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2024-2025 学年度第二学期教学质量检测（三）
九年级数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出ABCD四个选项，
其中只有一个是正确的．
1. 的倒数是（ ）
A. B. 2025 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了倒数的定义，
根据倒数的定义解答，即两个数的乘积等于1，则这两个数互为倒数．
【详解】解： 的倒数为2025．
故选：B．
2. 在全球对清洁能源需求日益迫切的当下，太阳能作为一种取之不尽、用之不竭的可再生能源，其开发与
利用备受关注．某实验室研发的高效太阳能电池的超薄纳米涂层，其厚度仅为0.000000068米．其中数据
0.000000068用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为
的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n
的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于 10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1
时，n是负整数．
【详解】解：将数据0.000000068用科学记数法表示为 ；
故选B．3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、单项式乘单项式，积的乘方，幂的乘方．根据合并同类项、单项式乘单
项式，积的乘方，幂的乘方进行逐项判断即可．
【详解】解：A、 ，故原说法错误；
B、 ，故原说法错误；
C、 ，故原说法正确；
D、 ，故原说法正确；
故选C．
4. 如图，是由两个同样大小的正方体和一个四棱锥搭建的几何体，则它的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，从几何体的左面看所得到的视图叫做左视图．
根据左视图的定义即可得到答案．
【详解】解： 的左视图是
故选：C．5. 如图，正五边形 的顶点B、D分别在一把直尺的两边上（直尺为长方形），若 ，则图
中 的度数为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，正多边形的内角，三角形的内角和定理，根据平行线的性质求出 的
度数，根据正多边形的内角和公式以及每一个内角都相等，求出 的度数，再根据三角形的内角和定理
求出 的度数即可．
【详解】解：∵直尺的对边平行，
∴ ，
∵五边形 是正五边形，
∴ ，
∴ ；
故选B．
6. 某地理考察队在研究全球气候类型时，随机选取了五个气候区 的75份环境数据样本．已知样本分布
如下：热带雨林气候20份；沙漠气候15份；温带海洋性气候25份；极地气候5份；地中海气候10份；
若从这75份样本中随机抽取一份，抽到的样本不是温带海洋性气候的概率是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握“概率 = 所求情况数与总情况数之比”是解题的关键．先
算出温带海洋性气候样本数量，再求出不是温带海洋性气候的样本数量，最后用不是温带海洋性气候的样
本数除以总样本数得到概率．
【详解】解：总样本数 份，温带海洋性气候 份，不是温带海洋性气候的样本数为 份，
∴抽到不是温带海洋性气候样本的概率为 ．
.
故选：D
7. 徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文
化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若 ， ，则该阴影部分的面积为（
） ．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键；
根据扇形面积公式结合阴影部分的面积 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，∴该阴影部分的面积 ；
故选：C．
8. 已知点 是一次函数 的图象一点，若 是该直线上另一点，且 ，
则关于 的取值范围在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，在数轴上表示不等式的解集，先利用待定系数法
求出一次函数解析式，再求出函数值为2时自变量的值即可得到 的取值范围，据此可得答案．
【详解】解：∵点 是一次函数 的图象一点，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数解析式为 ，
在 中，当 时， ，
∵ ，
∴ 随 增大而增大，
∴当 时， ，
故选：A．
9. 已知两个非负实数a、b满足 ，则下列式子正确的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，等式的性质，实数的性质，根据已知等式，代入各选项逐项分析判断，
即可求解．
【详解】解：由 ，得 ，
故A选项错误，
，
，
∴ ，故B选项错误，
，故C选项错误
，
，
，故D选项正确，
故选：D．
10. 如图，菱形 中， ，P 点从 B 点出发，以 的速度沿
运动，过P点作 ，交折线 于点E，设P点运动的时间 ， 的
面积为 ．则S与t的函数关系大致为（ ）
A. B.C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据t的取值范围分别求出函数的表达式，再根据函数的图象
求解．
【详解】解：过A作 于H，
在菱形 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 时， ，为二次函数，图象为开口向上的抛物线，
当 时， ，为一次函数，图象为线段，呈上升趋势；
当 时，如图2所示：延长 交 的延长线于F，
则： ，
∴ ，
此时S为二次函数，图象为开口向下的抛物线，故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 比较大小： ______ （填 ， 或 ）．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了的是实数的大小比较，注意这里可以把原数化为根式形式，比较被开方数的大小．
先根据算术平方根的性质把 化为 的形式，再比较被开方数的大小即可．
【详解】解：∵ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12. 命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题可表述为______．
【答案】如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．
【解析】
【分析】找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的
结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
【详解】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互
余”，
所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．
故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．
13. 如图，在平面直角坐标系 中，A、B为反比例函数 图象上的两点，直线 与x轴交
于点C，与y轴交于点D，已知 ，则k的值为______．【答案】4
【解析】
【分析】作 轴，垂足为 E，证明 可得 ，继而求出
，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可．
本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．
【详解】如图，过B点作 轴于点E，
，
，
在 和 中，
，
，
，，
，
故答案为：4．
14. 如图， 中， ， ， 为 边的中点，将线段 以 点中心逆时针旋转
得到线段 ，连接 ．
（1）若 ，则 长为______；
（2） 长最大为______．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，借助于圆求线段的最值问题，解题的关键
是构造出圆来解决最值问题．
（1）利用勾股定理和线段的中点即可求解；
（2）过点 作 ，使 ，以线段 的中点 为圆心， 长为半径画 ，连接
并延长，交 于点 ，此时 长最大，最后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）由勾股定理得 ，
为 边的中点，
，
故答案为：2；（2）如图，以 为直径画 ，则点 在 上，
过点 作 ，使 ，连接
以线段 的中点 为圆心， 长为半径画 ，
， ，
，
，
∴点 在以 为直径的圆弧上，
连接 并延长，交 于点 ，此时 长最大，
，
，
由勾股定理得 ，
，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 化简： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算，利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并即可求解，掌握整式
的运算法则和乘法公式是解题的关键．
【详解】解：原式
．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段 的端点分别在格点上，O为格点．
（1）将线段 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，请在网格内画出平移后的线段 ．
（2）以点O为中心，在网格画出线段 的中心对称线段 ，并直接写出 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）见解析，
【解析】
【分析】本题考查了平移作图和中心对称作图、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握平移的性质和中心
对称的性质是解题的关键；
（1）根据平移的性质画出点A、B平移后的对应点 ，再连接即可；
（2）根据中心对称的性质即可完成作图，根据勾股定理及其逆定理即可判断 是等腰直角三角形，
进而可得 ．【小问1详解】
解：线段 如图所示：
【小问2详解】
解：线段 如图所示；
∵ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件．A、B两
种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价）
文具 A B
进价（元/件） 30 40
售价（元/件） 38 50
（1）该文具店购进A、B两种文具各多少件？（2）该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？
【答案】（1）该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件
（2）该文具店全部卖完一共可获得1548元 的利润
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找到等量关系是解题的关键．
（1）设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为 件，根据文具店用6000元购进A、B两
种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件，列出一元一次方程，即可解答．
（2）分别求出A、B两种文具的利润，再相加，即可解答．
【小问1详解】
解 ： 设 文 具 店 购 进 A 种 文 具 x 件 ， 则 购 进 B 种 文 具 为 件 ， 根 据 题 意 得 ：
，
解得： ，
（件）；
答：该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件．
【小问2详解】
（元）；
答：该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润．
18. 如图，航航和朋友们计划在商场A集合后，先去位于西南方向的咖啡厅B，然后沿南偏西 方向步行
到书店C，最后前往电影院D．已知电影院D位于书店C的正东方向，且电影院D在商场A的正南方向．
若从咖啡厅B到书店C的距离为400米，从书店C到电影院D的距离为700米，求商场A到电影院D的距
离．（参考数据： ， ， ）【答案】商场A到电影院D距离约为780米
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，利用辅助线构造出直角三角形是解题的关键．过B点作
于点E， 于点F，分别解 和 ，求出 的长，再根据线段的
和差关系求出 的长即可．
【详解】解：过B点作 于点E， 于点F，
由题意得， ，
四边形 为矩形，
，
由题意得， 米， 米，
在 中， ，
（米），
（米），
（米）， （米），
在 中， ，（米），
（米）
答：商场A到电影院D距离约为780米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 【问题提出】
因式分解：
【问题探究】
为了便于发现规律，从简单的情形入手，逐步分解：
①
② 由 ① 知 ， 继 续 添 加 下 一 项 得 ：
（1）仿照②，把代数式 进行因式分解．
【发现规律】
（2）推广到一般形式： ______；
【问题解决】
（3）化简： ______．
【答案】1） ；（2） ；（3）
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律，解题的关键是从简单情形出发，找出规律，解决问题．
（1）直接利用题意规律求出结果；
（2）利用题意规律求出结果；
（3）利用提公因式和题意规律求出结果．
【详解】解：（1）．
（2） ，
故答案为： ．
（3）
，
故答案 ： ．
为
20. 如图，已知 是 的直径，C为 上一点，连接 为 上一点，连接 并延长
交过C点 的切线于点E，已知 ．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 长．【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关
键．
（1）连接 ，根据切线的性质得到 ，求得 ，得到 ，
根据三角形外角的性质得到 ；
（2）根据勾股定理得到 ，求得 ，根据相似三角形的性质得到结论．
【小问1详解】
解：连接 ．
∵ 为 的切线，
，
，
∵ 为 的直径，
，
，
，
又 ，
，
，
，
， ，【小问2详解】
解：设 ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
，
，
由（1）知 ，
，
即 ，
解得 ．
六、（本题满分12分）
21. 为了解某校学生本学期阅读的书籍数量，随机调查了该校 名学生，根据统计结果，绘制出如下的统
计图 和图 ．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为______，图 中 的值为______，这些学生本学期阅读书籍数量的中位数为______；
（2）补全图 ，并求出这些学生本学期阅读书籍数量的平均数；
（3）根据样本数据，若该校共有学生 人，学校为本学期阅读书籍不少于 本的学生颁发“阅读之
星”勋章，估计该校获“阅读之星”勋章的学生人数．
【答案】（1） ， ， ；
（2）图见解析， 本；
（3） 人．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，算术平均数，中位数，正确掌握上述知
识点是解题的关键．
（ ）由阅读量为 本的人数除以所占百分比可得抽查人数；求出阅读量为 本， 本所占百分比，再用
减去阅读量为 本、 本、 本、 本所占百分比即可；求出阅读书籍为 本、 本的人数，然后按中位
数的定义即可得出结论；
（ ）补全条形图，按平均数的定义求平均数；
（ ）用总人数乘以阅读量为 本、 本、 本所占百分比即可．
【小问1详解】
解：由条件可知，∵ ，
∴ ，
∴ ，
学生本学期阅读书籍 本的有 （人），
学生本学期阅读书籍 本的有 （人），
学生本学期阅读书籍数量从小到大排列第 位数和第 位数均别为 ，∴这些学生本学期阅读书籍数量的中位数为 ，
故答案为： ， ， ；
【小问2详解】
解：由上可得学生本学期阅读书籍 本的有 人，学生本学期阅读书籍 本的有 人，
补全统计图 ，如图所示，
，
答：这些学生本学期阅读书籍数量的平均数为 本；
【小问3详解】
解：由题意得： （人）
答：该校获得“阅读之星”勋章的演大约有 人．
七、（本题满分12分）
22. 已知抛物线 的对称轴为直线 ，且与 轴交于点 、 两点，与 轴交于
点 ．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）已知点 抛物线对称轴上一点，若 ，求 点的坐标：
（3）若抛物线 上仅存在一个点 ，使得 ，若 ，求
的最大值．
【答案】（1） ，顶点坐标为（2）P点的坐标为 或
（3）
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、面积问题、二次函数的最值等知识，熟练掌握二次函数的图
象和性质是关键．
（1）根据对称轴求出 ，利用 求出 ，得到 ，即可得到函数解析式；
（2）设 与y轴交于点D，利用面积得到 或 ，求出一次函数解析式，求出与对称轴的
交点即可；
（3）由题意得： ，仅存在一个点 ，使得 ，即抛物线
与直线 仅有一个交点，得到 ，根据二次函数的性
质求出最值即可．
【小问1详解】
解：由题意得 即 ，
把 代入 得 ，
解得 ，
，
，
∴顶点坐标为
【小问2详解】
设 与y轴交于点D，
，又 ，对称轴为直线 ，
，
或 ，
设直线 ，由 得
解得
∴ ，
当 时，
∴ ，
由 同理可得得 ，得到
综上P点的坐标为 或 ．
【小问3详解】
由题意得： ，
仅存在一个点 ，使得 ，
抛物线 与直线 仅有一个交点，
，
整理得 ，
，，
又 ，当 时， 随着 的增大而减小，
∴ 时，n最大为 ．
八、（本题满分14分）
23. 已知正方形 中，E为 边上一点，E点关于直线 的对称点为F点，射线 交 的延长
线于点G，连接 交延长交 于点H，连接 交 于点M．
（1）若 ，
①求证： ；
②求 的值；
（2）求证：M为 的中点．
【答案】（1） 见解析；
① ②
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）①利用正方形的性质进一步证明 ，由全等三角形的性质得出
，最后利用轴对称的性质即可得出 ．
②证明 ，由相似三角形的性质得出 ，即 ，设即 ，解得 ，再根据正切的定义求解即可．
（2）延长 、 交于点P．由平行线的性质得出 ，根据等腰三角形
的判定和性质即可得出 ，再根据相似三角形的性质可得出 进而可得出M为
的中点．
【小问1详解】
①证明：∵ 是正方形，
∴ ，
，
，
又 ，
，
在 和 中
，
，
．
又E点与F点关于 对称，
；
② ，
，
，又∵ ，
，
，
即 ，
设 ，
则 ，
解得 ，
；
【小问2详解】
证明：如图，延长 、 交于点P．
，
， ，
∵ ，
，，
又 ，
D为 的中点，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
即M为 的中点．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，求角的正切值，正方形的性质，全等三角形的判定和
性质，平行线截线段成比例，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，掌握这些判定定理和性质
是解题的关键．
