文档内容
【专题】解分式方程（50题）
一、计算题
1．解分式方程
3-x 1
（1） + =1
x-4 4-x
x+1 4
（2）
- =1
x-1 x2-1
3-x 1
【答案】（1）解： + =1
x-4 4-x
3-x 1
+ =1
x-4 -(x-4)
两边都乘x-4得
3-x-1=x-4
3-1+4=x+x
2x=6
x=3
将x=3代入最简公分母x-4≠0，
∴x=3是原方程的解．
x+1 4
（2）解：
- =1
x-1 x2-1
两边都乘(x+1)(x-1)得
(x+1)(x+1)-4=x2-1
x2+2x+1-4=x2-1
2x=-1-1+4
2x=2
x=1
将x=1代入（x+1)（x-1）得
(1+1)(1-1)=0
∴x=1是增根，原方程无解
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检
验即可。
15x+2 3
=
2．计算： ．
x2+x 1+x
15x+2 3 15x+2 3
【答案】解：将 = 整理得 = ，
x2+x 1+x x（x+1） 1+x
方程两边同乘以x（x＋1）得15x＋2＝3x，1
解得x＝- ，
6
1
检验：当x＝- 时，x（x＋1）≠0，
6
1
因此，x＝- 是原分式方程的解，
6
1
所以，原分式方程的解为x＝- ．
6
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检
验即可。
3．解分式方程
3x 2
（1） + =3；
x+2 x-2
1 2 4
- =
（2） ．
x-1 x+1 x2-1
【答案】（1）解：去分母，得3x(x-2)+2(x+2)=3(x2-4)，
去括号，得3x2-6x+2x+4=3x2-12，
移项，合并同类项，得4x=16，
系数化为1，得x=4．
经检验，当x=4时，(x+2)(x-2)=(4+2)(4-2)=8≠0，
所以x=4是原方程的解；
（2）解：去分母，得x+1-2(x-1)=4，
去括号，得x+1-2x+2=4，
移项，合并同类项，得x=-1．
将x=-1代入最简公分母，得x2-1=0，所以x=-1是原方程的增根，
所以此方程无解．
【解析】【分析】（1）利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即
得；
（2）利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即得.
3+x 3
4．解方程： +1= ．
x-4 4-x
【答案】解：方程两边同乘（x﹣4），
得 （3+x）+（x﹣4）＝﹣3，
解得 x＝﹣1，检验：当x＝﹣1时，x﹣4＝﹣5≠0，
所以，原分式方程的解是x＝﹣1．
【解析】【分析】利用解分式方程的方法解方程即可。
5．解下列分式方程：
x 5
（1） + =1
2x-5 5-2x
4 1 3
- =
（2）
x2-4 x-2 x+2
x 5
【答案】（1）解： + =1
2x-5 5-2x
去分母得：x-5=2x-5，
移项得：x-2x=-5+5，
合并得：-x=0，
系数化为1得：x=0，
经检验x=0是原方程的解；
4 1 3
- =
（2）解：
x2-4 x-2 x+2
去分母得：4-(x+2)=3(x-2)，
去括号得：4-x-2=3x-6，
移项得：x-3x=-6-4+2，
合并得：-4x=-8，
系数化为1得：x=2，
经检验x=2不是原方程的解；
∴原方程无解．
【解析】【分析】（1）先去分母，再移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
6．解下列分式方程：
1 1
（1） =
x+2 3x
3 x
（2） - =1
x+1 1-x
【答案】（1）解：去分母得：3x=x+2，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解；
3 x
（2）解：变形得： + =1去分母得：3(x-1)+x(x+1)=(x+1)(x-1)，解得：
x+1 x-1
1 1
x= ，经检验x= 是分式方程的解．
2 2
【解析】【分析】（1）先去分母，再移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可；（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
2 6
=
7．解方程： ．
x-2 x2-4
【答案】解：方程两边乘(x+2)(x-2)，得
2(x+2)=6，
2x+4=6，
2x=2，
x=1
检验：当x=1时，(x+2)(x-2)≠0，
因此x=1是原分式方程的解．
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检
验即可。
x 3
8．解分式方程： +1= ．
x+1 2x+2
【答案】解：方程两边同时乘2(x+1)，得2x+2(x+1)=3，
1
解得x=
4
1
检验：当x= 时，2(x+1)≠0，
4
1
∴x= 是分式方程的解.
4
【解析】【分析】利用解分式方程的方法解方程即可。
1 1-x
9．解分式方程： = -4
x-2 2-x
1 x-1
【答案】解： = -4
x-2 x-2
方程两边同乘(x-2)得：1=x-1-4(x-2)
1=x-1-4x+8
x=2
检验：当x=2时，x-2=0
∴原分式方程无解．
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检
验即可。
x 2
10．解关于x的方程： =1+ ．
x+3 x-1
【答案】解：方程两边同乘以(x+3)(x-1)，得
x(x-1)=(x+3)(x-1)+2(x+3)，即x2-x=x2+3x-x-3+2x+6，整理得：5x+3=0
3
解这个整式方程，得x=- ．
5
3
检验：当x=- 时，(x+3)(x-1)≠0．
5
3
∴x=- 是原方程的解．
5
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检
验即可。
4 x
11．解方程：
= -1
x2-1 x+1
4 x
【答案】解：
= -1
x2-1 x+1
去分母得：4=x（x-1）-（x+1）（x-1），
去括号得：4=x2-x-x2+1，
移项，合并同类项得：x=-3，
经检验，x=-3是分式方程的解
∴原方程的解是x=-3．
【解析】【分析】利用解分式方程的方法解方程即可。
12．解方程：
3 2
（1） =
x x-2
2x 5
（2） + =3
2x-1 1-2x
3 2
【答案】（1）解： =
x x-2
3(x-2)=2x，
3x-6=2x，
3x-2x=6，
x=6
经检验，x=6是原方程的解．
2x 5
（2）解： + =3
2x-1 1-2x
2x-5=3(2x-1)，
2x-6x=5-3
-4x=2，1
x=- ．
2
1
经检验，x=- 是原方程的解．
2
【解析】【分析】（1）利用解分式方程的方法解方程即可；
（2）利用解分式方程的方法解方程即可。
4 2x
13．解分式方程：1+ = ．
x-5 5-x
【答案】解：去分母，得x-5+4=-2x．
化简，得3x=1．
1
解得x= ．
3
1
检验：把x= 代入最简公分母x-5≠0．
3
1
所以x= 是原分式方程的解．
3
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检
验即可。
x+1 3
14．解方程： - =1 ．
x-1 x+1
x+1 3
【答案】解： - =1
x-1 x+1
去分母得：(x+1) 2-3(x-1)=(x+1)(x-1)
去括号得：x2+2x+1-3x+3=x2-1
整理得：-x=-5
解得：x=5
经检验：x=5是原方程的解，
所以原方程的解是x=5.
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检
验即可。
x-1 2
15．解方程：
- =1．
x+1 x2-1
【答案】解：给方程两边乘以（x+1）（x－1），
得：(x-1) 2-2=x2-1，
x2-2x+1-2=x2-1，
-2x=0，
解得：x=0，经检验，x=0是原方程的解．
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检
验即可。
16．解分式方程：
2 1
（1） + =0.
1-x x
x 3
（2） + =1.
x-1 (x-1)(x-4)
2 1
【答案】（1）解： + =0
1-x x
2x+1-x=0
x=-1，
检验：当x=-1时，x（1-x）≠0，
∴原分式方程的解是x=-1；
x 3
（2）解： + =1
x-1 (x-1)(x-4)
x（x-4）+3=（x-1）（x-4）
x2-4x+3=x2-5x+4
x=1，
检验：当x=1时，（x-1）（x-4）=0，
∴x=1不是原方程的解，
∴原分式方程无解.
【解析】【分析】（1）方程两边都乘以x(1-x)约去分母，将分式方程转化为整式方程，
解整式方程求出x的值，再检验即可得出答案；
（2）方程两边都乘以 （x-1）（x-4） 约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整
式方程求出x的值，再检验即可得出答案.
2x 5
17．解分式方程： + ＝3．
2x-1 12x
【答案】解：方程的两边同乘12x（2x﹣1），得
24x2+5（2x﹣1）＝36x（2x﹣1），
整理，得48x2﹣46x+5＝0，
即(6x-5)(8x-1)=0
5 1
解得x＝ ，x＝ ，
1 6 2 8
5 1
检验：当x＝ 或 时，x（2x﹣1）≠0．
6 85 1
即原方程的解为：x＝ ，x＝ ．
1 6 2 8
【解析】【分析】先去分母讲分式方程化为一元二次方程，求解后进行检验可得原方
程的解。
x 3
18．解方程：
- =1．
x-3 (x-3) 2
x 3
【答案】解：
(x-3) 2- (x-3) 2=1⋅(x-3) 2
，
x-3 (x-3) 2
x(x-3)-3=(x-3) 2，
x2-3x-3=x2-6x+9，
3x=12，
x=4．
检验：当x=4时，(x-3) 2≠0
∴x=4是原方程的解．
∴ 原方程的解是x=4．
【解析】【分析】利用解分式方程的方法计算求解即可。
x-1 3
19．解分式方程： + =1．
x x+2
x-1 3
【答案】解： + =1
x x+2
去分母得，(x-1)(x+2)+3x=x(x+2)
去括号得，x2+x-2+3x=x2+2x
移项得，x2+x-x2-2x+3x=2
合并得，2x=2
系数化为1，得：x=1
经检验，x=1是原方程的解，
∴原方程的解是：x=1
【解析】【分析】利用解分式方程的方法解方程，再检验求解即可。
20．解方程：
x 2x-1
（1） =
x-1 x-1
x 3
（2）
- =1
x2+x x+1
x 2x-1
【答案】（1）解： = ，
x-1 x-1
方程两边同乘以x-1，得x=2x-1，移项、合并同类项，得-x=-1，
系数化为1，得x=1，
经检验，x=1不是分式方程的解，
所以原方程无解；
x 3
（2）解：
- =1，
x2+x x+1
方程两边同乘以x(x+1)，得x-3x=x2+x，
移项、合并同类项，得x2+3x=0，
因式分解，得x(x+3)=0，
解得x=0或x=-3，
经检验，x=0不是分式方程的解；x=-3是分式方程的解，
所以原方程的解为x=-3．
【解析】【分析】（1）方程两边同乘以x-1，移项、合并同类项，系数化为1，再检
验即可得出答案；
（2）方程两边同乘以x(x+1)，移项、合并同类项，因式分解，再检验即可得出答案。
21．解分式方程：
x2-8 1
（1） =1+ ；
x2-4 2-x
x-2 1
（2） =2- ．
x-3 6-2x
x2-8 1
【答案】（1）解： =1+ ，
x2-4 2-x
x2-8 1
原方程化为： =1- ，
(x+2)(x-2) x-2
方程两边乘（x+2）（x﹣2），得x2﹣8＝x2﹣4﹣（x+2），
∴x2-8=x2-4-x-2，
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴x＝2是原分式方程的增根．即原分式方程无解；
x-2 1
（2）解： =2- ，
x-3 6-2x
x-2 1
原方程化为： =2+ ，
x-3 2(x-3)
方程两边乘2（x﹣3），得2（x﹣2）＝4（x﹣3）+1，
解得：x＝3.5，
检验：当x＝3.5时，2（x﹣3）≠0，∴x＝3.5是原方程的解，即原方程的解是x＝3.5．
【解析】【分析】（1）先去分母，再利用整式方程的运算求解即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1即可。
22．解分式方程：
2 1
（1） =
x-1 x+1
6 x
（2）1+ =
x2-9 x-3
2 1
【答案】（1）解： =
x-1 x+1
方程两边同乘(x-1)(x+1)得：2（x＋1）＝x－1
去括号得：2x＋2＝x－1
解得：x＝－3
检验：当x＝－3时，方程左右两边相等，所以x＝－3是原方程的解．
所以原方程的解是x＝－3．
6 x
（2）解：1+ =
x2-9 x-3
方程两边同乘x2-9得：x2-9+6=x(x+3)
去括号得：x2-9+6=x2+3x
移项、合并同类项得：-3x=3
解得：x＝－1
检验：x＝1是原方程的解．
所以原方程的解是x＝－1
【解析】【分析】利用解分式方程的方法解方程即可。
1 10
23． ＝ ．
x-5 x2-25
1 10
【答案】解： ＝
x-5 x2-25
x+5=10
x=5
检验：将x=5代入x2-25=52-25=0，
∴x=5是方程的增根，应舍去，
∴原分式方程无解．
【解析】【分析】先得出x的值，再将x的值代入即可得出答案。
x 2
24．解分式方程： - =1．
x-1 x+1【答案】解：去分母得：x(x+1)-2(x-1)=(x+1)(x-1)
去括号得：x2+x-2x+2=x2-1，
解得：x=3，
检验：当x=3时，最简公分母(x+1)(x-1)≠0，
∴原方程的解是x=3．
【解析】【分析】利用解分式方程的步骤计算求解即可。
2x-3 1 2
- =
25．解方程： ．
x2-1 x+1 x-1
【答案】解：分式两边同乘得：2x-3-(x-1)=2(x+1)，
整理化简得：x-2=2x+2，
解得：x=-4，
检验，当x=-4，x2-1≠0．
∴x=-4是原分式方程的解．
【解析】【分析】先求出 x-2=2x+2， 再求出x=-4，最后检验求解即可。
5 3
26．解方程： - =0
x-2 x
【答案】解：去分母得：5x-3(x-2)=0
解得：x=-3.
经检验，x=-3是原分式方程的解.
∴原分式方程的解为x=-3
【解析】【分析】利用解分式方程的方法求解即可。
x 2
27．解方程： -1=
x-1 x+1
【答案】解：两边同时乘以(x+1)(x-1)得：
x(x+1)-(x+1)(x-1)=2(x-1)
x2+x-x2+1=2x-2
x+1=2x-2
2x-x=1+2
解得：x=3
经检验，x=3是原方程的解
∴原方程的解为x=3，
【解析】【分析】利用解分式方程的方法计算求解即可。
28．解下列分式方程：
2-x 1
（1） +4=
x-3 3-xx 1
（2）
-1=
x-2 x2-4
【答案】（1）解：方程两边同乘以(x-3)得：2-x+4(x-3)=-1
解得：x=3
检验：当x=3时，x-3=0
因此x=3不是原分式方程的解
所以，原分式方程无解．
（2）解：方程两边同乘以(x+2)(x-2)得：x(x+2)-(x+2)(x-2)=1
3
解得：x=-
2
3
检验：当x=- 时，(x+2)(x-2)≠0
2
3
所以，原分式方程的解为x=- ．
2
【解析】【分析】（1）先将原分式方程两边同时乘以最简公分母(x-3)，则原分式方
程可化为整式方程，解出即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得出x的值，经检验即可得
出分式方程的解。
1 2x
29．解方程 +1＝ ．
x-2 2x+1
1 2x
【答案】解： +1= ，
x-2 2x+1
方程两边乘 （x﹣2）（2x+1），得，
（2x+1）+（x﹣2）（2x+1）＝2x（x﹣2），
1
解得 x＝ ，
3
1
检验：当x＝ 时，（x﹣2）（2x+1）≠0，
3
1
所以，原分式方程的解为x＝ ．
3
【解析】【分析】方程两边乘以（x﹣2）（2x+1），得出x的值，检验得出答案。
30．解方程：
x 1
（1）
-1=
x-2 x2-4
3x 2
（2） + =3
x+2 x-2
【答案】（1）解：方程两边同乘以(x+2)(x-2)，去分母得：x(x+2)-(x+2)(x-2)=1，
3
解得：x=- ，
2
3
经检验：当x=- 时，(x+2)(x-2)≠0，
2
3
所以原分式方程的解为x=- ．
2
（2）解：方程；两边同乘以(x+2)(x-2)
去分母得：3x(x-2)+2(x+2)=3(x-2)(x+2)，
整理得：-4x=-16，
解得：x=4，
经检验：当x=4时，(x+2)(x-2)≠0，
所以原分式方程的解为：x=4。
【解析】【分析】利用解分式方程的方法解方程，再检验即可。
31．解方程：
x-1 3
（1）
- =1
；
x+1 x2-1
x 8
（2）
- =1
.
x-2 x2-2x
【答案】（1）解：方程两边都乘以 (x+1)(x-1) 得：
(x-1) 2-3=(x+1)(x-1) ，
x2-2x+1-3=x2-1 ，
x2-2x-x2=-1-1+3 ，
-2x=1 ，
1
x=- ，
2
1
检验：当 x=- 时， (x+1)(x-1)≠0 ，
2
1
∴x=- 是原方程的解；
2
x 8
（2）解：整理得： - =1 ，
x-2 x(x-2)
方程两边同时乘以 x(x-2) ，得： x2-8=x(x-2) ，
去括号，得： x2-8=x2-2x ，
移项，合并同类项，得： 2x=8 ，
系数化1，得： x=4 ，检验：当 x=4 时， x(x-2)≠0 ，
∴x=4 是原分式方程的解.
【解析】【分析】（1）给方程两边同时乘以(x+1)(x-1)，将分式方程化为整式方程，求
出整式方程的解，然后进行检验即可得出原方程解的情况；
（2）给方程两边同时乘以x(x-2)，将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，然
后进行检验即可得出原方程的解.
32．解分式方程：
1 1 7
（1） + =
x 1.5x 72
x-2 1
（2） + =5
x-3 3-x
1 1 7
【答案】（1）解： + = 方程两边都乘72x，
x 1.5x 72
得：72+48=7x，
120
解得： x= ，
7
120
经检验： x= 是原方程的解；
7
x-2 1
（2）解： + =5 方程两边都乘（ x-3 ），
x-3 3-x
得：x-2-1=5（x-3），
解得： x=3 ，
检验：当 x=3 时，x-3=3-3=0，是增根，故原方程无解．
【解析】【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1
并检验即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
33．解方程：
5 1
（1）
- =0
x2+x x2-x
x-2 16 x+2
- =
（2）
x+2 x2-4 x-2
【答案】（1）解：去分母得： 5(x-1)-(x+1)=0 ，整理得： 4x=6
3
解得: x= ，
2
3
经检验 x= 是原方程的根
23
所以，原方程的解是 x= .
2
（2）解：去分母得： (x-2) 2-16=(x+2) 2 ，整理得： -8x=16
解得: x=-2 ，
经检验 x=-2 是增根，舍去，
所以，原方程无解.
【解析】【分析】(1) 方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，
经检验得到分式方程的解；(2) 方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到
x 的值，经检验得到分式方程的解.
34．解分式方程
x 5
（1） + =4
2x-3 3-2x
1 2 4
- =
（2）
x-1 x+1 x2-1
【答案】（1）解：方程两边乘（2x﹣3），得x﹣5=4（2x﹣3），
解得：x=1，
当x=1时，2x﹣3≠0，
∴原分式方程的解为x=1
（2）解：方程两边乘（x﹣1）（x+1），得x+1﹣2（x﹣1）=4，
解得：x=﹣1，
当x=﹣1时，x2﹣1=0，
∴原分式方程无解
【解析】【分析】（1）分式方程两边同乘以(2x-3)，去分母转化为整式方程，求出整
式方程的解，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程两边同乘以(x+1)(x-1)，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经
检验可得到分式方程的无解.
2x 3
35．解方程：
-1=
．
3+2x 9-4x2
2x 3
【答案】解： -1= ，
3+2x (3+2x)(3-2x)
方程两边同时乘 (3+2x)(3-2x) 得： 2x(3-2x)-(3+2x)(3-2x)=3 ，
整理得： 6x-4x2-(9-4x2 )=3 ，
去括号得： 6x-4x2-9+4x2=3 ，
移项合并得： 6x=12 ，
∴x=2 ．检验：当 x=2 时， (3+2x)(3-2x)≠0 ，
∴原方程的解是 x=2 ．
【解析】【分析】先去分母，再利用整式方程的解法求出方程的解并检验即可。
2x x
36．解方程： +1＝ .
3x+3 x+1
【答案】解：方程两边同乘3（x+1）得：
2x+3（x+1）＝3x，
解得：x＝﹣1.5，
经检验x＝﹣1.5是分式方程的解.
【解析】【分析】解分式方程：先在方程左右两边同时乘最简公分母 3（x+1） ，约
去分母化为整式方程，解整式方程求出x的值，最后将整式方程的解代入最简公分母，
如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解即为分式方程的解，反之，分式方程无解.
x 8
37．解方程：
- =1
x-2 x2-4
x 8
【答案】解：∵
- =1
x-2 x2-4
∴x(x+2)-8=x2-4
∴x2+2x-8=x2-4
∴x=2
∵x=2 时， x-2=0 ，且 x2-4=0
∴x=2 错误
x 8
∴
- =1
无解．
x-2 x2-4
【解析】【分析】先将分式方程化为整式方程，再解整式方程即可。
1-x 1
38．解方程： = +3 ．
2-x x-2
x-1 1
【答案】解：原方程整理得： = +3 ，
x-2 x-2
去分母得： x-1=1+3(x-2) ，
移项合并得： -2x=-4 ，
解得： x=2 ，
检验：把 x=2 代入最简公分母 x-2 中，
x-2=2-2=0 ，
∴x=2 是增根，
∴原方程无解．
【解析】【分析】先去分母，再利用解整式方程的方法计算，最后检验即可。2y 3
39．解方程： 2- = ．
y+1 y-1
【答案】解：左右同时乘 (y+1)(y-1) 得：
2(y+1)(y-1)-2y(y-1)=3(y+1)
(y-1)(2y+2-2y)=3 y+3
2y-2=3 y+3
y=-5
检验：当 y=-5 时， (y+1)(y-1)≠0 ，
∴原分式方程的解为 y=-5 ．
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤解方程，再检验求解即可。
3 x
40．解分式方程： +1= .
(x-1)(x+2) x-1
【答案】解：去分母得： 3+(x-1)(x+2)=x(x+2) ，
去括号得： 3+x2+x-2=x2+2x ，
移项合并得： -x=-1 ，
解得： x=1 ．
经检验 x=1 是该方程的增根，即方程无解．
【解析】【分析】先去分母，再利用解整式方程的方法计算，最后检验即可。
41．解方程：
x-8 1
（1） - =8 ；
x-7 7-x
x 1
（2）
+ =1
.
x-2 x2-4
【答案】（1）解：方程两边同时乘以 (x-7) 得：
x-8+1=8(x-7) ，
x-7=8x-56 ，
7x=49 ，
x=7 ，
检验： x-7=0，x=7 为增根，
∴ 原方程无解；
（2）解：方程两边同时乘以 x2-4 得：
x(x+2)+1=x2-4 ，
x2+2x+1=x2-4 ，
2x=-5 ，5
x=- .
2
5
经检验， x=- 为原方程的解.
2
【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以(x-7)，将分式方程化为整式方程，求出整式
方程的解，然后进行检验即可；
（2）方程两边同时乘以(x2-4)，将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，然后
进行检验即可.
2 3 6
- =
42．解方程： ．
x+1 1-x 1-x2
2 3 6
- =
【答案】解：
x+1 1-x 1-x2
2 3 6
整理，得： + =- ．
x+1 x-1 (x+1)(x-1)
方程两边同乘以 (x+1)(x-1) ，得 2(x-1)+3(x+1)=-6 ．
7
解这个方程，得 x=- ．
5
7
检验：当 x=- 时， (x+1)(x-1)≠0 ．
5
7
所以， x=- 是原方程的解．
5
【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1并检验
即可。
43．解方程：
1 3x
（1） -2= ；
x-3 3-x
x+1 4
（2）
- =1
．
x-1 x2-1
【答案】（1）解：原方程两边同乘x-3得：
1-2（x-3）=-3x，
解之得：x=-7，
∵x=-7时，x-3=-10≠0，
∴x=-7是原方程的解；
（2）解：原方程两边同乘（x+1）（x-1）得：
(x+1) 2-4=x2-1 ，
解之得：x=1，
∵x=1时，（x+1）（x-1）=0，∴x=1是原方程的增根，原方程无解．
【解析】【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为
1并检验即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
44．解方程
x-3 3
（1） +1=
x-2 2-x
x 3
（2） -1=
x-1 (x+2)(x-1)
【答案】（1）解：去分母得： x-3+x-2=-3 ，
移项合并得： 2x=2 ，
解得： x=1 ，
经检验 x=1 是该方程的根
（2）解：去分母得： x(x+2)-(x+2)(x-1)=3 ，
去括号得： x2+2x-x2-x+2=3 ，
移项合并得： x=1 ，
经检验 x=1 是该方程的增根，即该方程无解．
【解析】【分析】（1）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为
1并检验即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为1并检验即可。
45．解方程：
x 2
（1） =1+
x+3 x-1
x-1 4
=
（2）
x2+x 3x+3
x 2
【答案】（1） =1+
x+3 x-1
去分母得：x（x-1）=（x+3）（x-1）+2（x+3），
去括号得：x2-x=x2+2x-3+2x+6，
移项合并得：-5x=3，
3
解得： x=-
5
3
经检验 x=- 是分式方程的解；
5
x-1 4
=
（2）
x2+x 3x+3去分母得：3（x-1）=4x，
去括号得：3x-3=4x，
移项合并得：x=-3，
经检验x=-3是分式方程的解；
【解析】【分析】（1）方程的两边都乘以最简公分母（x+3）（x-1）约去分母转化为
整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）方程的两边都乘以最简公分母3x（x+1）约去分母转化为整式方程，求出整式方
程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.
x 2x
46．解方程： ＝ +1
x-1 3x-3
【答案】左右同乘 3x-3 得：
3x=2x+3x-3
2x=3
3
x=
2
3
经检验， x= 时， 3x-3≠0 ，
2
3
∴原分式方程的解为 x= .
2
【解析】【分析】左右同乘 3x-3 进行去分母，再求解整式方程的解，最后检验即可.
47．解分式方程：
2 1-x
（1） +3=
x-2 2-x
x 6 x-2
+ =
（2）
x+3 x2-9 x-3
2 1-x
【答案】（1）解： +3=
x-2 2-x
解：两边同乘 x-2 得
2+3(x-2)=x-1
解得 x=1.5
检验：当 x=1.5 时， x-2≠0 ，
∴x=1.5 是原分式方程的解，
x 6 x-2
+ =
（2）解：
x+3 x2-9 x-3
解：两边同乘 (x+3)(x-3) 得
x(x-3)+6=(x-2)(x+3)
解得 x=3检验：当 x=3 时， (x+3)(x-3)=0 ，
∴x=3 不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
【解析】【分析】（1）两边同乘 x-2 进行去分母，再求解整式方程，最后检验即可；
（2）两边同乘 (x+3)(x-3) 进行去分母，再求解整式方程，最后检验即可．
3 1 5
48．解方程： - = ．
2 3x-1 6x-2
【答案】解：设3x﹣1=y则原方程可化为：3y﹣2=5，
7
解得y= ，
3
7 10
∴有3x﹣1= ，解得x= ，
3 9
10
将x= 代入最简公分母进行检验，6x﹣2≠0，
9
10
∴x= 是原分式的解．
9
7
【解析】【分析】此题应先设3x﹣1为y，然后将原方程化为3y﹣2=5解得y= ，最
3
后求出x的值．
二、解答题
49．阅读下面材料，解答后面的问题．
x-1 4x
解方程： － ＝0.
x x-1
x-1 4
解：设y＝ ，则原方程可化为y－ ＝0，方程两边同时乘y，得y2－4＝0，
x y
解得y＝2，y＝－2.
1 2
4
经检验，y＝2，y＝－2都是方程y－ ＝0的解．
1 2 y
x-1 x-1 1
当y＝2时， ＝2，解得x＝－1；当y＝－2时， ＝－2，解得x＝ .
x x 3
1
经检验，x＝－1，x＝ 都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x＝－1，
1 2 3 1
1
x＝ .
2 3
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
问题：
x-1 x x-1
（1）若在方程 － ＝0中，设y＝ ，则原方程可化为
4x x-1 x；
x-1 4x+4 x-1
（2）若在方程 － ＝0中，设y＝ ，则原方程可化为
x+1 x-1 x+1
；
x-1 3
（3）模仿上述换元法解方程： － －1＝0.
x+2 x-1
y 1
【答案】（1） - =0
4 y
4
（2）y- =0
y
x-1 x+2 x-1 1
（3）解: 原方程可化为 － ＝0，设y＝ ，则原方程可化为y－
x+2 x-1 x+2 y
＝0，
方程两边同时乘y，得y2－1＝0，解得y＝1，y＝－1，
1 2
1
经检验，y＝1，y＝－1都是方程y－ ＝0的解；
1 2 y
x-1 x-1 1
当y＝1时， ＝1，该方程无解；当y＝－1时， ＝－1，解得x＝－ ，
x+2 x+2 2
1
经检验，x＝－ 是原分式方程的解，
2
1
所以原分式方程的解为x＝－ .
2
x-1 y 1
【解析】【解答】解: （1）将y＝ 代入原方程，则原方程化为 − ＝0；
x 4 y
x-1 4
（2）将y＝ 代入方程，则原方程可化为y− ＝0；
x+1 y
【分析】（1）将所设的y代入原方程即可；（2）将所设的y代入原方程即可；（3）
x-1 1
利用换元法解分式方程，设y＝ ，将原方程化为y− ＝0，求出y的值并检验
x+2 y
是否为原方程的解，然后求解x的值即可．
50．已知a，b，c，d都是互不相等的正数.
a c b d a b
（1）若 =2 ， =2 ，则 ， （用“＞”，
b d a c c d
“＜”或“=”填空）；
a c b d
（2）若 = , 请判断 和 的大小关系，并证明；
b d a+b c+d
a b 2a+c 3b+d
（3）令 = =t, 若分式 - +2 的值为3，求t的值.
c d a-c b-d
【答案】（1）=；=b d
（2）解： = .理由如下：
a+b c+d
a c
设 =t ，则 =t ，
b d
∴a=bt，c=dt，
b b 1
∴ = = ，
a+b bt+b t+1
d d 1
= = ，
c+d dt+d t+1
b d
∴ =
a+b c+d
a b
（3）解：∵ = =t ，
c d
∴a=ct，b=dt.
2a+c 3b+d
∵ - + 2=3，
a-c b-d
2t+1 3t+1
∴ - =1 .
t-1 t-1
1
解得：t= .
2
1
经检验：t= 是原方程的解.
2
a c
【解析】【解答】（1）∵ =2 ， =2 ，
b d
∴a=2b，c=2d，
b d 1 b 2a a
∴ = = ， = = .
a c 2 d 2c c
故答案为：==；
a c
【分析】（1）由 =2 ， =2 ，得到a=2b，c=2d，代入化简即可得到结论；（2）
b d
a c
设 =t ，则 =t ，得到a=bt，c=dt，代入化简即可得到结论；（3）由已知得到：
b d
a=ct，b=dt.代入分式，化简后解方程即可得出结论.
