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2024-2025 学年第二学期九年级核心素养调研二
数学试卷
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．）
1. 的倒数是（ ）
A. 2025 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可
【详解】解： 的倒数是 ，
故选：C．
2. 合肥长鑫存储是中国 （动态随机存取存储器）领域的龙头企业，作为合肥集成电路产业的核心
支柱，2024年已实现量产 工艺内存芯片（ ）， 用科学计数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 为
整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时， 是正整数；当原数的绝对值 时， 是负整数．
【详解】解：依题意， ，
将 用科学记数法可表示
故选：D．3. 一个立体图形的三视图如图所示，则该立体图形是（ ）
A. 圆柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 三棱柱
【答案】D
【解析】
【分析】本题由物体的三种视图判断原来几何体的形状，考查空间想象能力，一般地，主视图和左视图的
大致轮廓为矩形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱．
先由主视图和左视图确定是柱体、锥体、还是球体，再由俯视图确定具体形状；也可以对选项几何体的各
个视图与所给视图比较判断．
【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，
根据俯视图是三边形可判断出这个几何体应该是三棱柱．
故选：D．
4. 分式 的值为0，则 的值是（ ）
A. 0 B. C. 1 D. 0或1
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式 的值为0，
∴ ，
解得 ，
故选A．
【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．
5. 解不等式组 时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在
数轴上表示出不等式组的解集即可．
【详解】解： ，
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
所以，不等式组的解集为： ，
在数轴上表示为：
故选：C．
6. 中 ， 为弧 中点， // ，则 度数为（ ）
A. 20° B. 30° C. 40° D. 45°
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆周角和圆心角的性质以及圆内接四边形的性质，求得 ，根据等弧对等角的性质，
得 ；再根据等腰三角形和平行线的性质，推到得 ，再结合圆周角和圆心角的性质
分析，即可得到答案．
【详解】连接∵
∴
∴
为
∵ 弧 中点
∴
∵
∴
∵ //
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了圆、等腰三角形、三角形内角和、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握圆周角和圆
心角的性质，从而完成求解．
7. 如图，四边形 为菱形，E为 上一点，把 沿着 折叠，点 恰好落在 延长线上
的点 ， 交 于点 ， ， ，则 的长为（ ）A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质以及解三角形、相似三角形判定和性质等知识，
过点 作 ，垂足为 ，由折叠得， ，根据解三角形和等腰三角形三线合一求出
，继而得出 ，再根据在菱形 中， ，得
，由 ，得 ，由此求解即可．
【详解】解：过点 作 ，垂足为 ，由折叠得， ，
在菱形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，∵在菱形 中， ，
∴ ，
又∵在菱形 中， ，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ ，
故选：C．
8. 已知 ， ， 为双曲线 上的三个点，且 ，则以下判断正确的是（
）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查函数值大小比较，先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再对各
选项进行逐一判断即可．
【详解】解：反比例函数 中，
，
∴函数图象的两个分支分别位于第一、三象限．
A、若 ，则 同号，∵ ，则 可能同大于0 ，可能同小于0 ，本选项不符
合题意；
B、若 ，则 异号，∵ ，∴ ， 可能大于 0 ，可能小于 0，则， 可能大于0 ，可能小于0 ，本选项不符合题意；
C、若 ，则 同号，∵ ，当 都大于 0，则 大于 0，
则 ， ；
当 都小于 0，则 可能大于 0，也可能小于 0，
则 ， 可能大于 0，也可能小于 0，本选项不符合题意；
D、若 ，则 异号，∵ ，则 ，
则 ，则 ，本选项符合题意；
故选：D．
9. 若 ， ，则 的值满足（ ）
A. 小于0 B. 小于或等于0
C. 大于0 D. 大于或等于0
【答案】D
【解析】
【分析】该题考查了完全平方公式，通过联立方程消去变量，求出 的值，再用 与 的关系代入表达式
，转化为完全平方形式判断符号．
【详解】解： ，
得 ，
则 ，
将 代入②得： ，
解得： ，
则，
故选：D．
10. 已知一次函数 的图像如图所示，则二次函数 的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】考查了二次函数的图象与一次函数的图象的知识，解题的关键是了解各个函数的图象与系数的关
系，难度不大．
利用一次函数的图象的性质确定 的符号，再根二次函数图象与系数的关系以及对称轴的位置判断正
确选项．
【详解】解：由一次函数的图象可知 ，∴ ，
∴二次函数 ，开口向下，对称轴在 轴的左侧，且经过原点，
当 时， ，
∴满足条件的函数图象只有C，
故选：C．二、填空题（本大题4小题，每小题5分，满分20分）
11. _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查实数的混合运算，原式分别计算 ， ， ，然
后再进行加减运算即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
12. 已知 ， ，则 _______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的加减运算．先通分，再利用完全平方公式变形，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ．
故答案为：413. 如图， 的外切正六边形 的边长为 ，则图中阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、正多边形与圆，设 与 的切点是点
，连接 ，则 ，首先根据正六边形的性质可知 是等边三角形，根据等边三角形的
性质可以求出 ，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：如下图所示，
设 与 的切点是点 ，连接 ，
则 ，
在正六边形 中，
， ，
是等边三角形，正六边形 的边长为 ，
，
，
，
，
；
故答案为： ．
14. 中， ， ， ，E为AC上一点， ，F为BC上一点，连接
EF，将 沿EF翻折，得到 ，连接AD、BD，
（1）若 ，则 _______；（填长度）
（2）当 面积最小时， _______．（填长度）【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查翻折变换的性质，最短路径问题，解三角形等知识，解题的关键是正确找到点D位置．
（1）如图1，过点 作 ，利用 得出 ，再解三角
形即可；
（2）过点 作 ， ，垂足分别为 ， ，由垂线段最短可知 ，得
出当 在 上时，即 、 、 三点共线， 最小，再构造四边形 是矩形，
求出 ，再由解三角形即可解答．
【详解】解：（1）如图1，过点 作 ，
由折叠可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，∴ ，
∴
（2）如图1，过点 作 ， ，垂足分别为 ， ，
， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
因为 ，
∴ ，
∴当 在 上时，即 、 、 三点共线， 最小，
∵ ，
∴当 面积最小时， 最小，
如图3． 当 在 上时，过点 作 ，垂足分别为 ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
又因为： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ， ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ；
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子
展开，然后合并同类项．再将a、b的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：代入 和 得
原式
16. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之
重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金
重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比
乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y
两，试求黄金、白银每枚各重多少两？
【答案】每枚黄金重 两，每枚白银重 两
。
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意可得等量关系：① 9枚黄金的重量等于11
枚白银的重量；②（10枚白银的重量 枚黄金的重量） （1枚白银的重量 枚黄金的重量）等于13两，
根据等量关系列出方程组求解即可．
【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
由题意得，
解得 ，
答：每枚黄金重 两，每枚白银重 两。
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，由小正方形组成的 的网格，每个小正方形的顶点叫做个点， 的三个顶点都是格
点，点D是 的中点，完成以下作图．（1）将 向右平移四个单位，再向上平移1个单位得到 ，请画出相应的图形；
（2）仅用无刻度的直尺在给定的网格中作出点D关于直线 的对称点E．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平移先找出 顶点的对应点，再连接顶点即可得 ，
（2）根据网格 的特点过点 作 的垂线 交 于 ，垂足为 ，由平移可知， ，
则 ，由此可知点 到 的距离 等于 到 的的距离 ，即 ，所以
与 是关于直线 的对称点，即 与 是关于直线 的对称，再连接 交 于 ，连接
并延长交 于点 ，由作法可知 、 是关于直线 的对称．即得点D关于直线 的对称
点E．
【小问1详解】
解：如图， 为所求．
【小问2详解】解：如图，点 为所求，
18. 庐阳中学七（11）班数学兴趣小组在学习完七下实数内容后，研究了“当正整数n（ ）满足何种
条件时， 可以化为有限小数”的问题．
请您帮助七（11）班的同学完成下面研究过程：
（1）尝试探索：分别计算符合条件情况下的，n不同取值时， 的结果．完成填空．
n（
）
2 0.5
4 0.25
10 0.1
20 0.05 ①
250 0.004
2500 0.0004
（2）大胆猜想：当且仅当的n的质因数仅含 和 时， 可以化为有限小数．
（3）归纳：
如果n的质因数仅含2和5，设 （α，β是非负整数，且不同为0）
①当 时， 是一个有限小数；
②当 时， 也是一个有限小数．
反过来，如果 可以化为有限小数 ，那么 ，n的质因数仅含2
和5．（如 ，可以理解成 ）
阅读以上内容，请填写七（11）班数学兴趣小组探究内容中所缺序号内容．
【答案】（1）
（2）2，5 （3） ，
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和分数的基本性质；
（1）模仿示例写成分母中的因素2和5的乘方相同的形式，即分母是10的乘方的形式即可，
（2）由（1）分母是10的乘方，可知当n的质因数仅含2和 5时， 可以化为有限小数．
（3）根据（1）发现的规律和分式利用同底数幂乘法变形即可.
【小问1详解】
【小问2详解】当且仅当n的质因数仅含2和 5时， 可以化为有限小数．
【小问3详解】
归纳：
如果n的质因数仅含2和5，设 （α，β是非负整数，且不同为0）
①当 时， 是一个有限小数；
②当 时， 也是一个有限小数．
反过来，如果 可以化为有限小数 ，那么 ，n的质因数仅含2
和5．（如 ，可以理解成 ）
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某矩形水池中假山露出水面部分的高度
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
某学校的矩形水池中有一假山，其露出水面部分的高
度为 ，其示意图如下：
模型抽象
活 动 过
程
①在矩形水池的一组对边上分别取点 A，B，使得
于点E，再分别过点A，B作 的平行线
交水面于点M，N，通过皮尺在矩形水池的边缘测得
测绘过程与数据信 其宽度为 米，即 米；
息
② 在 点 A 处 用 测 角 仪 测 得 ，
，
在 点 B 处 用 测 角 仪 测 得 ，；
③用计算器计算得 ，
， ，
．
请根据表格中提供的信息，求假山露出水面部分的高度 ．（最后结果保留整数）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设 ，则 ，分别 和 ，
根据正切的定义求出 ，则可关键关于x的方程，求解x的值，然后在 中，根据正切的定义求
出 ，即可求解．
【详解】解：设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即假山露出水面部分的高度 为 ．
20. 如图， 是 的直径， 是 的弦， 是 上一点连接 ， ．（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，在（1）条件下，弦 ．若 ， ，求 长．
【答案】（1）见解析 （2）1
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理，熟练掌握圆周角定理是
解题的关键；
（1）连接 ，先根据圆周角定理得到 ，可得 ，再由同弧所对圆周角是圆
心角的一半，可得 ，结合已知可得 ，进而可得 ，由此得
出结论；
（2）过点 作 ，垂足为 ，先根据垂径定理得到 ，再利用勾股定理计算出 ，
，再证明 即可解题．
【小问1详解】
证明：连接 ，如图1，∵ 为 的直径，
，
，
又∵ ，
∴ ，
又∵
∴ ，
，
，
，
，
【小问2详解】
解：过点 作 ，垂足为 ，如图2，
由（1）得 ，
∴ ，设 的半径 ，
∵ ， ，
∴
， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴
∴ ，
又∵ ，
∴
六、（本题满分12分）
21. 某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，
将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“ ”记为1分，“ ”记为2分，“
”记为3分，“ ”记为4分，“ ”记为5分．现随机将全校学生以20
人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：第1小组得分条形统计图 第2小组得分扇形统计图 第3小组得分折线统计图
平均数 中位数 众数
第1
3.9 4 a
小组
第2
b 3.5 5
小组
第3
3.25 c 3
小组
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为__________度；
②请补全第1小组得分条形统计图；
（2） __________， __________， __________；
的
（3）从第二组中得5分 同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请
用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）①18；②见解析
（2）5； ；3
（3）
【解析】
【分析】本题考查统计图，求中位数和众数，利用列表法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关
键：
（1）①利用360度乘以“得分为1分”所占的比例求出圆心角的度数；②根据总数减去其它组的人数求出
分的人数，补全条形图即可；
（2）根据平均数，中位数和众数的计算方法，进行求解即可；
（3）根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：① ；
故答案为：18；
②第1小组“得分为4分”这一项的人数为 （人），补全第1小组得分条形统计图如下，
【小问2详解】
由条形图可知，得到5分的人数最多，故 ；
由扇形图可知： ；
由折线图可知，第10个和第11个数据均为3分，
∴ ；
【小问3详解】
由题意，列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2
男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2
女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2
女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1
共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有8种，
∴ ．
七、（本题满分12分）
22. 在等边 中，满足 ，将DE绕E点旋转 ，得到EF，取EF中点G，连接AG，
延长CF交AG于H．（1）如图1，若等边三角形的边长为12，求 的长度．
（2）①求证： 平分
②如图2所示，若 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）①见解析；②9．
【解析】
【分析】（1）过点A作 ，垂足为 ，由等边三角形性质得 ，进而由勾
股定理求出 ，再由已知数量关系证明 是 的中位线，由此即可求
解；
（2）①在 上截取 ，连接 ，则利用等边三角形的性质得 ，再根据旋转
的性质得到 ，接着可证明 ，得到 ，
，则 ，所以 平分 ；
②延长 交 于N，作 于O， 于P，根据等边三角形的性质得 垂直平分 ，
所以 ，利用平行线分线段成比例定理得到 ，则 ，，则 ，所以 于是 ，然后利用
得到 ，所以 ，易得 ，再利用
进行计算即可．
【小问1详解】
解：如图1，过点A作 ，垂足为 ，
∵在等边 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：①在 上截取 ，连接 ，如图2，∵ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∵将线段 绕点E顺时针旋转60°，得到线段 ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
②如图3，延长 交 于N，作 于O， 于P，∵ 平分
∴ 垂直平分 ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵G点为 的中点，
∴ ，
∴ ，即
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的性质等
知识，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，
关键是选择恰当的判定条件，本题难度较大．
八、（本题满分14分）
23. 二次函数 （a为常数， ）．
（1）若该二次函数图像关于直线 对称，求a的值及抛物线与x轴交点坐标；
（2）若该二次函数图像上点 ， 满足 ，求a的范围；
（3）若该二次函数图像上两个不同的点 ， 满足 ，求 的取值范围．
【答案】（1） ，抛物线与x轴交点坐标为 和
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，掌握对称轴公式以及函数图象
的性质是解题的关键．
（1）根据二次函数的对称轴为直线 即可求出 ，得出二次函数解析式，再求出抛物线与x轴交点
坐标即可；
（2）将点 ， 代入二次函数解析式，表示出 ，根据 ，即可求解；
（3）将点 ， 代入二次函数解析式，结合 ，表示出 求解即可．
【小问1详解】
解：二次函数 的对称轴为直线 ，∴ ，
解得： ，
∴二次函数为 ，
令 ，解得： 或 ，
∴抛物线与x轴交点坐标为 和 ；
【小问2详解】
解：∵点 ， 在二次函数图像上，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
【小问3详解】
解：点 ， 在二次函数图像上，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
代入 得，
∴
，
∵ ， ，
∴ ．
