文档内容
安徽省 C20 教育联盟 2025 年九年级中考“功夫”卷（八）
数学
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共2页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出 、 、 、 四个
选项，其中只有一个是符合题目要的．
1. 的相反数是（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定
义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．
的
【详解】解： 相反数是3，
故选：A．
2. 计算 的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算，根据幂的乘方，同底数幂相除法则计算即可．
【详解】解∶，
故选∶D．
3. 据合肥海关消息，2024年前11个月，安徽省货物贸易进出口总值7823.9亿元人民币，同比增长6.6%，
外贸规模保持全国第9位．其中数据7823.9亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是正确确定 的值以及 的值．
先将7823.9亿转化为数字形式，再根据科学记数法的规则确定 和 的值．
【详解】因为1亿 ，所以7823.9亿 ，
将782390000000转变为 的形式，其中 ，此时小数点向左移动了11位，所以 ，
即
故选：B．
4. 一个正方体沿四条棱的中点切割掉一部分后，如图所示，则该几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据简单几何体的三视图的画法，看得见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示可得
答案．
【详解】解：从左面看该几何体，选项C中的图形符合题意，
故选：C．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提，掌握看得见的轮廓线用实线
表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的关键．
5. 方程 的解为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，先去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后验根即可得到答案，熟练
掌握分式方程的解法是解决问题的关键．
【详解】解： ，
去分母得 ，
，解得 ，
经检验，当 时， ，
是原分式方程的解，
故选：D．
6. 如图，五边形 是 的内接正五边形， 是 的直径，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正五边形的性质和圆周角定理即可求出答案．
【详解】解：如图所示，连接 ， ，∵ 是 的直径，
∴ ，
∵五边形 是 的内接正五边形，
∴ ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，
∴ ,
∴ ．
故选A．
【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理等知识，能正确做出辅助线是解题的关键．
7. 若二次函数 经过点 则 的最小值为（ ）
.
A B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质以及利用配方法求最值，解题的关键是根据函数过的点得到 与 的
关系，再通过变形求 的最值．
先将点代入二次函数得到 与 的关系式，再将 用 表示代入 ，最后通过配方法求最值．
【详解】将 代入函数可得：
，即 ，
移项可得 ，把 代入 ，得到 ，
因为 （任何数的平方都大于等于0），
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最小值为 ．
故选：A．
8. 如图，过平行四边形 对角线 上一定点 作一组邻边的平行线，从这个图形中任选一个三角
形或平行四边形，则所选图形中含点 的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了概率的计算，平行四边形的判定与性质，先数形结合，数出图中三角形和平行四边形
的个数以及含点P的三角形和平行四边形的个数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解∶如图，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形， ， ，同理四边形 、四边形 、四边形 、四边形 、四边形 、四边形 、
四边形 都是平行四边形，
图中三角形有∶ ， ， ， ， ， ，共6个，
平行四边形有∶ ， ， ， ， ， ， ， ，
，共9个，
∴从图中任选一个三角形或平行四边形共有 种等可能的结果，其中有2个三角形（ ，
）、4个平行四边形（ ， ， ， ）含点P，
∴所选图形中含点 的概率是 ，
故选：C．
9. 在矩形 中， 是对角线 上一点，连接 并延长交 于
分别是 的中点，连接 ，若 ，则 的长度为（ ）
A. B. 3 C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定定理和性质．先证明 ，推出
，求出 ，再求出 ，即可解答．【详解】解： ，G分别是 的中点，
分别是 的中线．
，
，
，
，
，
，
解得 （负值已舍去），
．
，
．
故选：D．
10. 如图，四边形ABCD是菱形， ，且 ，作 ，交 的延长线于点E．现将
沿 的方向平移，得到 ．设 与菱形ABCD重合的部分（图中阴影部分）的面
积为y，平移距离为x，则y与x的函数图像为（ ）A. B. C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，进行分类讨论，求出不同情况下阴影部分面积的表达式，即可进行解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ，且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
为
∵平移距离 x，
∵ 沿 的方向平移，得到 ，
∴ ， ， ，
∵平移距离为x，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
①当 时，
，
整理得： ，
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴当 时， 有最大值 ；
②当 时，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
整理得： ，
∵ ，∴y随x的增大而减小，
∴当 时， 有最大值 ；当 时， 有最小值 ；
③当 时，
，
整理得： ，
∵ ，
∴当 时，y随x的增大而减小，
综上： ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了动点问题于函数图象，解题的关键是正确找出不同情况下阴影部分面积的求法．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算 =_______【答案】2
【解析】
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可.
【详解】 .
故答案为2
【点睛】考核知识点：二次根式除法.掌握法则是关键.
12. 甲、乙各收集一些废电池，如果甲再多收集6节，就是乙的2倍，若甲收集 节，则两人一共收集
_______节废电池．（用含 的整式表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据数量关系甲再多收集6节，电池个数就是乙的2倍，可求乙收集了 节废电池，再把它
们相加得出代数式即可．
【详解】解：由题意，得
（节）
答：两人一共收集 (节)．
故答案为： ．
【点睛】本题考查列代数式，整式的加减法，找出数量关系列数式子是解决问题的关键．
13. 在 中， 平分 ，则 _____．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线－截长补短法构造全
等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．在 上截取 ，连接 ，证明 ，得到 ，再证明 ，进而
代入数值解答即可．
【详解】解：在 上截取 ，连接 ，如图：
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
从而 ，
又 ，
∴ ，从而 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：9．
14. 已知抛物线 （m为常数）与 轴交于点 ．
（1）若抛物线 的对称轴在 轴右侧，则 的取值范围是_____．
（2）点 在抛物线 上，若 ，且对于抛物线 上的一点 ，当 时，均有
，则 的取值范围为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知二次函数图象的性质是解题的关键．（1）根据对称轴计算公式求出对称轴，再根据对称轴在y轴右侧建立不等式求解即可；
（2）根据 得到 ；根据当 时，均有 ，可知点D在对称轴上或
在对称轴右侧，据此可得 ，解两个不等式即可得到答案．
【详解】解：（1）∵抛物线解析式为 ，
∴对称轴为直线 ，
∵抛物线 的对称轴在 轴右侧，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ 在抛物线 上，且 ，
∴ ，
∴ ，
，
又 对于抛物线 上的一点 ，当 时，均有 ，
∴ ，
，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程： ．【答案】 ，
【解析】
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握用配方法解一元二次方程的方法和
步骤．先将方程整理为一般式，再进行配方求解即可．
【详解】解： ，
，
，
，
或 ，
， ．
16. 《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十
八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？
其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了 只船，大船每只坐 人，小船每只坐 人， 人刚好坐满，
问：大小船各有几只？请你用初中学的方程（组）解答此问题．
【答案】大船有 只，小船有 只．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键．设有 只小船，则大船有
只，根据共坐了 只船，大船每只坐 人，小船每只坐 人， 人刚好坐满列方程求解即可．
【详解】解：设有 只小船，则大船有 只，根据题意，得 ，
解得， ， ，
答：大船有 只，小船有 只．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的
线段 以及格点 ．
（1）将线段 向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到线段 ，请画出线段 ；
（2）以点 为对称中心，作线段 的中心对称线段 ，请画出线段 ；
（3）连接 ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了平移作图，旋转作图，求余弦值，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据所给平移方向作图即可；
（2）根据所给旋转方式作图即可；
（3）如图所示，过点 作 于C，利用面积法求出 ，再用勾股定理求出 ，再由
进行求解即可．
【小问1详解】
线段 即为所画：；
【小问2详解】
线段 即为所画：
【小问3详解】
解：如图所示，过点 作 于C，
由题意得： ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
18. 观察以下等式：
第 个等式： ，第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第 个等式：______；
（2）写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ；证明见解析
【解析】
【分析】本题考查算式规律的归纳能力，分式的化简求值，解题的关键是能准确理解题意，并通过观察、
计算、归纳进行求解．
根据前 个等式的规律可知，第 个等式应是 ，可得等式：
；
由 中的规律可知，第 个等式应是 ，分别把等式左边、右边的分式化简，可得结果都为 ，即可证明等式成立．
【小问1详解】
解： 第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
第 个等式： ，
根据规律可得，第6个等式： ；
故答案为： ；
【小问2详解】
解：猜想：第 个等式为 ，
证明：左边 ，
，
左边 右边，
故猜想成立．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. “综合与实践”数学兴趣小组制定测量教学楼高度的方案，利用课余时间完成实地测量，测量结果如下：
课题 测量教学楼的高度
成员 组长：XXX；组员：XXX，XXX，XXX
测量工具 测量角度的仪器，皮尺等
说明：测角仪的高度 ，点
测量示意图 ， 在同一竖直平面
内， 在同一水平线上
测量数据
．．． ．．．
任务一：（1）根据以上测量结果，请你帮助该“数学兴趣”小组求出学校这两幢教学楼的高度；（结果
精确到 ．参考数据： ）
任务二：（2）若测量工具不变，你能利用其他方法测量教学楼的高度吗？画出测量示意图，并写出所需
测量数据．
【答案】（1） ； （2）能；见解析；
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形 仰角俯角问题，熟练掌握应用解直角三角形 仰角俯角问题的方
法，添加适当的辅助线构造直角三角形进行求解是解决本题的关键．
（1）延长线段 交 于 ，交 于 ，由题意可得 ， ，
， ， ， ．再解直角三角
形 得 出 ， ． 可 得
， ．即可得出答案；
（2）可利用测角仪测出 的度数，测出 ， 的长度即可．
【详解】解：（1）延长线段 交 于 ，交 于 ．如图由题意可得 ， ， ，
， ， ．
．
．
又 ， ，
， ．
， ．
答：旗杆 的高度约为 ，教学楼 的高度约为 ．
（2）能（方案不唯一）．例如图所示
需要测量的数据有 的长度，以及 的度数．
20. 如图，以 为直径的 交 于点 ， 于点 ，过点 的切线 交 于点 ，且
平分 ．（1）求证： ；
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质，平行线的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相
关的判定和性质．
（1）证明 ，得出 即可；
（2）连接 ，根据切线的性质求出 ，根据勾股定理求出 ，根据
即可得出答案．
【小问1详解】
证明： 平分 ，
，
是 的直径，
，
在 和 中 ，
，
；
【小问2详解】
解：连接 ，如图所示：是 的切线，
，
∵ ，
，
，
，
，
由（1）得 ，
．
六、（本题满分12分）
21. 阅读是我们获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径．为了提高学生的阅读兴趣，校团委组织开展
形式多样的课外阅读活动．从该校随机选取的20名学生进行了调查，统计结果如下（单位：分钟）：
【收集数据】
【整理数据】
平均时间（ 分钟）
人数（名） 3 5 4【分析数据】
平均 中位 众
数 数 数
83.5
任务1：（1）填空 ___________， ___________， ___________；
任务2：（2）该校七、八、九年级共1200名学生，每周用于课外阅读的平均时间少于80分钟属于未达标，
估计每周用于课外阅读的平均时间达标的学生有多少名？
任务3：（3）李明每周用于课外阅读的平均时间为82分钟，小红说：“小明每周平时阅读时间要多于全校
一半学生的阅读时间”，你认为小红的说法正确吗？说明理由；
任务4：（4）教育部建议每天阅读时间不少于60分钟，为提高学生的阅读兴趣和阅读时间，学校应该如
何做？
【答案】（1）8，80，80；（2）720名；（3）正确；理由见解析；（4）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图的相关知识，中位数以及众数的定义，用样本估计总体即可．
（1）用总数减去其他组的人数即可求出答案，根据中位数以及众数的定义求解即可．
（2）用样本估计总体即可．
（3）根据中位数的意义判断即可．
（4）提出合理建议即可．
【详解】解：（1） （人）
为
将数据从小到大排列 ：20，30，35，45，55，60，70，70，80，80，80，80，90，100，100，115，
120，140，150，150，
∴ ，∵80出现的次数最多，
∴ ．
故答案为：8，80，80
（2） (名)，
答：估计全校每周用于课外阅读的平均时间达标的学生有720名；
（3）正确．理由如下∶全校学生课外阅读的平均时间的中位数为80分钟，且 ，
根据中位数的定义说法正确．
（4）①丰富读书活动，可以组织丰富多彩、主题鲜明的读书月、读书周、读书节活动；②丰富图书配备，
阅读条件，设置读书角、放置图书架、开设书报亭，方便学生即时阅读、处处可读；③开设阅读指导课，
定期举办学生阅读指导活动，帮助学生掌握阅读方法，降低阅读困难．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在等腰 中， ， 分别在边 ， 上，连接 ， 交于点 ，
且 ，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若点 为 中点， ，求 的长；
（3）若 ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）2
【解析】
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得到 ，根据 ，结合三角形外角的性质即可证明结论；
（ 2 ） 取 的 中 点 ， 连 接 ， 易 证 ， ， 设 ， 则
，求出 ， ，证明 ，推出
，再证明 ，推出 ，建立方程求解即可；
（3）在 上取一点 ，使得 ，连接 ，证明 ，推出 ，即
可求解．
【小问1详解】
证明： 在等腰直角三角形 中， ，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，取 的中点 ，连接 ，
为 中点， 为 中点，
， ，
设 ，则 ，
，，
由（1）得 ，
，
又 ，
，
，
，
，
，
，
，
，解得 （负值已舍去），
；
【小问3详解】
解：如图，在 上取一点 ，使得 ，连接 ，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角
形中位线等知识；应牢固掌握相似三角形的判定，等腰直角三角形的性质等知识点，并灵活运用．
八、（本题满分14分）
23. 【项目式学习】
根据以下素材，完成任务．
如何设计游乐园的抛物线型拱桥？
如图①，某游乐园计划在水面 上方搭建一座抛物线型拱桥
素
（拱桥为轴对称图形）， ，桥拱最高处距离水面
材
．在实际搭建时，需在拱桥下方安置两个桥墩进行支撑，
1
为了美观，要求两个桥墩露出水面高度相等．即
如图②，要在 上方设计一个面积为 的矩形广告牌
素
，要求矩形广告牌的一边落在 上，即点 在
材
2 上，矩形广告牌长、宽均为整数，且矩形广告牌关于拱桥
的对称轴对称
以 的中点为原点，水面 为 轴，过中点垂直 的直线为 轴建立平面直角坐标系，解决下列问
题：
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若两个桥墩露出水面的高为 ．
①求它们的距离（不考虑桥墩的宽度）；
②拟定设计方案，给出一种广告牌的设计方案，并求出矩形广告牌左上方顶点的坐标．
【答案】（1）
（2）① ②方案见解析； 或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用；（1）以 的中点为原点，建立平面直角坐标系，利用待定系数法求解即可；
（2）①令 ，求得 ， ，据此求解即可；
②根据题意分6种情况讨论，根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：如图，以 的中点为原点，建立平面直角坐标系，
则拱门最高点 的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设抛物线的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：①令 ，则 ，
解得 ， ，
∴两个桥墩之间的距离是 ；
②∵矩形广告牌 的面积为 ，且长、宽均为整数，∴矩形广告牌 有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表 落在 的边的长度，即 的长
度）：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；
∵拱桥的最高点到 的距离为 ，
∴方案①，②，③不符合题意．
∵ ，
∴方案⑥不符合题意，
对于方案④：当 时， ．
此时矩形 的最上边距离水面的高度为 ，
∵ ，∴方案④可以满足要求，此时矩形广告牌GHIJ左上方顶点的坐标是 ；
当 时， ．
此时矩形 的最上边距离水面的高度为 ．
∵ ，
∴方案⑤可以满足要求，此时矩形广告牌 左上方顶点的坐标是 ；
综上所述，共有两种设计方案：
方案一：矩形广告牌 的长为 ，宽为 ，左上方顶点的坐标是 ；
方案二：矩形广告牌 的长为 ，宽为 ，左上方顶点的坐标是 ．
