文档内容
第八章 实数
01 思维导图
目录
【易错题型】.................................................................................................................................................................1
易错题型一 平方根、算术平方根、立方根概念的区别........................................................................................1
易错题型二 二重求一个数的平方根或算术平方根................................................................................................3
易错题型三 算术平方根的整数部分和小数部分....................................................................................................5
易错题型四 实数的大小比较.....................................................................................................................................7
易错题型五 程序设计与实数运算............................................................................................................................9
【压轴题型】...............................................................................................................................................................12
压轴题型一 实数与数轴...........................................................................................................................................12
压轴题型二 平方根、算术平方根、立方根的综合..............................................................................................16
压轴题型三 算术平方根有关的规律探究问题......................................................................................................20
压轴题型四 新定义下的实数运算..........................................................................................................................25
压轴题型五 与实数运算相关的规律题..................................................................................................................33
02 易错题型
【易错题型】
易错题型一 平方根、算术平方根、立方根概念的区别
例题：下列说法正确的是（ ）
A． 的平方根是 B． 是9的平方根
C．25的算术平方根是 D．负数没有立方根
巩固训练
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．负数没有平方根 B．64的立方根是4
C．算术平方根等于它本身的数只有0和1D．9的平方根是 ，用式子表示的是
2．下列说法中不正确的是（ ）
A．10的平方根是 B．8是64的一个平方根
C． 的立方根是 D． 的算术平方根是
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学科网（北京）股份有限公司3．下列说法正确的有（ ）
①正数的两个平方根的和等于0；②实数都有一个立方根；
③平方根与立方根相等的数有0和1；
④ 的算术平方根是3；⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数．
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤
易错题型二 二重求一个数的平方根或算术平方根
例题： 的平方根是 ．
巩固训练
1． 的算术平方根是 ．
2．64的算术平方根是 ， 的平方根是 ．
3．若 ，则 的算术平方根为 ．
4． 的算术平方根是 ， 的算术平方根是 ．
5． 的算术平方根是 ； 的平方根是 ．
易错题型三 算术平方根的整数部分和小数部分
例题：已知 的整数部分是 ，小数部分是 ，则 ， ．
巩固训练
1．若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 ， ．
2． 的整数部分是 ．小数部分是 ．
3．已知 是 的整数部分， ，则 的平方根是 ．
4．已知 的算术平方根是5， 的平方根是 ，c是 的整数部分，求 的平方根．
易错题型四 实数的大小比较
例题：比较大小：
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学科网（北京）股份有限公司（1） （2） （3）
巩固训练
1．比较大小： ．
2．比较大小： （填“ ”，“ ”或“=”）
3．比较大小： ．
易错题型五 程序设计与实数运算
例题：如图，是一个数值转换器，其工作原理如图所示．
当输入的x值为 时，则输出的y值为 ．
巩固训练
1．如图，输入 ，则输出的值为 ．
2．如图为一个数值转换器．当输入的x值为81时，输出的y值为 ；当输入的x值为
后，经过三次取算术平方根运算，输出的y值为 ．
3．如图所示的是一个数值转换器．
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学科网（北京）股份有限公司（1）当输入 值后，经过两次取算术平方根运算，输出的 值为 时，输入的 值为 ；
（2）若输入有效的 值后，始终输不出 值，所有满足要求的 的值为 ．
03 压轴题型
【压轴题型】
压轴题型一 实数与数轴
例题：实数 在数轴上的对应点位置如图所示，化简：
．
巩固训练
1．如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，表示1和 的对应点分别为A，B，点B到点A的距离与点
C到原点O的距离相等．
(1)求点C所表示的数；
(2)若点C表示的数为m；求 的平方根．
2．实数 在数轴上的位置如图所示，化简代数式
3．实数 在数轴上对应点 的位置如图所示，若 ．
(1)求 的值；
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学科网（北京）股份有限公司(2)求 的平方根．
4．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示 ，设点B所表示的数为
m．
(1) ；
(2)求 的值；
(3)在数轴上还有点C表示实数c，且A与C的距离比A与B的距离多 ，求点C表示的实数c．
5．已知， ，
(1)若 ，则 ______， ______；
(2)根据如图所示的条件，化简 ；
(3)若 ，且m为整数，n为 的小数部分，求A的值．
压轴题型二 平方根、算术平方根、立方根的综合
例题：已知 的算术平方根是3， 的立方根是 ，求：
(1) ， 的值；
(2) 的平方根．
巩固训练
1．已知 的立方根为3．
(1)求 的平方根；
(2)填空： 的算术平方根是________．
2．已知 的算术平方根是3， 的立方根是4，求：
(1)a、b的值；
(2) 的平方根．
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学科网（北京）股份有限公司3．已知a的算术平方根为3，ab的立方根为 ，b和c是互为相反数．
(1)求a、b、c的值；
(2)求 的平方根．
4．已知 表示9的算术平方根， 的立方根是2，d是 的小数部分．
(1)求a、b、c、d的值；
(2)求 的平方根．
压轴题型三 算术平方根有关的规律探究问题
例题：探究发散：
(1)完成下列填空
① 3 ，② 0.5 ，③ ______，
④ 0 ，⑤ ，⑥ ______．
(2)根据上述计算结果，回答： 一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：
______．
(3)利用你发现的规律完成下题：有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示．
化简：
巩固训练
1．观察表格并回答下列问题．
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 1 100 …
(1)表格中 ________， ________．
(2)①已知 ，则 ________；
②已知 ， ，求 的值．
2．观察下列一组算式的特征，并探索规律：
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学科网（北京）股份有限公司① ；
② ；
③ ；
④ ；
⑤ ．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
(1) _______；
(2)简便计算： ．
3．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图1是2024年10月份的日历，我们选择其中被
框起来的部分，将每个框中三个位置上的数按如下方式计算：
，
，
不难发现，结果都是7．
(1)请你类比上述算法，计算图2与图3中被框起来部分，你有什么发现？
发现图2计算结果为______；图3计算结果为______．
(2)请你类比上述材料，用含n的式子表示图2的规律，并加以说明．
4．先观察下列等式，再回答问题：第一个等式 ；第二个等式
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学科网（北京）股份有限公司；第三个等式 ．
(1)根据上述三个等式提供的信息，请你猜想第五个等式；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）；
(3)对于任何实数a， 表示不超过a的最大整数，如 ， ，计算：
的值．
压轴题型四 新定义下的实数运算
例题：定义：若无理数 的被开方数（ 为正整数）满足 （其中 为正整数），则称
无理数 的“共同体区间”为 ．例如：因为 ，所以 的“共同体区间”为 ．
请回答下列问题：
(1) 的“共同体区间”为________；
(2)若无理数 的“共同体区间”为 ，求 的“共同体区间”；
(3)若整数 ， 满足关系式： ，求 的“共同体区间”．
巩固训练
1．当 ， 都是实数，且满足 ，就称点 为“友好点”．
(1)判断点 是否为“友好点”，并说明理由；
(2)若点 是“友好点”，且 ， 为有理数，求 ， 的值．
2．我们规定用 表示一个数对，给出如下定义：记： ， ，将 和 称为
数对 的一对“开方对称数对”．
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学科网（北京）股份有限公司例：数对 的开方对称数对为 和
(1)数对 的开方对称数对为________和________；
(2)若数对 的一个开方对称数对是 ，则 ________；
(3)若数对 的一个开方对称数对是 ，求 的值．
3．对于两个不相等的实数a，b，定义新的运算如下： ，如 ，
，如 ．
请你计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
4．给出定义如下：若点 满足 ，（ ， ），则称这个点为“秀点”如：
，故点 是“秀点”．
(1)点 ，点 ，点 中，是“秀点“的是 ；
(2)若点 是“秀点”，求 的值；
(3)是否存在点 ，使点 是“秀点”，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
5．定义：把形如 与 为有理数且 ， 为正整数且开方开不尽 的两个实数称为共
轭实数．
(1)请你举出一对共轭实数：_________________；
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学科网（北京）股份有限公司(2) 与 ______共轭实数， 与 ______共轭实数； 在横线上填“是”或“不是”
(3)共轭实数 ， 是有理数还是无理数？为什么？
(4)【变式】若有理数 ， 满足 ，则 ______．
(5)你发现共轭实数 与 的和、差有什么规律？
压轴题型五 与实数运算相关的规律题
例题：（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）将一组数 ， ，3， ， ，… 按如图所示
的方法进行排列，若 的位置记为(1,4)， 的位置记为(2,3)，则这组数中最大的有理数的位置记
为 ．
巩固训练
1．（23-24八年级下·河南许昌·期末）观察下列等式：
① ；② ；③
(1)类比上述等式，写出第④个等式：
(2)观察这类等式的规律，写出你猜想的第 个等式： （用含 的等式表示， 为正整数），并给出证
明．
2．（23-24八年级下·山东聊城·期末）观察下列各式：
；
；
；
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学科网（北京）股份有限公司请你根据上面三个等式反映的规律，猜想：
(1) ______；
(2) ______（n为正整数）；
(3)利用上面的规律计算： ．
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