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七年级下册数学《第八章 二元一次方程组》
专题 解二元一次方程组（计算题 50 题）
题型一 用代入法解方程组（10 题）
1．用代入法解下列方程组：
{ x−y=4， { x−y=2，
（1） （2）
3x+ y=16； 3x+5 y=14．
{ x−y=4①
【分析】（1） ，由①得：x＝y+4，代入②得：3（y+4）+y＝16，即可求出y的值，则
3x+ y=16②x的值也就迎刃而解了；
{ x−y=4①
（2） ，由①得：y＝x﹣2，代入②得：3x+5（x﹣2）＝14，即可求出x的值，则y的
3x+5 y=14②
值也就可以求出了．
{ x−y=4①
【解答】解：（1） ，
3x+ y=16②
由①得：x＝y+4，
代入②得：3（y+4）+y＝16，
解得y＝1．
将y＝1代入x＝y+4中得x＝5，
{x=5
故方程组的解为： ；
y=1
{ x−y=4①
（2） ，
3x+5 y=14②
由①得：y＝x﹣2，代入②得：3x+5（x﹣2）＝14，
解得x＝3．
将x＝3代入y＝x﹣2，得y＝1．
{x=3
故方程组的解为： ．
y=1
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是掌握代入法解方程．
2．用代入法解下列方程组：
{2x−y=3 { u+v=10
（1） ； （2） ．
3x+2y=8 3u−2v=5
【分析】两方程组利用代入消元法求出解即可．
{2x−y=3①
【解答】解：（1） ，
3x+2y=8②
由①得：y＝2x﹣3③，
把③代入②得：3x+2（2x﹣3）＝8，
解得：x＝2，
把x＝2代入③得：y＝4﹣3＝1，
{x=2
则方程组的解为 ；
y=1
{ u+v=10①
（2） ，
3u−2v=5②由①得：u＝10﹣v③，
把③代入②得：3（10﹣v）﹣2v＝5，
解得：v＝5，
把v＝5代入①得：5+u＝10，
解得：u＝5，
{u=5
则方程组的解为 ．
v=5
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3．用代入法解下列方程组：
{ 3x−y=2， {3x−4 y=10
（1） （2）
9x+8 y=17； x+3 y=12.
【分析】（1）由①得出y＝3x﹣2③，把③代入②得出9x+8（3x﹣2）＝17，求出x，再把x＝1代入
③求出y即可；
（2）由②得出x＝12﹣3y③，把③代入①得出3（12﹣3y）﹣4y＝10，求出y，再把y＝2代入③求
出x即可．
{ 3x−y=2①
【解答】解：（1） ，
9x+8 y=17②
由①，得y＝3x﹣2③，
把③代入②，得9x+8（3x﹣2）＝17，
解得：x＝1，
把x＝1代入③，得y＝3×1﹣2，
即y＝1，
{x=1
所以原方程组的解是 ；
y=1
{3x−4 y=10①
（2） ，
x+3 y=12②
由②，得x＝12﹣3y③，
把③代入①，得3（12﹣3y）﹣4y＝10，
解得：y＝2，
把y＝2代入③，得x＝12﹣3×2，
即x＝6，{x=6
所以原方程组的解是 ．
y=2
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
4．用代入法解下列方程组．
{x+2y=4 { x−y=4
（1） ； （2） ．
y=2x−3 4x+2y=−2
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
{x+2y=4①
【解答】解：（1） ，
y=2x−3②
把②代入①得：x+2（2x﹣3）＝4，
解得：x＝2，
把x＝2代入②得：y＝4﹣3＝1，
{x=2
则方程组的解为 ；
y=1
{ x−y=4①
（2）方程组整理得： ，
2x+ y=−1②
①+②得：3x＝3，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：1﹣y＝4，
解得：y＝﹣3，
{ x=1
则方程组的解为 ．
y=−3
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．用代入法解下列方程组：
{5x+4 y=−1.5 {4x−3 y−10=0
（1） （2）
2x−3 y=4 3x−2y=0
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用代入消元法求出解即可．
{5x+4 y=−1.5①
【解答】解：（1） ，
2x−3 y=4②
3 y+4
由②得：x= ③，
215 y+20
把③代入①得： +4y＝﹣1.5，
2
去分母得：15y+20+8y＝﹣3，
移项合并得：23y＝﹣23，
解得：y＝﹣1，
1
把y＝﹣1代入③得：x= ，
2
{ 1
x=
则方程组的解为 2 ；
y=−1
{4x−3 y−10=0①
（2）方程组整理得： 2 ，
x= y②
3
8
把②代入①得： y﹣3y﹣10＝0，
3
去分母得：8y﹣9y﹣30＝0，
解得：y＝﹣30，
把y＝﹣30代入②得：x＝﹣20，
{x=−20
则方程组的解为 ．
y=−30
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
6．用代入法解下列方程组：
{x−y=4
（1） ；
2x+ y=5
{ 3x−y=2
（2） ；
9x+8 y=17
{3x+2y=−8
（3） ．
6x−3 y=−9
【分析】各方程组利用代入消元法求出解即可．
{x−y=4①
【解答】解：（1） ，
2x+ y=5②
由①得：x＝y+4③，
把③代入②得：2（y+4）+y＝5，
解得：y＝﹣1，
把y＝﹣1代入③得：x＝﹣1+4＝3，{ x=3
则方程组的解为 ；
y=−1
{ 3x−y=2①
（2） ，
9x+8 y=17②
由①得：y＝3x﹣2③，
把③代入②得：9x+8（3x﹣2）＝17，
解得：33x＝33，
解得：x＝1，
把x＝1代入③得：y＝3﹣2＝1，
{x=1
则方程组的解为 ；
y=1
{3x+2y=−8①
（3） ，
2x−y=−3②
由②得：y＝2x+3③，
把③代入①得：3x+2（2x+3）＝﹣8，
解得：x＝﹣2，
把x＝﹣2代入②得：﹣4﹣y＝﹣3，
解得：y＝﹣1，
{x=−2
则方程组的解为 ．
y=−1
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
7．用代入法解下列方程组：
{3x+2y=11，①
（1）
x= y+3，②
{4x−3 y=36，①
（2）
y+5x=7，②
{2x−3 y=1，①
（3）
3x+2y=8，②
【分析】（1）将方程②代入方程①进行求解；
（2）将方程②变形为y＝﹣5x+7，再代入方程①进行求解；
2x−1
（3）将方程①变形为y= ，再代入方程②进行求解．
3
【解答】解：（1）将方程②代入方程①得，
3（y+3）+2y＝11，2
解得y= ，
5
2
把y= 代入②得，
5
17
x= ，
5
17
{x=
5
∴该方程组的解为 ；
2
y=
5
（2）将方程②变形为y＝﹣5x+7③，
把③代入①得，
4x﹣3（﹣5x+7）＝36，
解得x＝3，
将x＝3代入③得，
y＝﹣5×3+7，
解得y＝﹣8，
{ x=3
∴该方程组的解为 ；
y=−8
2x−1
（3）将方程①变形为y= ③，
3
2x−1
把③代入②得，3x+2× =8，
3
解得x＝2，
将x＝2代入③得，
2×2−1
y= ，
3
解得y＝1，
{x=2
∴该方程组的解为 ．
y=1
【点评】此题考查了利用代入法解二元一次方程组的能力，关键是能直接或将某方程变式后进行代入消
元求解．
8．用代入法解下列方程组：{5x+2y=15① {3(y−2)=x−17
（1） ； （2） ．
8x+3 y=−1② 2(x−1)=5 y−8
【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程组即可；
（2）用代入消元法解二元一次方程组即可．
{5x+2y=15①
【解答】解：（1） ，
8x+3 y=−1②
15−5x
由①得，y= ③，
2
15−5x
将③代入②得，8x+ ×3＝﹣1，
2
解得，x＝﹣47，
将x＝﹣47代入①得，y＝125，
{x=−47
∴方程组的解为 ；
y=125
{3(y−2)=x−17
（2） ，
2(x−1)=5 y−8
{3 y−x=−11①
整理得， ，
2x−5 y=−6②
由①得，x＝3y+11③，
将③代入②得，y＝﹣28，
将y＝﹣28代入①得，x＝﹣73，
{x=−73
∴方程组的解为 ．
y=−28
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的
关键．
9．用代入法解下列方程组：
{ x=6−5 y {5x+2y=15
（1） （2）
3x−6 y=4 x+ y=6
{3x+4 y=2 {2x+3 y=7
（3） （4）
2x−y=5 3x−5 y=1
【分析】（1）用代入消元法解方程组即可．
（2）用代入消元法解方程组即可．
（3）用代入消元法解方程组即可．（4）用代入消元法解方程组即可．
{x=6−5 y①
【解答】解：（1） ，
3x−6 y=4②
把①代入②得3（6﹣5y）﹣6y＝4，
2
解得y= ，
3
2 8
∴x＝6−5× = ，
3 3
8
{x=
3
所以方程组的解为 ；
2
y=
3
{5x+2y=15①
（2） ，
x+ y=6②
由②得x＝6﹣y③，
把③代入①，得y＝5，
∴x＝6﹣5＝1，
{x=1
所以原方程组的解为 ；
y=5
{3x+4 y=2①
（3） ，
2x−y=5②
由②得y＝2x﹣5③，
把③代入①得，
解得x＝2，
∴y＝2×2﹣5＝﹣1，
{ x=2
所以原方程组的解为 ；
y=−1
{2x+3 y=7①
（4） ，
3x−5 y=1②
7−3 y
由①得x= ③，
2
把③代入②得
解得y＝1，7−3×1
∴x= =2，
2
{x=2
所以原方程组的解为 ．
y=1
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题关键是熟知代入消元法解方程组的步骤．
10．用代入法解下列方程组：
{ 2x+ y=3 { x+5 y=4
（1） ； （2） ；
x+2y=−6 3x−6 y=5
{2x−y=6 {5x+2y=11
（3） ； （4） ；
3x+2y=2 3 y−x=−9
【分析】（1）用代入消元法解方程组即可．
（2）用代入消元法解方程组即可．
（3）用代入消元法解方程组即可．
（4）用代入消元法解方程组即可．
{ 2x+ y=3①
【解答】解：（1） ，
x+2y=−6②
由①得y＝3﹣2x，
把y＝3﹣2x代入②得x+2（3﹣2x）＝﹣6，
解得x＝4，
∴y＝3﹣2×4＝﹣5．
{ x=4
∴方程组的解为 ．
y=−5
{ x+5 y=4①
（2） ，
3x−6 y=5②
由①得x＝4﹣5y，
把x＝4﹣5y代入②得3（4﹣5y）﹣6y＝5，
1
解得y= ，
3
1 7
∴x＝4﹣5× = ．
3 37
{x=
3
∴方程组的解为 ．
1
y=
3
{2x−y=6①
（3） ，
3x+2y=2②
由①得y＝2x﹣6，
把y＝2x﹣6代入②得3x+2（2x﹣6）＝2，
解得x＝2，
∴y＝2x﹣6＝2×2﹣6＝﹣2．
{ x=2
方程组的解为 ．
y=−2
{5x+2y=11①
（4） ，
3 y−x=−9②
由②得x＝3y+9，
把x＝3y+9代入①得5（3y+9）+2y＝11，
解得y＝﹣2，
∴x＝3×（﹣2）+9＝3．
{ x=3
∴方程组的解为 ．
y=−2
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，解题关键是熟知代入消元法解方程组的步骤．
题型二 用加减法解方程组（10 题）
1．用加减法解下列方程组：
1
{ x−2y=7
{4x−y=14 2
（1） （2）
3x+ y=7 1
x−3 y=−8
2
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．{4x−y=14①
【解答】解：（1） ，
3x+ y=7②
①+②得：7x＝21，
解得：x＝3，
把x＝3代入②得：y＝﹣2，
{ x=3
则方程组的解为 ；
y=−2
1
{ x−2y=7①
2
（2） ，
1
x−3 y=−8②
2
①﹣②得：y＝15，
把y＝15代入①得：x＝74，
{x=74
则方程组的解为 ．
y=15
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
2．用加减法解下列方程组：
{2m+7n=5
（1）
3m+n=−2
{2u−5v=12
（2）
4u+3v=−2
x y 1
{ − =
3 7 2
（3）
x y 1
+ =
3 7 3
【分析】（1）由②得出n＝﹣2﹣3m③，把③代入①得出2m+7（﹣2﹣3m）＝5，求出m，把m＝﹣
1代入③求出n即可；
（2）②﹣①×2得出13v＝﹣26，求出v，把v＝﹣2代入①求出u即可；
（3）整理后①+②得出28x＝35，求出x，②﹣①求出y即可．
{2m+7n=5①
【解答】解：（1）
3m+n=−2②
由②得：n＝﹣2﹣3m③，
把③代入①得：2m+7（﹣2﹣3m）＝5，解得：m＝﹣1，
把m＝﹣1代入③得：n＝1，
{m=−1
所以原方程组的解是： ；
n=1
{2u−5v=12①
（2）
4u+3v=−2②
②﹣①×2得：13v＝﹣26，
解得：v＝﹣2，
把v＝﹣2代入①得：2u+10＝12，
解得：u＝1，
{ u=1
所以原方程组的解是： ；
v=−2
{14x−6 y=21①
（3）整理得： ，
14x+6 y=14②
①+②得：28x＝35，
5
解得：x= ，
4
②﹣①得：12y＝﹣7，
7
解得：y=− ，
12
5
{ x=
4
所以原方程组的解是： ．
7
y=−
12
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
3．用加减法解下列方程组：
{x−y=5 { x−2y=3
（1） ； （2） ．
2x+ y=4 3x+4 y=−1
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．{x−y=5①
【解答】解：（1） ，
2x+ y=4②
①+②得：3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：3﹣y＝5，
解得：y＝﹣2，
{ x=3
则方程组的解为 ；
y=−2
{ x−2y=3①
（2） ，
3x+4 y=−1②
①×2+②得：5x＝5，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：1﹣2y＝3，
解得：y＝﹣1，
{ x=1
则方程组的解为 ．
y=−1
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
4．用加减法解下列方程组：
{4x−3 y=11， { x−y=3，
（1） （2）
2x+ y=13； 2y+3(x−y)=11
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
{4x−3 y=11①
【解答】解：（1） ，
2x+ y=13②
①+②×3得：10x＝50，
解得：x＝5，
把x＝5代入①得：20﹣3y＝11，
解得：y＝3，
{x=5
所以方程组的解为 ；
y=3
{ x−y=3①
（2）方程组整理得： ，
3x−y=11②
②﹣①得：2x＝8，
解得：x＝4，把x＝4代入①得：4﹣y＝3，
解得：y＝1，
{x=4
所以方程组的解为 ．
y=1
【点评】此题考查了解二元一次方程组，解方程组利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加
减消元法．
5．用加减法解下列方程组：
{3μ+2t=7 {2a+b=3
（1） （2） ．
6μ−2t=11 3a+b=4
【分析】各个方程组利用加减消元法求出解即可．
{3μ+2t=7①
【解答】解：（1） ，
6μ−2t=11②
①+②得：9 ＝18，即 ＝2，
把 ＝2代入①μ 得：6+2tμ＝7，
μ 1
解得：t= ，
2
{μ=2
则方程组的解为 1；
t=
2
{2a+b=3①
（2） ，
3a+b=4②
②﹣①得：a＝1，
把a＝1代入①得：2+b＝3，
解得：b＝1，
{a=1
则方程组的解为 ．
b=1
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2023•市北区校级开学）用加减法解下列方程组：
{
2x+ y=3
{3 y−4x=0
（1） ； （2） 1 3 ．
4x+ y=8 x− y=−1
2 2
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．{3 y−4x=0①
【解答】解：（1） ，
4x+ y=8②
①+②得：4y＝8，
解得：y＝2，
把y＝2代入②得：4x+2＝8，
3
解得：x= ，
2
{ 3
x=
则方程组的解为 2；
y=2
{ 2x+ y=3①
（2）方程组整理得： ，
x−3 y=−2②
①×3+②得：7x＝7，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：2+y＝3，
解得：y＝1，
{x=1
则方程组的解为 ．
y=1
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法是代入消元法与加减消元法．
7．（2022秋•陕西期末）用加减法解下列方程组：
{3x+2y=10
{ x−y=3
（1） ； （2） x y+1．
3x−8 y=14 =1+
2 3
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可求解；
（2）将第二个方程去分母化简，然后根据加减消元法解二元一次方程组即可求解．
{ x−y=3①
【解答】解：（1） ，
3x−8 y=14②
①×3﹣②得：﹣3y+8y＝9﹣14，
解得：y＝﹣1，
将y＝﹣1代入①得：x+1＝3，
解得：x＝2，
{ x=2
∴原方程组的解为： ；
y=−1{3x+2y=10①
（2） x y+1 ，
=1+ ②
2 3
由②得3x＝6+2（y+1），
即3x﹣2y③，①﹣③得：4y＝2，
1
解得：y= ，①+③得：6x＝18，
2
解得：x＝3，
{x=3
∴原方程组的解为： 1．
y=
2
【点评】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
8．用加减法解下列方程组：
{ x+3= y， { x+ y=2800，
（1） ； （2） ．
2(x+1)−y=6 96%x+64% y=2800×92%
【分析】（1）先用第二个方程减去第一个方程即可得到x的值，然后将x的值代入任意一个方程，解
方程即可得到y的值；
{ x+ y=2800①
（2）先对方程组进行化简可得 ，易得两个方程中y的系数存在2倍关系，故只需
3x+2y=8050②
用方程②减去方程①乘2的积即可得到关于x的方程，解方程即可．
{ x+3= y，①
【解答】解：（1）
2(x+1)−y=6．②
②﹣①，得x﹣1＝6，
∴x＝7，
x＝7代入①得y＝10，
{ x=7
所以原方程组的解为 ．
y=10
{ x+ y=2800，①
（2）原方程化简得
3x+2y=8050．②
②﹣①×2，得﹣x＝﹣2450，
∴x＝2450，
将x＝2450代入①得：
y＝350，{x=2450
∴原方程组的解为： ．
y=350
【点评】本题考查二元一次方程组的解法，利用正确的方法求解是本题的关键．
9．用加减法解下列方程组：
{x−y=5，①
（1）
2x+ y=4；②
{x−2y=1，①
（2）
x+3 y=6；②
{
2x−y=5，①
（3） 1
x−1= (2y−1)．②
2
【分析】（1）利用加减消元法解答即可；
（2）利用加减消元法解答即可；
（3）利用加减消元法解答即可．
{x−y=5①
【解答】解：（1） ，
2x+ y=4②
①+②得：3x＝9，
解得：x＝3，
把x＝3代入①得：3﹣y＝5，
解得：y＝﹣2，
{ x=3
所以方程组的解为： ；
y=−2
{x−2y=1①
（2） ，
x+3 y=6②
②﹣①得：5y＝5，
解得：y＝1，
把y＝1代入①得：x﹣2＝1，
解得：x＝3，
{x=3
所以方程组的解为： ；
y=1
{
2x−y=5①
（3） 1 ，
x−1= (2y−1)②
2
由②得：2x﹣2y＝1③，①﹣③得：y＝4，
把y＝4代入①得：2x﹣4＝5，
9
解得：x= ，
2
{ 9
x=
所以方程组的解为： 2．
y=4
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．用加减法解下列方程组：
{ x+3 y=6 {7x+8 y=−5
（1） （2）
2x−3 y=3 7x−y=4
x y
{ + =1
{y−1=3(x−2) 3 4
（3） （4） ．
y+4=2(x+1) x y
− =−1
2 3
【分析】各方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
{ x+3 y=6①
【解答】解：（1） ，
2x−3 y=3②
①+②得：3x＝9，即x＝3，
把x＝3代入①得：y＝1，
{x=3
则方程组的解为 ；
y=1
{7x+8 y=−5①
（2） ，
7x−y=4②
①﹣②得：9y＝﹣9，即y＝﹣1，
3
把y＝﹣1代入①得：x= ，
7
{ 3
x=
则方程组的解为 7 ；
y=−1
{3x−y=5①
（3）方程组整理得： ，
2x−y=2②
①﹣②得：x＝3，
把x＝3代入①得：y＝4，{x=3
则方程组的解为 ；
y=4
{4x+3 y=12①
（4）方程组整理得： ，
3x−2y=−6②
6
①×2+②×3得：17x＝6，即x= ，
17
60
①×3﹣②×4得：17y＝60，即y= ，
17
6
{x=
17
则方程组的解为 ．
60
y=
17
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
题型三 用指定的方法解方程组（10 题）
1．（2022春•新田县期中）用指定的方法解下列方程组：
{2x−5 y=14① {2x+3 y=9①
（1） （代入法）； （2） （加减法）．
y=−x② 3x+5 y=16②
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1）把②代入①得：2x+5x＝14，
解得：x＝2，
把x＝2代入②，得：y＝﹣2，
{ x=2
则原方程组的解是 ；
y=−2
（2）①×3得：6x+9y＝27③，
②×2得：6x+10y＝32④，
④﹣③得：y＝5，
把y＝5代入①得：2x+15＝9，
解得：x＝﹣3，
{x=−3
则原方程组的解是 ．
y=5【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
2．（2022春•安岳县校级月考）解下列方程组：
m n
{ + =10
{3x−y=7 4 3
（1） （用代入法）； （2） （用加减法）．
5x+2y=8 m n
− =5
3 4
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
{3x−y=7①
【解答】解：（1） ，
5x+2y=8②
由①得：y＝3x﹣7③，
把③代入②得：5x+2（3x﹣7）＝22，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：6﹣y＝7，
解得：y＝﹣1，
{ x=2
则方程组的解为 ；
y=−1
{3m+4n=120①
（2）方程组整理得： ，
4m−3n=60②
①×3+②×4得：25m＝600，
解得：m＝24，
把m＝24代入①得：72+4n＝120，
解得：n＝12，
{m=24
则方程组的解为 ．
n=12
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3．（2022春•大连期中）用指定的方法解下列方程组：
{x−3 y=4 {5x+2y=4
（1） （代入法）； （2） （加减法）．
2x+ y=13 x+4 y=−6
【分析】（1）利用代入法解方程组；
（2）利用加减消元法解方程组．
{x−3 y=4①
【解答】解：（1） ，
2x+ y=13②由①得x＝3y+4③，
把③代入②，得
2（3y+4）+y＝13，
5
解得y= ，
7
5 1
∴x＝3× +4＝6 ，
7 7
1
{x=6
7
∴方程组的解为 ；
5
y=
7
{5x+2y=4①
（2） ，
x+4 y=−6②
①×2﹣②，得
9x＝14，
14
解得x= ，
9
14
把x= 代入②，得
9
14
+4y＝﹣6，
9
17
解得y=− ．
9
14
{ x=
9
∴方程组的解为 ．
17
y=−
9
【点评】本题考查了解二元一次方程组，做题的关键是掌握加减消元法，和代入消元法解二元一次方程
组．
4．（2022春•宁远县月考）请用指定的方法解下列方程组
{5a−b=11 {2x−5 y=24
（1） （代入消元法）； （2） （加减消元法）．
3a+b=7 5x+2y=31
【分析】（1）由方程①，得b＝5a﹣11，再代入方程②求出未知数a，进而得出未知数b；
（2）用方程①×2﹣②×5，可消去未知数y，求出未知数x，进而得出y的值．{5a−b=11①
【解答】解：（1） ，
3a+b=7②
由①，得b＝5a﹣11③，
把③代入②，得3a+5a﹣11＝7，
9
解得a= ，
4
9 1
把a= 代入③，得b= ，
4 4
9
{a=
4
故方程组的解为 ；
1
b=
4
{2x−5 y=24①
（2） ，
5x+2y=31②
①×2﹣②×5，得29x＝203，
解得x＝7，
把x＝7代入①，得y＝﹣2，
{ x=7
故方程组的解为 ．
y=−2
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
5．（2021秋•蒲城县期末）请用指定的方法解下列方程组：
{2x+3 y=11① {3x−2y=2①
（1） （代入消元法）； （2） （加减消元法）．
x= y+3② 4x+ y=10②
【分析】（1）利用代入消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
{2x+3 y=11①
【解答】解：（1） ，
x= y+3②
把②代入①得：2（y+3）+3y＝11，
解得y＝1，
把y＝1代入②得：x＝1+3＝4，
{x=4
故原方程组的解是： ；
y=1
{3x−2y=2①
（2） ，
4x+ y=10②②×2得：8x+2y＝20③，
①+③得：11x＝22，
解得x＝2，
把x＝2代入②得：8+y＝10，
解得y＝2，
{x=2
故原方程组的解是： ．
y=2
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程组的方法的掌握．
6．（2022秋•历下区期中）请用指定的方法解下列方程组：
{ n
m− =2 {6s−5t=3
（1） 2 （代入法）； （2） （加减法）．
6s+t=−15
2m+3n=12
【分析】（1）整理后由①得出n＝2m﹣4③，把③代入②得出2m+3（2m﹣4）＝12，求出m，再把
m＝3代入③求出n即可；
（2）②﹣①得出6t＝﹣18，求出t，再把t＝﹣3代入①求出s即可．
{ 2m−n=4 ①
【解答】解：（1）整理得： ，
2m+3n=12 ②
由①，得n＝2m﹣4③，
把③代入②，得2m+3（2m﹣4）＝12，
解得：m＝3，
把m＝3代入③，得n＝2×3﹣4＝6﹣4＝2，
{m=3
所以原方程组的解是 ；
n=2
{6s−5t=3 ①
（2） ，
6s+t=−15 ②
②﹣①，得6t＝﹣18，
解得：t＝﹣3，
把t＝﹣3代入①，得6s+15＝3，
解得：s＝﹣2，
{s=−2
所以原方程组的解是 ．
t=−3
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法两种．
7．（2022春•泰安期中）用指定的方法解下列方程组
{3x+4 y=19
（1） （代入消元法）；
x−y=4
{2x+3 y=−5
（2） （加减消元法）；
3x−2y=12
{5(x−9)=6(y−2)
（3） x y+1 ．
− =2
4 3
【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可；
（3）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
{3x+4 y=19①
【解答】解：（1） ，
x−y=4②
由②得：x＝y+4③，
把③代入①得：3（y+4）+4y＝19，
解得：y＝1，
把y＝1代入③得：x＝1+4＝5，
{x=5
则方程组的解为 ；
y=1
{2x+3 y=−5①
（2） ，
3x−2y=12②
①×2+②×3得：13x＝26，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：4+3y＝﹣5，
解得：y＝﹣3，
{ x=2
则方程组的解为 ；
y=−3
{5x−6 y=33①
（3）方程组整理得： ，
3x−4 y=28②
①×2﹣②×3得：x＝﹣18，
把x＝﹣18代入①得：﹣90﹣6y＝33，41
解得：y=− ，
2
{x=−18
则方程组的解为 41．
y=−
2
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8．（2021秋•历下区期中）请用指定的方法解下列方程组：
{3x+2y=14 {2x+3 y=12
（1） ；（代入法） （2） ．（加减法）
x= y+3 3x+4 y=17
【分析】（1）用代入消元法解方程组即可；
（2）用加减消元法解方程组即可．
{3x+2y=14①
【解答】解：（1） ，
x= y+3②
将②代入①，得3y+9+2y＝14，
解得y＝1，
将y＝1代入②得x＝4，
{x=4
∴方程组的解为 ；
y=1
{2x+3 y=12①
（2） ，
3x+4 y=17②
①×3得，6x+9y＝36③，
②×2得，6x+8y＝34④，
③﹣④，得y＝2，
将y＝2代入①得，x＝3，
{x=3
∴方程组的解为 ．
y=2
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组的方法是
解题的关键．
9．（2021春•沙河口区期末）用指定的方法解下列方程组：
{ y=2x−3 {3x+4 y=16
（1） （代入法）； （2） （加减法）．
3x+2y=8 5x−6 y=33
【分析】（1）把①代入②得出x的值，再把x的值代入①求出y的值，从而得出方程组的解；
（2）①×3+②×2得出19x＝114，求出x，把x＝6代入①求出y即可．{ y=2x−3①
【解答】解：（1） ，
3x+2y=8②
把①代入②得：3x+2（2x﹣3）＝8，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：y＝1，
{x=2
则原方程组的解是： ．
y=1
{3x+4 y=16①
（2） ，
5x−6 y=33②
①×3+②×2得：19x＝114，
解得：x＝6，
把x＝6代入①得：18+4y＝16，
1
解得：y=− ，
2
{
x=6
所以方程组的解 1．
y=−
2
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
10．用指定的方法解下列方程组：
{3x+4 y=19 {2x+3 y=−5
（1） （代入法）； （2） （加减法）．
x−y=4 3x−2y=12
【分析】（1）由②得出x＝4+y③，把③代入①得出3（4+y）+4y＝19，求出y，把y＝1代入③求
出x即可；
（2）①×2+②×3得出13x＝26，求出x，把x＝2代入①求出y即可．
{3x+4 y=19①
【解答】解：（1） ，
x−y=4②
由②得：x＝4+y③，
把③代入①得：3（4+y）+4y＝19，
解得：y＝1，
把y＝1代入③得：x＝4+1＝5，
{x=5
所以方程组的解是 ；
y=1{2x+3 y=−5①
（2） ，
3x−2y=12②
①×2+②×3得：13x＝26，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：4+3y＝﹣5，
解得：y＝﹣3，
{ x=2
所以方程组的解 ．
y=−3
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
题型四 用适当的方法解方程组（10 题）
1．（2022•苏州模拟）用适当的方法解下列方程组．
{ 2 3
{x+2y=9 x− y=1
（1） ； （2） 3 4 ．
y−3x=1
4(x−y)−(y−4x)=4
【分析】（1）利用加减消元法，方程组可化为：7y＝28，解得：y＝4，将y＝4代入①得：x＝1；
{8x−9 y=12①
（2）先将方程组化为： ，利用加减消元法解得：y＝﹣2，将y＝﹣2代入①得：
8x−5 y=4②
3
x=− ．
4
{x+2y=9①
【解答】解：（1）
y−3x=1②
①×3+②得：7y＝28，
解得：y＝4，
将y＝4代入①得：x＝1，
{x=1
即方程的解为： ；
y=4{8x−9 y=12①
（2）原方程组可化为： ，
8x−5 y=4②
①﹣②得：﹣4y＝8，
解得：y＝﹣2，
3
将y＝﹣2代入①得：x=− ，
4
{ 3
x=−
即方程的解为： 4．
y=−2
【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的解法，利用合适的方法解方程组即可．
2．（2022秋•锦江区校级期末）用适当的方法解下列方程组．
{ x=2y−1 { 3x+2y=2
（1） ； （2） ．
4x+3 y=7 2x+3 y=28，
【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可；
（2）用方程①×3﹣②×2，可消去未知数y，求出未知数x，进而得出y的值．
{x=2y−1①
【解答】解：（1） ，
4x+3 y=7②
把①代入②，得4（2y﹣1）+3y＝7，
解得y＝1，
把y＝1代入①，得x＝1，
{x=1
故原方程组的解为 ；
y=1
{3x+2y=2①
（2） ，
2x+3 y=28②
①×3﹣②×2，得5x＝﹣50，
解得x＝﹣10，
把x＝﹣10代入①，得y＝16，
{x=−10
故原方程组的解为 ．
y=16
【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
3．用适当的方法解下列方程组：
{
x+1
{ x+2y=0， =2y
（1） （2） 3
3x+4 y=6；
2(x+1)−y=11m+n n−m 1
{ + =− ，
{ x+0.4 y=40， 3 4 4
（3） （4）
0.5x+0.7 y=35； m+8 5(n+1)
− =2．
6 12
【分析】（1）由x+2y＝0可用y表示x，利用代入消元法求第一个方程组的解．同理解（2）
（3）利用加减消元法求方程组的解．
（4）对于关于m、n的方程，将其化为整系数方程时，给第一个方程两边同时乘 12，给第二个方程两
边同时乘12．利用加减消元法求方程组的解．
{ x+2y=0，①
【解答】解：（1）
3x+4 y=6；②
由①，得x＝﹣2y，③
把③代入②，得﹣6y+4y＝6，
解得y＝﹣3，
把y＝﹣3代入①，得x＝6．
{ x=6
∴原方程组的解为 ；
y=−3
{
x+1
=2y①
（2） 3
2(x+1)−y=11②
由①，得x+1＝6y，③
把③代入②，得12y﹣y＝11，
解得y＝1．
把y＝1代入③，得x+1＝6，
解得x＝5．
{x=5
∴原方程组的解为 ；
y=1
{ x+0.4 y=40，①
（3）
0.5x+0.7 y=35；②
②×2，得x+1.4y＝70，③
③﹣①，得y＝30．
把y＝30代入①，得x+0.4×30＝40，
解得x＝28．{x=28
∴原方程组的解为 ；
y=30
m+n n−m 1
{ + =− ，
3 4 4
（4）
m+8 5(n+1)
− =2，
6 12
{m+7n=−3，①
原方程组化为： ，
2m−5n=13，②
①×2﹣②，得19n＝﹣19，
解得n＝﹣1．
把n＝﹣1代入①，得m﹣7＝﹣3，
解得m＝4．
{m=4
∴原方程组的解为 ．
n=−1
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，灵活运用代入消元法和加减消元法是解题的关键．
4．（2022•天津模拟）用适当的方法解下列方程组：
x+1 y+2
{ =
{ x+ y=5 3 4
（1） ； （2） ．
2x−y=4 x−3 y−3 1
− =
4 3 12
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解即可．
{ x+ y=5①
【解答】解：（1） ，
2x−y=4②
由①，可得：x＝5﹣y③，
③代入②，可得：2（5﹣y）﹣y＝4，
解得y＝2，
把y＝2代入③，可得：x＝5﹣2＝3，
{x=3
∴原方程组的解是 ．
y=2x+1 y+2
{ = ①
3 4
（2） ，
x−3 y−3 1
− = ②
4 3 12
由①，可得：4x﹣3y＝2③，
由②，可得：3x﹣4y＝﹣2④，
③×4﹣④×3，可得7x＝14，
解得x＝2，
把x＝2代入③，可得：4×2﹣3y＝2，
解得y＝2，
{x=2
∴原方程组的解是 ．
y=2
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
5．（2021•越城区校级开学）用适当的方法解下列方程组：
{2x−3 y=7 {0.3p+0.4q=4
（1） ． （2） ．
x−3 y=7 0.2p+2=0.9q
【分析】（1）利用加减法消元法解二元一次方程组即可；
（2）先整理方程，再利用加减消元法解二元一次方程组即可．
{2x−3 y=7①
【解答】解：（1） ，
x−3 y=7②
①﹣②得x＝0，
把x＝0代入②得0﹣3y＝7，
7
解得y=− ，
3
{
x=0
∴方程组的解为 7；
y=−
3
{ 3p+4q=40①
（2）整理原方程组得 ，
2p−9q=−20②
①×2﹣②×3得35q＝140，
q＝4，
把q＝4代入②得2p﹣36＝﹣20，
解得p＝8，{p=8
∴方程组的解为 ．
q=4
【点评】本题考查了解二元一次方程组，做题关键是掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．
6．（2022春•东城区校级月考）用适当的方法解下列方程组
{ x+ y=5 {2x+3 y=7
（1） ； （2） ．
2x+ y=8 3x−2y=4
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
（2）应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
{ x+ y=5①
【解答】解：（1） ，
2x+ y=8②
由①，可得：x＝5﹣y③，
③代入②，可得：2（5﹣y）+y＝8，
解得y＝2，
把y＝2代入③，解得x＝3，
{x=3
∴原方程组的解是 ．
y=2
{2x+3 y=7①
（2） ，
3x−2y=4②
①×2+②×3，可得13x＝26，
解得x＝2，
把x＝2代入①，解得y＝1，
{x=2
∴原方程组的解是 ．
y=1
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用．
7．（2021春•哈尔滨期末）用适当的方法解下列方程组
{ x+2y=9 {2x−y=5
（1） （2）
3x−2y=−1 3x+4 y=2
【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可．
{ x+2y=9①
【解答】解：（1） ，
3x−2y=−1②
①+②得：4x＝8，解得：x＝2，
把x＝2代入①得：2+2y＝9，
7
解得：y= ，
2
{x=2
故原方程组的解是： 7；
y=
2
{2x−y=5①
（2） ，
3x+4 y=2②
①×4得：8x﹣4y＝20③，
②+③得：11x＝22，
解得：x＝2，
把x＝2代入①得：4﹣y＝5，
解得：y＝﹣1，
{ x=2
故原方程组的解是： ．
y=−1
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
8．（2022春•椒江区校级期中）用适当的方法解下列方程组：
{2x+3 y=16 ① 2s+t 3s−2t
（1） ； （2） = =3．
x+4 y=13 ② 3 8
【分析】（1）②×2﹣①得出5y＝10，求出y，再把y＝2代入②求出x即可；
{ 2s+t=9 ①
（2）整理后得出得 ，①×2+②得出7s＝42，求出s，再把s＝6代入①求出t即可．
3s−2t=24 ②
{2x+3 y=16 ①
【解答】解：（1） ，
x+4 y=13 ②
②×2﹣①，得5y＝10，
解得：y＝2，
把y＝2代入②，得x+8＝13，
解得：x＝5，
{x=5
所以方程组的解为 ；
y=2
{ 2s+t=9 ①
（2）整理方程组，得 ，
3s−2t=24 ②①×2+②，得7s＝42，
解得：s＝6，
把s＝6代入①，得12+t＝9，
解得：t＝﹣3，
{ s=6
所以方程组的解为 ．
t=−3
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
9．（2022春•诸暨市期中）用适当的方法解下列方程组：
x y
{ + =7
{ y=2x−1 4 3
（1） （2）
x+2y=−7 x y
+ =8
3 2
【分析】（1）用代入消元解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元解二元一次方程组即可；
{ y=2x−1①
【解答】解：（1） ，
x+2y=−7②
把①代入②得，x+2（2x﹣1）＝﹣7，
解得x＝﹣1，
将x＝﹣1代入①得y＝﹣3，
{x=−1
∴方程组的解为 ．
y=−3
{3x+4 y=84①
（2）整理得 ，
2x+3 y=48②
①×2﹣②×3得，﹣y＝24，
解得y＝﹣24，
将y＝﹣24代入②得x＝60，
{ x=60
∴方程组的解为 ．
y=−24
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的
关键．
10．（2021春•南湖区校级期中）用适当的方法解下列方程组：{x−y x+ y
{3x+2y=9 =
（1） ； （2） 3 2 ．
x−y=8
2x−5 y=7
【分析】（1）由②可得x＝8+y③，再把③代入①，可得y的值，然后把y的值代入③求出x的值即
可；
{ x+5 y=0①
（2）方程组整理后可得 ，利用①+②可得x的值，然后把x的值代入①求出y的值即
2x−5 y=7②
可．
{3x+2y=9①
【解答】解：（1） ，
x−y=8②
由②得，x＝8+y③，
将③代入①得，3（8+y）+2y＝9，
解得，y＝﹣3，
把y＝﹣3代入③得，
x＝5，
{ x=5
则方程组的解为 ；
y=−3
{ x+5 y=0①
（2）方程组整理得： ，
2x−5 y=7②
①+②得：3x＝7，
7
解得：x= ，
3
7 7
把x= 代入①得：y=− ，
3 15
7
{ x=
3
则方程组的解为 ．
7
y=−
15
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．题型五 用整体代入法解方程组（5 题）
1．先阅读材料，然后解方程组：
{ x+ y=4①
材料：解方程组
3(x+ y)+ y=14②
在本题中，先将x+y看作一个整体，将①整体代入②，得3×4+y＝14，解得y＝2．
{x=2
把y＝2代入①得x＝2，所以
y=2
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此法解答，请用这种方法解方程组
{ x−y−1=0①
．
4(x−y)−y=5②
【分析】根据阅读材料中的方法求出方程组的解即可．
【解答】解：由①得：x﹣y＝1③，
把③代入②得：4﹣y＝5，即y＝﹣1，
把y＝﹣1代入③得：x＝0，
{ x=0
则方程组的解为 ．
y=−1
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
{ 3x−2y=8⋯⋯⋯①
2．（2021秋•乐平市期末）解方程组 时，可把①代入②得：3×8+4y＝
3(3x−2y)+4 y=20⋯．②
{ x=2
20，求得y＝﹣1，从而进一步求得 这种解法为“整体代入法“，请用这样的方法解下列方程组
y=−1
{ 2x−3 y=12
．
3(2x−3 y)+5 y=26
【分析】利用整体代入法的求解方法进行解答即可．
{ 2x−3 y=12①
【解答】解： ，
3(2x−3 y)+5 y=26②
把①代入②得：3×12+5y＝26，
解得y＝﹣2，把y＝﹣2代入①得：2x+6＝12，
解得x＝3，
{ x=3
故原方程组的解是： ．
y=−2
【点评】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是对解二元一次方程组的方法的掌握与运用．
3．先阅读，然后解方程组．
{ x−y−1=0①
解方程组 时，可由①得x﹣y＝1．③，然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y
4(x−y)−y=5②
{ x=0
＝﹣1，从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组：
y=−1
{ 2x−3 y+5=0
6 y−4x+3 ．
=2y+1
7
【分析】利用整体代入法解方程组即可．
{ 2x−3 y+5=0①
【解答】解： 6 y−4x+3 ，
=2y+1②
7
由①得，2x﹣3y＝﹣5，③，
10+3
把③代入②得， =2y+1，
7
3
解得，y= ，
7
3 13
把y= 代入③得，x=− ，
7 7
13
{x=−
7
则方程组的解为： ．
3
y=
7
【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握整体代入法解方程组的一般步骤是解题的关键．
4．（2022春•太和县期末）先阅读，然后解方程组．
解方程组
{ x−y−1=0①
时，
4(x−y)−y=5②可由 ①得x﹣y＝1，③
然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，
{ x=0①
从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”，
y=−1②
{ 2x−3 y−2=0
请用这样的方法解下列方程组 2x−3 y+5 ．
+2y=9
7
【分析】仿照所给的题例先把①变形，再代入②中求出y的值，进一步求出方程组的解即可．
{ 2x−3 y−2=0①
【解答】解： 2x−3 y+5 ，
+2y=9②
7
由①得，2x﹣3y＝2③，
2+5
代入②得 +2y＝9，
7
解得y＝4，
把y＝4代入③得，2x﹣3×4＝2，
解得x＝7．
{x=7
故原方程组的解为 ．
y=4
【点评】本题考查的是在解二元一次方程组时整体思想的应用，利用整体思想可简化计算．
5．先阅读，然后解方程组．
{ x−y−1=0①
解方程组 时，可由①得x﹣y＝1③，
4(x−y)−y=5②
然后再将③代入②得4×1﹣y＝5，求得y＝﹣1，从而进一步求得x这种方法被称为“整体代入法”，
请用这样的方法解下列方程组：
{ 2x−3 y−2=0
．
3(2x−3 y)+ y=7
【分析】把2x﹣3y看作一个整体，代入第二个方程求出y的值，进而求出x的值即可．
{ 2x−3 y−2=0①
【解答】解： ，
3(2x−3 y)+ y=7②
把①变形得：2x﹣3y＝2③，
③代入②得：6+y＝7，即y＝1，
把y＝1代入③得：x＝2.5，{x=2.5
则方程组的解为 ．
y=1
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元方法与加减消元
法．
题型六 用换元法解方程组（5 题）
1．用换元法解下列方程组
2 2 1
{ + =
x y 2
5 1 3
− =
x y 4
【分析】方程组利用换元法求出解即可．
1 1
【解答】解：设 =a， =b，
x y
1
{2a+2b=
①
2
方程组变形为 ，
3
5a−b= ②
4
①+②×2得：12a＝2，
1
解得：a= ，
6
1 1
把a= 代入②得：b= ，
6 12
1
{a=
6 {x=6
则方程组的解为 ，即 ．
1 y=12
b=
12
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．用换元法解下列方程组：
{3(x+ y)+2(x−y)=36
（1）
(x+ y)−4(x−y)=−16x−4 y x+5 y
{ + =2
2 3
（2） ．
x−4 y
−(x+5 y)=5
3
【分析】（1）令x+y＝m、x﹣y＝n得关于m、n的方程组，解得m、n的值，从而可得关于x、y的方程
组，求解可得；
（2）令x﹣4y＝a、x+5y＝b得关于a、b的方程组，解该方程组可得a、b的值，从而可得关于x、y的
方程组，求解可得．
【解答】解：（1）令x+y＝m，x﹣y＝n，
{3m+2n=36
则原方程组可化为： ，
m−4n=−16
{m=8
解得： ，
n=6
{x+ y=8
即 ，
x−y=6
{x=7
解得： ；
y=1
（2）令x﹣4y＝a，x+5y＝b，
a b
{ + =2
2 3
则原方程组可化为： ，
a
−b=5
3
{ a=6
解得： ，
b=−3
{ x−4 y=6
即： ，
x+5 y=−3
{ x=2
解得： ．
y=−1
【点评】本题主要考查换元法解方程组的能力，熟练而准确地解方程组是基础，正确找到共同的整体加
以换元是关键．
{(a−1)+2(b+2)=6
3．（2022春•云阳县期中）阅读探索：解方程组
2(a−1)+(b+2)=6{x+2y=6 {x=2 {a−1=2 {a=3
解：设a﹣1＝x，b+2＝y原方程组可以化为 ，解得 ，即： ∴ ，此种解
2x+ y=6 y=2 b+2=2 b=0
方程组的方法叫换元法．
（1）拓展提高
a b
{ ( −1)+2( +2)=10
4 5
运用上述方法解下列方程组 ；
a b
2( −1)+( +2)=11
4 5
（2）能力运用
{a x+b y=c {x=6 {a (m−2)+b (n+3)=c
已知关于x，y的方程组 1 1 1的解为 ，求关于m、n的方程组 1 1 1
a x+b y=c y=7 a (m−2)+b (n+3)=c
2 2 2 2 2 2
的解．
【分析】（1）仿照“阅读探索“的思路，利用换元法进行计算即可解答；
（2）仿照“阅读探索“的思路，利用换元法进行计算即可解答．
a b
【解答】解：（1）设 −1＝x， +2＝y，
4 5
{x+2y=10
∴原方程组可变为： ，
2x+ y=11
{x=4
解这个方程组得： ，
y=3
a
{ −1=4
4
即： ，
b
+2=3
5
{a=20
所以： ；
b=5
{m−2=x
（2）设 ，
n+3= y
{m−2=6
可得： ，
n+3=7
{m=8
解得： ．
n=4
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键．x+ y x−y
{ + =3①
6 10
4．在学过了二元一次方程组的解法后，课堂上老师又写出了一个题目： ，你会解
x+ y x−y
− =−1②
6 10
这个方程组吗？
小明、小刚、小芳争论了一会儿，他们分别写出了一种方法：
{ 8x+2y=90③
小明：把原方程组整理得
2x+8 y=−30④
④×4﹣③得30y＝﹣210，所以y＝﹣7
把y＝﹣7代入③得8x＝104，所以x＝13，
{x=13
即
y=−7
x+ y x−y { m+n=3③
小刚：设 =m， =n，则
6 10 m−n=−1④
③+④得m＝1，
③﹣④得m＝2，
x+ y
{ =1
6 { x+ y=6 {x=13
即 ，所以 ，所以 ．
x−y x−y=20 y=−7
=2
10
2(x+ y)
小芳：①+②得 =2，即x+y＝6．③
6
2(x−y)
①﹣②得 =4，即x﹣y＝20．④
10
③④组成方程组得x＝13
{x=13
③﹣④得y＝﹣7，即 ．
y=−7
老师看过后，非常高兴，特别是小刚的方法独特，像小刚的这种方法叫做换元法，你能用换元法解下列
方程组吗？
3x−2y 2x+3 y
{ + =1
6 7
．
3x−2y 2x+3 y
− =5
6 73x−2y 2x+3 y
【分析】设 = m， = n，方程组整理后求出m与n的值，即可确定出x与y的值．
6 7
3x−2y 2x+3 y
【解答】解：设 =m， =n，
6 7
{m+n=1①
方程组整理得： ，
m−n=5②
①+②得：2m＝6，即m＝3，
①﹣②得：2n＝﹣4，即n＝﹣2，
3x−2y
{ =3
6
即 ，
2x+3 y
=−2
7
{3x−2y=18
整理得： ，
2x+3 y=−14
{ x=2
解得： ．
y=−6
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
5．（2022春•卧龙区校级月考）阅读探索
（1）知识积累
{(a−1)+2(b+2)=6
解方程组 ．
2(a−1)+(b+2)=6
{x+2y=6 {x=2 {a−1=2
解：设a﹣1＝x，b+2＝y．原方程组可变为 ，解这个方程组得 ，即 ，所以
2x+ y=6 y=2 b+2=2
{a=3
，这种解方程组的方法叫换元法．
b=0
（2）拓展提高
m n
{ ( −1)+2( +2)=4
3 5
运用上述方法解下列方程组： ．
m n
3( −1)−( +2)=5
3 5
（3）能力运用{a x+b y=c {x=3
已知关于 x，y 的方程组 1 1 1的解为 ，请直接写出关于 m、n 的方程组
a x+b y=c y=4
2 2 2
{a (m+2)−b n=c
1 1 1
的解是 ．
a (m+2)−b n=c
2 2 2
【分析】（2）仿照（1）的思路，利用换元法进行计算即可解答；
（3）仿照前两个题的思路，利用换元法进行计算即可解答．
m n
【解答】解：（2）设 −1＝x， +2＝y，
3 5
∴原方程组可变为：
{x+2y=4
，
3x−y=5
{x=2
解这个方程组得： ，
y=1
m
{ −1=2
3
即： ，
n
+2=1
5
{m=9
所以： ；
n=−5
{m+2=x
（3）设 ，
−n= y
{m+2=3
可得： ，
−n=4
{m=1
解得： ．
n=−4
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，理解并掌握例题的换元法是解题的关键．
