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第 13 章 三角形过关测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．下列各组线段中，能构成三角形的是（ ）
A．2，5，8 B．3，3，6 C．3，4，5 D．4，5，9
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得．
本题考查了三角形的三边关系定理，熟练掌握三角形的三边关系定理是解题关键．
【详解】解：A、2+5=7<8，不能构成三角形，此项不符题意；
B、3+3=6，不能构成三角形，此项不符题意；
C、3+4>5,5−4<3，能构成三角形，此项符合题意；
D、4+5=9，不能构成三角形，此项不符题意．
故选：C．
2．已知，图中的虚线部分是小明作的辅助线，则（ ）
A．CD是AB边的高 B．CD是AC边的高
C．BD是CB边的高 D．BD是CD边的高
【答案】A
【分析】此题考查三角形的高，关键是根据三角形的高是从三角形的一个顶点向底边作
垂线，垂足与顶点之间的线段解答．根据三角形的高解答即可．
【详解】解：根据三角形的高，得：CD是AB边的高，
故选A．
3．请同学们认真观察，图中共有（ ）三角形．A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】A
【分析】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念．由三角形的概念，数的时候要注
意按照一定的规律，不重不漏．
【详解】解：图形中有三角形：△ABC，△ABD，△BCD，△BCO，△COD，
∴图中共有5个三角形．
故选：A．
4．如图是位于太原市汾河上最南端的迎宾桥，其主桥通过拉索与主梁连接，使结构稳固，
造型美观．其蕴含的数学道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．三角形具有稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边
【答案】C
【分析】本题主要考查三角形的稳定性，理解图示，掌握三角形的性质是解题的关键．
根据图示，三角形的性质即可求解，
【详解】解：根据题意可得，蕴含了一个数学道理是三角形具有稳定性，
故选：C．
5．如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】本题考查的是三角形的分类，根据钝角三角形的定义作答即可．【详解】解：由三角形中有1个已知角为钝角，
∴这个三角形是钝角三角形；
故选C
6．如图，在△ABD中，∠D=80°，点C为边BD上一点，连接AC．若∠ACB=115°，
则∠CAD=（ ）
A．25° B．35° C．30° D．45°
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形的外角性质，直接利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵∠D=80°，∠ACB=115°，∠ACB是△ACD的一个外角，
∴∠ACB=∠D+∠CAD，
∴∠CAD=∠ACB−∠D=35°．
故选：B．
7．如图，已知△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．若△ABC的面积等于12，
则△BDE的面积等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用三角形中线的性质即可求解．
【详解】解：∵点E是边AC的中点，△ABC的面积等于12，
1
∴S = S =6，
△ABE 2 △ABC
∵D是AB的中点，
1 1
∴S = S = ×6=3，
△BDE 2 △ABE 2
故选B．【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解
题的关键．
8．一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得∠A=55°,∠B=60°，则这个三角形残缺
前的∠C的度数为（ ）
A．75° B．65° C．55° D．45°
【答案】B
【分析】由三角形的内角和定理即可求解．
【详解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=55°,∠B=60°，
∴∠C=180°−∠B−∠A=180°−55∘−60∘=65∘，
故选：B
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
9．小明在物理课上学习完《判断重力的方向》后，将课本上的实物图（图1）抽象成为几
何图形（图2），对同桌说：“如图，若DC⊥BC,OB∥DC，且α=24°，则
∠AOB的度数为（ ）”
A．104° B．114° C．124° D．156°
【答案】B
【分析】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．延长OA交
DE于F，由题意得OA⊥DE，可得∠OAC=∠DAF=90°−∠CDE=66°，根据平
行线的性质即可求解．
【详解】解：延长OA交DE于F，如图所示：由题意得OA⊥DE，∠CDE=α=24°，
∴∠OAC=∠DAF=90°−∠CDE=66°，
∵OB∥DC，
∴∠AOB+∠OAC=180°，
∴∠AOB=180°−∠OAC=180°−66°=114°，
故选：B．
10．如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，∠BAC=90°，DE∥AC．则下列结论：①
FG∥AD；②DE平分∠ADB；③∠B=∠CAD；④∠CFG+∠BDE=90°．正确
结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定和性质，直角三角形两锐角互余等知
识的判定，掌握以上知识是关键．根据垂线的定义，平行线的判定和性质，结合图形
判定即可．
【详解】解：∵AD⊥BC,FG⊥BC，
∴FG∥AD，故①正确；
∵DE∥AC，
∴∠C=∠BDE,∠CAD=∠ADE，
∵∠C与∠CAD的数量无法确定，即∠C与∠CAD不一定相等，
∴不能判定DE平分ADB，故②错误；
∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=90°，
∴∠B=∠CAD，故③正确；
∵FG⊥BC，
∴∠C+∠CFG=90°，
∵DE∥AC，
∴∠C=∠BDE，
∴∠CFG+∠BDE=90°，故④正确；
综上所述，正确的有①③④，共3个，
故选：B ．
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）
11．在△ABC中，AB=3,AC=4，则BC的长度可能是 ．（写出一个符合要求的值
即可）
【答案】4（答案不唯一）
【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任
意两边之差小于第三边，求出BC的范围，即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，
∴ 4−3<BC<4+3，即1<BC<7，
∴ BC长度可以是4（答案不唯一），
故答案为：4（答案不唯一）．
12．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE是BC边上的高，
∠B=46°,∠C=64°，则∠DAE的度数为
❑
°．
【答案】9
【分析】本题考查了三角形的内角和定理及推论，掌握三角形的角平分线、高线的性
质及三角形的内角和定理及推论是解决本题的关键．
利用三角形的内角和求出∠BAC，再利用内角与外角的关系先求出∠ADC，再求出
∠DAE．【详解】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，
1
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC，∠AED=90°，
2
∵∠B=46°,∠C=64°
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=70°，
1
∴∠BAD= ×70°=35°，
2
∵∠ADC=∠B+∠BAD=81°，
∴∠DAE=90°−∠ADC=9°．
故答案为：9
13．小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向会发生
改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若∠1=70°，
∠ABO=130°，则∠2= ．
【答案】20°
【分析】本题考查了角的和差，直角三角形两个锐角互余，解题关键利用直角三角形
两个锐角互余求出相应角度．
根据∠ABO=∠2+90°+(90°−∠1)求解．
【详解】解：∵∠ABO=∠2+90°+(90°−∠1)，∠1=70°，∠ABO=130°，
∴130°=∠2+90°+(90°−70°)，解得：∠2=20°．
故答案为：20°．
14．如图1，点O、P分别在长方形纸片ABCD的BC、AD边上，OP与BC所夹的锐角
∠1=50∘，将纸片沿OP折叠得到图2，点C落到点C′处；点Q在AD边上，沿OQ进行
第二次折叠得到图3，点的对称点B′恰好落在OC′上，则QO与QP的夹角∠2的度数
为 ．【答案】40°/40度
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，灵活运用以上知识
点是解题的关键．
过点O 作EF∥QP ，则∠2=∠FOQ，，由折叠得∠FOQ=∠QOC'=∠2，
∠C'OP=∠POE=∠1=50°，再根据平角的定义即可得出答案．
【详解】解：如图，过点O 作EF∥QP，
∴∠2=∠FOQ，由折叠得∠FOQ=∠QOC'=∠2 ，
由折叠可得，∠C'OP=∠POE=∠1=50° ，
1
∴∠FOQ= (180°−50°−50°)=40° ，
2
故答案为：40°．
三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．（8分）如图，已知点E，F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，
∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD．
(1)试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由；
(2)若∠EHF=70°，∠D=30°，求∠AEM的度数．
【答案】(1)∠AED+∠D=180°，理由见解析
(2)100°【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，熟知平行线的性
质与判定定理是解题的关键．
（1）先证明CE∥GF，得到∠C=∠FGD，再证明∠FGD=∠EFG，得到
AB∥CD，则∠AED+∠D=180°；
（2）由三角形内角和定理得到∠HGD=80°，则∠CGF=100°，由平行线的性质得
到∠C=80°，则∠AEC=∠C=80°，再由平角的定义可得答案．
【详解】（1）解：∠AED+∠D=180°，理由如下：
∵∠CED=∠GHD，
∴CE∥GF，
∴∠C=∠FGD，
∵∠C=∠EFG，
∴∠FGD=∠EFG，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D=180°；
（2）解；∵∠DHG=∠EHF=70°,∠D=30°，
∴∠HGD=180°−70°−30°=80°，
∴∠CGF=180°−80°=100°，
∵CE∥GF，
∴∠C=180°−∠CGF=180°−100°=80°，
∵AB∥CD，
∴∠AEC=∠C=80°，
∴∠AEM=180°−∠AEC=180°−80°=100°．
16．（8分）已知△ABC中，AB=7，BC=2，且AC为奇数．
(1)求△ABC的周长．
(2)判断△ABC的形状，并说明理由．
【答案】(1)16
(2)等腰三角形，理由见解析
【分析】此题考查了三角形的三边关系，三角形的分类，关键是掌握第三边的范围是：
大于已知的两边的差的绝对值，而小于两边的和．
（1）首先根据三角形的三边关系定理可得5<AC<9，再根据ACAC为奇数，确定AC
的值，进而可得周长；（2）根据等腰三角形的判定可得△ABC是等腰三角形．
【详解】（1）解：在△ABC中，根据三角形三边关系得：AB−BC<AC<AB+BC
∴7−2<AC<7+2
即5<AC<9．
∵AC是奇数
∴AC=7．
∴C =AB+BC+AC=7+2+7=16
△ABC
∴△ABC的周长为16．
（2）解：△ABC为等腰三角形，理由如下：
由（1）可知，AC=7
∵AB=7
∴AB=AC
∴△ABC为等腰三角形．
17．（8分）如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BA，AC，CB上的点，连接DE，
DF，H是线段DF上一点，已知∠1+∠2=180∘．
(1)求证：∠CEH=∠EAD；
(2)若DF平分∠BDE，∠2=110∘，求∠DEH的度数．
【答案】(1)证明见详解．
(2)∠DEH=40°．
【分析】（1）根据条件证得AD//HE，再根据两直线平行同位角相等的性质即可证得．
（2）根据邻补角180°和三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：如图∵∠1+∠ADF=180°，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠ADF =∠2，
∴AD//HE，
∴∠CEH=∠EAD
（2）解：∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=70°，
又∵DF平分∠BDE
∴∠EDH=70°，
又∵∠EHD+∠2=180°，∠2=110°，
∴∠EHD=70°
∴∠DEH=180°-∠EDH -∠EHD=40°
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握平
行线的判定和熟记三角形内角和等于180°．
18．（8分）如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．
(1)若∠BAC=40°，求∠BDC的度数；
(2)若AE平分∠BAC且交BD于E，求∠AED的度数．
【答案】(1)65°
(2)45°
【分析】本题主要考查角平分线和外角：
（1）根据∠BDC=∠BAC+∠ABD，即可求得答案；（2）根据∠EDC=∠EAD+∠AED，即可求得答案．
【详解】（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=40°，
∴∠ABC=90°−40°=50°．
∵BD平分∠ABC，
1
∴∠ABD= ∠ABC=25°．
2
∴∠BDC=∠BAC+∠ABD=40°+25°=65°．
（2）∵AE平分∠BAC，
1
∴∠EAD= ∠BAC=20°．
2
∵∠EDC=∠EAD+∠AED，
∴∠AED=∠EDC−∠EAD=65°−20°=45°．
19．（8分）如图，在△ABC中，AE为边BC上的高，点D为边BC上的一点，连接AD．
(1)若点D为边BC的中点，AE=5，△ABC的面积为30，求CD的长；
(2)若AD平分∠BAC，∠C=68°，∠B=36°，求∠DAE的度数．
【答案】(1)6
(2)16°
【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理和
三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据三角形面积计算公式求出BC，再根据三角形中线的定义即可得到CD的长；
（2）由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由角平分线的定义得到∠BAD的度
数，接着求出∠ADE的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】（1）解：∵AE⊥BC，
1
∴S = BC⋅AE=30，
△ABC 2
∵AE=5，
∴BC=12，∵D是BC的中点，
1
∴CD= BC=6；
2
（2）解：∵∠C=68°，∠B=36°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=76°，
∵AD平分∠BAC，
1
∴∠BAD= ∠BAC=38°，
2
∴∠ADE=∠B+∠BAD=74°，
∴∠DAE=180°−∠AED−∠ADE=16°．
20．（8分）已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
(1)化简代数式：|a+b−c)+|b−a−c)=______
(2)若AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为15和6两部分，求腰长AB．
【答案】(1)2a
(2)10
【分析】（1）根据三角形三边关系得出a+b>c，a+c>b，然后化简绝对值即可；
（2）设AB=AC=2x，BC= y，则AD=CD=x，分两种情况求出x、y的值即可．
【详解】（1）解：∵在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
∴a+b>c，a+c>b，
∴|a+b−c)+|b−a−c)=a+b−c+a+c−b=2a．
故答案为：2a；
（2）解：设AB=AC=2x，BC= y，则AD=CD=x，
∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，
①当3x=15，且x+ y=6，解得，x=5，y=1，
∴三边长分别为10，10，1；
②当x+ y=15且3x=6时，
解得，x=2，y=13，此时腰为4，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4=8<13，故这种情况不存
在．
∴△ABC的腰长AB为10．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的应用，等腰三角形的定义，化简绝对值，
解题的关键是数形结合，并注意进行分类讨论．
21．（10分）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图（1）．在△ABC和△A′B′C′中，AD和A′D′分别是BC和B'C'边上的高
线，且AD=A'D'，则△ABC和△A′B′C′是等高三角形．
【性质探究】
如图（1），用 分别表示 和 的面积．
S ，S △ABC △A'B'C'
△ABC △A'B'C'
1 1
则S = BC⋅AD，S = B'C' ⋅A'D'，
△ABC 2 △A'B'C' 2
∵AD=A'D'
∴
S ∶S
=BC∶B'C'．
△ABC △A'B'C
【性质应用】
(1)如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD=3，DC=4，则S ∶S =
△ABD △ADC
__________；
(2)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点．若BE:AB=1:2，
CD∶BC=1∶3，S =1，求△BEC和△CDE的面积．
△ABC
【答案】(1)3:4
1 1
(2)S = ，S =
△CDE 6 △BEC 2
【分析】本题主要考查三角形的面积公式，理解等高的两个三角形的面积比等于底的
比是解题的关键．
（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比，直接求出答案．（2）根据△BEC和△ABC是等高三角形和△CDE和△BEC是等高三角形即可知道三
角形的面积比即底的比，从而求出面积，
【详解】（1）解：如图，过点A作AE⊥BC，
1 1
则S = BD⋅AE，S = DC⋅AE
△ABD 2 △ADC 2
∵AE=AE
∴ S :S =BD:DC=3:4．
△ABD △ADC
（2）∵△BEC和△ABC是等高三角形，
∴ S :S =BE:AB=1:2，
△BEC △ABC
1 1 1
∴ S = S = ×1= ；
△BEC 2 △ABC 2 2
∵△CDE和△BEC是等高三角形，
∴ S :S =CD:BC=1:3，
△CDE △BEC
1 1 1 1
∴ S = S = × = ．
△CDE 3 △BEC 3 2 6
