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8.1 二元一次方程组
考点一：二元一次方程的概念
含有两个未知数,并且未知数的指数都是 1 的方程叫做二元一次方
程。
考点二：二元一次方程的解
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程
的解。二元一次方程的解有无数个，可以理解为在一条直线上的点
的坐标。
考点三：二元一次方程组
把含有两个未知数的两个一次方程合在一起，就组成一个二元一次
方程组。即两个二元一次方程组成的方程组称二元一次方程组。
（两个方程中的未知数相同）
技巧归纳：二元一次方程组的特点：
1.有两个未知数.(二元)
2.含未知数的指数都为1.(一次)
3.两个一次方程组成.(方程组)
考点四：二元一次方程组的解
二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解。二
元一次方程组的解只有一个，可以理解为两条直线相交点的坐标。
题型一：二元一次方程的概念理解1．（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）下列方程中，二元一次方程的
个数为（ ）
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】先判断选项中方程是否含有两个未知数并且未知数的次数都是1用排除法求出答
案．
【详解】解：① 属于二元二次方程，故不符合题意；
② 符合二元一次方程的定义，故符合题意；
③ 不属于整式方程，故不符合题意；
④ 属于二元二次方程，故不符合题意；
⑤ 符合二元一次方程的定义，故符合题意；
⑥ 属于三元一次方程，故不符合题意．
故选 ．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的概念，解题过程中需要注意的是熟练掌握二元
一次方程的形式和特点：含有2个未知数以及未知数的次数都是1的整式方程．
2．（2023春·全国·七年级专题练习）方程 是关于x、y
的二元一次方程，则（ ）
A． ； B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式
方程，进行解答即可．
【详解】解：∵ 是关于x、y的二元一次方程，
∴ ， ， ， ，
解得： ， ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：
①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合
上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）若 是关于x，y的二元一次方程，则
m，n的值分别是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接根据二元一次方程的定义计算即可．
【详解】解：∵ 是关于x，y的二元一次方程，
∴ ，
解得 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程组的定义是解答本题的
关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫
做二元一次方程．二元一次方程必须符合以下三个条件：①方程中只含有2个未知数；②
含未知数项的最高次数为一次；③方程是整式方程．
题型二：二元一次方程的解
4．（2023春·全国·七年级专题练习）下列二元一次方程，以 为解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把 代入各方程，判断方程是否成立即可．
【详解】解：A．把 代入 得 ，故A选项不符合题意；
B．把 代入 得 ，故B选项不符合题意；
C．把 代入 得 ，故C选项符合题意；
D．把 代入 得 ，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念：使方程两边
左右相等的未知数的值．
5．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知 是方程 的解，那么 （
）
A． B． C．4 D．6
【答案】C
【分析】直接将方程的解代入计算即可．【详解】∵ 是方程 的解，
∴ ，
解得 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，理解定义是解题的关键．
6．（2023春·海南海口·七年级海口市第十四中学校考阶段练习）二元一次方程
的一个解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分别将选项中的解代入方程，使等式成立的即是它的解．
【详解】A选项， 能使方程成立,故该选项正确，符合题意；
B选项， 不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意；
C选项， 不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意；；
D选项， 不能使方程成立，故该选项不正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握，即可解题．
题型三：二元一次方程组的概念
7．（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）在下列方程组中，不是二元一次方程组的是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据由两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组进行判
断即可．
【详解】解：A.是二元一次方程组；
B.是二元一次方程组；
C.是二元一次方程组；
D.不是二元一次方程组；
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握二元一次方程组是由两个共含有两
个未知数，未知数的次数是1，且都是整式的方程组成是解题的关键．
8．（2023·全国·七年级专题练习）下列方程组中，二元一次方程组的个数有（ ）① ② ③ ④ ⑤
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】利用二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组
叫二元一次方程组可得．
【详解】解：① 符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
② 方程组含有二次项xy，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程
组；
③ 方程组含有三个未知数，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方程
组；
④ 方程组含有 ，是分式，因此不符合二元一次方程组的定义，不是二元一次方
程组；
⑤ 符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组；
综上，①⑤是二元一次方程组，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程
组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二元一次方程组的定义（方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都
是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组）逐项判断即可得．
【详解】解：A、 中 的次数是2，则此项不是二元一次方程组，不符合题意；B、 中 是分式，则此项不是二元一次方程组，不符合题意；
C、 中含有三个未知数，则此项不是二元一次方程组，不符合题意；
D、 是二元一次方程组，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，熟记定义是解题关键．
题型四：判断是否是二元一次方程组的解
10．（2023春·全国·七年级专题练习）已知一个二元一次方程组的解是 ，则这个方
程组可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将方程组的解代入各选项的方程，看是否成立即可得出答案．
【详解】A. ， ，故该选项符合题意；
B. ，故该选项不合题意；
C. ，故该选项不合题意；
D. ，故该选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，将方程组的解代入各选项的方程是解题的关键．
11．（2023春·七年级单元测试）下列以 为解的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将解代入方程组的方程，判断是否使方程成立即可．
【详解】解：将 代入 得6-1=5，方程左右两边相等，将 代入 得2×2-3×(-1)=4+3=7，方程左右两边相等，
∴ 是 的解．
故选：A．
【点睛】本题考查了方程组的解，解题的关键是知道二元一次方程组的两个方程的公共解，
叫做二元一次方程组的解．
12．（2022春·山东泰安·七年级统考期中）方程 与下列方程构成的方程组的解
为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将x、y代入选项检验即可得到结论．
【详解】解：将 ， 代入 ，方程成立，
故选：D．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未
知数的值．
题型五：二元一次方程组的解求参数
13．（2023春·七年级课时练习）若 是关于x和y的二元一次方程 的解，则
a的值等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【分析】将方程的解代入方程得到关于a的方程，从而可求得a的值．
【详解】解：将 代入方程 得： ，
解得： ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键．14．（2023春·山东泰安·七年级东平县实验中学校考阶段练习）小亮求得方程组
的解为 ，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请
你帮他找回这两个数，“●”“★”表示的数分别为（ ）
A．5，2 B．5， C．8，2 D．8，
【答案】D
【分析】根据方程的解的定义，把 代入 ，求得 的值，进而求出 的值，
即可得到答案．
【详解】解：∵方程组 的解为 ，
∴把 代入 ，得 ，
解得 ，
把 ， 代入 ，得 ，
即 ，
∴这两个数分别为： 和 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解能够满足各个方程
是解题的关键．
15．（2023春·七年级课时练习）关于x，y的方程组 的解是 其中y的值被
盖住了，不过仍能求出m的值，则m的值是（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【答案】B
【分析】把x=3代入第二个方程求出y的值，即可确定出m的值．
【详解】解：把x=3代入x+y=5得：y=2，
把x=3，y=2代入x+my=7得：3+2m=7，
解得：m=2，
故选B．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未
知数的值．一、单选题
16．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）下列各方程组中，属
于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义，对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A、 有三个未知数，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意；
B、 最高次数为2，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意；
C、 是二元一次方程组，故该选项符合题意；
D、 含有分式，∴不是二元一次方程组，故该选项不合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，有两个未知数，每个含有未知数的项的次数
都是1，并且一共有两个一次方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
7．（2023春·北京东城·七年级北京市第一六六中学校考阶段练习）已知 是二元一
次方程 的解，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 代入二元一次方程 ，得到关于 的一元一次方程，解方程即可
求解．
【详解】解：依题意，
解得：
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解的定义，掌握二元一次方程的解的定义是解题的关
键．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）小明求得方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数 和 ，则这两个数分别为（ ）
A． 和2 B． 和4 C．2和 D．2和
【答案】D【分析】根据方程解得定义，把 代入 可求出x的值，进而求出
的值，即可求出答案．【详解】解：将 代入方程 得： ，
解得： ，
将 代入方程 中，
，即两个数为2和 ．故选：D．
19．（2023春·七年级课时练习）已知关于 、 的二元一次方程组 的解为
，则代数式 的值是（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】将方程组的解代入方程组，得到的两个式子相减即可得到最后代数式的结果．
【详解】解：将 代入原方程组得： ，
① ②得： ，
代数式 的值是2．故选：B．
【点睛】本题考查了已知二元一次方程组的解求参数，将两个式子相减得到所需代数式是
解题关键．
20．（2023春·湖南常德·七年级校考阶段练习）若 是方程 的一个解，则k
的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】把 代入方程 中，解方程即可求解．
【详解】解：把 代入方程 中，得
，解得 ．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用方程的解求参数的方法，熟练掌握和运用利用方程的解求参数的
方法是解决本题的关键．21．（2023春·七年级课时练习）已知 是方程组 的解，求a，b的值．
【答案】
【分析】将 代入方程组 中即可得出答案．
【详解】解：将 代入方程组 ，得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组的解即为使方程组中每个方程
左右两边相等的未知数的值．
22．（2022春·陕西渭南·七年级统考期末）已知 是二元一次方程组 的解，
求 的平方根．
【答案】
【分析】将x和y的值代入原方程，得到关于a和b的方程组，求出a和b的值即可．
【详解】解：把 代入二元一次方程组 ，
得： ，解得： ．
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解以及平方根，解题的关键是求出a和b的值．一、单选题
23．（2023春·海南海口·七年级海口市第十四中学校考阶段练习）已知关于 x、y 的二元
一次方程组 的解是 ，则 的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】将 代入方程求出a、b的值，再进一步代入计算可得结果．
【详解】解：将 代入方程，得： ，
由①，得： ，
由②，得： ，
∴ ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，
要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的
字母系数．
24．（2023春·七年级课时练习）已知关于 的方程 有正整数解，则整数
的所有可能的取值的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接解方程，根据方程有正整数解，并且a为整数求出可能的取值，相加即可．
【详解】解： ，
则 ，
∴ ，
若 ，则 不成立，
若 ，则 ，
∵ 有正整数解，
∴a的取值为0， ， ， ，
∴ ，
故选D．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，二元一次方程的解，正确掌握相关定义是解题关键．
25．（2023春·七年级课时练习）小亮求得方程组 的解为 ，由于不小心，
滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数，“●”“★”表示
的数分别为（ ）
A．5，2 B． ，2 C．8， D．5，4
【答案】C
【分析】根据方程的解的定义，把 代入 ，求得 的值，进而求出●的值，
即可得到答案．
【详解】解：把 代入 ，可得 ，
解得 ，
把 ， 代入可得 ，
则“●”“★”表示的数分别为8， ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解能够满足各个方程
是解题的关键．
26．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 的
解相等，则n的值是（ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】把 代入方程组中进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得： ，
解②得： ，
把 代入①得： ，
解得： ，
∴故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键．
27．（2023春·七年级课时练习）按如图的运算程序，能使输出结果为3的x，y的值是（
）A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据题意列出关于 、 的方程，再把各选项代入进行验证即可．
【详解】解：由题意得， ，
A．当 ， 时，左边 右边，故本选项错误；
B．当 ， 时，左边 右边，故本选项错误；
C．当 ， 时，左边 右边，故本选项错误；
D．当 ， 时，左边 右边，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程，熟知解二元一次方程的一般步骤是解答此题的关
键．
28．（2023春·七年级课时练习）我们知道方程组 的解是 ，现给出另一
个方程组 ，它的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意被求方程组中 即相当于原方程组中x、被求方程组中 即相当
于原方程组中的y，据此可得关于x、y的新方程组，解之可得．
【详解】解：根据题意知 ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是根据已知方程组和所求方程组
间的联系，并据此得出关于x、y的新方程组．
二、填空题29．（2023春·吉林长春·七年级东北师大附中校考阶段练习）方程 是关于 ，
的二元一次方程，则 的值为______．
【答案】3
【分析】根据二元一次方程的定义可得 ，进一步即可求出结果．
【详解】解：根据题意，得 ，
解得： ，
所以 ；
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二元一次方程的概念，含有两个未知数，并且未知数的次数都是1的
整式方程叫做二元一次方程，熟知二元一次方程的定义是解题的关键．
30．（2023春·湖南长沙·七年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）已知 是二
元一次方程 的一个解，则代数式 的值是_________．
【答案】
【分析】根据 是二元一次方程 的一个解，得到 ，利用整体思想
代入代数式求值即可．
【详解】解：∵ 是二元一次方程 的一个解，
∴ ，
∴
；
故答案为： ．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握二元一次方程的解是使等式
成立的未知数的值，利用整体思想代入求值，是解题的关键．
31．（2023春·湖南岳阳·七年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）若 是二元一次
方程 的一个解，则 的值为______________．
【答案】
【分析】先将方程的解代入方程，求出 ，再整体代入求值即可．
【详解】解：将 代入方程可得， ，
∴原式== ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解和代数式求值，解题关键是运用整体代入的思想方
法．
32．（2023春·七年级单元测试）若 是关于x、y的二元一次方程 的解，则
______．
【答案】7
【分析】把x与y的值代入方程计算得到 的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【详解】解：由题意得， ．
则 ．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题
的关键．
33．（2023春·全国·七年级专题练习）若 是二元一次方程 的一个解，则
的值为______．
【答案】
【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于 ， 的方程，可得整体代数
式的值，再代入代数式 可得答案．
【详解】解：∵ 是二元一次方程 的一个解，
∴代入得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了本题考查了二元一次方程的解，求解代数式的值，掌握方程解的定义
是解题的关键．
34．（2022秋·广西梧州·七年级校考期中）已知 是二元一次方程组 的解，
则 的值是______．
【答案】4
【分析】把x与y的值代入方程组求出m与n的值，即可求出 的值．
【详解】解：把 代入方程得： ，解得： ，
则 ．
故答案为：4．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未
知数的值．
三、解答题
35．（2023春·七年级课时练习）关于 ， 的二元一次方程组 ， ， 是常
数）， ， ．
(1)当 时，求c的值；
(2)若a是正整数，求证：仅当 时，该方程有正整数解．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）将 ， 值代入方程，得到关于 ， ， 的方程求解．
（2）先表示方程的解，再确定 ．
【详解】（1）解： 代入方程得： ，
， ，
， ，
．
；
（2）证明：由题意，得 ，
整理得， ①，
、 均为正整数，
是正整数，
是正整数，
是正整数，
，
把 代入①得， ，
，此时， ， ， ，方程的正整数解是 ．
仅当 时，该方程有正整数解．
【点睛】本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键．
36．（2022秋·重庆·七年级重庆市杨家坪中学校考期中）定义：对任意一个两位数 ，如
果 满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“互异数”．
将一个“互异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与
原两位数的和与11的商记为 ．例如： ，对调个位数字与十位数字得到新两位
数21，新两位数与原两位数的和为 ，和与11的商为 ，所以 ．
根据以上定义，回答下列问题∶
(1)下列两位数30，52，77中，“互异数”为 ； ________．
(2)若“互异数” 满足 ，求所有“互异数” ．
【答案】(1)52，6
(2)14或23或32或41
【分析】（1）根据题目中“互异数”的定义进行判断；再根据 的定义计算即可；
（2）设“互异数”b的个位数字为x，十位数字为y，根据题目中“互异数”的定义列式求
出 ，即可得到所有“互异数”b的值；
【详解】（1）解：由“互异数”的定义得，两位数30，52，77中，“互异数”为52，
，
故答案为：52，6；
（2）解：设“互异数”b的个位数字为x，十位数字为y，
则 ，
整理得： ，
∴ 或 或 或 ，
∴所有“互异数”b的值为14或23或32或41．
【点睛】本题考查了新定义、二元一次方程的整数解、整式的加减运算，解答本题的关键
是理解新定义及其运算方法．
37．（2023春·浙江·七年级阶段练习）我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和
常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现
代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个表的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组 可以写成矩阵 的形式．例如： 可以写成矩阵
的形式．
(1)填空：将 写成矩阵形式为： ；
(2)若矩阵 所对应的方程组的解为 ，求a与b的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意中的定义将方程组转换为： ，按照定义即可写出矩阵；
（2）根据矩阵形式写成方程组的形式，将题目告知的解 代入方程组，解得系数a、
b．
【详解】（1）解：整理方程得， ，
因此矩阵形式为： ；
（2）根据矩阵形式得到方程组为： ，
将 代入上述方程得， ，
解得： ．
【点睛】本题是二元一次方程组求解题，解题关键在于正确理解题意并计算．
38．（2023春·七年级课时练习）已知方程组 ，由于甲看错了方程①中的a
得到方程的解为 ，乙看错了方程②中的b得到方程组的解为 ，求a+b的值
是多少？
【答案】【分析】根据方程组解的定义， 应满足方程②， 应满足方程①，将它们分
别代入方程②①，就可得到关于a，b的方程，解得a，b的值．
【详解】解：根据题意 是②方程的解， 是①方程的解，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
