文档内容
安徽省“C20”教育联盟 2025 年九年级第三次学业水平检测
数学
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共6页，“答题卷”共2页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共有 10小题，每小题4分，满分40分．在每小题所给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求．）
1. 将下列实数表示在数轴上，其中最右边的数是（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查利用数轴进行有理数的大小比较，解题的关键在于理解数轴上数值大小与位置的关系，
负数绝对值越小数值越大．根据数轴的定义，右边的数数值较大，左边的数数值较小进行判断即可．
【详解】解：
最右边的数是 ．
故选：D．
2. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按
如图方式摆放，则它的左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟练运用数形结合思想．从左边观看立体图形即可得
到．
【详解】解：从左边观看立体图形可得左视图为直角在左边的直角三角形，
故选：B．
3. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了合并同类项、完全平方公式、积的乘方、同底数幂除法，根据运算法则计算即可得到
答案．
【详解】A. ，故选项错误，不合题意；
B. ，故选项错误，不合题意；
C. ，故选项正确，符合题意；
D. ，故选项错误，不合题意；
故选：C
4. 函数 中自变量x的取值范围是（ ）
A. 且 B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了函数自变量取值范围，根据分式形式的函数满足分母不为零的情况，建立不等式求解，
即可解题．【详解】解：函数 分母不为零，即 ，
解得 ，
故选：D．
5. 不等式组 的整数解是（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找
不到”的原则是解答此题的关键．
先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为： ．
∴整数解为 ．
故选：C．
6. 如图，点E是 直角三角形斜边上的一点，F是直角边上一点，且 ，若 ，则
的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了含 直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的外角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题先求得 ，然后证得 是等边三角形，然后得到 ，然后根据三角形外角
的性质，即可求解；
【详解】解：∵ 是含 直角三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ 是 的外角，
∴ ；
故选：A；
7. 若过点P的直线 与线段 有交点，其中 ， ，那么点P的坐标不可能是（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解析式的确定．根据各选项，利用待定系数法求得直线解析式，再求得 时， 的
值，逐一判断即可．
【详解】解：直线 过 时， ，
直线解析式为 ，当 时， ，与线段 有交点，
选项A不符合题意；
直线 过 时， ，为
直线解析式 ，当 时， ，与线段 有交点，
选项B不符合题意；
直线 过 时， ，
直线解析式为 ，当 时， ，与线段 有交点，
选项C不符合题意；
直线 过 时， ，
直线解析式为 ，当 时， ，与线段 没有交点，
选项D符合题意；
故选：D．
8. 编号为1、2、3、4的4个小球，不放回的抽取两次，记 表示这两个球号码的平均数，记 表示抽取第
一个球的号码，则 与 差的绝对值超过 的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率的应用，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率的方法
是解题的关键．
画树状图，得到共有 种等可能的结果，其中 与 差的绝对值超过 的结果有 种，用概率公式计算
即可．
【详解】解：根据题意画树状图如下，
由树状图得：共有 种等可能的结果，其中 与 差的绝对值超过 的结果有 种，与 差的绝对值超过 的概率是 ，
故选：B
9. 如图，四边形 是面积为 的矩形， ， 在反比例函数 第一象限内的图象上，且 ，
则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，
掌握知识点的应用是解题的关键．
过 作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，延长 ， 交于点 ，由四边形 是面积
为 的矩形，且 ，得出 ， ， ，证明
，则有 ，然后证明 ，所以 ，
，同理可得 ， ，设 ， ，则 ，
，求出 ，再通过勾股定理得 ，最后代入解析式即可求解．
【详解】解：如图，过 作 轴于点 ，过 作 轴于点 ，延长 ， 交于点 ，
∴ ，∵四边形 是面积为 的矩形，且 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
同理可得： ， ，
由 ，设 ， ，
则 ， ，
∴ ， ，
∵ ， 在反比例函数 第一象限内的图象上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
10. 如图， 分别与圆 相切于点 ，射线 与 的延长线相交于点 ，与圆 相交于点
，连接 和 ，若 ， ，则圆 的半径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了切线长定理及切线的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质等，连接 ，
由 切 线 长 定 理 及 切 线 的 性 质 得 ， ， ， 进 而 由 可 设
， ，即得 ， ，再证明 ，可得 ，即得
到 ，利用勾股定理求出 即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：连接 ，∵ 分别与圆 相切于点 ， 是半径，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴可设 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴圆 的半径为 ，故选： ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的概念，根据算术平方根的概念即可求解，掌握算术平方根的概念是解题
的关键．
【详解】解：由 ，
故答案为： ．
12. 据统计，2024年我国人工智能核心产业规模达6964亿元，数据6964亿用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原
数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
【详解】解：6964亿 ，
故答案为： ．
13. 如图，在等腰三角形中， ， ，以腰 为直径的半圆分别交 ， 于点
E，D，若 ，则 的长度______．
【答案】 ##【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，先运用圆周角定理以
及 ， ，运用勾股定理得 ，则 ，再结合
三角形内角和定理算出 ，最后运用弧长公式列式计算，即可作答．
【详解】解：连接 ，
的
∴以腰 为直径 半圆分别交 ， 于点E，D，
∴
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 ， ，
∴ ，
∵在等腰三角形中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
则 的长度 ，
故答案为： ．
14. 设抛物线 经过点 ，其中 ， ， 为实数
（1）抛物线的对称轴是_______；
（2）若 ，将抛物线向右平移 个单位， ， 是平移后的抛物线上的两点，若
当 时， ，则 的取值范围是______．
【答案】 ①. 直线 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握二次函数的
性质成为解题的关键．
（1）根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴；
（2）根据平移得抛物线的对称轴为直线 ，根据当 时，抛物线开口向上， ，可得
离对称轴较远，即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线 经过点 ，
∴
∴ ，
∴对称轴 直线 ．
为
故答案为：直线 ．
（2）∵将抛物线向右平移 个单位，
∴抛物线的对称轴为直线 ，的
∵ ， 是平移后 抛物线上的两点， ，
∵
∴
∴ 在直线 的左侧，
当 时，抛物线开口向上，
∴
解得：
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简 ，然后从 ，0，1这三个数中选一个合适的数代入求值．
【答案】 ； 时原式
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值及其有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．根据分
式的运算法则先化简，然后再由分式有意义的条件代入求值即可．
【详解】解：
，
，
∵
当 时
原式 ．
16. 网络直播为农产品销售提供了重要渠道，无核柑橘是我省西南山区特产，许多果农们采取直播的方式
实现了销售转型，如果按照每箱70元售价进行销售时，平均一天可以卖出100箱，刨去种植和人工成本，每一箱可以赚26元，另外打包用的纸箱子是2元/个，每天的直播推广费用为300元，通过直播大数据分
析发现，当每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，为了推广自己的柑橘，果农们决定降低售价．
（1）设降价x元，则每天可以售出 箱？（用含x的代数式表示）
（2）若果农们想要每天纯利润达到2550元，那么每箱的售价应该定为多少？
【答案】（1）
（2）售价应该定为65元或61元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程是解题的关键：
（1）根据每箱柑橘的售价降低1元时，就会多售出10箱，列出代数式即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，可知：降价x元，则每天可以售出 箱；
故答案为： ；
【小问2详解】
解：设降价x元，
由题意，得： ，
解得： ，
∴ 元或 元，
答：售价应该定为65元或61元．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 均为格点（网格线的交点）．（1）以点 为旋转中心，将线段 按顺时针方向旋转 得到线段 ，请画出线段 ；
（2）将线段 向右平移5个单位长度，得到线段 （点 与 对应，点 与 对应），画出线段
；
（3）判断线段 与 的位置关系为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）垂直
【解析】
【分析】本题考查了画旋转图形，平移作图，熟练掌握旋转和平移的性质是解决问题的关键．
（1）根据题意，找到 的对应点 ，连接，即可求解；
（2）根据平移的性质画出图形，即可求解；
（3）由旋转的性质可知 ，由平移的性质可知 ，进而可求解．
【小问1详解】
解：如图 即为所求，
【小问2详解】
解：如图 即为所求，
【小问3详解】解：由（1）可知 ，
由（2）可知 ，
∴ ，
故答案为：垂直．
18. 为提高学生的自主探究能力，我校开展了以兴趣小组为单位的探究活动，兴趣小组在探究过程中发现：
（n，a，b，c均为正整数），探究过程如下：
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
……
（1）按照以上规律，填空：
①当 时， ；
②猜想： ．
（2）兴趣小组经过探究还发现：
……
综合以上探究，猜想： ，并给出推理证明．【答案】（1）① ；②
（2）n， ， ，见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了数字变化的规律及整式的混合运算，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解
题的关键．
（1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决①②．
（2）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律，并进行证明即可．
【小问1详解】
解：①当 时， ；
②猜想： ．
故答案为：① ，31；② ；
【小问2详解】
解：猜想： ，
证明： ，
，
，
，
，
，
所以左边 右边，猜想成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图1是古代的脚踏石碓，它主要用于舂（chōng）米，这种工具分为碓（duì）窝和踏椎两部分．碓窝
是一块方形青石中间凿出的小圆窝，用于放置糙米或杂粮，踏椎（如图2中的折线 ）则是用木头制成，
人站在踏椎的一端（如图2中的点E）用力踏动，踏椎便绕着支点（如图2中的点D）转动，当踏椎的一端（如图2中的点E）触及地面时，踏椎转至最高处（如图2中折线 ），此时松开脚，踏椎会砸向
碓窝，使碓窝内的谷物分离出米糠和白米，其平面示意图如图 2 所示，已知支点 D 离地面的高度
米，踏椎两部分 垂直 ．且 ， 米，若踏椎转到最高处时， 的与地
面的夹角 ，求此时点 离地面的高度．（ ， ， ）
【答案】 离地面的高度为 米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．本题作
交 于点P，过点P作 ，而后在 中，求出 ，再 中，求出
，进而在 中， ，即 离地面的高度．
【详解】解：作 交 于点P，过点P作 ，
∵ ，
∴ ，∴在 中， 米，
∴ 米，
在 中， 米，
∴ 米，
∴在 中， 米
∴ 离地面的高度为 米．
答： 离地面的高度为 米．
20. 如图，已知四边形 是 的内接四边形， 是 的直径， 是弧 的中点， 与
延长线的交点为 ，连接对角线 ，作 交 于点 ，垂足为点 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 的半径为 ，且 ，求 的长．
【答案】（1）见解析；
（2） ．
【解析】【分析】（ ）由 ，则 垂直平分 ，通过圆周角定理得 ，则有
，再通过圆周角定理证明 ，从而求证；
（ ）由（ ）知 ， ，可证明四边形 是菱形，又四边形 是圆的内接四
边形，则有 ， ，设 ，则 ， ，
证明 ，由性质可得 ，然后代入求出 即可．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是弧 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是直径，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
【小问2详解】
由（ ）知 ， ，∴ ， ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵四边形 是圆的内接四边形，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
经检验 是原方程的解，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形性质，解分式方程
等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递
服务”等方面给予商家分值评价（分值为 分、 分、 分、 分和 分）．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家
各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析．
【数据描述】
下图是根据样本数据制作的不完整的统计图，请回答问题（ ）（ ）．
（ ）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图；
（ ）求甲商家的“商家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角 的度数．
【分析与应用】
样本数据的统计量如下表，请回答问题（ ）（ ）．
统计量
商家
中位 众 平均 方
数 数 数 差
甲商
家
乙商
家
（ ）直接写出表中 和 的值，并求 的值；
（ ）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪
一家？说明你的观点．
【答案】（ ）平台从甲商家抽取了 个评价分值，从乙商家抽取了 个评价分值，补图见解析；（
） ；（ ） ， ， ；（ ）小亮应该选择乙商家，理由见解析．
【解析】
【分析】（ ）分别用 分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲、乙两个商家各抽取的评价分值个数，进而求出甲、乙商家 分的评价分值个数，即可补全条形统计图；
（ ）用 乘以甲商家 分的占比即可求解；
（ ）根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解；
（ ）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键．
【详解】解：（ ）由题意可得，平台从甲商家抽取了 个评价分值，
从乙商家抽取了 个评价分值，
∴甲商家 分的评价分值个数为 个，
乙商家 分的评价分值个数为 个，
补全条形统计图如下：
（ ） ；
（ ）∵甲商家共有 个数据，
∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第 位和第 位数的平均数，
∴ ，
由条形统计图可知，乙商家 分的个数最多，
∴众数 ，乙商家平均数 ；
（ ）小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方
差较接近，
∴小亮应该选择乙商家．
七、（本题满分12分）
22. 如图，在平行四边形 中， ，E是 上一点， ，连接 交 于点O．
（1）求证： ．
（2）过点C作 的平行线分别交射线 和射线 于点G、H，若 ， ，
①求证： ；
②求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②10
【解析】
【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，等知识点，解题的
关键是证明三角形相似．
（ 1 ） 根 据 和 得 出 ， 结 合 ， 即 可 证 明
．
（2）①根据 ．得出 ， ，根据 ，得出
，即 ，根据 ，证明 ，得出，即可得 ．
②作 ，根据 ，得出 ，证明 平分 ，根据角平分
线的性质定理得出 ，证明 ，得出 ，设 ，则
，则在 中，由勾股定理求出 ，即可求解．
【小问1详解】
证明：在平行四边形 中 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：①∵ ，
∴ ，
∵ ．
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
②作 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ，
又∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，则在 中，由 得： ，
解得： ， （舍去），
∴ ．
八、（本题满分14分）
23. [综合探究]运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一
片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．
【探究一】确定心形叶片的形状
（1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数 图象的一部分，
已知该抛物线的顶点坐标为 ，求抛物线的解析式；
【探究二】研究心形叶片的尺寸
（2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线 与坐标轴交于 ， 两点，抛物线与
轴交于另一点 ，点 ， 是叶片上的一对对称点， 交直线 于点 ．求叶片此处宽度 的
值；
【探究三】探究幼苗叶片的特征
（3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数 图
象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖 的坐标为
．在右侧上方轮廓线上任取一点 ，过 作 轴垂线交下方轮廓线于点 ，求 的最大值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）2
【解析】【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等
等，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据顶点坐标公式列方程求解即可；
（2）先求出 ，得到 ，求出点 ，得 ，求得 ，根据对
称性得 ；
（3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为 ，设M点坐标为 ，
则 ，得 ，运用二次函数的性质可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线 图的顶点坐标为 ，
∴
解得： ，
∴抛物线的解析式为
（2）∵直线 与坐标轴交于 ， 两点，
∴令 ，得 ，令 ，则 ，则
∴ ，
∴
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ；∵直线 是心形叶片的对称轴，且点 ， 是叶片上的一对对称点，
∴ ， ，
∴ ,
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
对于 ，当 时， ，
解得， 或 ，
∴ ,
∴
∴ ，
∴
（3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，
设右侧幼苗上方轮廓线表达式为 ，代入 、 得
，
解得， ，
∴
设M点坐标为 ，则 ，∵ ，
∴当 时， 的最大值为2．
