文档内容
安徽省 C20 教育联盟 2025 年九年级中考“功夫”卷（三）
数学
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合本题要求的．
1. 下列为负数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，先利用有理数的相应的法则进行化简运算，然
后再根据正负数的定义即可判断．
【详解】解：A． ，是正数，不符合题意；
B. ，是正数，不符合题意；
C． ，是正数，不符合题意；
D． 是负数，符合题意；
故选：D．
2. 下列四个几何体中，是棱柱的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根据棱柱的形体特征进行判断即可．
【详解】解：选项A中的几何体是圆柱，因此选项A不符合题意；
选项B中的几何体是三棱柱，因此选项B符合题意；
选项C中的几何体是三棱锥，因此选项C不符合题意；
选项D中的几何体是四棱台，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了认识立体图形，掌握棱柱、棱锥、圆柱、棱台的形体特征是正确判断的前提．
3. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则解题即可．
【详解】解： ，
故答案为：C．
4. 西递、宏村以其世外桃源般的田园风光和丰富多彩的历史文化内涵闻名天下．相关部门对“十一”期间
到西递、宏村观光的游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理绘制了两幅尚不完整的统计图，根据图中
信息，下列结论不正确的是（ ）
A. 本次抽样调查 人
B. 本次抽样中选择公共交通出行的有 人
C. 扇形统计图中，“其他”所对应的圆心角是
D. 若“十一”期间到西递、宏村观光的游客有 万人，则选择自驾出行的约有 万人
【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，对图表的分析是解题关键．
根据自驾人数及其对应的百分比可得样本容量；用样本总人数乘以对应的百分比可得选择公共交通出行的
人数；根据各部分百分比之和等于 可得“其他”的百分比，在乘以 即可；利用样本估计总体可得选
择自驾出行的人数．
【详解】解：A、本次抽样调查的样本容量是 人，此选项正确；
B、样本中选择公共交通出行的有 人，此选项正确；
C、扇形统计图中，“其他”所对应的圆心角是 ，此选项正确；
D、若“十一”期间到西递、宏村观光的游客有 万人，则选择自驾出行的约有 万人，此选项
错误．
故选：D．
5. 在数轴上表示不等式 的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式 的解法，在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表
示出来的方法： 空心圆点向右画折线， 实心圆点向右画折线， 空心圆点向左画折线，
实心圆点向左画折线．先求出不等式的解集，再根据在数轴上表示不等式解集的方法解答．
【详解】解：由题意得 ，
移项得， ，
系数化为1得， ，
在数轴上表示如下： ．
故选：A．
6. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，在设计人体雕像时，为了增加视觉美感，将雕像 分为上下
两部分，其中 为 的黄金分割点 ，即已知 为2米，则 的长为 米，它介于
整数 和 之间，则 的值是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了黄金分割及估算无理数的大小的能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们
具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．应先找到所求的无理数在哪两个和它接
近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
故选：B．
7. 某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系，若22码鞋子的长度为16cm，44码鞋
子的长度为27cm，则42码鞋子的长度为（ ）
A. 23cm B. 24cm C. 25cm D. 26cm
【答案】D
【解析】
【分析】由题意设某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间的关系式为： ，利用待
定系数法求得解析式为： ，将x=42，代入解析式进行求值即可．【详解】解：设某品牌鞋子的长度ycm与鞋子的“码”数x之间的关系式为： ，
将x=22，y=16；x=44，y=27，分别代入解析式得： ，
解得： ，
∴长度ycm与鞋子的“码”数x之间的关系式为： ，
将x=42，代入解析式得： ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是一次函数求解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
8. 如图，在菱形 中， ， ，过菱形 的顶点分别作边对角线 ，
的平行线，两两相交于点 ， ， ， ，则四边形 的周长为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，30度所对的直角边等于斜边的一
半，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键．先证明四边形 、 、 是
平行四边形，得到 ， ，然后利用等腰三角形的性质，求得 ，在
中利用勾股定理求得 ， ，从而得到 和 ，最后算得答案．
【详解】解：连接 ， ， 与 相交于点 ，如图所示：，
四边形 、 、 是平行四边形
四边形 是菱形
， ， ，
，
，
，
则四边形 的周长为:
故选：D
9. 已知正数 ， ， 满足 ， ， ，下列说法正确的是（ ）
A. 当 时， 随 的增大而减小 B. 当 时， 随 的增大而增大
C. 当 时， 最小值为为 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，对称轴，熟练掌握以上知识点并能进行数形结合是解题的关键．从题意可知， ， ，结合 为正数，求得 的范围，结
合二次函数的图象一一判断即可．
【详解】解：
，
的开口向上，对称轴为
时， 随 的增大而减小， 时，即 时， 随 的增大而增大，故A不
符合题意，B不符合题意；
当 时， 最小值为为 ，当 时， 有最大值1，故C不符合题意；
，故D符合题意；
故选：D．
10. 在凸四边形 中， ， 平分 ， ，垂足为 ， 是
的中点，连接 ， 则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】利用 ， ，可判定 ，接着可证明 ，得到
，可知 是 的中点，接着利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推导出选
项C；接着证明 ， ，可得到 ， ，结合 ，
可知 是 的中位线，从而推导出选项B；通过点 是 斜边上的中点，再次接着利用直
角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出选项A，从而得出答案．
【详解】解：如图所示，延长 交 于点 ，延长 ，交 的延长线于 的延长线于点 ，
延长 交 于点
， ，
，
，故C正确；
平分 ，
，，
，
，
，
是 的中位线
， ，故B正确；
，
，故A正确；
，但没有足够的条件证明
故D不一定成立；
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定，中位线的性质，直角三角形斜边上的中线等于
斜边的一半，平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并画出合适的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了实数的减法运算，算术平方根，零指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先计
算算术平方根和零指数幂，然后进行有理数的减法运算即可．
【详解】解：
故答案为：2．
12. 新华社北京2024年10月4日电，铁路黄金周，全国铁路旅客发送量连续4天超17000000人次，运输
安全平稳有序．数据17000000用科学记数法表示为________．【答案】
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 为
整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数．
【详解】解： ．
故答案为： ．
13. 如图， 是 的中线，E是 的中点， 的延长线交 于点F，那么 ______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意先过D作 的平行线，交 边于G，得出 ，再根据D为 中点可得出
， ；同理求得 ，从而得出 ，即可得
出 的值．【详解】解：过D作 的平行线，交 边于G，如图所示：
∵D为 中点， ，
∴ ，即： ，
又E为 的中点， 的延长线交 于F， ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴ .
故答案为： ．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
14. 平面直角坐标系中， 是坐标原点，点 ， 在抛物线 的图象上，连接
， ， 轴．
（1） ________；
（2）若将抛物线 向下平移 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在 的内部
（不包括 的边界）则 的取值范围是________．【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的顶点坐标，一次函数，
熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）利用待定系数法可求得二次函数解析式，从而知道 ；
（2）先写出下移后的函数表达式 ，表示出顶点坐标 ，
接着求出直线 的表达式，求得当 时， ，使平移后得到的抛物线顶点落在 的内部
（不包括 的边界），那么 ，最后解不等式即可．
【详解】解：（1） 点 ， 在抛物线 的图象上，
故答案为： ；
（2） 抛物线 向下平移 个单位
，
为
顶点坐标 ，
设直线 的表达式为
代入点 ，得到
直线 的表达式为时，
使平移后得到的抛物线顶点落在 的内部（不包括 的边界）
故答案为： ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简，平方差公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先对 进行因式
分解，然后约分，化简，最后再代入求值即可．
【详解】解：原式
当 时，
原式
．
16. 某电视台在黄金时段的 广告时间内，计划插播长度为 和 的两种广告， 广告每播1次
收费1万元， 广告每播1次收费6000元．若要求每种广告播放不少于2次，插播的广告正好排满
．
（1）请问电视台两种广告的播放次数是如何安排的？
（2）请你帮电视台选择收益最大播放方式，说明理由．
【答案】（1）两种广告的格放次数有两种安排方式，播放 的广告的次数是2时，播放 的广告的次数是4：播放 的广告的次数是3时，播放 的广告的次数是2
（2）播放 的广告2次，选择播放 的广告4次收益最大，见解析
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的应用．解题关键是要弄清题意，根据题意找出合适的等量关系，列出
方程，再求解．注意每种广告的播放次数是不 的正整数．
（1）本题中的等量关系：30秒 次数 次数 ．
（2）要收益更大，就是说广告费最少．由（1）得到的安排方式，可求出每种安排方式所用的钱，再比较．
【小问1详解】
解：设播放 的广告 次，播效 的广告 次．
依题意，得 ，
， ，
解得 或
答：两种广告的格放次数有两种安排方式，播放 的广告的次数是2时，播放 的广告的次数是4：播
放 的广告的次数是3时，播放 的广告的次数是2；
【小问2详解】
当 ， 时， （万元）．
当 ， 时， （万元）．
所以，播放 的广告2次，选择播放 的广告4次收益最大．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在平面直角坐标系中， 位置如图所示．（1）画出 向上平移1个单位，再向左平移2个单位后得到的 ；
（2）以原点 为位似中心，在 轴的右侧画 的一个位似 ，使它与 的位似比为
；
（3）判断 和 是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点 ，并写出点 的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析，
【解析】
【分析】本题主要考查了作图-位似变换，平移变换．
（1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解；
（2）根据位似变换的性质找出对应点即可求解；
（3）作直线 ， ， ，发现三条直线交于同一点，再根据位似图形的定义判断可得答案．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求．【小问2详解】
解：如图所示， 即为所求．
【小问3详解】
解： 和 是位似图形，点 为所求位似中心，点 的坐标为 ．18. 已知一次函数 与反比例函数 的图象都经过点 ， ．
（1）求一次函数表达式；
（2）在图中画出一次函数 的图象，并根据图象，写出一次函数值大于反比例函数值时 的取值
范围．
【答案】（1）
（2）见解析， 或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，反比例函数的图象，利用数形结合
思想是解决问题的关键．
（1）利用待定系数法解题即可；
（2）先画出一次函数的图象，然后结合图象，求得 ，观察得出一次函数值大于反比例函数值时 的取值
范围．
【小问1详解】
解：将点 代入反比例函数 得：
∴ ．
将点 代入 得： ．
∴ ，∴一次函数表达式为 ．
【小问2详解】
解： 当 时， ，
过 ， 画出一次函数 的图象，下图为所求：
从图象可知，
一次函数值大于反比例函数值时 的取值范围： 或 ．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 【观察思考】
观察下列各式．
…
【规律发现】
请根据你发现的规律完成下列各题：
（1）根据规律可得 ________（其中 为正整数）；
【规律应用】
（2）计算： ；（3） 计算： ；
①
计算： ．
②
【答案】（1） ；（2） ；（3）① ；②
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式，多项式乘法的规律问题．
（1）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可；
的
（2）根据所给式子 规律，把x换为5即可求解；
（3）配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果；
【详解】（1）解： ；
故答案为： ；
（2）解： ；
（3）解：①由 可得：
，
∴ ；
②由 可得：
原式
．
20. 如图， 中， ，平面内有点 （点 和点 在 的同侧），连接 ， ，， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求线段 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）作 交 的延长线于点 ，先证明 是等腰直角三角形，再证明
，接着证明 ，得到 ，借助
，得证；
（2）先计算出 ， ，在 上取一点 ，连接 ，使 ，算得
，然后在 中利用30度所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理算得答案．
【小问1详解】
证明：如图，作 交 的延长线于点 ，
则 ，
，，
，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
解： ， ，
，
， ，
在 上取一点 ，连接 ，使 ，
则 ，
，
，
，
，，
线段 的长是 ．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形得性质，勾股定理，三角形全等得判定与性质，30度所对得直角边等
于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 瓜农李大爷为了解“ 品种西瓜”和“ 品种西瓜”的质量情况，从两大棚中分别随机调查 个西瓜
的质量 （单位：斤）进行整理分析（数据分为五组：A． ，B． ，C． ，
D． ，E． ），下面给出了部分信息：
“ 品种西瓜”质量统计表
质量
频数（个） 频率
（斤）
“ 品种西瓜”，“ 品种西瓜”质量的平均数、中位数、众数、极差如下表：
平均 中位 众 极
品种
数 数 数 差
品种
西瓜品种
西瓜
“ 品种西瓜”产量在 组中的数据是： ， ， ， ， ， ，其余所有数据的和为 ．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述统计图表中， ________， ________， ________，扇形统计图 组所对应扇形的圆心
角度数为________ ；
（2）根据以上数据，你认为哪种品种西瓜的质量情况更好？请说明理由；
（3）若两个大棚种植的“ 品种西瓜”有 个，“ 品种西瓜”有 个，请估计质量在“
”范围的西瓜的个数．
【答案】（1） ， ， ，
（2） 品种西瓜的质量情况更好，见解析
（3）大约有 个
【解析】
【分析】（1）用样本容量 乘 即可得 的值，根据平均数和中位数的定义可得 、 的值，用
乘以 组所占百分比可得扇形统计图 组所对应扇形的圆心角度数；
（2）根据两种西瓜的的平均数、中位数及众数即可进行判断；
（3）利用样本估计总体可解．
【小问1详解】
解：由题意得， ，
，
“ 品种西瓜”共 个，根据扇形统计图可知：D、E共 个，中位数是第 、 个，即在C组最后
个，即为：
；扇形统计图 组所对应扇形的圆心角度数为： ．
故答案为： ， ， ， ．
【小问2详解】
解： 品种西瓜的质量情况更好，理由如下：
因为样本中“ 品种西瓜”的平均数、中位数、众数均高于“ 品种西瓜”，所以“ 品种西瓜”的质量
情况更好；
【小问3详解】
解： （个），
答：估计质量在“ ”范围的西瓜大约有 个．
【点睛】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，中位数、众数、极差的定义，用样本估计总体，理解
并熟练掌握以上知识是解题关键．
七、（本题满分12分）
22. 在正方形 中，点 为 的中点，点 为 上一点， 、 交于点 ．
（1）若点 为为 中点，连接 ．求证： ；
（2）若 ，
①求证： ；
②求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到 ， ， ，，再证
明 ，再根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①连接 并延长交 于 ，证明 ，再由全等三角形的性质可得
，在正方形 中， ，可得 ，再证明 ，
，可得 ，于是得到结论；
②先证明 ，可得出 ，则 ，设 ， ，则
，可得 ，再求解即可．
【小问1详解】
证明：在正方形 中， ， ， ，
∵点 为 的中点，点 为为 中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
①证明：连接 并延长交 于 ，
∵ ，点 为 的中点，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在正方形 中， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ；
② ，
，
，
，
，
，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
设 ， ，
则 ，
∴ ，
解得 ， （舍去），
∴
【点睛】本题考查正方形的性质及应用，涉及等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等
三角形的判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
八、（本题满分14分）
23. 2025年元旦，希望中学开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小亮同学对会场进行装饰．如图1所示，
他在会场的两墙 、 之间悬挂一条近似抛物线 的彩带，如图2所示，已知墙
，且 、 之间的水平距离 为8米．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）为了彩带造型美观，小亮把彩带从点 处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点 到墙
距离为3米，使抛物线 的最低点距墙 的距离为2米，离地面2米，求点 到地面的距离；
（3）为了避免人的头部触到彩带，小亮将点 到地面的距离提升为3米，并调整点 的位置，使抛物线 对应的二次函数的二次项系数始终为 ，若设点 距墙 的距离为 米，抛物线 的最低点到地
面的距离为 米．
①试探究 与 的关系式；
②当 时，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）点 到地面的距离为 米
（3）① ；②
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数图像与性质、将二次函
数一般式化为顶点式等知识，解答此类问题的关键是明确题意，求出函数相应的解析式，根据函数的顶点
式可以求得函数的最值．
（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；
（2）由待定系数法求出函数表达式，当 时， ，即可求解；
（ 3 ） ① 设 出 抛 物 线 的 表 达 式 为 ： ， 将 点 的 坐 标 代 入 上 式 得 ：
，得到 ，进而求解．
②将 和 代入 与 的关系式，进而根据二次函数的性质求得 的范围，即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得，抛物线的对称轴为直线 ，则 ，
解得： ；又∵ ，
∴ ，则抛物线的表达式为： ，
当 时， ，
即顶点坐标为： ；
【小问2详解】
设抛物线 的表达式为： ，
将点 的坐标代入上式得： ，
解得： ，
则抛物线的表达式为： ，
当 时， （米），
即点 到地面的距离为2.25米；
【小问3详解】
①由题意知，点 、 纵坐标均为3，
∴抛物线 中 、 对称，
∴抛物线的顶点的横坐标为： ，
∴抛物线的表达式为： ，
将点 的坐标 代入上式得： ，
整理得： ；②当 时，即 ，
解得： （不合题意的值已舍去）；
当 时，同理可得： ，
故 的取值范围为： ．
