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第八章 二元一次方程组（人教版）
选拔卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．（2022·重庆·西南大学附中七年级期末）若关于x，y的方程 是二元一
次方程，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义得出 且 ，再求出答案即可．
【详解】解：∵关于x，y的方程 是二元一次方程，
∴ 且 ，解得：m=1，故选C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义是解此题的关键．
2．（2021·山东临沂·七年级期末）如果方程x﹣y＝3与下列方程中的一个组成的方程组的
解为 ，那么这个方程可以是（ ）
A．3x﹣4y＝16 B．x﹣y＝3y C． D．
【答案】B
【分析】把 代入各选项的方程，看左边是否等于右边即可．
【详解】解：A、把 代入方程得：左边＝12﹣4＝8，右边＝16，左边≠右边，所以
该选项不符合题意；
B、把 代入方程得：左边＝4﹣1＝3，右边＝3，左边＝右边，所以该选项符合题意；
C、把 代入方程得：左边＝2+3＝5，右边＝8，左边≠右边，所以该选项不符合题意；
D、把 代入方程得：左边＝1+2＝3，右边＝5，左边≠右边，所以该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要
回到定义中去，通常采用代入法，即：将解代入原方程组，这是解题的关键．3．（2022·河南·郑州中学九年级期末）定义新运算：对于任意实数a，b都有
，等式右边是常用的乘法和减法运算．规定，若 ， ，
则 的值为（ ）
A．－2 B．－4 C．－7 D．－11
【答案】A
【分析】根据新运算得 ，解得 ，再根据新运算法则计算 即可得．
【详解】解：∵ ， ，∴
由②得， ③，将③代入①得， ，
将 代入 ③得， ，即 ，则 ，故选A．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握新运算法则求出p，q的值．
4．（2021·四川·成都外国语学校八年级阶段练习）由方程组 可以得出关于x
和y的关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别用x，y表示m，即可得到结果；
【详解】由 ，得到 ，由 ，得到 ，
∴ ，∴ ；故选C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的化简，准确分析计算是解题的关键．
5．（2021·上海市民办尚德实验学校期末）二元一次方程2x＋3y＝14的正整数解有（
）
A．1组 B．2组 C．3组 D．无数组
【答案】B
【分析】把x看做已知数求出y，即可确定出正整数解．
【详解】解：2x＋3y＝14，解得：y= ，
∵方程的解为正整数，∴当x=1时，y=4；当x=4时，y=2； 故正整数解共有2组，故选
B．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是将x看做已知数求出y．
6．（2022·江苏·七年级专题练习）甲、乙两城相距1120千米，一列快车从甲城出发120千
米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇．若快车平均每小时行驶的路程是动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米，则动车平均每小时比快车平均每小
时多行驶的路程为（ ）
A．330千米 B．170千米 C．160千米 D．150千米
【答案】C
【分析】设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米，根据“一列快车从
甲城出发120千米后，另一列动车从乙城出发开往甲城，2个小时后两车相遇，且快车平
均每小时行驶的路程比动车平均每小时行驶的路程的一半还多5千米”，即可得出关于x，
y的二元一次方程组，求出动车与快车平均每小时行驶的路程即可解答．
【详解】解：设动车平均每小时行驶x千米，快车平均每小时行驶y千米，
依题意得： ，解得： ， ，故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
7．（2021·重庆巫溪·七年级期末）小丽要用20元钱购买笔和本，两种物品都必须要买，
20元钱全部用尽，若每支笔3元，每个本2元，则共有几种购买方案（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【分析】设购买x支笔，y个本，根据总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方
程，结合x，y均为正整数即可求出结论．
【详解】解：设购买x支笔，y个本，依题意，得：3x＋2y＝20，∴ ，
∵x，y均为正整数，∴ 或 或 ，∴共有3种购买方案．故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题
的关键．
8．（2021·全国·七年级课时练习）我们规定： 表示不超过 的最大整数，例如：
， ， ，则关于 和 的二元一次方程组 的解为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 的意义可得 ， 和 均为整数，两方程相减可求出 ，
，将 代入第二个方程可求出x.【详解】解： ，∵ 表示不超过 的最大整数，∴ ， 和
均为整数，
∴x为整数，即 ，∴①－②得： ，∴ ， ，
将 代入②得： ，∴ ，故选：A.
【点睛】本题考查了新定义以及解二元一次方程组，正确理解 的意义是解题的关键.
9．（2022·江苏·七年级专题练习）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密
文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文
．例如，明文 对应密文 ．当接收方收到密文
时，则解密得到的明文为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设解密得到的明文为a，b，c，d，根据加密规则求出a，b，c，d的值即可．
【详解】解：设明文为a，b，c，d，
根据密文14，9，23，28，得到a＋2b＝14，2b＋c＝9，2c＋3d＝23，4d＝28，
解得：a＝6，b＝4，c＝1，d＝7，则得到的明文为6，4，1，7．故选：B．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，弄清题意列出方程是解本题的关键．
10．（2022·全国·七年级课时练习）阅读理解： ， ， ， 是实数，我们把符号
称为 阶行列式，并且规定： ，例如：
.二元一次方程组 的解可以利用
阶行列式表示为： ；其中 ， ， .问题：对于用
上面的方法解二元一次方程组 时，下面说法错误的是（ ）
A． B． C． D．方程组的解为
【答案】C【详解】【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得.
【详解】A、D= =2×（-2）-3×1=﹣7，故A选项正确，不符合题意；
B、D= =﹣2﹣1×12=﹣14，故B选项正确，不符合题意；
x
C、D= =2×12﹣1×3=21，故C选项不正确，符合题意；
y
D、方程组的解：x= =2，y= =﹣3，故D选项正确，不符合题意，故选
C．
【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题
意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．（2022·云南文山·八年级期末）已知x、y满足方程组 ，则 的值为
__________．
【答案】1
【分析】利用整体思想直接用方程①-②即可得结果．
【详解】解： ，①-②得，4x+4y=4，x+y=1，故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解决本题的关键是掌握整
体思想．
12．（2021·河北承德·七年级期末）如表，每一行x，y，t的值满足方程ax+by＝t．如，当
第二行中的3，2，5分别对应方程中x，y，t的值时，可得3a+2b＝5．根据题意，b﹣a的
值是 _____．
【答案】10
【分析】根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：由题意得2，3，15分别对应x，y，t的值，∴2a+3b＝15，
联立方程3a+2b＝5得 由②﹣①得b﹣a＝10，故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解.13．（2021·黑龙江·七年级阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组 无解，则
______．
【答案】−
【分析】根据加减消元法消去y，得到x，因为方程组无解，所以令分母等于0，使这个解
无意义，则原方程组无解．
【详解】解： ，①×2得：2mx＋6y＝18③，②×3得：3x−6y＝3④，
③＋④得：（2m＋3）x＝21，∴x＝ ，
∵方程组无解，∴2m＋3＝0，∴m＝− ．答案为：− ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是利用消元法求得x的值．
14．（2022·重庆黔江·九年级期末）在2022新春佳节即将来临之际，某商家拟推出收费定
制个性新春礼品，礼品主要包含三种：对联、门神和红包，如果定制对联 副、门神 副、
红包 个，需付人民币 元；如果定制对联 副、门神 副、红包 个，需付人民币 元；
某人想定制 副对联、 副门神、 个红包共需付人民币_______元．
【答案】41
【分析】设定制1副对联需要 元，1副门神需要 元，1个红包需要 元，根据“如果定
制对联3副、门神2副、红包5个，需付人民币31.5元；如果定制对联2副、门神1副、
红包1个，需付人民币22元”，即可得出关于 ， ， 的三元一次方程组，利用①
②，即可求出定制4副对联、3副门神、9个红包所需费用．
【详解】解：设定制1副对联需要 元，1副门神需要 元，1个红包需要 元，
依题意得： ，① ②得： ．故答案为：41．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出三元
一次方程组．
15．（2021·浙江绍兴·七年级期末）若方程组 的解是 ，则方程组
的解为__________________
【答案】x=5.3，y=0.3
【分析】通过观察两个方程组之间的关系，可得到 ，即可求解．【详解】 方程组 的解是 ，
中， ，解得 ，
方程组的解为 ，故答案为：x=5.3，y=0.3．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，要比较两个方程组的结构相似处，得出
是解题关键．
16．（2021·湖北武汉·七年级期末）如图，两个形状、大小完全相同的大长方形内放入五
个如图③的小长方形后分别得到图①、图②，已知大长方形的长为 ，则图①中阴影部分
的周长与图②中阴影部分的周长的差是______．（用含 的式子表示）
【答案】
【分析】设图③中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为 ，根据图形，列
二元一次方程组求得图③的长方形的长和宽，再计算①②图形中阴影部分的周长之差
【详解】设图③中的小长方形的长和宽分别为： ，大长方形的宽为
由图①可知 解得： 由图②可知：
设图①的阴影部分周长为 ，设图②的阴影部分周长为
故答案为 ：
【点睛】本题考查了列代数式，二元一次方程组，整式的加减，用含 的代数式表示出小
长方形的长和宽是解题的关键．
17．（2021·重庆十八中两江实验中学九年级阶段练习）甲、乙、丙三人在A、B两块地植树，其中甲在A地植树，丙在B地植树，乙先在A地植树，然后转到B地．已知甲、乙、
丙每小时分别能植树10棵，8棵，12棵．若乙在A地植树12小时后立即转到B地，则两
块地同时开始同时结束；若要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，则乙应在A
地植树______小时后立即转到B地．
【答案】17
【分析】先设A地需要植树 棵，B地需要植树 棵，根据题意可建立方程
，化简可得 ，再设乙应在A地植树 小时后立即转到B
地，要两块地同时开始，但A地比B地早6小时完成，可构建方程
，求 即可得出答案．
【详解】设A地需要植树 棵，B地需要植树 棵，由题可得：
， ，
设乙应在A地植树 小时后立即转到B地，由题可得：
，
化简得： ，解得： ．故答案为：17．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法及应用，恰当设出未知数，解题关键在于根据
题意找出等量关系式进行求解．
18．（2021·重庆长寿·七年级期末）某人乘坐在匀速行驶的小车上，他看到第一块里程碑
上写着一个两位数（单位：千米）；经过30分钟，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是
第一块里程碑上的数字互换了；又经过30分钟，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，
这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，则这辆汽车的速度是
___________千米/小时．
【答案】90
【分析】假设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y，汽车的速度为z千米/小时．那么
这个两位数数值就是10y＋x，30分钟后站牌数值是10x＋y，又经过30分钟，他看到第三
块里程牌上数值是100y＋x；因而列方程（10x＋y）−（10y＋x）＝0.5z与（100y＋x）
−（10x＋y）＝0.5z，求得x与y的比例关系．通过数字x、y满足1≤x≤9，1≤y≤9，确定出
x、y的取值，代入求得z的值．
【详解】解：设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y，汽车的速度为z千米/小时．
由题意得： ，化简得： ，即x＝6y，
由已知可得：1≤x≤9，1≤y≤9，∴x只能取6，y＝1∴z＝18×（6−1）＝90
答：汽车的速度是90千米/小时．故答案是：90．
【点睛】题考查三元一次方程组的应用．解决本题的关键是根据题目的等量关系，列出方程组，求得数字x、y的关系．另外注意隐含条件数字x、y满足0≤x≤9，1≤y≤9．
三、解答题：本题共8个小题，19-24每题8分，25-26每题9分，共66分。
19．（2021·北京·首都师范大学附属实验学校七年级阶段练习）如图是按一定规律排列的
方程组集合和它的解的集合的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左至右依次记做方
程组1、方程组2、方程组3、…
(1)解方程组，求方程组3的解；(2)若方程组 的解是 ，直接写出a、b的
值；
(3)请依据方程组和它的解的变化的规律，直接写出方程组n和它的解．
【答案】(1) (2)a＝ ，b＝9；(3) ，
【分析】（1）用加减消元法消去x项，得出y的值，然后再用代入法求出x的值；
（2）把x的值代入方程①可得y即b的值，再把x和y的值的代入②可得a的值；
（3）根据方程组和解的变化规律可得答案．
【解析】 (1)解： ，
用①﹣②得：﹣4y＝﹣8，解得y＝2．把y＝2代入①，得x﹣2＝1，
x＝3，所以方程组的解是 ；
(2)解： ，把x＝10代入①得：y＝9即b＝9．
再把x＝10，y＝9代入②得：10+9a＝a，解得a＝ ．
答：a＝ ，b＝9；
(3)解：根据观察可知，方程组的第一个方程不变，第二个方程等号右边的数是未知数y的
系数的平方，方程组几的未知数x的值为几，未知数y值比x小1，所以，方程组n是
，方程组的解是 ．【点睛】本题考查用加减消元法解方程，以及根据方程组及其解的集合找规律并解方程，
解题关键是熟练运用加减消元法解方程．
20．（2021·吉林·长春外国语学校七年级阶段练习）阅读材料：我们把多元方程（组）的
非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如： 就是方程3x+y＝11的一组“好
解”； 是方程组 的一组“好解”．(1)求方程x+2y＝5的所有“好解”；
(2)关于x，y，k的方程组 有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；
若没有，请说明理由．
【答案】(1) 或 或 (2)有， 或 或 或
【分析】（1）“好解”就是方程的非负整数解，使y＝0，y＝1，y＝2分别去求 的值，
由于 时， 的值为负，不符合要求，不需要再求；（2）通过消元的方法得出k＝6﹣
2y和x＝9+y，因为“好解”就是方程的非负整数解，所以x、y、k为非负整数，解不等式
可得出满足条件的解．
(1)解：当y＝0时，x＝5；当y＝1时，x+2＝5，解得x＝3；当y＝2时，x+4＝5，解得x＝
1，
所以方程x+2y＝5的所有“好解”为 或 或 ；
(2)解：有． ，②﹣①得4y+2k＝12，则k＝6﹣2y，
①×3﹣②得2x﹣2y＝18，则x＝9+y，
∵x、y、k为非负整数，∴6﹣2y≥0，解得y≤3，∴y＝0、1、2，3，
当y＝0时，x＝9，k＝6；当y＝1，x＝10，k＝4；当y＝2时，x＝11，k＝2，当y＝3时，x
＝12，k＝0，
∴关于x，y，k的方程组 的“好解”为 或 或 或
．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和三元一次方程组的解法，准确理解题意并正
确解出方程组是做出本题的关键．21．（2021·吉林长春·七年级期末）【数学问题】解方程组
【思路分析】榕观察后发现方程①的左边是x+y，而方程②的括号里也是x+y，她想到可以
把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为
一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程．
解：把①代入②，得
（2）【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组
【答案】【完成解答】 ；【迁移运用】
【分析】（1）【完成解答】把①代入②求出x的值，再把x的值代入①即可求解；
（2）【迁移运用】把①代入③求出c的值，把c的值代入②求出a的值，再把a的值代入
①即可求解．
【详解】解：（1）【完成解答】
把①代入②，得 ，解得 ，
把 代入①，可得 ，∴方程组的解为 ；
（2）【迁移运用】把①代入③，得 ，解得 ，
把 代入②，得 ，解得 ，
把 代入①，得 ，
∴方程组的解为 ．
【点睛】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组，掌握整体思想是解题的关键．
22．（2022·山西晋中·八年级期末）盲盒顾名思义就是盒子中放置不同的物品，消费者凭
运气抽中商品，正是这种随机化的体验，让消费者产生消费欲望，成为 当下最热门的营销
方法之一．某葡萄酒酒庄为回馈新老客户，也推出了盲盒式营销．商家计划在每件盲盒中
放入 A，B 两种类型的酒，共 6 瓶．销售人员先包装了甲、乙两种盲盒．甲盲盒中装了
A 种酒 3 瓶，B 种酒 3 瓶； 乙盲盒中装了 A 种酒 1 瓶，B 种酒 5 瓶；经过测算，甲
盲盒的成本价为每件 240 元，乙盲盒的成本价为每件 160 元．(1)A 种酒和 B 种酒的成本价为每瓶多少元；(2)商家为回馈新老客户，计划所有的盲盒售
价都为每件 299 元，请你再直接写出一种盲盒装箱的方案（题中两种方案除外），使它的
成本价不高于 299 元．
【答案】(1)A 种酒的成本价为每瓶60元，B 种酒的成本价为每瓶20 元
(2)盲盒中可以放A 种酒4瓶，B 种酒2瓶。
【分析】（1） 设 A 种酒的成本价为每瓶 x 元，B 种酒的成本价为每瓶 y 元，根据
“甲盲盒中装了 A 种酒 3 瓶，B 种酒 3 瓶； 乙盲盒中装了 A 种酒 1 瓶，B 种酒 5
瓶；甲盲盒的成本价为每件 240 元，乙盲盒的成本价为每件 160 元”即可得出关于x，y
的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据盲盒成本价不高于299元举例即可．
(1)解：设 A 种酒的成本价为每瓶 x 元，B 种酒的成本价为每瓶 y 元．
由题意可知， 解得：
答：A 种酒的成本价为每瓶 60 元，B 种酒的成本价为每瓶 20 元
(2)解：举例：盲盒中可以放 A 种酒 4 瓶，B 种酒 2 瓶．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
23．（2022·山东济南·八年级期末）某县在创建省级卫生文明县城中，对县城内的河道进
行整治．现有一段长为180米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程
队每天整治8米，乙工程队每天整治12米，共用时20天．(1)小明、小华两位同学提出的
解题思路如下：
小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意，得
小华同学：设整治任务完成后，m表示 ，n表示 ；
得 请你补全小明、小华两位同学的解题思路．
(2)求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？请从中任选一个解题思路写出完整的解答过程．
【答案】(1)180， ， ，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用时的天数
(2)甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米
【分析】（1）根据所列式子可知，小华同学所列方程组中未知数为：设整治任务完成后甲
工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米；小华同学所列方程组中未知数为：设整治任务完成后，m表示甲工程队整治河道用的天数，n表示乙工程队整治河道用的天数，据
此补全方程组即可；
（2）选小明同学所列方程组解答即可．
(1)解：小明、小华两位同学提出的解题思路如下：
小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
根据题意得 ，
小华同学：设整治任务完成后，m表示甲工程队整治河道用的天数，n表示乙工程队整治
河道用时的天数；
得 ，
故答案为：180， ， ，甲工程队整治河道用的天数，乙工程队整治河道用时的天数；
(2)解：选小明同学所列方程组解答如下：
设整治任务完成后甲工程队整治河道x米，乙工程队整治河道y米．
由题意得： ，②整理得：3x+2y=480③，
③-①×2得：x=120，把x=120代入①得：y=60，
方程组的解为 ，
答：甲工程队整治河道120米，乙工程队整治河道60米．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程
组是解题的关键．
24．（2022·江苏·七年级专题练习）先阅读下面材料，再完成任务：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的
值，如以下问题：
已知实数 ， 满足 ，……①， ，……②，求 和 的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得 ， 的值再代入欲求值的代数式得到
答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题
还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得 ，由①＋②×2可得
，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”
解决问题：（1）已知二元一次方程组 ，则 ______， ______；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39
支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数 ， ，定义新运算： ，其中 ， ， 是常数，等式右边
是通常的加法和乘法运算．已知 ， ，那么 ______．
【答案】（1）-1；1；（2）30元；（3）-11
【分析】（1）①+②，可得出 的值，①-②，得 的值；
（2）设购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本分别使用 元、 元、 元，根据“买20支
铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记木共需58元”
列出方程组，再根据方程组的特征求出 ，进一步可求出 ；
（3）根据新定义，将数值代入新定义里，列方程组求解即可得出答案．
【详解】（1）解：
①+②，得 ；
①-②，得 ；故答案为：-1，1；
（2）设购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本分别使用 元、 元、 元，根据题意，得：
①×②－②得 ∴ （元）
答：5本日记本共需30元．
（3）
① ② 得 ∴ ．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，熟练读懂题干中的“整体思想”是解题的关
键．
25．（2021·浙江·七年级期末）第二波疫情爆发后，某公司购买了150吨物资打算运往河
北支援，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆汽车的运载能力和运费如表所示：（假设
每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量
5 8 10
（吨/辆）
汽车运费（元/辆） 1000 1200 1500
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费26000元，问分别需甲、乙两种车型
各多少辆?
（2）若该公司决定用甲、乙、丙三种汽车共20辆同时参与运送，请你写出可能的运送方
案，并帮助该集团找出运费最省的方案（甲、乙、丙三种车辆均要参与运送）．
【答案】（1）需甲种车型14辆，需乙种车型10辆；（2）见解析【分析】（1）设需甲车x辆，乙车y辆，根据运费26000元，总吨数是150吨，列出方程
组，再进行求解即可；（2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根
据x、y、z均为正整数，求出x，y的值，从而得出答案．
【详解】解：（1）设需甲种车型 辆，乙种车型 辆，
由题意得： ，解得： ，
答：需甲种车型14辆，需乙种车型10辆；
（2）设需甲车型 辆，乙车型 辆，丙车型 辆，
由题意得： ，消去 得： ， ，
甲、乙、丙三种车型都参与运送， 、 、 是正整数，且不大于18，得 ，10，
解得： ， ， 有两种运送方案：
①甲车型4辆，乙车型5辆，丙车型9辆；
②甲车型2辆，乙车型10辆，丙车型6辆；
应该是甲车型4辆，乙车型5辆，丙车型6辆；
或甲车型2辆，乙车型10辆，丙车型3辆；
两种方案的运费分别是：① （元 ，
② （元 ，
， 甲车型2辆，乙车型10辆，丙车型6辆，运费最省．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用；找出等量关系，
列出方程组是解题的关键．
26．（2021·上海闵行·七年级期末）在平面直角坐标系 中，点 ，点 ，
点 ．
（1） 的面积为______；（2）已知点 ， ，那么四边形 的面积为______．
（3）奥地利数学家皮克发现了一类快速求解格点多边形的方法，被称为皮克定理：如果用
m表示格点多边形内的格点数，n表示格点多边形边上的格点数，那么格点多边形的面积S
和m与n之间满足一种数量关系．例如刚刚求解的几个多边形面积中，我们可以得到如表
中信息：
形内格点数m 边界格点数n 格点多边形面积S
6 11
四边形 8 11
五边形
20 8
根据上述的例子，猜测皮克公式为 ______（用m，n表示），试计算图②中六边形
的面积为______（本大题无需写出解题过程，写出正确答案即可）．
【答案】（1）10.5；（2）12.5；（3）10.5，12.5，23； ；30
【分析】（1）画出图形，根据三角形的面积公式求解；（2）画出图形，利用割补法求解；
（3）设S=am+bn+c，其中a，b，c为常数，根据表中数据列方程组求出a，b，c，然后根
据公式即可求出六边形 的面积．
【详解】（1）如图1， 的底为7，高为3，所以面积为 ，故答案为：
10.5；
（2）如图2， ，故答案为：
12.5；
（3）由（1）、（2）可填表格如下：
形内格点数m 边界格点数n 格点多边形面积S
6 11 10.5四边形 8 11 12.5
五边形
20 8 23
设S= am+bn+c，其中a，b为常数，由题意得
，解得 ，∴皮克公式为 ，
∵六边形 中，m=27，n=8，∴六边形 的面积为 =30．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，三角形的面积，三元一次方程组的应用等知识，
解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
