文档内容
九年级学情调研试题卷
（数学）
注意事项：
1．本试卷共八大题，满分为150分，考试时间为120分钟．
2．全卷包括“试题卷”（4页）和“答题卷”（6页）两部分．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2025 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：B．
2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：根据几何体的三视图可知该几何体是：圆锥和圆柱的结合体.
故选C.
3. 2024年11月至12月，安徽财政提前下达2025年农业相关转移支付资金157.4亿元．其中，中央财政
137.5亿元、省财政19.9亿元，用以支持江淮粮仓建设、农业产业发展、二轮延包及动物防疫等工作．数
据“19.9亿”可用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据“19.9亿”可用科学记数法表示为 ；
故选：B．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，同底数幂乘除法，幂、积的乘方运算，掌握整式的混合运算，
算术平方根的计算是解题的关键．
根据算术平方根的计算，同底数幂乘除法，幂、积的乘方运算进行判定即可．
【详解】解：A、 ，原选项计算错误，不符合题意；
B、 ，原选项计算错误，不符合题意；
C、 ，原选项计算错误，不符合题意；
D、 ，正确，符合题意；
故选：D ．
5. 关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m值为（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个相等的实数根，得到 ，列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵ 有两个相等的实数根，∴ ，
∴ ；
故选A．
6. 某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力 的方向与斜面垂直，
摩擦力 的方向与斜面平行．若斜面的坡角 ，则摩擦力 与重力G方向的夹角 的度数为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知 是重力 与斜面形成的三
角形的外角，从而可求得 的度数．
【详解】解： 重力 的方向竖直向下，
重力 与水平方向夹角为 ，
摩擦力 的方向与斜面平行， ，
，故选：C．
7. 如图，在 中， 于点D，若 ， ，则 的长为（
）
A. B. C. 6 D. 3
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 本 题 考 查 解 直 角 三 角 形 ， 根 据 ， 设 ， 根 据
，得到 ，进行求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
设 ，则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选A．8. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 为菱形， ，且点A落在反比例函数 上，
点B落在反比例函数 上，则k值为（ ）
A. 8 B. 6 C. 4 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数；过点 作 轴的垂线，垂足分别为
，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得 ， ，再求得点 ，利用待定系
数法求解即可．
【详解】解：过点 作 轴的垂线，垂足分别为 ，如图，
∵ ，
∴ ，∴设 ，则 ，
∴点 ，
∵点A在反比例函数 上，
∴ ，
∴ （负值已舍），则点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ，
∴点 ，
∵点B落在反比例函数 上，
∴ ，
故选：A．
9. 在 中，对角线 与 交于点O，点E在 上，点F在 上，连接 ．下列
结论错误 的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则D. 若 ，则
【答案】B
【解析】
【分析】平行线分线段成比例结合平行四边形的对边相等，判断A；先证明四边形 是菱形，得到
，分 和 ，两种情况，判断B，根据平行线分线段成比例的推论，判断C；先
证明四边形 是菱形，再证明 ，得到 ，判断D．
【详解】解：如图：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ；
若 ，则： ，
∴ ；故选项A正确，不符合题意；
若 ，则：四边形 是菱形；
，
，
如图，当 与 不垂直时， 上还存在一点 ，使 ，假设 ，
在
和 中，
，
，
，
，
，
而另一点 也满足 ，但 与 不平行，
与 不一定平行，故B选项错误，符合题意；
若 ，则： ，
∴ ，故C选项正确，不符合题意；
若 ，则： ，
∴ ，
∴四边形 是菱形；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，，
，故选项D正确，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行线分线段成比
例等知识，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
10. 如图，在 中， ，点D、E分别为 的中点，点P从D点向A点运动，
点Q在 上，且 ，连接 ，过点Q作 交 于点F，设点P运动的路程为 ，
的面积为y，则能反映y与x之间关系的图象是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】C【解析】
【分析】过点 作 于点 ，延长 交 的延长线于点 ，利用矩形的判定与性质可得
；设 ，利用相似三角形的判定与性质求得 ，进而求得 ， 的长，
利用 求得 与 之间关系，再利用二次函数的性质和 的取值范
围解答即可得出结论．
【详解】解：过点 作 于点 ，延长 交 的延长线于点 ，如图，
点 、 分别为 ， 的中点， ，
， ，
，
，
，
四边形 为矩形，
．
， ，
．，
，
．
为等腰直角三角形，
．
设 ，
由题意得： ，则 ，
，
，
．
，
，
，
．
，
，
，
，
解得： ，
．．
，
，
，
抛物线的开口方向向上，顶点为
由题意： 的取值范围为： ，
当 时， ，当 时， ，
与 的函数图象是以点 和 为端点的抛物线 上的一部分，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了动点问题函数的图象，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形中位
线定理，二次函数的图象与性质，求得 与 之间函数关系式是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 计算： ___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键．
根据绝对值的性质，算术平方根的定义化简，再计算即可求解．
【详解】解： ，
故答案为： ．12. 将分别写有“你”“好”“合”“肥”汉字的四张除汉字外均相同的卡片（每张卡片上只有一个汉
字）放入一个不透明的袋子里，每次摸之前先均匀搅拌，随机摸出一张卡片，不放回，再随机摸出一张卡
片，两次摸出卡片上的汉字能组成“合肥”的概率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树
状图得出所有等可能的结果数和两次摸出卡片上的汉字能组成“合肥”的结果数，再利用概率公式可得出
答案．
【详解】解：画树状图为：
共有 种等可能的结果，其中选到“合肥”的结果数为 ，
所以两次摸出卡片上的汉字能组成“合肥”的概率为 ．
故答案为： ．
13. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，
六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O， 所在圆的圆心C恰好是 的内心，若
，则阴影部分面积为___________．
【答案】
【解析】【分析】本题考查正多边形与圆，解三角形，不规则图形的面积，过点C作 ，根据正多边形的
性质得出 为等边三角形，再由内心的性质确定 ，得出
，求出 ， ，再求弓形 的面积为
，即可求解，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
【详解】解：如图所示：过点C作 ，
∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∵圆心C恰好是 的内心，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴弓形 的面积为： ，
∴阴影部分面积为： ，
故答案为： ．
14. 如图，在 中， ， ，点D是 延长线上一点，以 为
邻边作 ．
（1）连接 ，则 面积为___________．
（2）连接 ，则 的周长最小值为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形的性质易得 ，得到 等底等高，即
等底等高，由 ， ，求出 的面积，即可得到结果；
（2）连接 交 于点O，由勾股定理求出 为定值，当 时， 有最小值，即
有最小值，此时四边形 是矩形，证明 ，得到 ，求出 即可
得到结果．
【详解】解：（1）如图，连接 ，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ 等底等高，
∴ 等底等高，
∴ 的面积相等，
∵ ， ，
∴ 的面积为 ，
∴ 面积为： ；
为
故答案 ： ；
（2）连接 交 于点O，
∵ ， ，
∴ 为定值，
当 时， 有最小值，即 有最小值，则 的周长最小，此时，四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 的周长最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定，勾股定理，垂线段最短．
证明 是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了求一元一次不等式的解集，正确掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．去分母，
移项，合并，将系数化为1即可求出不等式的解集．
【详解】解：．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点 均在格点（网格线的交点）上．
（1）画出 关于直线l对称的 ；
（2）连接 ，直接写出四边形 的面积；
（3）在图中利用无刻度的直尺画出 的一条中位线．
【答案】（1）作图见详解
（2）25 （3） 均为 中线（任取一条即可），作图见详解
【解析】
【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，网格与矩形的特点，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关
键．
（1）根据轴对称性质作图即可；
（2）结合图形可得四边形 是梯形， ，点 到 的高是 ，由面积公式计算即
可求解；
（3）运用格点，运用矩形的对角线相互平分得到线段中点即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，∴ 即为所求图形；
【小问2详解】
解：连接如图（1）中图示，
∴ ，
∴四边形 是梯形， ，点 到 的高是 ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图所示，
∴ 均为 的中位线（任取一条即可）．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 某校九年级举行读书活动，学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需购的书箱类型和数量，如表
所示．根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人．
人文类（本/人） 科学类（本/人）九（1）班 5 2
九（2）班 4 3
共计（本） 335 190
【答案】九（1）班有35人，九（2）班有40人
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，设九（1）班有 人，九（2）班有 人，根据表格
数据列方程组并正确求解即可．
【详解】解：设九（1）班有 人，九（2）班有 人
由题意得： ，
解得： ，
答：九（1）班有35人，九（2）班有40人．
18. 在数学活动课中，某兴趣小组研究一种公式，写出了下列几组等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
……
（1）根据上述等式规律：
（i）第4个等式为： ；
（ii）第n个等式为：___________________．
（2）小组成员小明和小华进一步探索上述规律：
小明同学猜想 ，其中a，b为正整数．小华同学提出反对意见，并通过如下计算进
行了证明： （①__________________）
不一定等于 ．请你补全①中所缺内容，并直接写出当小明同学想成立时，a、b需要满足的数量关系．
【答案】（1）（i）5，4；（ii）
（2）证明见解析，
【解析】
【分析】本题考查了数式中的规律问题，解决这类问题的关键是找出式子中变化的数据与等式序号之间的
关系．
（1）（i）根据前3个等式的关系，直接写出第4个等式；（ii）由前四个等式，找到规律即可写出第n个
等式；
（2）利用多项式乘以多项式及完全平方公式将等号左边展开，再与等号右边对比即可．
【小问1详解】
解：（i）第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
……
第4个等式为： ；
（ii）由（i）可得第n个等式为： ；
【小问2详解】
证明：左边
，右边 ，
不一定等于 ；
当 时，
左边 右边，
，其中a，b为正整数，且 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 明代徐光启创作的《农政全书》成书于万历年间，基本囊括了中国明代农业生产和人民生活的各个方
面．书中插图绘制了古代劳动人民发明的一种采桑工具——桑梯，如图1，其模型如图2所示，已知
米， ，梯子的踏脚点为D，梯脚为点C，且 ．请求出踏脚点D距
地面 的高度．（结果精确到0.1，参考数据： ）
【答案】踏脚点 与地面 的高度约为 米
【解析】
【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是构造直角三角形，过点 作 ，垂足为 ，
根据 ，求出 ， ，再根据 ，即可求解．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，米， ，
米，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，
（米），
答：踏脚点 与地面 的高度约为 米．
20. 如图， 是半圆O的直径，动点C在半圆上， 平分 与圆O交于点D，连接 ．
（1）求证： ；
（2）过点B作 ，交 的延长线于点E，设 的面积为 的面积为 ．①若 ，求 ；
②若 ，则 ___________（直接写出答案）
【答案】（1）见解析 （2）① ②1
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形：
（1）圆周角定理结合角平分线的定义，得到 ，即可得证；
（2）①如图，过 作 于 ，由 ，即 ，可得 ，证明
，可得 ，设 ，则 ，可得 ，
，再利用正切的定义及等腰三角形性质即可得答案；②同①进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵ 平分 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：①过 作 于 ，如图所示：，即 ，
，
，
，
，即 ，
设 ，则 ，
，
，
，
，
，
；
②同①可知：当 时，则： ，
∴ ，
∴点 与点 重合，∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ．
故答案为：1．
六、（本题满分12分）
21. 某学校举办的歌唱比赛分为初赛和决赛两个阶段．初赛由8名教师评委和45名学生评委给每位选手打
分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．教师评委打分：85 90 92 92 87 86 93 96
b．学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组 ，第2组 ，第3组
，第4组 ，第5组 ，第6组 ）：
评委 评委 评委 评委 评委
1 2 3 4 5
甲 91 88 90 91 90
乙 89 90 90 90 90
丙 88 92 88 92 k
（1）根据以上信息，回答下列问题：
①教师评委打分数据的众数为___________，学生评委打分数据的中位数在第___________组；
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余6名教师评委打分的平均数为___________；
（2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数
和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入
决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如上表．若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是___________，表中k（k为整数）的值为___________．
【答案】（1）①92，4；②90
（2）甲，90
【解析】
【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差：
（1）①根据众数和中位数的确定方法进行求解即可；②利用平均数的公式进行计算即可；
（2）根据题意得出 ，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可．
【小问1详解】
解：① 从教师评委打分的情况看，92分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为92，
共有45名学生评委给每位选手打分，
所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第23个，从频数分布直方图上看，可得学生评委给每位选手
打分的中位数在第4组 ，
故答案为：92，4；
②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：90，92，92，87，86，93，
平均数为： ，
故答案为：90；
【小问2详解】
解： ，
，
，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
，，
解得 ，
当 时， ，
此时， ，
，
乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意；
当 时， ，
此时， ，
，
丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲，
故答案为：甲，90．
七、（本题满分12分）
22. 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）如图1，在菱形 中，E是 的中点，连接 ，将 沿 翻折到 ，延长
交 于点P，请写出图中的所有“筝形”；
（2）如图2，将（1）中的“菱形 ”改为“正方形 ”其他条件不变，求 的值；（3）如图3，在矩形 中， 是边 的中点，连接 ，将 沿 翻折
到 ，点P是线段 上一点，若四边形 是“筝形”，请直接写出 的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由折叠的性质得到 ，即四边形 是“筝形”；再根据菱形的性
质结合折叠的性质得到 ，连接 ，由E是 的中点，得到 ，推出
，求出 ，得到 ，即四边形 是“筝形”；
（2）同理（1）可证四边形 是“筝形”，设 ，则正方形 边长为 ，利用勾
股定理求出 ，连接 ，证明 是直角三角形，利用正切的定义可得
，求出 ，勾股定理求出 ，即可解答；
（3）延长 交 于点 ，连接 ，同理（1）可证四边形 是“筝形”，当 重合时，
四边形 是“筝形”，同理（2）得 是直角三角形， ，
，求出 ，勾股定理求出 ，即可得到此时 的长．
【小问1详解】
解：∵四边形 是菱形，∴ ，即四边形 是“筝形”；
由折叠的性质得： ，
即四边形 是“筝形”；
由折叠的性质得： ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
连接 ，
∵E是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，即四边形 是“筝形”；
综上，图中的“筝形”有 ；
【小问2详解】
解：同理（1）得：四边形 是“筝形”，设 ，则 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
连接 ，
∵四边形 是“筝形”，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∵ ，即 ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：延长 交 于点 ，连接 ，
同理（1）可证四边形 是“筝形”，
当 重合时，四边形 是“筝形”，
同理（2）得 是直角三角形， ，
∴ ，
∵在矩形 中， 是边 的中点，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴此时 ．
【点睛】本题考查四边形综合题，涉及菱形的性质，正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定
理，正确作出辅助线，理解“筝形”的定义是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系 中，抛物线 （a为常数）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交
于点B，若抛物线的对称轴为直线 ．
（1）求a的值；
（2）若点 是抛物线上，且 ，求证：点C在 所在的直线上；
（3）点 是抛物线上的两点 ，记抛物线在P，Q之间的部分为图象G（包含P，
Q两点），图象G上任意两点纵坐标差的最大值记为h，若 ，求t的值．
【答案】（1） （2）见解析
（3）0或3
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）根据对称轴即可解得；
（2）根据题意求出直线 的解析式为 ，求出 即可证明；
（3）由题意得出， ， ，分当 ， 均在对称轴左侧；
当点 ， 在对称轴两侧；当 ， 均在对称轴的右侧三种情况分析即可．【小问1详解】
解： 抛物线 （ 为常数）的对称轴为直线 ，
，
解得 ；
【小问2详解】
证明：由（1）知 ，
，
抛物线与 轴交于点 ，对称轴与 轴交于点 ，
将 代入 ，则 ，
， ，
设经过点 ， 的直线的解析式为 ，将其坐标代入，得
，解得 ，
直线 的解析式为 ，
点 是抛物线的点，
，
解得 或 ，
，
，
将 代入直线 ，得当 时， ，
点 在直线 上；【小问3详解】
解：由（1）知 ，
，
点 ， 是抛物线上的两点，
， ，
抛物线的开口向下，对称轴为 ，
分以下三种情况：
①当 ， 均在对称轴左侧，即 时， 随 的增大而增大，此时点 的纵坐标最小，点 的纵坐标最
大，
，解得 ；
②当点 ， 在对称轴两侧，则 ，即 ，此时图象 上的最高点是抛物线的顶点，其纵
坐标为 ，
，
当点 与对称轴的距离小于点 与对称轴的距离时，则 ，即 ，
，此时点 的纵坐标最小，
，
解得 （不符合题意，舍去）或 （不符合题意，舍去）；
当点 与对称轴的距离大于点 与对称轴的距离时，
则 ，
即 ，，此时点 的纵坐标最小，
，
解得 （不符合题意，舍去）或 （不符合题意，舍去）；
③当 ， 均在对称轴的右侧，则 ，即 时， 随 的增大而减小，
此时点 的纵坐标最大，点 的纵坐标最小，
，解得 ；
综上所述， 的值为0或3．
