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2025 年初中毕业学业考试模拟试卷数学试题卷
2025.4
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的倒数为（ ）
A. B. 2025 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是倒数的含义，根据乘积为1的两个数互为倒数可得答案．
【详解】解： 的倒数为是 ，
故选：D．
2. 十四届全国人大三次会议3月5日上午9时在人民大会堂开幕，李强总理作政府工作报告，报告中提到：
过去一年，国内生产总值达到 万亿元、增长 ，增速居世界主要经济体前列，对全球经济增长的
贡献率保持在 左右，其中 万亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于 的数，掌握形式是解题的关键．即 ，其中
， 为正整数．
先把 万亿化为 ，再根据科学记数法表示数的形式得出 即可．
【详解】解： 万亿 ．
故选：D．
3. 《九章算术》是中国古代数学经典著作，书中提及一种称之为“刍甍”的几何体，书中记载：“刍甍者，
下有袤有广而上有袤无广，刍，草也：甍、层盖也，”其释义为：刍甍，底面有长有宽的矩形，顶部只有
长没有宽为一条棱的五面体，现有刍甍如图所示，其主视图为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三视图，解题的关键是理解三视图的定义，根据主视图是从前面看到的图形求解即可．
【详解】根据题意得，其主视图为：
．
故选：A．
4. 下列各式中，计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握各项运算法则是解题的关键．利用
合并同类项法则、幂的乘方法则、同底数幂的乘法法则逐项判断，即可得出答案．
【详解】解：A、 ，故该选项错误；
B、 ，故该选项错误；
C、 ，故该选项正确；
D、 ，故该选项错误；
故选：C．
5. 如图， 中，弦 的长为 ，点 在 上， ， ，则图中阴影部分的面
积是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如图所示，连接 ，设 和 交于点D，首先利用圆周角定理求出
，然后根据垂径定理得到 ， ，求出 ，
的
然后解直角三角形求出 ，然后利用阴影部分 面积 代数求解即可．
【详解】如图所示，连接 ，设 和 交于点D，
∵
∴
∵
∴ ，
∴
∴∴
∴阴影部分的面积 ．
故选：D．
【点睛】此题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，求弓形面积等知识，解题的关键是掌握以上
知识点．
6. 二次函数 与一次函数 的图象交点不可能在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，根据题意分两种情况讨论： 和 ，然后
分别判断出一次函数和二次函数的图象所在的象限，进而求解即可．
【详解】当 时，二次函数 图象在第一象限和第二象限，一次函数 的图象在第一，三，
四象限，
∴二次函数 与一次函数 的图象交点不可能在第二，四象限；
当 时，二次函数 图象在第三象限和第四象限，一次函数 的图象在第二，三，四象
限，
∴二次函数 与一次函数 的图象交点不可能在第一，二象限；
综上所述，二次函数 与一次函数 的图象交点不可能在第二象限．
故选：B．
7. 已知实数 ， 满足： ，且 ，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了不等式的性质．由 得到 ，把 ，代入 求
出 ，进而得出 ，最后根据不等式的性质进行计算和推理一一判断即可求解．
【详解】解：A、 ，
，
，
，
故A正确，不符合题意；
B、 ，
，
，即 ，
故B正确，不符合题意；
C、 ，
，
，
，，
，即 ，
故C错误，符合题意；
D、 ，
，
，
，
，
，即 ，
故D正确，不符合题意；
故选：C．
8. 点 是 对角线 上一点，连接 并延长至点 ，使 ，交 于点 ，连接 ．
若 ， ，则 的长为（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图所示，连接 ， 交于点O，首先得到 ， ，然后证明出 是 的中位线，证明出 ，得到 ，设 ，则 ，
然后得到 ，进而求解即可．
【详解】如图所示，连接 ， 交于点O
∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∵
∴ 是 的中位线
∴ ，
∴
∴
∴
∴设 ，则
∴∴
∴
∴ ．
故选：A．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定等知识，
解题的关键是掌握以上知识点．
9. 在矩形 中， ， ， ， 分别在边 ， ， ， 上（不与顶点重合），顺次连接
得到四边形 ．对于任意矩形 ，下面结论一定正确的有（ ）个
①存在无数个四边形 是平行四边形；②存在无数个四边形 是矩形；③存在无数个四边形
是菱形；④至少存在一个四边形 是正方形
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定
理是解题的关键．根据菱形的判定和性质，矩形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定定理即可得到
结论．
【详解】解：如图，连接 ， 交于 ，
过点 直线 和 ，分别交 ， ， ， 于 ， ， ， ，
四边形 是矩形，
， ， ，
，，
同理可证 ，
四边形 是平行四边形，
直线 和 存在无数条，
存在无数个四边形 是平行四边形，故①正确；
当 时，四边形 是矩形，故存在无数个四边形是矩形，故②正确；
存在无数条直线 和 ，使得 ，故存在无数个四边形是菱形；故③正确；
④当四边形 是正方形时， ， ，
，
，
，
，
又 ， ，
，
， ，
，
，
四边形 是正方形，当四边形 为正方形时，四边形 是正方形，
即至少存在一个四边形 是正方形，故④正确；
故选：D．
10. 如图，抛物线 与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，连接 ，若
点 为线段 上的动点（与 ， 不重合），作射线 交抛物线于点 ，在点 的运动过程 的最大值为（ ）
A. B. C. D. 不存在
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出抛物线表达式，连接 ， 得到点 的坐标， 利用 得出
的面积，证明 ，根据相似三角形的判定与性质，可得 根据三角形
的面积，可得 ，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】解：∵抛物线 ，可得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ，
令 ，则 ，∴点 的坐标为 ；
连接 ，
设点 的横坐标为 ，
，
，
如图， 过点 作 于 ，
， ， ，
满足 ，
，
又 ， ，
，，
，
，
．
∴当 时， 存在最大值 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，三角形面积求法，待定系数法，
勾股定理，综合性强，有一定难度，解题时要注意数形结合．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若 有意义，则实数 的取值范围是_________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．掌握二次根式被开方数为非负数是解题关键．
根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】根据题意可知 ，
解得： ．
故答案为： ．
12. 已知关于 的一元二次方程 ，有两个相等的实数根，则 的值是____________．【答案】 ##0.125
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系
当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实
数根．利用判别式的意义得到 ，然后解关于 的方程即可．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
，
解得： ，
故答案为： ．
13. 将如图摆放的三个正方形，分别随机涂成黑色成白色，则相邻正方形（两个正方形有公共边），颜色
不同的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用概率公式求概率．设白色和黑色分别为 和 ，得到所有可能的结果数和颜色不
同的结果数，再利用概率公式即可求解．
【详解】解：设白色和黑色分别为 和 ，
则共有 ， ， ， ， ， ， ， ，共 种等可能的结果数，其中相邻正方形（两
个正方形有公共边），颜色不同的结果数有 ， ，共 种，
所求概率是 ，故答案为： ．
14. 如图， 是坐标原点， 的直角顶点 在 轴的正半轴上， ， ，反比例
函数 的图象经过斜边 的中点 ，点 关于 的对称点为点 ，连接 交反比例函数
图象于点 ．
（1） ________；
（2）点 的横坐标为________________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）由 ，可得 ，根据 ，可得 ，求出 ，再根据
中点坐标公式求出点 的坐标，即可求解；
（2）根据对称的性质求出 ，再利用待定系数法求出直线 的解析式，最后联立直线和反比例函
数的解析式，即可求解．
【详解】解：（1） ，
，
在 中， ，
，
，点 是 的中点，
，即 ，
，
（2） 点 关于 的对称点为点 ， ，
，
设直线 的解析式为 ，将 、 代入得：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
由（1）可得反比例函数的解析式为 ，
联立 ，
解得： （负值已舍去），
点 的横坐标为 ；
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解直角三角形，一次函数的图象与性质，中点坐标公式，
对称的性质，解题的关键是掌握相关知识．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15. 解不等式 ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握不等式的解法．根据不等式的性质求解即可．
【详解】解：
．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的 方格中，已知点 、 、 、 均为格点．
（1）以点 为位似中心，在方格图中将 放大2倍，得到 ， ， （点 ， ， ，分别为
点 ， ， 的对应点）；
（2） 的面积为_________；
（3）在 中，用无刻直尺，作 边上的中线 ．
【答案】（1）见解析 （2）2
（3）见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）利用割补法求解即可；（3）取格点E，连接 交 于点D，中线 即为所求．
【小问1详解】
如图所示， 即为所求；
【小问2详解】
的面积为 ；
【小问3详解】
如图所示，中线 即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长
相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）．
若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张，问竖式纸盒、横式纸盆各加工多少个，恰好能将购
进的纸板全部用完？
【答案】加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个，恰好能将购进的纸板全部用．
【解析】
【分析】设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据“正方形纸板1000张，长方形纸板2000张”，
列出二元一次方程组，即可求解．
【详解】设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据题意得： ，
解得： ．
答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个，恰好能将购进的纸板全部用．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找出等量关系，列出方程组，是解题的关键．
18. 宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞”数字，数学兴趣小组在研究“黑
洞”数字时，在0到9之间，任取一组不全相等的三个数字，从大到小排列得到最大数，再从小到大排列
得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，再按照上述方式重新排列，再相减，再得到一个
新数…一直重复操作，
例如．
第1组：数字1，2，0，则 ；
第2组：数字1，9，8，则 ；
第3组：数字7，9，2，则 ；
第4组：数字6，9，3，则_________________．
（1）根据规律，补充第4组横线的内容；
（2）小组成员 发现：任取这样一组不全相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终
会得到一个确定的“黑洞”数字，这个数是________________；
（3）小组成员 发现：在上述“重排求整”操作中，最大数和最小数的差能被99整除，推过程如下：
设一组三个数字为 ， ， ，不妨设 ，且 ， ， 不全相等，最大数可表示为
__________________，最小数可表示为___________________，则最大数 最小数 （____________），
所以最大数和最小数的差能被99除．
【答案】（1）
（2）495 （3） ， ，
【解析】
【分析】此题考查了数字规律问题，列代数式，有理数的减法，整式的加减的应用，解题的关键是正确分
析题意．（1）根据题意列式求解即可；
（2）根据题意继续写出第5组和第6组数字，进而找到规律求解即可；
（3）根据题意得到最大数可表示为 ，最小数可表示为 ，然后作差求解
即可．
【小问1详解】
根据题意得，
第4组：数字6，9，3，则 ；
【小问2详解】
第5组：数字5，9，4，则 ；
第6组：数字5，9，4，则 ；
∴最终会得到一个确定的“黑洞”数字，这个数是495；
【小问3详解】
设一组三个数字为 ， ， ，不妨设 ，且 ， ， 不全相等，
最大数可表示为 ，最小数可表示为 ，
∴
的
∴所以最大数和最小数 差能被99除．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图1为世界上早期的潜望镜，记载于公元前2世纪西汉《淮南万毕术》：中国古代潜望镜的制法：
“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻也”，实现了在院墙内监测到墙外人员的实时工作状态，其工作
原理为物理学中光的反射原理，如图2为其抽象的数学示意图，点 为水盆，点 为被观测者，现测得入
射角 ， ， 与 为法线， ．若 长为 ，求 长度（精确到 ）．参考数据： ， ， ， ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．
如图所示，过点A作 于点E，求出 ，然后求出 ，勾股定
理求出 ，然后求出 ，然后解直角三角形求
解即可．
【详解】如图所示，过点A作 于点E，
∵入射角 ，
∴
∴
∵
∴∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴ ．
20. 已知，如图， 为 的直径，点 在 上， 与经过点 的切线垂直，交 于点 ，连接
交 于点 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）连接 ，若 ， ，求线段 的长．
【答案】（1）见解析 （2）2
【解析】
【分析】（1）由DC是 的切线， ，证明 ，可得 ，由
，证明 ，从而可得结论；
（2）设 ，则 ，然后得到 ， ，证明出 ，得到 ，然后代数求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，交 于点G
是 的切线， ，
平分 ；
【小问2详解】
设
∴
∵
∴
∴ ，
∴ ，即
∵ 为 的直径，∴
又∵
∴
∴ ，即
解得 或 （舍去）
∴ ．
【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定，垂径定理，直径所对的圆周角是直角等知识，
解题的关键是掌握以上知识点．
21. 【项目背景】
从文本生成到语音识别，从绘画到编程， 的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变
革，为了解甲，乙两款 软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计，为 软件的使用选择提供参
考．
【数据收集与整理】数学兴趣小组从该校甲、乙两款软件体验者中各随机抽取20名，记录体验者对两款软
件的评分，对数据整理描述如下：
a．信息处理速度（满分10分）
b．信息识别准确度（满分10分）c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表
统 信息处理速度得分 信息识别准确度得分
计量
类别 平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲 7 9 5.6 4.84
乙 7.65 7 5.6 5.64
【数据分析与应用】根据所给信息，完成以下任务．
（1）[任务1]表格中 __________； ___________；
（2）[任务2]综合表中的统计量，下列结论正确的是___________；（填正确结论的序号）
①乙款 软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多；
②两款 软件的信息识别准确度得分的最大值与最小值的差相等；
③由信息识别准确度得分的折线统计图可知，甲款 软件的得分更稳定
（3）[任务3]若该校共有350名甲款 软件的体验者，请估计该校对本款软件信息识别准确度打分不低于
7分人数．
【答案】（1） ，
（2）①③ （3）140
【解析】
【分析】本题主要考查了中位数，众数，平均数，折线统计图，用样本估计总体等知识点，能根据中位数、
众数、平均数对题目进行分析是解题的关键．（1）根据平均数和中位数的概念求解即可；
（2）根据众数的定义和折线统计图求解判断即可；
（3）用样本估计总体的计算方法求解即可．
【小问1详解】
甲两款 软件的信息处理速度的平均数 （分），
乙两款 软件的信息处理速度分数从小到大排列第10个和第11个分别为7分和8分
∴中位数 （分）；
【小问2详解】
①乙款 软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多，正确；
②甲款 软件的信息识别准确度得分的最大值与最小值的差为 ，
乙款 软件的信息识别准确度得分的最大值与最小值的差为 ，
∴两款 软件的信息识别准确度得分的最大值与最小值的差不相等，故原说法错误；
③由信息识别准确度得分的折线统计图可知，甲款 软件的得分更稳定，正确；
综上所述，结论正确的是①③；
【小问3详解】
估计该校对本款软件信息识别准确度打分不低于7分人数为 （人）．
22. 如图1，已知抛物线 与 轴交于点 ，且图象经过点 ，抛物线与直线 在
第一象限交于点 ， ；（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若点 为 上方抛物线上的动点，求 到直线 距离的最大值；
（3）若点 在 轴上方的抛物线上，满足 ，请在图3用尺规作图，作出满足条件点 的
位置（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出点 的坐标．
【答案】（1）
（2） 到直线 距离的最大值为
（3）图见详解，
【解析】
【分析】（1）将 代入 ，可得 ，从而得出抛物线的解析式．
（2）过点 作 轴垂线，交 于点 ，交 轴于点 ，再过点 作 垂线，交于点 ，由（1）可设
点 坐标为 ，从而得出点 坐标为 ， ，结合 ，
，可得 ，根据三角函数可得 ，代入数
值配方可得 ，即可得出 到直线 距离的最大值．
（3）过点 作 轴垂线，交 于点 ，交 轴于点 ，再过点 作 垂线，交于点 ，在 轴上方
的抛物线上取点 ，令其满足 ，过点 作 轴垂线，交 轴于点 ，连接 ，同（2）可得 ， ，即 ，设点 坐标为
，可得 ，进而可列 ，即 ，故点 坐标为
．尺规作图，作出点 的位置即为：先作 的角平分线 ，再作 的角平分线
即可．
【小问1详解】
解：将 代入 ，得： ，
得： ，
∴抛物线的解析式为 ．
【小问2详解】
解：过点 作 轴垂线，交 于点 ，交 轴于点 ，再过点 作 垂线，交于点 ，如图所示：
由（1）可设点 坐标为 ，
∵ 的解析式为 ， 轴，
∴点 坐标为 ，
∴
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴当 时， 取最大值 ，
∴ 到直线 距离的最大值为 ．
【小问3详解】
解：过点 作 轴垂线，交 于点 ，交 轴于点 ，再过点 作 垂线，交于点 ，在 轴上方的
抛物线上取点 ，令其满足 ，过点 作 轴垂线，交 轴于点 ，连接 ，如图所示：
∵ ， 的解析式为 ， 轴，
∴点 坐标为 ，点 坐标为 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ,∴ ，即
设点 坐标为 ，
∵
∴ ，
∵
∴ ，即
解得：
∴
∴点 坐标为 ．
先作 的角平分线 ，可得
∴ ，
再作 的角平分线 ，可得 ，即 ，如图所示：
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合，待定系数法求二次函数解析式，尺规作图角平分线，三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，能够综合应用上述知识是解题的关键．
23. 如图1，正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，且 ，点 是对角线 、
的交点，连接 ， 交于点 ， ， 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）如图2．连接 ， ， ；
①若 ，求证： ；
②若 ， ，求线段 的长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，得到 ， ，结合 ，得
到 ≌ ，进一步根据全等三角形的性质进行证明．
（2）①根据全等三角形证得 ，再证明 ， ，推出 ，
由此推出 ，得到 ，由此证明 ，证明
，即可得到结论；
②由 ，得到 ， ， ，由①知，得到 ，即可求出 ．
【小问1详解】
解：证明：∵四边形 为正方形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：①∵ ≌ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵O为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴ ；
②∵ ，
∴ ， ， ，
∴由①知 ，
∴
∴ ，
解得
【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练
掌握各图形的判定和性质定理是解题的关键．
