可求得比各
自购买服装共可以节省多少钱；
（2）设甲、乙个乐团各有x名、y名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲乐团每套服装
是70元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共75人；②分别单独购买服装，一共应付5600
元，列方程组即可求解；
（3）利用甲乐团每位成员负责3位小朋友，乙乐团每位成员负责5位小朋友恰好使得福利院65位小朋
友全部得到“心连心活动”的温暖列出方程探讨答案即可．
【解答】解：（1）买80套所花费为：80×60＝4800（元），
最多可以节省：5600﹣4800＝800（元）．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司（2）解：设甲乐团有x人；乙乐团有y人．
根据题意，得
{ x+ y=75
70x+80 y=5600
{x=40
解得
y=35
答：甲乐团有40人；乙乐团有35人．
（3）由题意，得3a+5b＝65
3
变形，得b＝13− a
5
因为每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数
{a=5 {a=10
得： 或 ．
b=10 b=7
所以共有两种方案：从甲乐团抽调5人，从乙乐团抽调10人；或者从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调
7人．
【点评】此题考查二元一次方程组与二元一次方程的实际运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适
的等量关系是解决问题的关键．
【变式16-4】（2022春•西区期中）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的
工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员 小丽 小华
月销售件数（件） 200 150
月总收入（元） 1400 1250
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．
（1）求x、y的值；
（2）若营业员小丽某月的总收入不低于1800元，那么小丽当月至少要卖服装多少件？
（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需315元；
如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需285元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需 元．
【分析】（1）通过理解题意可知此题存在两个等量关系，即小丽的基本工资+提成＝1400元，小华的
基本工资+提成＝1250元，列方程组求解即可；
（2）根据小丽基本工资+每件提成×件数＝1800元，求得件数即可；
（3）理解题意可知，计算出甲、乙、丙各购买4件共多少钱即可．
学学学学 科科科科 网网网网 （（（（ 北北北北 京京京京 ）））） 股股股股 份份份份 有有有有 限限限限 公公公公 司司司司【解答】解：（1）设营业员的基本工资为x元，买一件的奖励为y元．
{x+200 y=1400
由题意得
x+150 y=1250
{x=800
解得
y=3
即x的值为800，y的值为3．
（2）设小丽当月要卖服装z件，由题意得：
800+3z＝1800
解得，z＝333.3
由题意得，z为正整数，在z＞333中最小正整数是334．
答：小丽当月至少要卖334件．
（3）设一件甲为x元，一件乙为y元，一件丙为z元．
{3x+2y+z=315
则可列
x+2y+3z=285
将两等式相加得4x+4y+4z＝600，则x+y+z＝150
答：购买一件甲、一件乙、一件丙共需150元．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再
求解；第三问的难点就在于思考的方向对不对，实际上，方向对了，做起来就方便多了．
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