文档内容
安徽省 C20 教育联盟 2025 年九年级中考“功夫”卷（二）
数学
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两分，“试题卷”共4页，“答题卷”共2页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是符合本题要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】D
【解析】
【详解】∵和为0的两个数互为相反数，即 ，∴ 的相反数是7.
2. 据央视新闻报道，截至2023年12月31日，中国共产党党员总数为9918.5万名．数据9918.5万用科学
记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于 10的数，科学记数法的表示形式为
的形式，其中 ，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以
及n的值．
【详解】解：9918.5万 ．
故选C．
3. 下列运算中，结果为 的是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法与除法，合并同类项，掌握相应的运算法
则是关键．根据相关计算法则求出对应选项式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、 ，选项错误，不符合题意；
B、 ，选项错误，不符合题意；
C、 ，选项正确，符合题意；
D、 ，选项错误，不符合题意．
故选：C．
4. 一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成
正方体后，与“祝”相对的字是（ ）
A. 你 B. 考 C. 试 D. 顺
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键．根据正方体
的平面展开图的特点求解即可得．
【详解】解：由正方体的平面展开图的特点得：“你”与“试”处在相对的面上，“顺”与“祝”处在相
对的面上，“考”与“利”处在相对的面上，
故选：D．
5. 下列四个式子中能因式分解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．根据因式分解的方法逐项分析即可．
【详解】解：A． 不能因式分解，故不符合题意；
B． ，故符合题意；
C． 不能因式分解，故不符合题意；
D． 不能因式分解，故不符合题意；
故选B．
6. 某种药品售价为30元/盒，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用
药目录，最终降至19.2元/盒，则平均每次下调的百分率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经
过两次变化后的数量关系为 ．设平均每次降价的百分率为x，根据该药品的原价及经两次降
价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其大于0且小于1的值即可得出结论．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，
根据题意，得： ，
解得： （舍去），
∴平均每次降价 的百分率是 ，
故选：C．
7. 为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是A校篮球队员的身高：
身高
176 178 180 181 182 185
人数 1 2 3 2 1 1
下列说法正确的是（ ）
A. 篮球队员身高的众数是 B. 篮球队员的平均身高是C. 篮球队员身高的中位数是 D. 篮球队员身高的方差是
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的计算方法
逐项分析即可．
【详解】A． ∵ 出现的次数最多，
∴众数是 ，故不正确；
B． 平均数 ，正确；
C． ∵从小到大排列后排在第5和第6位的是 ，
∴中位数是 ，故不正确；
D．
故不正确．
故选B．
8. 若点P是 的边 上的点（不与B，C重合），连接 ，下列命题是假命题的是（ ）
A. 若 是 边上的中线，则 与 的面积相等
B. 若 是 边上的高线，则
C. 若 是 的平分线，则
D. 若P是 边的黄金分割点，则
【答案】D
【解析】【分析】本题考查了三角形的中线，高线，角平分线，黄金分割，熟练掌握各定义和性质是解题的关键．
根据三角形的中线，高线，角平分线以及相似三角形的判定与性质，黄金分割，逐一证明判断，即得答案．
【详解】解：A. 若 是 边上的中线，则 与 的面积相等，
原说法正确，是真命题，不符合题意；
B. 若 是 边上的高线，则 ，
原说法正确，是真命题，不符合题意；
C. 如下图，过点 作 ，交 延长线于点 ，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
原说法正确，是真命题，不符合题意；D. 若P是 边的黄金分割点，
当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
原说法不正确，是假命题，符合题意．
故选：D．
9. 在同一平面直角坐标系中，函数 和 （a是常数，且 ）的图象可能是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数 在不同情况下
所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．可先根据一次函数的
图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【详解】解：A、由一次函数 的图象可得： ，此时二次函数 的图象应该
开口向下，故选项错误，不符合题意；
B、由一次函数 的图象可得： ，此时二次函数 的图象应该开口向上，
对称轴 ，和x轴的负半轴相交，故选项错误，不符合题意；
C、由一次函数 的图象可得： ，此时二次函数 的图象应该开口向上，
对称轴 ，和x轴的负半轴相交，故选项正确，符合题意；
D、由一次函数 的图象可得： ，此时二次函数 的图象应该开口向上，故
选项错误，不符合题意．
故选：C．
10. 点E是矩形 内一点，连接 ，已知 ，下列结论不正确的是
（ ）
A. 若 ，则
B. 的最小值为20
C. 若 的面积等于 的面积，则 的面积等于 的面积
D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】由全等三角形的性质得 ，然后根据 可证 ，可判断A正确；求出对角线的长，然后根据三角形三边的关系求出 的最小值为20，可判断B
正确；根据 可判断C正确；由点E是动点可判断D不正确．
【详解】解：如图，
A∵ ，∴ ．∵四边形 是矩形，∴ ，∴
，故正确；
B．连接 ，∵ ，∴ ． ∵ ，
，∴ 的最小值为20，故正确；
C．∵ ， 的面积等于 的面积，∴ 的面积等
于 的面积，故正确；
D．∵点E是动点，∴由 不能求出 ，故不正确．
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，相似三角形的性质，难
度一般．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ____________．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，利用二次根式相乘法则计算即可，熟练计算是解题的关键．【详解】解： ，
故答案为：4．
12. 方程 的解是____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验
即可得．
【详解】解：
去分母得，
解得
检验：将 代入
∴原方程的解为 ．
13. 如图，菱形 的两个顶点B，D在反比例函数 的图象上，对角线 与 的交点恰好是
坐标原点O，已知点 ，则k的值是____________．
【答案】
【解析】
【分析】过点A、B作 轴垂线，垂足为 ，证明 ，结合 ，由
点A的坐标即可求出点B的坐标，即可求出k值．【详解】解： 四边形 是菱形，
∴ ， 平分
，
，
∴ ，
过点A、B作 轴垂线，垂足为 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
点 在反比例函数 的图象上，
，解得， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，涉及菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定
与性质，求出点B是解题的关键．
14. 将一条两边互相平行的纸带沿 折叠，如图 ， ， ．
①
（1）若 ，则 的长为____________；
（2）将图 继续沿 折叠成图 ，设 ， ____________（用含x的代数式表示）．
① ②
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】本题综合考查了平行线的性质，折叠问题，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，平角的定义
和角的和差等相关知识，重点掌握平行线的性质，难点是折叠前后的变及不变的问题，二次折叠角的前后
大小等量关系．
（1）由平行线的性质得 ，折叠得 ，即可解答；
（2）由折叠和平角的定义求出 ，再次折叠经计算求出 ．
【详解】解： ，
，
折叠得 ，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：1； ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式组 ，并把解集在数轴上表示．
【答案】 ，数轴见解析：
【解析】
【分析】此题考查了解一元一次不等式组．求出每个不等式的解集，表示在数轴上，找到解集的公共部分
即可．
【详解】解：
由 得 ；
①
由 得 ．
②
在数轴上表示这个解集如解图所示：
所以原不等式组的解集为 ．
16. 某天，蔬菜经营户张老板用218元，从蔬菜批发市场批发了豆角和西红柿 到市场去卖，豆角和西
红柿这天每千克的批发价与零售价如下表所示：
品名 豆角 西红柿
批发价/元
零售价/元
请通过计算说明张老板卖出这些豆角和西红柿的盈亏情况．【答案】共能赚140元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设张老板批发
了豆角 ，西红柿 ，根据豆角和西红柿 、共用218元建立方程组，解方程组求出 的值，
再根据零售价和批发价计算利润即可得．
【详解】解：设张老板批发了豆角 ，西红柿 ，
由题意得： ，
解得： ，
则 （元），
因为 ，
所以张老板卖出这些豆角和西红柿共能赚140元．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 观察以下等式：
① ；
② ；
③ ；
……．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）请再写出一个等式______；
（2）数学活动课上，王老师给学生变了一个魔术：他让学生任意想一个两位数，然后用这个两位数减去
十位数字和个位数字，再将所得差的个位数字与十位数字相加，王老师便能猜中最后的结果．
①王老师猜的结果是______；
②若设最初想的两位数的十位数字是a，个位数字是b，请你利用上面的规律解释这个魔术的原理．
【答案】（1）（2）①9；②见解析
【解析】
【分析】此题考查了运用有理数的运算解决数字问题的能力，关键是能根据题意准确列式、计算、推理．
（1）模仿示例写出结果即可；
（2）①试值进行计算，可求得此题结果；②由题意用a、b列式进行计算推理，
【小问1详解】
解： ；
故答案为：
【小问2详解】
解：①取数字92，由题意得： ，
∴王老师猜的结果是9；
故答案为：9
②由（1）得： ，
∵原两位数的十位数字是a，个位数字是b，
∴原两位数可表示为 ，减去十位数字和个位数字后得 ．
∵ ，
∴ 可以表示为 ，
∴其十位数字为 ，个位数字为 ，
∴ ，
∴不论开始的两位数是多少，最后结果均为9．
18. 如图，在每个边长为1个单位长度的小正方形网格中， 的顶点均在格点（网格线的交点）上．（1）将 先向左平移6个单位长度，再向下平移3个单位得到 ，请画出 ．
（2）请在给定网格中画一个格点 ，使 ，且相似比不为1（画出一个即可）．
（3） 的度数是_________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了画平移图形，画相似图形，熟知上述图形的性质是解题的关键．
（1）根据平移的概念，画出图形即可；
（2）根据相似三角形的性质，画图即可；
（3）利用等腰直角三角形的性质，即可解答．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求；
【小问2详解】
解：如图， 即为所求；（答案不唯一）
【小问3详解】
解：如图， ，
，
， 由 平移得到，，
故答案为： ．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决
问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道 的坡比 ，
的长为8.4米， 的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标
志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即 的长为多
少？
【答案】2.4米
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌
握坡度是坡角的正切值．
延长 交 于点E，根据坡道 的坡比 ，可得 ，即可求出 米，
进而得出 米，再证明 ，则 ，设 ，
，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：延长 交 于点E，
，
，
，
，
，
．
，
．
∴ ，
设 ， ，
根据勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
∴ 米．
答：点D到 的距离 的长为2.4米．
20. 已知等边 ，点 在 上，点 在 延长线上，满足 ， 为 上一点，连接
， ．（1）若点 为 中点，求证： ；
（2）若 ， ，求 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（ ）延长 至 使 ，连接 ， ， ，证明 ，则有
， ，所以 ，
再证明 ，由性质得 ， ，从而证明 为等边三角形，
通过等边三角形的性质即可求证；
（ ）延长 至 使 ，交 于 ，由等边三角形的性质得 ，证明
，则 ，所以 ，则有 ，
，证明 ，通过全等三角形的性质得 ，
最后通过三角形外角性质即可求解．
【
小问1详解】
证明：延长 至 使 ，连接 ， ， ，∵ 是 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ；
【小问2详解】
解：延长 至 使 ，交 于 ，
∵ 是等边三角形，∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形
的外角性质，等边对等角等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 《感动中国》感人的故事历久弥新，感动的力量经久不息，某校举办了一场“中国事，我知道”的知
识竞赛．现从九（1）班和九（2）班各抽取m名学生进行知识竞赛，并将成绩按A，B，C，D四个等级进
行了收集、整理和分析（得分用x表示），部分信息如下：
A： ；B： ；C： ；D： ．
信息一：九（1）班学生成绩的频数分布直方图如下：
信息二：九（2）班抽取的学生成绩如下：
65，73，76，68，80，82，91，80，87，95．请根据以上信息，解答下列问题：
（1） ____________， ____________；
（2）九（1）班学生成绩的中位数在等级____________；
（3）小刚说“我的成绩在本班排到前50%”，小红看到小刚的成绩说“很遗憾，你的成绩在我们班进不
了前50%”，问：小红是九年级哪个班级的学生，并说明理由．
【答案】（1）10，2
（2）B （3）九（2）班，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查数据的分析，熟知众数，中位数，平均数的概念和运算方法是解题的关键．
（1）根据九（2）班抽取的学生人数，可求得 的值，根据九（1）班学生成绩的频数分布直方图可求得
的值；
（2）根据九（1）班学生成绩的频数分布直方图结合中位数的定义即可求解；
（3）比较九年级（1）班和九年级（2）的中位数即可得小红同学是九（2）班的学生．
【小问1详解】
解：由九（2）班抽取的学生人数，知 ；
；
故答案为：10；2；
【小问2详解】
解：九（1）班抽取了10名学生，最中间的数是第5、6个数的平均数，
∴九（1）班学生成绩的中位数在等级B；
故答案为：B；
【小问3详解】
解：小红是九（2）的学生，理由：
将九（2）班抽取的学生成绩重新排列为65，68，73，76，80，80，82，87，91，95，
∴九（2）的中位数是 分，
∵九（1）班的中位数在B等级： ，
∴小红是九（2）的学生．
七、（本题满分12分）
22. 如图①，在菱形 中，点 分别在 上， ．（1）求证： ；
（2）如图②，若 为 中点，连接 ．
①求证： 平分 ；
②若 ， ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】（ ）证明 即可求证；
（ ）①由相似三角形的性质得 ，进而得 ，即得 ，得到
，即可求证；②连接 ，证明四边形 是菱形，得到 ，进而得
，即得 是等边三角形，得到 ，即可得 ，再根据
即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是菱形，
∴ ，，
，
，
，
，
即 ；
【小问2详解】
①证明：由（ ）证得 ，
，
为 中点，
，
，
即 ，
，
，
，
平分 ；
②解：如图②，连接 ，
∵ ， ，∴四边形 是平行四边形，
∵ ， 为 中点，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
，
由（ ）①知， ，
，
，
，
，
是等边三角形，
为 中点，
∴ ，
，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，平行线等分线段
定理，三角函数，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 根据以下素材，解决生活问题【素材背景】
某超市以40元/箱的价格购进A品牌纯牛奶．售价60元/箱时，每星期可卖出300箱．市场调查表明：每涨
价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．
【问题解决】
（1）若调整后的售价为x元（x为正整数），每星期销售A品牌纯牛奶的数量为y箱，求y与x的函数关
系；
（2）该超市想获得最大周利润，请你帮助他们确定A品牌纯牛奶销售价格（整箱销售）；
（3）若该超市想每周获得利润不少于6000元，请确定A品牌纯牛奶售价的范围．
【答案】（1）
（2）65元 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用及一元二次方程的应用能力，理解题意分类讨论是解题的前提，找
到题目蕴含的相等关系列出方程或函数关系式是解题的关键．
（1）根据“每涨价1元，每个星期要少卖出10件；每降价1元，每个星期可多卖出20件”列出 与 的
函数关系；
（2）设每星期所获利润为 元，根据一星期利润等于每件的利润 销售量得到 与 的关系式；把解析
式配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案；
（3）分别根据 、 两种情况，求出每周利润不少于6000元时 的范围即可得．
【小问1详解】
解：根据题意得：涨价时， ，
降价时， ，
整理得： ；
【
小问2详解】
解：设每星期所获利润 为元，当涨价时， ，
当 时，y的最大值是6250，
当降价时， ，
所以定价为： 或 时利润最大，最大值为6120元．
综合以上两种情况，定价为65元时可获得最大利润为6250元；
【小问3详解】
解：当 时， ，
解得： 或 ，
；
当 时， ，
解得： 或 ，
；
综上，为了使每周利润不少于6000元，售价x的范围是 ．
