文档内容
安徽省 C20 教育联盟 2025 年九年级中考“功夫”卷（一）
数学
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共2页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合本题要求的．
1. 下列四个数中，比 小的数是（ ）
A. B. C. 0 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数比较大小，掌握有理数比较大小的方法是关键．根据正数大于 ， 大于负数，
正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解．
【详解】解： ，
∴比 小的数是 ，
故选：A ．
2. 据 年 月 日大皖新闻讯，安徽省林业总产值从改革前 亿元增加到 亿元，数据
为
亿用科学记数法表示 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数即可求解，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对
值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值 时， 是正整数；当原数的绝对值 时， 是负整数，
解题的关键要正确确定 的值以及 的值．
【详解】解： 亿 ，
故选： ．
3. 将如图所示的图形绕虚线旋转一周后，得到的几何体与下列花瓶形状最相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何体，解题关键是理解面动成体．
根据面动成体判断出如图所示的图形旋转得到立体图形即可得解．
【详解】解：根据面动成体可以得出， 旋转一周后的形状最相似的是 ，
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，算术平方根，掌握相应的运算法则是
关键．根据相关计算法则求出对应选项式子的结果即可得到答案．【详解】解：A、 ，选项错误，不符合题意；
B、 ，选项错误，不符合题意；
C、 ，选项正确，符合题意；
D、 ，选项错误，不符合题意．
故选：C．
5. 如图，是中国秦初至清末部分朝代历经的时间．下列说法正确的是（ ）
A. 明朝时间最长 B. 隋朝时间最短
C. 有4个朝代超过250年 D. 若西汉，东汉合并为汉，则汉朝时间最长
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，根据题意，从统计图中获取正确 的信息即可求解．
【详解】解：由统计图可知
A、唐朝时间最长，故A不符合题意；
B、秦朝时间最短，故B不符合题意；
C、有3个朝代超过250年，故C不符合题意；
D、若西汉，东汉合并为汉，则汉朝时间最长，故D符合题意，
故选：D．
6. 已知反比例函数 与一次函数 的图象的一个交点的横坐标为 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 5 D. 3
【答案】A
【解析】【分析】本题考查了用待定系数法确定函数的解析式．把 代入反比例函数的解析式，即可求得交点
坐标，然后利用待定系数法即可求得k的值．
【详解】解：在 中，
令 ，
解得 ，
则交点坐标是： ，
代入 ，得 ．
解得 ．
故选：A．
7. 如图，在 中， ，点D，E在边 上，且 ， ，则
的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出全
等三角形是解题的关键．
由题意得出 ， ，由旋转的性质，再证 ，得出， ，设
，则 ， ，由勾股定理得出方程，解方程即
可．
【详解】解： 在 中， ， ， ，，
，
把 绕点A逆时针旋转 得到 ，连接 ，
则 ， ， ， ，
，
，
，
在 和 中
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得，
，
即 ，得 ，
即 ．
故选：A．
8. 已知实数a，b，c满足 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查等式的性质及完全平方公式，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题关键．根据等
式的性质进行判断即可．
【详解】解：若 ，则 ，即 ，代入 ，得 ，所以A错误；
若 ，则 ，代入后得到 ，于是解得 或 ，所以B选项错误；
同B选项，可得 或 ，故C选项错误；
若 ，则 ， ，所以D选项正确．
故选：D．
9. 二次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A. B. C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与反比例函数图象的性质，掌握二次函数与反比例函数的图象和性质是解题
的关键．
根据二次函数中二次项系数、一次项系数的分析得到二次函数图象，从而判断反比例函数图象即可求解．
【详解】解：二次函数 ，对称轴直线为 ，
当 时，二次函数图象开口向上，则反比例函数 的图象经过第一、三象限；
当 时，二次函数图象开口向下，则反比例函数 的图象经过第二、四象限；
只有B选项符合题意，
故选：B ．
10. 在菱形 中，点 是对角线 上一点，且 ，则 的长为（
）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的运用，解一元二次方程，掌握菱形的性质，勾股定理的计算
是解题的关键．
根据题意作图，设对角线 交于点 ，根据题意得到 ，由菱形的性质得到， ， ， ，则
，在 中， ，即 ，在
中， ，即 ，由此列式求解即可．
【详解】解：根据题意，作图如下，设对角线 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，即 ，∴ ，
整理得， ，
解得， （不符合题意，舍去）， ，
∴ ，即 ，
故选：D ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 4的平方根是_______．
【答案】±2
【解析】
【详解】解：∵ ，
∴4的平方根是±2．
故答案为±2．
12. 因式分解： ______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查因式分解，解此题的关键在于熟练掌握平方差公式．
先提取公因式 ，再利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
13. 如图， ，则 ______．【答案】 ## 度
【解析】
的
【分析】本题考查了等腰直角三角形，含30度角 直角三角形，三角函数值的计算，掌握锐角三角函
数值的计算方法是解题的关键．
如图所示，过点 作 于点 ，则 ，可得
，则 ，在 中， ，设
，根据锐角三角函数值的计算得到 ， ，
， ，在 中，
，根据锐角三角函数的计算，得到 ，由此即可
求解．
【详解】解：如图所示，过点 作 于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
如图所示， 中， ， ， ，过点 作 于点
，则 ，设 ，
∴ ， ，则 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点 分别在反比例函数 ， 的图象上，
点 在第二象限内， 轴于点 ， 轴于点 ，连接 ，已知点 的坐标为 ．
（1）点 的坐标为______；
（2）若线段 所在直线的函数表达式为 ，则四边形 的面积为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数，一次函数，相似图形的综合，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关
键．
（1）根据点 在第二象限内， 轴，得到点 的纵坐标为 ，代入计算即可求解；（2）根据题意得到 ， ， 轴， ， ， ， ，
设线段 与 轴交于点 ，如图所示，则 ，再证明 ，得到 ，即
，则 ，由 ，代入计算即可求解．
【详解】解：（1）∵点 分别在反比例函数 ， 的图象上，点
在第二象限内， 轴，
∴点 的纵坐标为 ，
∴在反比例函数 中，当 时， ，
解得， ，
∴ ；
（2）∵ 轴于点 ， 轴于点 ，点 的坐标为 ， ，
∴ ， ， 轴，
∴ ， ， ， ，
∵线段 所在直线的函数表达式为 ，设线段 与 轴交于点 ，如图所示，∴令 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∴ ，
∴ ，
∴
；
故答案为：① ；② ．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂，立方根，负整数指数幂，熟练掌握零指数幂，立方根，负整数指数幂是解
题的关键
先分别计算零指数幂，立方根，负整数指数幂，然后进行加减运算即可．
【详解】解： ．
16. 甲便民服务点有工作人员19人，乙便民服务点有工作人员27人，现在有20名志愿者前来支援，要使
甲便民服务点的工作人员数是乙便民服务点的一半，应该怎样分配前来支援的志愿者．
【答案】应往甲便民服务点调3人，往乙便民服务点调17人
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键．
根据题意，设甲便民服务点有工作人员x人，乙便民服务点有工作人员 人，由此列式求解即可．
【详解】解：设甲便民服务点有工作人员x人，乙便民服务点有工作人员 人，
∴ ，
解得， ，
∴ （人）， （人）， （人）．
答：应往甲便民服务点调 人，往乙便民服务点调 人．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 【观察思考】
同样大小的★按如图所示的规律摆放：【规律发现】
（1）第5个图形中有______颗（★）；第8个图形比第6个图形多______颗星（★）；（填数字）
（2）第 个图形比第n个图形中多______（用含n的代数式表示）颗（★）．
【规律应用】
（3）请分析第 个图形能否比第n个图形中的星（★）恰好多2024颗．
【答案】（1）30，30；（2） ；（3）不能
【解析】
【分析】本题主要考查图形规律，掌握整式的混合运算，找出规律是解题的关键．
（1）根据图示，找出规律即可求解；
（2）结合（1）中的规律分别算出，第n个图和第 个图中（★）的数量，再根据整式的计算即可求
解；
（3）根据题意，假设第 个图形能否比第 个图形中的星恰好多 颗，得到 ，则
，由此判定假设的情况，即可求解．
【详解】解：（1）第1个图有2颗（★），一行两列，
第2个图有6颗（★），二行三列， ，
第3个图有12颗（★），三行四列， ，
第4个图有20颗（★），四行五列， ，
∴第5个图有30颗（★），五行六列， ，
第6个图有42颗（★），六行七列， ，
第8个图有72颗（★），八行九列， ，
∴第8个图形比第6个图形多 颗星（★），
故答案为： ， ；（2）根据上述计算得到，第n个图， 行 列， ，有 颗（★）
第 个图， 行 列， ，有 颗（★）
∴ ，
故答案为： ；
（3）假设第 个图形能否比第 个图形中的星恰好多 颗，
∴ ，
解得， ，
∵ 不是正整数，
∴假设不成立，
∴第 个图形不能比第 个图形中的星恰好多 颗．
18. 网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形， 位置如图所示，且 ．
（1）画出平面直角坐标系 ，写出点C的坐标；
（2）平移 ，使点C移动到点 ．
①画出平移后的 ，其中点D与点A对应（不写画法）；
②若点 在 内，其平移后的对应点为 ，写出 的坐标．
【答案】（1）见解析，（2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，图形的平移，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键．
（1）根据点 的坐标确定坐标系，由坐标系的特点可写出点 的坐标；
（2）①根据图形平移的方法作图即可；
②根据点平移规律“左减右加”即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，建立平面直角坐标系．
∴点C的坐标 ；
【小问2详解】
解：已知点 ，平移到点 ，
∴右移 个单位，下移 个单位，
①如图所示， 即为所求；
② 的坐标为 ．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某种落地灯如图1所示，图2是其侧面示意图（假设台灯底座为线段 ，其高度忽略不计，灯罩和
灯泡假设为点 ， 为立杆，其高为 ； 为支杆，它可以绕点 旋转，其中 长为 ；
为悬杆，滑动悬杆可调节 的长度，它也可以绕点 旋转．使用过程中发现：当灯泡与地面的距离不低于 且不高于 时，台灯光线最佳．现测得 为 ，支杆 与悬杆 之间的夹角
，支杆 与立杆 之间所成的 ，请通过计算说明此时台灯光线是否为最
佳？（参考数据： ，
【答案】是最佳，计算见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．分别过点 作 于
点 ， 交 于点 ， 于点 ， 于点 ，交 于点 ，由题意易得
， ， ，然后根据三角函数可进行求解．
【详解】解：分别过点 作 于点 ， 交 于点 ， 于点 ，
于点 ，交 于点 ，如图所示：
由题意得： ， ，
，
，
，，
，
， ，
， ，
，
，
即灯泡与地面的距离为 ，
．
落地灯光线是为最佳．
20. 如图， 是 的角平分线．
（1）作线段 的垂直平分线 ，分别交 于点 ；（用直尺和圆规作图，标明字母，保
留作图痕迹，不写作法．）
是
（2）连接 ，求证：四边形 菱形．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题考查尺规基本作图，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，菱形的判定等知识，
解题的关键是熟练掌握基本知识．
（1）利用尺规作线段的垂直平分线即可．
（2）根据四边相等的四边形是菱形即可证明．
【小问1详解】
解：如图，直线即为所求．【小问2详解】
证明：连接 ，如图，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴在 和 中
，
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分线段 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
六、（本题满分12分）
21. 2024年6月6日是第29个全国“爱眼日”，主题是关注普遍的眼健康．为科学防控近视，关注孩子眼
睛的健康．希望学校在“爱眼日”当天随机抽取50名学生进行视力检测，并将结果分成A（
），B（ ），C（ ），D（ ），E（ ），F（
）六组，进行数据整理，已知视力标准的正常值 ，信息如下：
A．视力频数分布表：A（ B（ C（ D（ E（ F（
视力（x）
） ） ） ） ） ）
频数 5 8 9 m 7 n
B．D组的数据分别为：
4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.6，4.7，4.6，4.6，4.7，4.7，4.6
请根据以上信息，回答下列问题：
（1） ______， ______；
（2）本次调查视力情况的中位数为______，视力正常的人数占被调查人数的百分比为______；
（3）请对该校学生的视力情况作出评价，并提出两条合理化建议．
【答案】（1）14，7
（2）4.6，
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查的是频数分布表的知识，中位数，读懂频数分布表和利用其获取信息是解题的关键．
（1）由题意可知， 组的频数为14，再根据样本容量是50求出 ；
（2）根据 组的数据结合中位数的定义求出中位数即可，求出视力正常（ ）的人数即可解答；
（3）根据视力正常（ ）的人数占被调查人数的百分比提出建议即可．
【小问1详解】
解：由题意可知， 组的频数为14，
则 组的频数为： ，
故答案为：14，7；
【小问2详解】
组的数据排序为：4.6，4.6，4.6，4.6，4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，4.7，
根据 组的数据可得第25，26个数据均4.6，故本次调查视力情况的中位数为4.6，
视力正常的人数占被调查人数的百分比为 ，
故答案为：4.6， ；
【小问3详解】
该校学生的视力大多数没有达到视力正常的水平；建议：①加强学生的用眼健康教育，养成良好的用眼习
惯；②加强对电子产品进校园及使用的管控．（答案不唯一，合理即可）
七、（本题满分12分）22. 如图，在平行四边形 中，点E是边 上的点，且 ，连接 ，点G在 上，连
接 ，作 交 于点F， 于点H， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的值；
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，相似三角形判定与性质及勾股定理的应用等知识，
（1）先证四边形 是平行四边形，从而证明 ，进而证明结论；
（2）设 ，则 ，求出 ， ， ，作
于点P，结合等腰三角形性质求出结论．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【小问2详解】
解：设 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
由（1）得 ， ，
∴ ， ，
∵四边形 是平行四边形， ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ，
由（1）得 ，
∴点G为 斜边 的中点， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
如图，作 于点P，
∴ ， ，
∴ ．八、（本题满分14分）
23. 如图，二次函数 的图象与y轴交于点 ，与x轴的负半轴交于点B，与x轴的另
一个交点为C，且 的面积为6．
（1）求b，c；
（2）若点M为二次函数 的图象第二象限内一点，求四边形 的面积S的最大值；
（3）如果点P在x轴上，且 是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3） 或 或 或
【解析】
【分析】（1）根据点 ，得到 ，由几何面积得到 ，即点 ，将点
的坐标代入二次函数表达式即可求解；
（2）根据二次函数与坐标轴的交点的计算得到点 ， ，如图所示，过点作 轴于点 ，设点M的坐标为 ，则 ，
， ， ，根据
，代入，结合二次函数求最值的计算方法即可求解；
（3）设点P的坐标为 ，则 ， ， ，根据等腰三角
形的定义，分类讨论：当 时，即 ；当 时，则 ；当
时，则 ；由此解方程即可求解．
【小问1详解】
解：∵二次函数 的图象与y轴交于点 ，
∴ ，
∵ 的面积 ，
∴ ，即点 ，
将点 的坐标代入二次函数表达式得： ，
解得 ．
【小问2详解】
解：由（1）得抛物线的表达式为 ，
令 ，即 ，解的 ，或 ，
∴点 ， ，
如图所示，过点 作 轴于点 ，
设点M的坐标为 ，
∴ ， ， ， ，
∵
∴
，
∵ ，
∴当 时，S最大值 ，答：四边形 的面积S的最大值为 ．
【小问3详解】
解：设点P的坐标为 ，则 ， ， ，
当 时，即 ，
解得 （舍去）或3，即点P的坐标为 ；
当 时，则 ，
解得 或 ，即点P 的坐标为 或 ；
当 时，则 ，
解得 ，即点P的坐标为 ；
综上，点P的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查二次函数几何图形的综合，掌握二次函数图象与坐标轴的交点的计算，二次函数图
象与几何图形面积的计算，等腰三角形的定义，分类讨论思想的运用是解题的关键．
