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【单元测试】2022-2023学年七年级数学下册分层训练AB卷（人教版）
【单元测试】第八章 二元一次方程组
（A 卷·知识通关练）
班级 姓名 学号 分数
核心知识1. 二元一次方程组
一、选择题（共3小题）
1．（2023春·江苏·七年级单元测试）下列方程组是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用二元一次方程组的定义逐一判断即可解题．
【详解】解：A. 方程组含有3个未知数，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
B.有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
C.有一个方程的次数是2，不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；
D．此方程组是二元一次方程组，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的定义，理解二元一次方程组的定义是解题的关键．
2．（2023春·四川内江·七年级校考期末测试）下列方程中，二元一次方程的个数为（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】先判断选项中方程是否含有两个未知数并且未知数的次数都是1用排除法求出答案．
【详解】解：① 属于二元二次方程，故不符合题意；
② 符合二元一次方程的定义，故符合题意；
③ 不属于整式方程，故不符合题意；
④ 属于二元二次方程，故不符合题意；
⑤ 符合二元一次方程的定义，故符合题意；
⑥ 属于三元一次方程，故不符合题意．
故选 ．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的概念，解题过程中需要注意的是熟练掌握二元一次方程的形式
和特点：含有2个未知数以及未知数的次数都是1的整式方程．
3．（2023春·北京通州·七年级校考期末测试）已知 ， 是关于x，y的二元一次方程 的
解，则k，b的值是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】C
【分析】根据二元一次方程解的定义把 ， 分别代入二元一次方程 中得到关于k、b的
方程组，解方程组即可得到答案．【详解】解：∵ ， 是关于x，y的二元一次方程 的解，
∴ ，
解得 ，
故选C．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解是使方程左右两
边相等的未知数的值是解题的关键．
二、填空题（共3小题）
4．（2023春·四川内江·七年级校考期末测试）若 是关于x、y的二元一次方程 的正整数解，
则 的值为__________．
【答案】4或5或6．
【分析】根据题意求出a、b，然后代入求解即可．
【详解】解：∵ 是关于x、y的二元一次方程 的正整数解，
∴ ，且a、b为正整数，
∴符合条件的整数解为：
或 或
∴ 或 或 ，
故答案为：6或5或4．【点睛】本题考查二元一次方程的解、代数式求值；理解二元一次方程的解，正确求出a，b值是解答的关
键．
5．（2023春·山东济南·七年级校考期末测试）若关于x的方程 是二元一次方程，则
______．
【答案】
【分析】直接利用二元一次方程的定义进而分析得出答案．
【详解】解：根据题意得， 且 ，
所以 ．
故答案为： ．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
6．（2023春·内蒙古鄂尔多斯·九年级校联考期末测试）已知下列命题：①若 ，则 ；②2022年
全年鄂尔多斯市一般公共预算累计完成 亿元，用科学记数法表示为 元；③二元一次方程
的正整数解有3对；④连接两点之间的线段叫做两点之间的距离．是真命题的是____________．
（只填序号）
【答案】②
【分析】根据有理数乘方计算法则即可判断①；根据科学记数法即可判断②；求出方程的正整数解即可判
断③；根据两点之间的距离的定义即可判断④．
【详解】解：①若 ，则 ，是假命题；
②2022年全年鄂尔多斯市一般公共预算累计完成 亿元，用科学记数法表示为 元，是真命
题；③∵ ，
∴ ，
∵x、y都是正整数，
∴ 也是正整数，
∴当 ， ；当 时， ，
∴二元一次方程 的正整数解有2对，是假命题；
④连接两点之间的线段的长度叫做两点之间的距离，是假命题；
故答案为：②．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，有理数的乘方计算，科学记数法，二元一次方程的解，两点之间
的距离等等，熟知相关知识是解题的关键．
三、简答题（共1小题）
7．（2023春·山东东营·七年级东营市东营区实验中学校考期末测试）用适当的方法解下列方程组：
(1) ；
(2) ．
(3) ；
(4) ．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可；
（3）利用代入消元法求解即可；
（4）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解： ，
得： ，
解得： ，代入 中，
解得： ，
∴所以原方程组的解为 ；
（2） ，得： ，
解得： ，代入 中，
解得： ，
∴所以原方程组的解为 ；
（3） ，
由 得： ，代入 中，
得： ，
解得： ，
代入 中，
解得： ，
∴所以原方程组的解为 ；
（4）方程组整理得： ，
得： ，
解得： ，代入 中，
解得： ，∴所以原方程组的解为 ．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系
数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．
核心知识2．消元——解二元一次方程组
一、选择题（共3小题）
1．（2023春·江苏·七年级单元测试）下列选项为二元一次方程组 的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用加减消元法解二元一次方程即可选择．
【详解】解： ，
① ，得 ③，
② ③，得 ，
解得 ，
将 代入①得， ，
∴原方程组的解为 ，
故选： ．【点睛】本题考查了二元一次方程的解法，掌握加减消元思想是解题的关键．
2．（2023春·福建泉州·七年级石狮市第一中学校考期末测试）关于x，y的二元一次方程
，当a取一个确定的值时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，则
这个公共解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如果当a取一个确定的值时就得到一个方程，这些方程有一个公共解，说明无论a取何值，都不
影响方程，即含a的项的系数相加为0．
【详解】解：方程整理为 ，
即 ．
根据题意，即可得
，
用加减消元法解得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，应注意思考：由于a可取任何数，要想让当a取一个确定的值
时就得到一个方程，所有这些方程有一个公共解，就需让含a的项的系数相加为0，此时即可得到关于x
和y的方程组．
3．（2023春·全国·七年级单元测试）用代入法解方程组 ，下列解法中最简便的是（ ）A．由①得 代入② B．由①得 代入②
C．由②得 代入① D．由②得 代入①
【答案】C
【分析】根据用代入法解二元一次方程组分析研究即可．
【详解】解：由于两方程中只有②中未知数的系数最小，
故可把②变形为用 表示 的形式，再代入①求解．
故选：C．
【点睛】本题考查代入法解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法代入法是解题的关键．
二、填空题（共3小题）
4．（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考期末测试）若 是关于 ， 的方程 的一
个解，则 的值为______．
【答案】
【分析】把 代入方程 求出m，即可．
【详解】解：把 代入方程 ，得： ，
解得： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，属于基本题型，熟练掌握二元一次方程的解的概念是解题的关键．
5．（2023春·河南周口·七年级统考期末测试）已知 ，则 __________，______．
【答案】 3 4
【分析】根据2次方的非负性和绝对值的非负性进行解答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：3；4．
【点睛】本题主要考查了2次方和绝对值的非负性，解题的关键是根据非负性的性质，列出关于x、y的方
程．
6．（2023春·全国·七年级单元测试）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，
则 的值为 ______ ．
【答案】 ## ##1.5
【分析】求得原方程组的解，再将方程组的解代入 ，得到关于 的方程，解方程即可得出结论．
【详解】解： ，
① ② 得：
，
，① ②得：
，
，
原方程组的解为： ．
关于 ， 的二元一次方程组 的解满足 ，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解
题的关键．
三、简答题（共1小题）
7．（2023春·七年级期末测试）阅读材料：善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种
“整体代入”的解法：
解：由①得
将③代入②得： ，即
把 代入③得 ，∴方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程 ．
【答案】
【分析】按照阅读材料提供的“整体代入”法把方程将①代入方程②，得到 ，解得 再将
代入①得： ，即可得出答案．
【详解】解： ，
将①代入②得： ，即 ，
将 代入①得： ，
∴原方程组的解为： ．
【点睛】本题主要考查了特殊法解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握“整体代入”法，将一个
代数式作为一个整体代入另一个方程．
核心知识3．实际问题与二元一次方程组
一、选择题（共3小题）
1．（2023春·浙江·九年级期末测试）小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她
跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200
米/分钟，设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意列方程组（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意列二元一次方程组即可．
【详解】解：由题意得：
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理清题目中的数量关系是解题关键．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考期末测试）如图，两根铁棒直立于桶底水平
的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的 ，另一根露出水面的长度是它的 ，若两根铁
棒长度差为 ，下列说法：
①两根铁棒的长度和为 ；②其中一根铁棒长度为 ；
③两根铁棒的长度和为 ；④其中一根铁棒露出水面的长度为 ．
其中说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B
【分析】设较长铁棒的长度为 ，较短铁棒的长度为 ，因为两根铁棒之差为 ，故可得方程：
，又知两棒未露出水面的长度相等，又可得方程 ，把两个方程联立，组成方程组，解方
程组可得两根铁棒的长度，再逐项判断即可．
【详解】解：较长铁棒的长度为 ，较短铁棒的长度为 ，由题意得：
解得， ，
∴较长铁棒的长度为 ，较短铁棒的长度为 ，故②正确；
∴两根铁棒的长度和为 ，故①正确，③不正确；
∴较长铁棒露出水面的长度为 ，较智囊铁棒露出水面的长度为 ，故④正确，
因此正确的结论是①②④，共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程
组求解．
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考期末测试）用1块A型钢板可制成2块C型
钢板、1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板、2块D型钢板．现需18块C型钢板，21块D
型钢板，可恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？设用A型钢板x块，B型钢板y块，可列方程组为
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】根据现需18块C型钢板，21块D型钢板，列出方程组即可．
【详解】解：设用A型钢板x块，B型钢板y块，由题意，得：
，
故选A．
【点睛】本条考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，列出方程组，是解题的关键．
二、填空题（共3小题）
4．（2023春·福建泉州·七年级石狮市第一中学校考期末测试）如图，在大长方形ABCD中，放入8个小长
方形，则图中阴影部分面积为______多少平方厘米．
【答案】53
【分析】设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，观察图形，根据小长方形长与宽之间的关系，可得出关
于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值；再利用阴影部分的面积=大长方形的面积 小长方
形的面积，即可求出结论．
【详解】解：设小长方形的长为x厘米，宽为y厘米，
依题意，得： ，
解得： ，∴图中阴影部分面积为 （平方厘米）．
答：图中阴影部分面积为53平方厘米．
故答案为：53．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．（2023春·浙江杭州·九年级校考期末测试）《九章算术》是中国古代《算经十书》最重要的一部，标志
中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出
八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？意思是说：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余
3元；每人出7元，则还差4元．问共有多少人？ 设有x人，则根据题意可列方程_____________．
【答案】
【分析】根据物品的价格不变，列出方程即可．
【详解】解：设有x人，依题意，得： ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．准确的找到等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键．
6．（2023春·河南周口·七年级统考期末测试）如图，由8个大小相同的长方形拼成的大长方形的周长为
，则每个小长方形的面积为_______ ．
【答案】15
【分析】设每块小长方形的长为 ，宽为 ，则由图形再结合周长为 ，可列出二元一次方程组，
解出长和宽，然后相乘即可得每个小长方形的面积．
【详解】解：设每块小长方形的长为 ，宽为 ，由题意得：，
解得 ，
∴每块小长方形的面积是： ．
故答案为：15．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
三、简答题（共1小题）
7．（2023春·四川内江·七年级校考期末测试）麦麦蛋糕店准备促销“葡式蛋挞”和“香草泡芙”，已知
“葡式蛋挞”的成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”的成本为12元/份，售价为24元/份，第
一天销售这两种蛋糕共136份，获利1438元．
(1)求第一天这两种蛋糕的销量分别是多少份；
(2)经过第一天的销售后，这两种蛋糕的库存发生了变化，为了更好的销售这两种蛋糕，店主决定把“葡式
蛋挞”的售价在原来的基础上增加 ，“香草泡芙”的售价在原来的基础上减少 ，“葡式蛋挞”的
销量在原来的基础上减少了12份，“香草泡芙”的销量在原来的基础上增加了31份，但两种蛋糕的成本
不变，结果获利比第一天多 元．求 的值．
【答案】(1)第一天这两种蛋糕的销量分别是97份，39份
(2)
【分析】（1）设第一天这两种蛋糕的销量分别是x份，y份，再根据第一天销售这两种蛋糕共136份，获
利1438元，列出方程组求解即可；
（2）根据利润 （售价 成本） 数量列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设第一天这两种蛋糕的销量分别是x份，y份，由题意得， ，
解得 ，
∴第一天这两种蛋糕的销量分别是97份，39份，
答：第一天这两种蛋糕的销量分别是97份，39份
（2）解：由题意得， ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量
关系是解题的关键．
