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2025 年九年级第三次数学绿色评价
一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列四个数中，是负数的是（ ）
A. 1 B. C. 0 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查负数的定义，小于0的数是负数，掌握负数的定义是解题的关键，据此即可解答．
【详解】解： ，
则下列四个数中，是负数的是 ，
故选：B．
2. 嗨！我是DeepSeek．截至今年三月，我的每月活跃用户达194000000户，数据194000000用科学记数法
表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整
数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：194000000用科学记数法表示为 ；
故选：A．
3. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可求解．【详解】解：
故选：D
【点睛】本题考查了积的乘方运算，正确的计算是解题的关键．
4. 下列调查中，最适合做普查的是（ ）
A. 了解某中学某班学生使用手机的情况 B. 了解全市八年级学生视力情况
C. 了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况 D. 了解全市初中生在家学习情况
【答案】A
【解析】
【分析】根据普查的特点即可判断.
【详解】A．了解某中学某班学生使用手机的情况可采用普查；
B． 了解全市八年级学生视力情况，人数较多，采用抽样调查；
的
C． 了解夏季冷饮市场上冰淇淋 质量情况，具有破坏性，采用抽样调查；
D． 了解全市初中生在家学习情况，人数较多，采用抽样调查；
故选A．
【点睛】此题主要考查统计调查 的方法，解题的关键是熟知普查的特点．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查去括号法则、单项式乘多项式、平方差公式、完全平方公式，解题的关键是熟练掌握这
些运算公式和法则．
分别根据去括号法则、单项式乘各项式法则、平方差公式、完全平方公式对各选项进行计算，判断对错．
【详解】A、 ，该选项错误；
B、 ，该选项错误；
C、 ，该选项正确；
D、 ，该选项错误．故选C．
6. 在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，小球除了颜色不同外其余都相同．从中任意摸出两个
小球，摸到两个红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了列表法与树状图法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：列表的目的在于不
重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．应用列表
法，求出从布袋里摸出两个球，摸到两个红球的概率是多少即可．
【详解】解：列表如下：
红1 红2 白
红 红1 红1
--
1 红2 白
红 红2 红2
--
2 红1 白
白红 白红
白 --
1 2
∵从布袋里摸出两个球的情况一共有6种，摸到两个红球的情况有2种，
∴摸到两个红球的概率是 ．
故选：A．
7. 开学季到来的时候，某文具店在今年 月份购进了数量相同的 ， 两种品牌的钢笔，其中 品牌钢笔
花费 元， 品牌钢笔花费 元．已知 品牌钢笔的单价比 品牌钢笔单价少 元，那么 品牌钢
笔的单价为多少元？设 品牌钢笔的单价为 元，则下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意正确列出分式方程是解答本题的关键．根据“某文具店在今年 月份购进了数量相同的 ， 两种品牌的钢笔”，列出分式方程即可．
【详解】解：依题意得： ，
故选：B．
8. 已知点 ， ， 在反比例函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系
不可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再分类
讨论，即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数 中 ，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内， 随 的增大而增大．
∵点 ， ， 在反比例函数 的图象上，，
①当 时，则
②当 时，则
③当 时，则
④当 时，则
故选：D．
9. 如图，在 中，点D在边 上， ， 平分 ，分别交 于点E，
F．若 ，则 的长为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质．证明 ，可得 ， ，
再证明 ，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B
10. 如图，在矩形 中， ， ，E为矩形 的边 上一点， ，
点P从点B出发沿折线 运动到点D停止，点Q从点B出发沿 运动到点C停止，它们的运动
速度都是 ，现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s）， 的面积为 ，则y关于x的
函数图象为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】D【解析】
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、二次函数的图象、一次函数的图象、锐角三角函数．先求得
的长，再分 、 、 三种情况，分别求得对应的 与 的函数关系时，进
而利用二次函数的图象和一次函数的图象特点逐项判断即可．
【详解】解：在矩形 中， ， ， ，点 在 上，且
，
则在直角 中，根据勾股定理得到 ，
当 ，即点 在线段 上，点 在线段 上时，过点P作 于F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
此时，该函数图象是开口向上的抛物线在第一象限的部分；
当 ，即点 在线段 上，点 在线段 上时，此时 ，此
时该函数图象是直线的一部分；
当 ，即点 在线段 上，点 在点 时， 的面积 ，此时该三
角形面积保持不变；
综上所述，选项D正确．
故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 要使分式 有意义，则 的取值应满足_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件．
根据分母不为零即可求出答案．
【详解】解：∵分式 有意义，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12. 在实数范围内可以把 分解因式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
13. 如图，四边形 内接于 ，连接 ， ， ，若 的半径为3，则 的
长为______．【答案】
【解析】
【
分析】如图所示，连接 ，首先根据等边对等角得出 ， ，然后求出
，然后利用圆周角定理求出 ，然后利用弧长公式求解即可．
此题考查了等边对等角，圆周角定理，弧长公式，解题的关键是掌握以上知识点．
【详解】如图所示，连接
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∵ 的半径为3
∴ 的长 ．故答案为： ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，放置一个等腰 纸片， 边与 轴重合，点 坐标
为 ，若反比例函数 与 边交于点 ，与 边交于点 ．
（1）当点 为 中点时，则 的值为_____；
（2）将如图放置的 纸片的 沿过点 的直线翻折，当点 落到 中点时， ______
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析
式，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，数形结合是解答本题的关键．
（1）作 于点F，求出 ，得到点B的坐标，利用中点坐标公式求出点D的坐
标即可求解；
（2）求出点 的坐标，求出直线 的解析式，设 ，利用勾股定理求出m的值，进而可求
出k的值．
【详解】解：（1）作 于点F，∵点A坐标为 ， ，
∴ ，
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为 ，
故答案为：2；
（2）如图，点B落在 上中点 处，连接 ．由（1）可知， ，
∴ ，
∵点A坐标为 ，点 是 的中点，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
把点A和点B的坐标代入 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
三、解答题（本大题共9小题，满分90分）15. 计算：
【答案】1
【解析】
【分析】根据绝对值法则，二次根式化简，零指数幂和锐角三角函数值，即可计算出答案.
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了绝对值法则，二次根式化简，零指数幂和锐角三角函数值，掌握实数的混合运算法则
是解题关键.
16. 某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包
中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实
验器材包，应分配多少名工人生产电压表？
【答案】应分配25名工人生产电压表
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设应分配 x名
工人生产电压表．根据题意列出方程，解出 的值即可解答．
【详解】解：设应分配x名工人生产电压表，
根据题意，得 ，
解得： ．
答：应分配25名工人生产电压表．
17. 2022年11月29日，搭载神舟十五号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射．运载火箭从
发射点O处发射，当火箭到达A处时、在地面雷达站C处测得点A的仰角为 ，在地面雷达站B处测得
点A的仰角为 ．已知 ，O、B、C三点在同一条直线上，求B、C两个雷达站之间的距离
（结果精确到 ，参考数据 ）．【答案】
【解析】
【分析】在 中，求出 ，在 中，由 ，
，求得 ，进一步即可得到B、C两个雷达站之间的距离．
【详解】解：在 中， ， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
即B、C两个雷达站之间的距离为 ．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合并准确计算是解题的关键．
18. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的 网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段
．按下列要求在网格中画图，不写画法．（1）以A为旋转中心，将线段 逆时针旋转 ，画出线段 ；
（2）连接 ，仅用无刻度的直尺在给定的网格中画出线段 的垂直平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-旋转变换，无刻度直尺作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解
题的关键．
（1）取格点 ，连接 ，线段 即为所求；
（2）取格点 ，连接 ， 即为所求．
【小问1详解】
解：如图，取格点 ，连接 ，线段 即为所求；
【小问2详解】
解：如图，取格点 ，连接 ，
，
垂直平分 ，
即为所求．
19. 【观察思考】
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，第4个等式： ，
……
【规律发现】
（1）写出第5个等式： ；
（ 2 ） 写 出 你 猜 想 的 第 个 等 式
；
【规律应用】
（3）应用规律计算： （需写出过程）．
【答案】（1） ；（2）
；（3） ，见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律的探索，与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律
并能灵活运用是解答的关键．
（1）仿照题干即可求解；
（2）仿照题干即可求解；
（3）将原式变形为 ，再运用结论求解．
【详解】解：（1）∵第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，第4个等式： ，
∴第5个等式：
（2）根据规律可得： ；
（3）解：原式
．
20. 如图， 为 的直径， 的切线 交 的延长线于点E，点D在 上， ，连接
．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，求弧长，勾股定理，等腰三角形的性质与
判定等待，正确作出辅助线是解题的关键。
（1）由切线的性质可得 ，则 ，再由等边对等角和三角形外角的性质得到
，再证明 ， ，即可证明 ．
（2）先证明 ，则 ，由圆周角定理得到 ，进一步求出，据此利用弧长公式求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
∵ 是 的切线，
，
，
，
∴ ，
，
，
，
为直径，
，
，即 ，
．
【小问2详解】
解：如图，连接 ，由（1）得 ，
，，
，
，
，
，
，
，
∴ 的长为 ．
21. 坪山大剧院位于坪山文化聚落，是一个戏剧文化的综合空间、一个先锋戏剧的原创基地、一个品质引
领的文化地标．为了加深对于戏剧文化的了解，小坪同学和小山同学准备组织一次到坪山大剧院的观剧活
动．他们对同班同学发放了调查问卷，统计同学们最喜欢的戏剧种类，其调查结果如下：
（1）班级总人数为_______________人， __________________°；
（2）补全条形统计图；
（3）若小坪和小山所在的年级有800人，估计该年级喜欢舞剧的人数是多少？
（4）坪山大剧院周五，周六和周日将推出同一场音乐剧，假设小坪和小山分别打算去看这场音乐剧，且
每一天去看音乐剧的可能性相同，那么在事先没有约好的情况下，小坪和小山选择同一日期看音乐剧的概
率是多少？（请用画树状图或列表等方法说明理由）．
【答案】（1）50，144
（2）见解析 （3）128人
（4）【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的
关键．
（1）利用喜欢戏曲的人数除以喜欢戏曲的人所占的比，可以求出总人数，再用 乘以喜欢音乐剧的学
生所占的比，可以求出圆心角度数；
（2）用总人数减去喜欢戏曲、音乐剧、舞蹈的人数可以求出喜欢话剧的人数，补全条形统计图即可；
（3）用800乘以喜欢舞剧的学生所占的比即可；
（4）画树状图或者列表可得出所有等可能的结果数以及小坪和小山选择同一日期的结果数，再利用概率
公式可得出答案．
【小问1详解】
解：班级总人数为 （人），
喜欢音乐剧的人数所对应的圆心角的度数为 ，
故答案为：50，144；
【小问2详解】
解：喜欢话剧的人数为 （人），
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解： （人），
的
答：估计该年级喜欢舞剧 人数为128人．
【小问4详解】
解：列表如下：
小山
五 六 日
小坪五 （五，五） （五，六） （五，日）
六 （六，五） （六，六） （六，日）
日 （日，五） （日，六） （日，日）
共有9种等可能的结果，其中小坪和小山选择同一日期看音乐剧的结果有（五，五），（六，六），（日，
日）共3种，（没有列出情况不得分）
两人同一日期看音乐剧的概率为 ．
22. 在矩形 中，点 是边 的中点，点 是边 上的点， 的延长线与 的延长线交于点
，以 为斜边向下作等腰直角 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）若点 为 的中点，
如图 ，当 在 上时，求 ；
如图 ，连接 ，当 ， 时，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质得 ，再结合 ， ，即
可得证；
（2）设 ，则 ，
由 得 ，然后根据矩形的性质、等腰直角三角形的性质证明， 得 到 ， ， 所 以 ， 最 后 根 据
即可求解；
连接 ，由 得 ，证明点 ， ， 共线，再证明 得
，即 ，解出 的值，即可得解．
【小问1详解】
解： 四边形 是矩形，
，
， ，
；
【小问2详解】
解：设 ，则 ，
由（1）知 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
， ，
为等腰直角三角形，
， ，
，
，，
， ，
，
， ，
；
连接 ，由（1）知 ，
，
，
， ，
，
，
，
点 ， ， 共线，
， ，
，
，
，即 ，
解得： ，
．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三
角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
23. 一块土地上有一个蔬菜大棚（如图1），其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体 上，另
一端固定在墙体 上（墙体足够高），其横截面有2根支架 ， ，相关数据如图2所示，其中
（1）在图2中以点 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，C为抛物线顶点，求抛物线的函
数表达式，
（2）大棚为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，向上调整为如图3，此时 ， ，
求调整后的抛物线解析式；
（3）大棚内变化前后最大高度差是多少？
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）由题意得， ，再把函数解析式设为顶点式，接着利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可求出 的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（3）用调整后的函数解析式减去调整前的函数解析式，利用二次函数的性质求出差的最大值即可得到答
案．
【小问1详解】
解：由题意得， ，
∵C为抛物线顶点，
∴可设抛物线解析式为 ，
把 代入到 中得： ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ；
【小问2详解】
解；∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，设调整后的抛物线解析式为 ，
∴ ，
解得 ，
∴调整后的抛物线的函数表达式为 ；
【小问3详解】
解：设大棚内变化前后的高度差为W，
由题意得，
，
∴当 ，即 时，W有最大值，最大值为 ，∴大棚内变化前后最大高度差是 ．
