文档内容
百校联赢・2025 安徽名校大联考最后一卷数学（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上
答题是无效的．
3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 下列各数中，是负数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查多重符号化简，立方根，算术平方根的意义，绝对值的性质，掌握符号的化简方法
是解题的关键．根据立方根，算术平方根的意义，绝对值运算法则即可求解．
【详解】解： 、 ，是正数，不符合题意；
、 ，是正数，不符合题意；
、 ，是负数，符合题意；
、 无意义，不符合题意；
故选：C．
2. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握相关知识点是
解题的关键．根据合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法的运算法则，逐项分析即可
判断．【详解】解：A、 ，故此选项运算错误，不符合题意；
B、 ，故此选项运算错误，不符合题意；
C、 ，故此选项运算错误，不符合题意；
D、 ，故此选项运算正确，符合题意；
故选：D．
3. 据中国民用航空局公布的数据，2025年“五一”假期期间，民航旅客运输量约为1075万人次．2024年
相比，同期增长8%，这里“1075万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法： 为整数，进行表示即
可．
【详解】1075万 ；
故选B．
4. 如图所示的几何体，其俯视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可．
【详解】解：从上面看，看到的图形是一个长方形，靠近两侧各有一条竖直的实线，即看到的图形如下：
，故选：A．
5. 一元一次不等式 的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，按照去分母，去括号，移项，
合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可得到答案．
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
数轴表示如下所示：
，
故选：B．
6. 若一次函数 的函数值 随 的增大而减小，则 的值可以为（ ）
A. B. C. 2 D. 5
【答案】D
【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数 ，当 时， 随 的增大而增大；当
时， 随 的增大而减小，据此求解即可．
【详解】解∶∵一次函数 的函数值 随 的增大而减小，
∴ ，
∴ ，
观察各选项，只有选项D符合题意，
故选∶D．
7. 已知 ， ，下列结论中正确的是（ ）
A. B. ，
C. D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式和解不等式，由 得到 ，然后分别代入
和 计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，∴
，
∴ ，
综上所述， ， ， ，
故选：D．
8. 二次函数 与反比例函数 （ 是常数，且 ）在同一平面直角坐标系中的大
致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，由反比例图象得 为正数是解题的关键．
根据反比例函数图象确定出 是正数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与 轴的交点坐标确定出
函数图象，从而得解．
【详解】解：当 时，反比例函数图象位于第一、三象限，，
，
二次函数与 轴的交点在 轴负半轴，
，
二次函数图象开口向上，
对称轴为直线 ，
对称轴在 轴左边，
观察各选项，只有 选项符合．
当 时，反比例函数图象位于第二、四象限，
，
，
二次函数与 轴的交点在 轴正半轴，
，
二次函数图象开口向下，
对称轴为直线 ，
对称轴在 轴左边，
观察各选项，没有选项符合．
故选：A ．
9. 如图，在 中， ， ， ， 平分 交 于点 ，则线段
为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等面积法等知识，过 作 于点 ，由角平分
线性质可得 ，再通过勾股定理得出 ，再由
，求出 ，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
即 ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．10. 如图，矩形 中， ，点 在线段 上运动（含 ， 两点），连接 ，
以点 为旋转中心，将线段 逆时针旋转 到 ，连接 ，则线段 的最小值为（ ）
A. 6 B. 9 C. 5 D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，解直
角三角形，作等边 ，连接 ，设直线 交 于T，由矩形的性质得到
，由等边三角形的性质得到 ，
则 ，证明 ，得到 ，则点F在直线 上运动，
故当 时， 有最小值，可证明此时 ，解 得到 ，
则 ，解 可得 ．
【详解】解；如图所示，作等边 ，连接 ，设直线 交 于T，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；
由旋转的性质可得 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点G是定点，
∴点F在直线 上运动，
∴当 时， 有最小值，
∴此时有 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ 的最小值为9，
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 下表是根据甲、乙两位同学平时演讲训练的成绩（满分10分）制作的统计表，如果要选派一名成绩稳
定的同学参加市里的演讲比赛，请根据表中信息回答，应派________同学（填“甲”或“乙”）参加市里
的演讲比赛．
平均 中位 众 方
数 数 数 差
2.1
甲 8 8.5 8
4
乙 8 7.5 7 1.25
【答案】乙
【解析】
【分析】本题考查了方差、平均数、中位数、众数等知识，根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量
一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，
数据越稳定．
【详解】解：∵甲、乙两名同学平均数相同且 ，
∴乙的成绩较稳定，
∴从稳定性角度考虑，会选择乙同学参加比赛．
故答案为：乙．
12. 如图，点 分别是 的边 的中点，若 的面积为 ，则 的面积是
________ ．
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到
， ，证明 ，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵D，E分别是 的边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为 ，
∴ 的面积为 ，
故答案为：20．
13. 已知 中， ，其中点 在 轴上，点 都在第一象限， 轴，点 在 的
上方，如图，若反比例函数 的图象经过点 ，且 的面积为6，则 的值为
________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义．根据题意设点 的坐标为 ，点 的坐标为
, 点的坐标为 ，由点 均在反比例函数 的图象上求出 ,根据
求出 ．
【详解】解：∵ 中， ，其中点 在 轴上，点 都在第一象限， 轴，点
在 的上方，
∴设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ,∴线段 的中点坐标为 ，
∵ ，
∴点 在 的中垂线上，
∴设 点 坐标为 ，
的
∵点 均在反比例函数 的图象上，
∴ ,
∴ ,
∴ 的边 上的高 ，
又 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：12．
14. 如图，在矩形 中， 为 边上一点，将 沿 翻折到 处．
（1）若 ，则 的度数是_______°．
（2）延长 交 边于点 ，延长 交 边于点 ，若 ，且 ，则
的长为_______．【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）先利用折叠的性质得出 ， ，再利用矩形的性质，结合
，求出 ，从而可利用直角三角形的两个锐角互余求得 ，再利用平角的意义求
得 ；
（2）先证明四边形 是矩形，四边形 是矩形，四边形 是矩形，再利用折叠的性质求得
，接着利用勾股定理求得 ，从而可求得 与 ，再证明 ，利用平行截得的线段成
比例，列出比例式求出 与 ，利用矩形的性质求得 与 ，再求得 ，然后利用勾股定理得到
关于 的方程求解即可．
【详解】解：（1）∵将 沿 翻折到 处，
∴ ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）过点 作 于点 ，作 于点 ，过点 作 于点 ，则 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴四边形 是矩形，四边形 是矩形，四边形 是矩形，
∵将 沿 翻折到 处， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，解得： ， ，
∵四边形 是矩形，∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，矩形的折叠的性质等知识点，解题关键是利用矩形的
性质得出相应线段相等．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简、后求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，解题关键是正确化简分式．
为
先将小括号内通分，同时将除法转化 乘法，再化简，然后将 代入求值．
【详解】解：
=
=当 时，
原式= ．
16. 樱桃是安徽特产水果，每年 月成熟上市，这种水果圆润香甜，富含维生素C，具有生津止渴功效．
某果农将采摘的樱桃分装为大箱和小箱销售，已知2个大箱和3个小箱共装樱桃 千克，4个大箱和1个
小箱共装樱桃 千克，求每个大箱和每个小箱各装多少千克的樱桃．
【答案】每个大箱装 千克的樱桃，每个小箱装 千克的樱桃
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是根据等量关系列出方程组．
设每个大箱装 千克的樱桃，每个小箱装 千克的樱桃，根据“2个大箱和3个小箱共装樱桃 千克”、
“4个大箱和1个小箱共装樱桃 千克”列出方程组求解．
【详解】解：设每个大箱装 千克的樱桃，每个小箱装 千克的樱桃，
则 ，解得： ，
答：每个大箱装 千克的樱桃，每个小箱装 千克的樱桃．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 观察以下等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；第3个等式： ；第4个等式：
依照上述规律解答问题：
（1）直接写出第5个等式为_______；（2）猜想第 个等式为_______（n，为正整数，用含 的式子表示）；
（3）请利用分式的运算证明你的猜想．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字类规律的探索，分式的混合运算，正确理解题意，找到规律是解题的关键．
（1）从数字找规律，即可解答；
（2）从数字找规律，即可解答；
（3）先计算分式的乘法，再进行分式的加法计算，化简证明即可．
【小问1详解】
解：∵第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
∴第5个等式： ；
【小问2详解】
解：∵第1个等式： ；
第2个等式： ；第3个等式： ；
第4个等式： ；
∴第n个等式： ；
【小问3详解】
证明：
．
18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点 ，直线 经过格点（格点
为网格线的交点）．
（1）画出 关于直线 成轴对称的 ；
（2）将 绕点 逆时针旋转 得到 ，画出 ；（3）直接写出点 经过上述两种变换所经过的路径长．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】本题考查了轴对称作图，旋转作图，求弧长等；
（1）由轴对称的性质作出 、 、 的对称点，再顺次连接即可；
（2）将点 、 分别绕点 逆时针方向旋转，得到点，再顺次连接即可；
（3）分别求出轴对称的路径和旋转的路径，对于旋转的路径先由勾股定理求出半径，再由弧长公式即可
求．
能熟练利用轴对称的性质、旋转的性质作图，并能熟练利用弧长公式求弧长是解题的关键．
【小问1详解】
解：如图，
为所求作；
【小问2详解】
解：如图，为所求作；
【小问3详解】
解：由题意得
经过上述两种变换所经过的路径的长为：
，
，
由作图得： ，
，
，
故答案为： ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图1是水平放置的手机支架，图2为其平面示意图，已知 ， ，
， ，求手机支撑点 到水平面 的距离．（精确到 ）（参考数据：， ， ， ， ）
【答案】
【解析】
【分析】先求出 ，再利用正弦求出 ，然后求出 ，用余弦求出 ，再求出 即可．
【详解】解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，∴ ，解得： ，
∴ ，
故手机支撑点 到水平面 的距离为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，角的和差，线段的和差等知识点，解题
关键是构造直三角形求解．
20. 如图， ，以 为直径作 交 于点 ，交 于点 ，连接 并延长交 的切
线 于点 ，连接 ．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ，求 的半径．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）根据等边对等角可得出 ，则可证出 ，根据平行线的性质和等边对等角
可得出 ，根据 证明 ，得出 ，根
据切线的性质可得出 ，然后根据切线的判定即可得证；
（2）在 中，根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明∶连接 ，∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 是 的半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】
解：设 的半径为r，
在 中， ， ， ， ，∴ ，
解得 ，
即 的半径为8．
六、（本题满分12分）
21. 【项目背景】《中华人民共和国保守国家秘密法》是规范国家秘密保护的基础性法律，首次颁布于
1988年，历经了2010年和2024年两次重大修订，最新修订版本于2024年5月1日起实施，今年5月1日
是该部法律实施一周年纪念日，某校为了解同学们对该部法律的了解情况，选取了部分同学进行调查．
【数据的收集与整理】
该校《道德与法治》老师从八、九年级中各随机抽取了相同人数的学生进行答卷测评（成绩用 分表示，
满分100分），将抽查学生的成绩进行如下分组：
组别 A B C D
并将抽查学生的成绩制成如下的统计图表：
八年级学生测试成绩频数分布表
组别 频数 频率
A 6 —
B 9 0.45
C —
D 1 0.05
八年级学生测试成绩频数分布
九年级B组学生成绩（单位：分）为78，72，75，72，74，79，78．
【数据分析与应用】
任务1：本次抽查的八、九年级学生共_______人， _______；
任务2：把九年级学生的成绩制成扇形统计图，则B组学生所占圆心角的度数为_______ ；任务3：从八年级A组学生中选取2名同学，从九年级A组学生中选取3名同学组成《中华人民共和国保
守国家秘密法》宣讲团，某天该校从宣讲团中任选两名同学到七年级宣讲该法律，求抽到的同学来自同一
个年级的概率．
【答案】任务1：40,4；任务2：126；任务3：
【解析】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，频数分布表，频数统计图，求扇形统计图的圆心角
等知识，熟练掌握相关知识为解题关键；
任务1：根据频数除以频率求出总人数即可；
任务2：由B组学生人数除以总人数乘以360度即可；
任务3：画出树状图即可得出结果．
【详解】解：任务1：由八年级成绩频数可得抽取的八年级的学生有 人，
抽取的八、九年级学生人数相同，
本次抽查的八、九年级学生共 人，
人，
故答案为：40,4；
任务2：B组学生所占圆心角的度数为 ，
故答案为：126；
把九年级的3名A组选手和八年级的2名A组选手分别记为：A、A、A，B、B，
画树状图如下：
由图可知，共有20种等可能情况，两名同学恰好是同一年级的有8种情况，
抽到 的两名同学恰好是同一年级的概率为 ．
七、（本题满分12分）
22. 【生产背景】背景1：某服装厂安排50名工人加工生产“旗袍”和“国风女装”，因工艺需要，每名工人每天可加工且只能加工1件旗袍或2件国风女装．
背景2：每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况是：
（1）旗袍：当每天加工20件时，每件旗袍获利100元，如果每天多加工1件，那么平均每件旗袍的获利
将减少5元；
（2）国风女装：每件获利40元．
【探究任务】现在安排 名工人加工旗袍，服装厂每天的总利润为 元．
任务1：用含 式子表示加工国风女装的工人人数；
任务2：求 与 之间的函数表达式；
任务3：制定使服装厂每天总利润最大的加工方案，每天最大的总利润是多少？
【答案】任务1： ；任务2： （ ）；任务3：每天安排 人生产
“旗袍”， 人生产“国风女装”时每天总利润最大，每天最大的总利润是 元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用；
任务1：由题意得 ，即可求解；
任务2：总利润 生产“旗袍”所获得的利润 生产“国风女装”所获得的利润，即可求解；
任务3：配方得 ，由二次函数的性质，即可求解；
能根据实际意义的等量关系式列出函数解析式，并能利用二次函数的性质求最值是解题的关键．
【详解】任务1：
解：由题意得
，
故加工国风女装的工人人数 人；
任务2：
解：
（ ）；
任务3：
解：，
， ，
当 时，
，
（人），
故每天安排 人生产“旗袍”， 人生产“国风女装”时每天总利润最大，每天最大的总利润是
元．
八、（本题满分14分）
23. 【发现】如图 ，将正方形 的对角线 绕点 顺时针旋转 后落在点 位置，
连接 并延长交 的延长线于点 ， 平分 交 于点 ．求证： ；
【探究】如图 ，在矩形 中， ， ，将对角线 绕点 顺时针旋转
后落在点 位置，连接 并延长交 的延长线于点 ， 平分 交 于点
，连接 ，若 ，求 的长；【拓展】如图 ，在菱形 中， ， ，以点 为旋转中心，将边 顺时针旋
转一周与菱形 的边交于点 （不含与顶点的交点），请直接写出 的长（不用说理）．
【答案】[发现]证明见解析；[探究] ；[拓展] 的长为 或 ．
【解析】
【分析】[发现]延长 交 于点 ，由旋转性质可知 ，求得 ，根据四边
形 为正方形 ，得 ， ，故有 ，则
，最后由全等三角形的判定方法即可求证；
[探究]延长 交 于点 ，由旋转性质可知 ，求得 ，根据四边形
为正方形 ，得 ， ，故有 ，则
，证明 ，即 ，最后通过勾股定理和等面积法即可求解；
[拓展]分 当点 在边 上时， 点 在边 上两种情况，由全等三角形的判定与性质，相似三角
形的判定与性质即可求解．
【详解】[发现]证明：延长 交 于点 ，如图 ，
由旋转知 ，∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
[探究]解：延长 交 于点 ，如图 ，
由旋转知 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为矩形 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
在
[拓展]解： 当点 边 上时，连接 ，过点 作 于点 ，如图，
由旋转知 ，
∴ ，
∵四边形 为菱形， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
点 在边 上，过点 作 于点 ，如图，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由 上 ，
∴ ，
∴ 为 中点，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ 为 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
综上， 的长为 或 ．
【点睛】本题考查了正方形、菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定
理，等腰三角形的性质，旋转的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
