文档内容
2024~2025 学年九年级第三次模拟考试数学
注意事项：
1、本试卷满分为150分，考试时间120分钟；
2、请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”答题是无效的；
3、考试结束后，请将“答题卷”交回．
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 2025的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．
根据相反数的定义判断即可．
【详解】解： 的相反数为 ，
故选：A．
2. 截至2025年4月9日，中国动画电影《哪吒之魔童闹海》全球票房（含预售及海外）已破156亿元，暂
列全球影史票房榜第5位，将15600000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整
数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解： ．
故选：A．
3. 下列计算正确的是（ ）
.
A B.C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，整式加法，积的乘方，同底数幂的乘法，幂的乘方，掌握其运算法则是解
题的关键．根据同类项的加法，同底数幂乘法法则，积的乘方法则，幂的乘方，一一判断即可．
【详解】解：A、 ，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故不符合题意；
D、 ，故符合题意；
故选：D．
4. 如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体的主视图的含义可直接进行判断．
【详解】解：由题意可得：该几何体的主视图为
；
故选A．
【点睛】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图的画法是解题的关键．5. 如果不等式 的解集为 ，则a必须满足（ ）
.
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数时，不等式的不等号需要变号，据此作
答即可．
【详解】解：∵不等式 的解为 ，
∴ ，
解得： ．
故选：D．
6. 如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O
为圆心， ， 长分别为半径，圆心角 形成的扇面，若 ， ，则阴影部分
的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积（ ，其中 为圆心角的度数、 为半径），熟练掌握扇形的面
积公式是解题关键．根据阴影部分的面积等于扇形 的面积减去扇形 的面积即可得．
【详解】解：∵圆心角 ， ， ，∴阴影部分的面积等于
，
故选：D．
7. 在 中， ， ， ，则 的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾
股定理的逆定理得出 ，根据三角形的面积可得出答案．
【详解】解： ， ， ，
， ，
，
，
的面积为 ，
故选：A．
8. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根，有
下列结论：①b2-4ax＞0；②abc＜0；③a-b＞0；④m＞2，其中正确结论的个数是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据抛物线与x轴的交点个数对①进行判断；由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的
对称轴在y轴的右侧得b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对②③进行判断；由
ax2+bx+c-m=0没有实数根得到抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m没有公共点，加上二次函数的最大值为2，则
m＞2，于是可对④进行判断．
试题解析：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2-4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②正确；
∴a-b＜0，所以③错误；
∵ax2+bx+c-m=0没有实数根，
即抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m没有公共点，
而二次函数的最大值为2，
∴m＞2，所以④正确．
故选C．
考点：二次函数图象与系数的关系．
9. 对于任意4个实数 ， ， ， ，定义一种新的运算 ，例如：
，则关于 的方程 的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
【答案】B
【解析】【分析】本题考查的是根的判别式，实数的运算，熟知一元二次方程 的根与
有如下关系：当 时，方程有两个不相等的两个实数根；当 时，方程有两个相等
的两个实数根；当 时，方程无实数根是解题的关键．根据题意得出关于 的一元二次方程，再利用
根的判别式解答即可．
【详解】解： ，
关于 的方程 可化为 ，即 ，
， ， ，
，
有两个不相等的实数根．
故选：B．
10. 已知菱形 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点 ，P是对角线 上的一
个动点， ，当 最短时，点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，一次函数与几何的综合应用，连接 ， ，根据对称性，得到，进而得到 ，得到点 在线段 上时， 的值最小，平移
思想求出 点坐标，进而求出直线 的解析式，直线 与直线 的交点即为点 的坐标．
【详解】解：连接 ， ，
∵菱形 ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 在线段 上时， 的值最小，
∵ ，
∴点 向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点 ，点 在第一象限的角平分线上，
∴点 向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到点 ，直线 的解析式为： ，
∴ ，
∵ ，
∴设直线 的解析式为： ，把 ，代入，得： ，
∴ ，联立 ，解得： ；
∴ ；
故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式．根据二次根式的性质，被开方数大于或
等于0，列不等式求解即可．
【详解】解：根据题意 ，
解得： ．
故答案为： ．
12. 比较下列实数的大小（填“ ”“ ”或“ ”）： ____ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的性质以及算术平方根的性质，熟练掌握不等式的性质以及算术平方根的性
质是解决本题的关键．
根据算术平方根的性质，由 ，得 ，然后根据不等式的性质，即可求解．
【详解】解： ，
，
，故答案为： ．
13. 小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图，请根据图中
信息，写出点C坐标_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数、锐角三角函数，求得函数解析式是解题的关键；设反比例函数表达式为
，将点A的坐标代入表达式求出 ，设点C的坐标为 ，则 ， ，
根据平行线的性质得 ，进而根据 求出m的值即可．
【详解】解：由图可知点A的坐标为 ，
设反比例函数表达式为 ，
将 代入，得： ，解得 ，
因此反比例函数表达式为 ；
如图，作 轴于点E， 轴于点D，由图可得 ， ，
设点C的坐标为 ，则 ， ，
，
矩形直尺对边平行，
，
，
，即 ，
解得 或 ，
点C在第二象限，
， ，
点C坐标为 ．
故答案为： ．
14. 有一张矩形纸片 ，点 E 为边 上一点， ，点F在边 上．把该纸片沿 折叠，点A，B的对应点分别为 ， ， 与 相交于点G，且 的延长线经过点D (如图所示)．
(1)若 ，则 ________________________． (用含 的代数式表示)
(2)若 ， ，则 __________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识
点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由矩形的性质可得 ，得出 ， ，据折叠的性质可
得 ， ，计算即可得解；
（2）设 ，则 ， ，结合题意可得 ，由折叠的性质可得 ，
， ， ，证明 ，由相似三角形的性
质可得 ，求出 ，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
根据折叠的性质可得： ， ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ；
（2）∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵把该纸片沿 折叠，点A，B的对应点分别为 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： （负值舍去），
∴ ，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，先运算零指数次幂、算术平方根，和乘方，然后运算加减解题即可．
【详解】解：
．
16. 如图，平面直角坐标系中，已知 的三个顶点的坐标分别为 ， ， ．
（1）画出 关于 轴的对称图形 ；
（2）画出 向左平移4个单位长度后得到的 ；
（3）如果 内部有一点 经过上述两次变换，那么对应的点 的坐标是多少？
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了作图 轴对称变换、平移变换，平面直角坐标系中点的变换规律等知识，准确画
出图形是解题的关键．
（1）利用轴对称的性质即可画图；
（2）利用平移的性质即可画图；
（3）根据平面直角坐标系中点的变化规律可得出答案．【小问1详解】
解：如图， 即为所求；
【小问2详解】
解：如图， 即为所求；
【小问3详解】
解：点 经过第一次次变换，对应点 ，
经过第二次次变换，对应点 的坐标为 ，
故答案为： ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 年， 掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界
贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用 ，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的 倍，且甲数据中心迁移 数据比乙数据中心迁移 数据所需时间
少 小时．
（1）分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位： 小时）；
（2）现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用 小时至少完成 的数据迁移，且
同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？
【答案】（1） 小时， 小时
（2） 小时
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确找出等量关系或不等关系
是解题的关键．
（1）设乙数据中心的数据迁移速度为 小时，则甲数据中心的数据迁移速度为 小时，根据
“甲数据中心迁移 数据比乙数据中心迁移 数据所需时间少 小时”列式求解即可；
（2）设甲数据中心工作 小时，则乙数据中心工作 小时，根据“共用 小时至少完成 的数
据迁移” 列式求解即可．
【小问1详解】
解：设乙数据中心的数据迁移速度为 小时，
则甲数据中心的数据迁移速度为 小时，
根据题意，得 ，
解得： ，
经检验 是原方程 的解，且符合题意，
∴ ，
答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为 小时， 小时；
【小问2详解】解：设甲数据中心工作 小时，则乙数据中心工作 小时，
根据题意，得 ，
解得： ，
即甲数据中心至少需要工作 小时．
18. 如图是由一些火柴棒搭成的图案：
（1）摆第①个图案用____根火柴棒，摆第②个图案用____根火柴棒，摆第③个图案用____根火柴棒；
（2）按照这种方式摆下去，摆第n个图案用_____根火柴棒；
（3）计算一下摆 根火柴棒时，是第几个图案？
【答案】（1）5；9；13
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了规律型图形变化类和一元一次方程求解，准确计算是解题的关键．
（1）分别算出前面几个图形中的根数即可；
（2）由前面几个图形的过程即可得出规律；
（3）根据（2）得出的结果计算即可；
【小问1详解】
解：由题可得：第①个图案所用的火柴数： ，
第②个图案所用的火柴数： ，
第③个图案所用的火柴数： ，
故答案为：5；9；13；
【小问2详解】
解：由（1）的方法可得： ， ， ，第 个图案中所用 的火柴数为： ，
故答案为： ；
【小问3详解】
解：根据（2）计算得到的规律可知： 得， ；
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已 多年，放风筝是大家喜爱的一种户外运动，
周末小明在公园广场上放风筝，如图，他在A处不小心让风筝挂在了一棵树梢上，风筝固定在了D处，此
时风筝线 与水平线的夹角为 ，为了便于观察，小明迅速向前边移动，收线到达了离A处 米的B
处，此时风筝线 与水平线的夹角为 ，已知点A，B，C在同一条水平直线上，请你求出A、D之间
的距离是多少米？结果精确到 ．（风筝线 、 均为线段， ， ）．
【答案】
【解析】
【分析】先证明 是等腰直角三角形，设 ，再利用 表示出 和 ，然后利用勾
股定理列出关于 的方程求解，再求出A、D之间的距离．
【详解】解：如图所示，过点D作 于点E， ， ， ，∴ 是等腰直角三角形，
设 ，
则 ，
∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： （舍去）， ，
∴ ．
答：A、D之间的距离是 米．
【点睛】本题考查了含 角的直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，解题关键是掌握含特殊角
的直角三角形的性质和勾股定理．
20. 如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点D，过D作 ，垂足为
E， 的延长线交 的延长线于点F．
（1）求证：直线 是 的切线；
（2）若 ，求 长．【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，由等腰三角形的性质得出 ， ，得出
，进而得出 ，由 ，得出 ，即可证明 是 的切线；
（2）先求出 ，再由勾股定理求出 ，最后再用面积法求解即
可．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在直角 中， ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形的面积，掌握切
线的判定，等腰三角形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 今年央视春晚节目《秧 》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出
了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界 科创小达人菲菲从某省的快递分拣站
随机抽取 、 两种型号的智能机器人各 台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
分拣快递数量（万件）
机器人台数（台）
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
方差 万件
众数 万件 中位数 万件 平均数 万件型
和
号
型
号
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空：表中 ______， ______， ______；
（2）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条
合理化建议．
（3）若某快递公司新购进 型号智能机器人 台， 型号智能机器人 台，随机抽取两台分拣快递，求抽
取的智能机器人恰有同一型号智能机器人的概率．
【答案】（1） ， ，
（2） 型智能机器人，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图，中位数，平均数，方差，树状图或列表法求解概率，正确画出树状
图或列出表格是解题的关键．
（1）根据众数和中位数的定义和方差计算公式求解即可；
（2）可以从众数、平均数、中位数三个方面分析；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解
即可．
【小问1详解】
解： 型号的智能机器人每天可分拣 万件的机器人有 台，数量最多，
故众数 ；
型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是 ， ，
故中位数 ；
；【小问2详解】
解：从众数、平均数、中位数来看， 型机器人的数据都高于 型机器人，
所以购买 型智能机器人；
【小问3详解】
解：树状图如图所示，
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，抽取的智能机器人恰有同一型号智能机器人的结果数有4种，
∴抽取的智能机器人恰有同一型号智能机器人的概率为 ．
七、（本题满分12分）
22. 如图，抛物线 与 轴相交于 两点，与 轴相交于点 ，且点 与点 的坐标分
别为 ， ，点 是抛物线的顶点．
（1）求此二次函数的关系式；
（2）点 为线段 上一个动点，过点 作 轴于点 ．若 ， 的面积为 ，
①求 与 的函数关系式，写出自变量 的取值范围；
②求 的最大值以及此时点 的坐标．
【答案】（1）
（2）① ， ；② 有最大值为 ，【解析】
【分析】（1）将 ， 代入 得到 ，求出 ，即可
得到二次函数的关系式为 ；
（2）①先求出 ，继而求出线段 的解析式 ，结合题意即可得到答案；②由抛物
线性质求最值即可得到答案．
【小问1详解】
解：将 ， 代入 得 ，
解得： ，
二次函数的关系式为 ；
【小问2详解】
解：① ，点 是抛物线的顶点，
，
设线段 的解析式为 ，
将 ， 代入 得 ，
解得 ，
线段 的解析式为 ，
轴， ，
，，
， ，
；
② ， ，
当 时， 有最大值，最大值为 ，
此时， ．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及待定系数法确定抛物线解析式、解二元一次方程组、待
定系数法确定一次函数解析式、抛物线图象与性质、二次函数一般式化为顶点式、二次函数求最值等知识，
熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 已知点 在 内， ， ， ，
．
（1）当 时（如图1），
判断 的形状，并说明理由；
求证： ；
（2）当 时（如图2），求 的值．【答案】（1） 为等边三角形，理由见解析 见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟
练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1） 根据三个角都是 的三角形是等边三角形解答即可；
连 接 ， 证 明 得 ， ， 进 而 求 得
， ， 在 中 ，
，所以 ，即可得证；
（2）连接 ，证明 得 ，即 ，证明 得 ，
，所以 ，设 ，在 中， ，
，在 中， ，所以 ，即可得
解．
【
小问1详解】
解： 为等边三角形，理由如下：
当 时， ，
，
，
，
为等边三角形；连接 ，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
， ，
， ，
在 中， ，
，即 ；
【小问2详解】
解：连接 ，
， ，
，，即 ，
又 ，
， ， ，
，
设 ，在 中， ， ，
在 中， ，
，
．
