文档内容
安徽省 C20 教育联盟 2025 年九年级学业水平测试
“最后一卷”数学
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共6页，“答题卷”共2页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，满分40分．在每小题所给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求．）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2025 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可．
【详解】解： 的绝对值是 ，
故选：A．
2. 2025年1月26日，合肥2024年经济数据正式出炉，全市生产总值同比增长 ，高于全国 个百
分点，总量 亿元．“ 亿”用科学记数法可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及 的值．【详解】解： 亿 ，
故选： ．
3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图，这是斗形构件“三才升”的示意图，则它的左视图为（
）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．主视图：从正面看到的物体的
形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义
求解，注意看不见的线应当画虚线，即可．
【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，
形状如图所示：
故选：C．
4. 下列计算不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算相关知识，解题的关键是熟练掌握幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法以及
合并同类项的运算法则．
分别对每个选项依据相应运算法则计算，判断对错．
【详解】A、根据积的乘方法则 ，当 时， ，计算正确；B、先根据积的乘方， ，再根据同底数幂乘法法则 ，则
，计算正确；
C、 与 是同类项，根据合并同类项法则，同类项相加，字母和指数不变，系数相加，所以
，计算不正确；
D、根据幂的乘方法则 ，当 时， ，计算正确．
故选C．
5. 某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增
长率是多少？设平均每月的增长率为 ，根据题意得方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
本题可先用 表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列
出方程．
【详解】解：设平均每月的增长率为 ，则二月份的产值为： ，三月份的产值为：
，
根据题意得： ．
故选：B．
6. 如图， 是 的直径，弦 于点 ，如果 ，半径为3，则 的长为（ ）A. 1 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题应用垂径定理，连接 ，由 得 ，在 中，设半径为R，应用勾股定
理得： ，继而求得 的长．
【详解】解：连接 ，
∵ 是 的直径， ，
∴ ,
根据勾股定理：
解得 ，
故选：B．
7. 如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然
后从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到这
两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设分别用A、B、C、D表示蔗糖溶于水，葡萄酿酒，木条燃烧，海水晒盐，画树状图如下：
由图可得所有等可能的结果共有12种，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于物理变化的结果有
2种，即 ，
∴从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率为 ，
故选：D．
8. 如图，在四边形 中， ，对角线 与 相交于点 ， ，且
， ， ，则对角线 的长是（ ）A. 16 B. 18 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是通过作辅助线构造相似三角
形，利用相似三角形的性质求解．
过点 作 于点 ，利用含 角的直角三角形性质表示出 和 ，证明 ，
根据相似三角形的性质列出比例式，进而求解 的长．
【详解】过点 作 于点 ，
在 中，
，
又 ，设 ，则 ，
，
已知 ，则 ．
，
．
又
，
，已知 ，则 ，
．
．
由 ，
可得 ，
又 ，
，
解得 ，即 ，
故选：A．
9. 已知非零实数 满足 ，且 ，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，由 ，得到 ，即可求解，掌握相关知识
是解题的关键．【详解】解： ，
，
∴ ，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，与x轴交于
两点，点B的坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ．点 在 轴下方抛物线上， 轴，交
外接圆于点 ， 的长度为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】【分析】先求出抛物线的解析式为 ，如图：设 的外接圆的圆心为 ，连接 、
、 ， ，作 ，则 ， ，根据轴对称的性质、坐标系内点坐标的
规律、两点间距离公式可得 ；再结合勾股定理可
得 ，整理后可得 ，然后说明
，最后由 并代入相关
结论即可解答．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于 两点，点B的坐标为 ，抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
由题意可得： ，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ，
如图：设 的外接圆的圆心为 ，连接 、 、 ， ，作 ，则 ，
，
∵ ，且A、B两点关于直线 对称，
∴点 在直线 上，设 ，
∵ ，
∴ 轴，
∴ ，
设 且 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 且 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
整理得： ，
∵ ，
∴ ，即 ，
由∵ ，∴
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查求二次函数解析式、二次函数的性质、外接圆的性质、勾股定理等知识点，灵活运
用相关知识成为解题的关键．
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，满分20分）
11. 因式分解： ________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了提公因式法以及公式法进行分解因式，正确找出公因式是解题关键．
首先找出公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
12. 已知 ， ， ，把 绕点 C 逆时针旋转至 处，此时
， 的大小为________．
【答案】【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理和外角的性质，平行的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题
关键．由三角形内角和定理可得 ，再根据两直线平行配套同旁内角互补求出 ，由旋
转的性质可知， ，再根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解： ， ，
，
，
，
，
由旋转的性质可知， ，
，
故答案为： ．
13. 如图，分别以 ， 为边作矩形 ， ，点 是边 的中点，反比例函数
的图像分别交边 和 与 两点，此时点 满足 ，作 轴，
轴，已知阴影部分面积为2，则 的值是______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、矩形的性质，解题的关键是利用矩形的性质和中点的定义，设出合适的坐标，结合反比例函数图像上点的坐标特征以及阴影部分面积．首先，由矩形的性质可
知相关边的平行与相等关系，点是边的中点可得出点坐标的相关关系
然后，根据反比例函数系数k的几何意义四边形 得面积 ．最后，根据阴影部分面积为
2建立方程，即可求解．
【详解】如图：
，
，
四边形 ， 是矩形， 轴， 轴，
则四边形 是矩形，
， ，
又 是边 的中点，
∵反比例函数 的图像分别交边 与P，
四边形 得面积 ，解得：
故答案为：12．
14. 如图，矩形纸片 ， ， ． 是 中点，将纸片沿 翻折，直角顶点 的对应
点为 ．
（1）连接 ，则 ______；
（2）连接 交 于 ，则 ______．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．
（ 1 ） 根 据 矩 形 与 折 叠 的 问 题 ， 求 得 ， 证 明 ， 根 据
，代入数据求解即可；
（ 2 ） 设 与 的 交 点 为 O ， 延 长 交 于 点 P ． 证 明 ， 得 到
，求得 ，证明 ，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）由折叠可得 ， ，是
， ， 中点，
，
四边形 是矩形，
，
是直角三角形，
在 中， ，
在 与 中，
，
，
，
，
；
故答案为： ；
（2）设 与 的交点为O，延长 交 于点P．
由对称可知 ， ，
在 中， ， ，，
∵ ，
∴ ，
，
， ，
，
，
，
．
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、零次幂、二次根式的性质等知识点，灵活运用相
关运算法则成为解题的关键．
先运用含特殊角三角函数的混合运算、零次幂、二次根式的性质、有理数的乘方化简，然后再计算即可．
【详解】解：．
16. 中国无人机是低空经济应用的主要载体之一，农业无人机是我国低空经济中发展成熟度高的领域．某
县用甲，乙两种型号的无人机吊运某农作物到集中收货点，甲型机比乙型机平均每分钟多运送15公斤，甲
型机运送1700公斤所用时间与乙型机运送1400公斤所用时间相等，两种无人机平均每分钟分别运送多少
公斤农作物？
【答案】甲种型号的无人机平均每分钟运送85公斤农作物，乙种型号的无人机平均每分钟运送 70公斤农
作物．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设乙种型号的无
人机平均每分钟运送x公斤农作物，则甲种型号的无人机平均每分钟运送 公斤农作物，利用工作
时间 工作总量 工作效率，结合甲型机运送1700公斤所用时间与乙型机运送1400公斤所用时间相等，
可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值 即乙种型号的无人机每分钟运送农作物的质量 ，
再将其代入 中，即可求出甲种型号的无人机每分钟运送农作物的质量．
【详解】解：设乙种型号的无人机平均每分钟运送x公斤农作物，则甲种型号的无人机平均每分钟运送
公斤农作物，
根据题意得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
∴ （公斤），
答：甲种型号的无人机平均每分钟运送85公斤农作物，乙种型号的无人机平均每分钟运送70公斤农作物．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长是 个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点都在格点(网格线的交点)上．（1）点 的坐标为 ，以点 为旋转中心，将 顺时针旋转 至 ；
（2）点 通过（1）中旋转后，对应点 的坐标为 ；
（3）用无刻度直尺在边 上作出一点 ，使得 (保留作图痕迹)．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了旋转作图，写出点的坐标，格点作图；
（1）根据旋转的性质，找到 绕 顺时针旋转 的对应点， ，顺次连接，即可求解；
（2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解；
（3）取 为顶点 的格点 ，连接 交 于点 ，则点 即为所求；
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求；
小问2详解】
【解：根据坐标系可得
故答案为： ．
【小问3详解】
解：如图所示，点 即为所求
18. 观察下列等式：
① ，
② ，
③ ，
…
解答下列问题：
（1）根据上面3个等式的规律，写出第⑤个等式：_______；
（2）用含n（n为正整数）的等式表示上面各个等式的规律，并加以证明．
【答案】（1）
（2） ；证明见解析
【解析】
【分析】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关知识．（1）根据 ， ， ，得出第⑤个等式中分母应为 ，根据规律得到答
案；
（2）根据 ， ， ， ，得出规律 ，从而得到答案．
【小问1详解】
解：由第①个等式 ，得
由第②个等式 ，得
由第③个等式 ，得
∴第⑤个等式应为： ，得 ．
【小问2详解】
为
解：第1个等式中分母 ，
第2个等式中分母为 ，
第3个等式中分母为 ，
第4个等式中分母为 ，
得第 个等式中分母为应为：
∴第 个等式为： ，
∵左边 ，
右边 ，
∴左边 右边．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 项目式学习
中庙又名忠庙、太姥庙，位于安徽巢湖市的中庙镇，古时因“中庙”居巢州、
庐州的中间，所得地名，也就有了“中庙寺”的寺名，如图1所示．某学校数
项目
学兴趣小组在详细研究了中庙的结构设计后，想用所学知识测量这座庙的高
背景
度，其示意图如图2所示．为了更好地测量中庙的高度，小组需完成两个任
务．
如图2所示，在垂直地面的这座庙 侧方有一平台广场，小明在平台广场A
处测得庙顶端 的仰角为 ， ，走上侧边阶梯 ，阶梯 的坡
度 ，阶梯 的坡面长度为 ．
图示
及说
明
任务 （1）求阶梯 的垂直高度，即点 到直线 的距离；（结果保留整
1 数）
任务
（2）求这座庙 的高度．（结果保留整数）
2
参考
， ， ，
数据
【答案】（1）阶梯 的垂直高度，即点 到直线 的距离约为13米；（2） 米
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、解直角三角形、勾股定理和三角函数的应用的知识，掌握以上知识是解
题的关键；
（1）分别延长 和 交于点 ，过点 作 ，交 于点 ，根据坡度 ，得到
，在 中，根据勾股定理即可求解；
（2）在 中，通过三角函数求得 ，然后在根据矩形的性质即可求解【详解】解：（1）分别延长 和 交于点 ，过点 作 ，交 于点 ，
∴
∴四边形 是矩形，
∴
阶梯 的坡度 ，即 ，
∴设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得 （米），
答：阶梯 的垂直高度，即点 到直线 的距离约为 米．
（2）解：在 中， ，
∴ （米）．
由题易得，四边形 为矩形，
∴ 米，
∴ （米）．
答：这座塔的高度 约为 米．20. 如图，在 中，以 为直径的 分别交 ， 于点D，点E， 的延长线与 的切
线 交于点F， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见详解 （2）10
【解析】
【分析】（1）连接 ，结合 为 的直径，得到 ，结合 是 的切线，得到
，根据余角的性质，结合 ，证明 即可证明 ．
（2）连接 ，结合 ，设 则 ，根据
勾股定理 ，根据勾股定理，计算即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，
∵ 为 的直径，∴ ，
∵ 是 的切线，
，
，
，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：连接 ，
，
设 ，则 ，
∵ 为 的直径，
，
，
，
，
解得： （舍去），．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，熟练掌握圆周角定
理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 近期，国产 大模型强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着 、 、豆包、讯飞星
火等中国 大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球 领域扮演更加重要的角色．市区某校信
息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产 大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部
分学生展开随机调查，调查结果分为四种：A．非常了解，B．比较了解，C．基本了解，D．不太了解，
实践小组把此次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图．
学生对国产 大模型应用场景的了解情况
请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中 所对应的扇形圆心角度数为______；
（2）补全条形统计图；
（3）估计全校“比较了解”和“基本了解”国产 大模型的应用场景的一共有多少人？
【答案】（1）
（2）见解析 （3）1650人
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题
的关键．
（1）用A的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，再用360度乘以C的人数占比即可得到答案；（2）求出B的人数，再补全统计图即可；
（3）用全校人数乘以样本中全校“比较了解”和“基本了解”国产 大模型的应用场景的人数占比即可
得到答案．
【小问1详解】
解：抽取的学生人数为 （人），
扇形统计图中 所对应的扇形圆心角度数为 ；
【小问2详解】
解：比较了解的人数为 （人），
补全条形统计图如图所示：
【小问3详解】
解： （人），
∴全校“比较了解”和“基本了解”国产 大模型的应用场景的共约有1650人．
七、（本题满分12分）
22. （1）【提出问题】如图1，在 的边 上有一点 ，满足 ．求证：
；
（2）【探究问题】在四边形 中， ，且 ， 边上一点 ，对角线 与
线段 交于点 ，且 ．
①如图2，若 ，当 ， 时，求 的长；②如图3，若 为 的中点，求 的值．
【答案】（1）见解析；（2）① ，②
【解析】
【分析】（1）证明 即可；
（2）①先导角得到即 ，在 中，由勾股定理得 ，则 ，
然后证明 ，则 ，则 ，在 中，由勾股定理得
，求出 ，即可求解 ；
②延长 、 ，相交于点 ，连接 ，证明 ，则在 中，
，那么 ，证明 ，得到 ，由于
，则 ，故 ，那么 ，即 ．
【详解】（1） ，
，
；
（2）① ，
，对顶角相等，
， ，
，
即
在 中，
又 ， ，
，
在 中， ，
，
②延长 、 ，相交于点 ，连接 ．
∵ 为 的中点，∴ ，
，
，
∵
在 与 中，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
∴ ，
，即 ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，直角三角形斜边上中线的性质，全等三角形的性质与
判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是条件的关键．
八、（本题满分14分）23. 如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，且 ， ．
（1）求抛物线的表达式及点 的坐标；
（2）若点 是直线 上方抛物线上的一动点，过点 作 轴的垂线，交 于点 ，连接 ， ．
设 面积为 ，求 的最大值及此时点 的坐标；
（3）若对称轴 与 交于点 ，将抛物线 向左平移 个单位得到新抛物线，
新抛物线与直线 交于点 ，连接 交直线 于点 ，且 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ，
（2） 的最大值的 ，
（3） 或
【解析】
【分析】（1）将点 、 的坐标代入抛物线表达式，解方程组后求出 和 的值，进而得到抛物线表达式
和点 的坐标；
（2）确定直线 的解析式，设出点 的坐标，进而表示出 点坐标，然后根据三角形面积公式得到
关于点 点横坐标的函数表达式，再根据二次函数的性质求出 的最大值及此时 点的坐标；
（3）先求出抛物线的对称轴和 点坐标，再根据抛物线平移规律得到新抛物线表达式，设出 点坐标，通过相似三角形等知识结合 求出 的取值范围．
【小问1详解】
解：∵抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，且 ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
当 时，得： ，
∴ ，
∴抛物线的表达式为 ，点 的坐标为 ；
【小问2详解】
如图，过点 作 轴的垂线，垂足为 ， 交 轴于点 ，设 ，
则点 的横坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，过点 ， ，
∴ ， ， ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ 在直线 上，且点 的横坐标为 ，
∴将 代入 ，得： ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 开口朝下且 ，
∴当 时， 取最大值，最大值为 ，此时 ；
【小问3详解】
∵抛物线 的对称轴 为 ， ，
∴ ，
∵原抛物线为： ，
∴向左平移 个单位后为： ，当 时，得： ，
∴ ，
当点 在 下方时，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ；
当点 在 的上方时，
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： （不合题意舍去）或 ，
∴ ，
综上所述， 的取值范围为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图象与性质，三角形的
面积，二次函数图象平移的规律，相似三角形的判定和性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解
题的关键．
