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利辛县 2024-2025 学年度第一学期义务教育教学质量监测
九年级数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 已知 ，则 的值等于（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查比例的性质知识点，解题的关键是利用设参数法来求解．
根据已知的比例关系设出参数，然后将其代入所求式子进行化简求值．
【详解】因为 ，所以可设 ．
将 代入 可得：
，
所以 的值等于 ，
故选：D．
2. 二次函数 的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式是解题的关键．
根据二次根式的顶点式直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵二次函数为 ，∴顶点坐标是 ，
故选： ．
3. 在 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A. 10 B. 8 C. 6 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正弦的定义，掌握正弦等于直角三角形该角的对边与斜边的比成为解题的关键．
直接根据正弦的定义即可解答．
【详解】解：∵在 中， ， ， ，
∴ ，即 ，解得： ．
故选C．
4. 大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为 的黄金分割点
，如果 的长度为 ，那么 的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义得到 ，进而可求出 的长．【详解】解： P为 的黄金分割点 ， ，
，
．
故选D．
5. 点 （-1， ）， （3， ）， （5， ）均在二次函数 的图象上，则 、 、
的大小关系是（ ）
A. > > B. > = C. > > D. = >
【答案】D
【解析】
【分析】求出抛物线的对称轴为x＝1，抛物线开口向下，然后根据抛物线的增减性和对称性判断即可．
【详解】解：∵ ，a＝－1＜0，
∴对称轴为x＝1，抛物线开口向下，
的
∴ （3， ）， （5， ）在对称轴 右侧，y随x的增大而减小，
∵3<5，
∴ > ，
根据二次函数图象的对称性可知， （-1， ）与 （3， ）关于对称轴对称，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
6. 若 ，则锐角 的度数应是（ ）
A. B. C. D.【答案】C
【解析】
【分析】本题考查特殊三角函数值以及角度的计算知识点，解题的关键是牢记特殊角的正切函数值．
先根据特殊角的正切值得到 的度数，再计算出 的度数．
【详解】解：因为 ，已知 ， 为锐角，
∴ ，
则 ，
故选：C．
7. 如图，在 中， ，则 的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作 ，根据直角三角形的性质求出 ，根据勾股定理求出 ，根据勾股定理计算，得
到答案．
【详解】解：过点 作 ，交 的延长线于点 ，
，
，
，
，
，
由勾股定理得， ，
在 中， ，
故选： ．【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握含 的直角三角
形的性质、勾股定理是解题的关键．
8. 已知二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象和反比例函数
的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质以及反比例函数的图象与性质，先通过二次函数的图象确定 、 、 的正负，再利用 代入解析式，得到 的正负即可判定两个
函数的图象所在的象限，即可得出正确选项．
【详解】解：由图象可知：图象开口向下，对称轴位于 轴左侧，与 轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当 时，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于一、三象限；
故选：A．
9. 如图， 是 的中线，点 在 上，延长 交 于点 ，若 ，则 （
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作 ，构造相似三角形是解题的关键．
先利用三角形的中线的定义得到 ，过点E作 交 于G，再根据相似三角形的性质得
到 ，由 得到 ，最后由相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，∵BE是 的中线，
∴ ，
过点E作 交AD于G，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故选：C．
10. 正方形ABCD中，AB=4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP=PF，则 APF的面
积最大值为( ) △
A. 8 B. 6 C. 4 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据AP=PF得到点P在AF的垂直平分线上，过P作PG⊥AF，G为垂足，则AG=GF，DG=PG，
设DF=x，得到AG= ，GD=PG= ，利用三角形面积公式计算得到S = ，根据函数
APF
△
性质即可得到答案．
【详解】∵AP=PF，
∴点P在AF的垂直平分线上，
过P作PG⊥AF，G为垂足，则AG=GF，DG=PG，
设DF=x，则AG= ，
∴GD=PG= ，
∴S = ≤4，
APF
△
所以 APF面积最大值为4；
故选△：C．．
【点睛】此题考查正方形的性质，线段垂直平分线的判定及性质，二次函数的最值问题，正确引出辅助线
并设定未知数解决问题是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 已知 ，且 ，则 的值为___________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质、代数式求值等知识点，正确表示出各数是解题关键．
设 ，则 ，再进而利用 列一元二次方程求出x的值，进
而求得a的值即可．
【详解】解：设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ．
故答案为：12．
12. 已知二次函数 的图象与 轴只有一个公共点，则 的值是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 （ 是常数，）与 轴的交点坐标问题转化为解关于 的一元二次方程 决定抛物线与 轴的交点个数，由于
只有一个公共点，因此 ．
【详解】由于二次函数的图像与 轴只有一个公共点．
即
解得：
将 代入二次函数二次项系数中，得：
符合题意．
故答案为： ．
13. 在 中，若 ，则 __________．
【答案】 ##105度
【解析】
【分析】本题考查绝对值与平方数的非负性，特殊角的三角函数值以及三角形内角和定理知识点，解题的
关键是根据绝对值与平方数的非负性求出 和 的度数．
根据绝对值与平方数的非负性求出 和 的度数，再利用三角形内角和定理求出 的度数．
【详解】解：∵ ，
，
由 ，可得 ，因为 ，所以 ，由 ，可得 ，因为 ，所以 ，
根据三角形内角和定理，三角形内角和为 ，
在 中， ，
即 ．
故答案为： ．
14. 如图，在平面直角坐标系中．等边 的顶点A在第一象限，点 ．双曲线
把 分成两部分，若 ．
（1）双曲线与边 ， 分别交于 ， 两点， 的值为________．
（2）连接 ，则 的面积为________．
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，反比例函数系数 的几何
意义，三角形的面积．
（1）依据题意，作 轴于 ， 轴于 ，设 ，从而 ，再表示出
， ，从而可得 ，计算可以得解；
（2）依据题意，连接 ，作 轴于 ， 于 ，从而 ，进而 ，再结合题意得 ，故可得 ，又由 ，从而 ，最后可以计算
得解．
【详解】解：（1）如图，作 轴于 ， 轴于 ，
设 ，
．
在 中， ，
， ．
，
在 中， ，
， ．
又 ，
．
，
又 、 在 上，
．， ．
故答案为： ；
（2）如图，连接 ，作 轴于 ， 于 ．
∴ ，
∴ ，
，
由题意， ，
，
又由（1）得 ， ，
， ．
．
连接 ．
，
又 ，
．又 ，即 ，
．
．
．
．
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、二次根式的乘绝对值等知识点，牢记特殊角的三角函数值
成为解题的关键．
先根据殊角的三角函数值化简，然后根据二次根式和绝对值求解即可．
【详解】解：
．
16. 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点 （顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为 ．
（1）画出 关于y轴对称的 ；
（2）以点O为位似中心，在给定的网格中画出 ，使 与 位似，并且点 的坐标
为 ；
（3） 与 的相似比是____．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】此题主要考查了作图 位似变换，坐标与图形变化—轴对称，解题的关键是：
（1）根据轴对称的性质作出图形即可；
（2）利用点 和 的坐标特征得到位似比，再把 、 的横纵坐标都乘以2得到 、 的坐标，然后
描点即可；
的
（3）根据相似三角形 性质即可得到结论．
【小问1详解】解：如图所示： 即为所求；
【小问2详解】
如图所示： 即为所求；
【小问3详解】
， ，
与 的相似比 ，
故答案为： ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，延长平行四边形 一边 至点F，连接 交 于点E， ．
（1）若 ，求线段 的长；
（2）若 的面积为6，求平行四边形 的面积．【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了三角形的面积公式和平行四边形的性质
及面积公式．
（1）利用平行四边形的性质可以证明 ，然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解；
（2）利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可以求出 ，然后利用平行四边形的面积即可求
解．
【小问1详解】
解：∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ．
∴ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图，过点E作 于点M，交CF于点N．
∵ ，
∴ ．由（1）知 ，
∴ ．
∵ 的面积为6，
∴ ，即 ，
∴平行四边形 的面积 ．
18. 某无人机兴趣小组在操场上开展活动（如图），此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者
A的俯角为 ，测得点C处的俯角为 ．又经过人工测量操控者A和教学楼BC距离为57米，求教学
楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上．参考数据：
）
【答案】教学楼BC高约13米
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，构造直角三角形是解题关键．作
于点E，过点C作 于点F，由 求得 米，由 米
知 米，再根据四边形 是矩形知 米．由 知米，从而得 的长．
【详解】过点D作 于点E，过点C作 于点F．
∵ ，
∴四边形 是矩形．
由题意得， 米， 米， ．
在 中， ，
∴ ．
∴ 米，
∵ 米，
∴ 米，
∵四边形 是矩形，
∴ 米．
在 中， ，
∴ ．
∴ 米，
∴ （米）．答：教学楼 高约13米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 （a，b 为常数，且 ）与反比例函数
（m为常数，且 ）的图象交于点 、 ．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式．
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积．
（3）直接写出当 时，自变量x的取值范围．
【答案】（1） ，
（2）1.5 （3） 或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题．
（1）将A的坐标代入反比例函数求出m的值，然后将B的坐标代入反比例函数求出n的值，然后将A、B
两点的坐标代入一次函数解析式中即可求出答案．
（2）求出直线与y轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求出答案．
（3）根据图象即可求出x的取值范围．
【小问1详解】
将 代入 ，
∴ ，∴反比例函数的解析式为： ，
将 代入 ，
∴ ，
∴ ，
将 和 代入 ，
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为： ；
【小问2详解】
令 代入 ，
∴ ，
∴ ，
【小问3详解】
由图象可知：当y＜y 时， ，或
1 2
20. 已知抛物线 经过点 且与直线 的一个交点为 ．
（1）求 的值；
（2）判断抛物线 的顶点是否在直线 上；
（3）平移抛物线 ，使其顶点在直线 上，求平移后所得抛物线与 轴交点纵坐标的最大值．
【答案】（1）2 （2）抛物线 的顶点是否在直线 上
（3）
【解析】
【分析】（1）直接将 代入直线 求解即可；
（2）由（1）可得 ，将 、 代入 列方程组求得a、b的值，可求得抛
物线的解析式，然后画成顶点式确定顶点，最后代入直线 验证即可．
（3）设平移后的解析式为： ，由题意可得 ，即 ；令
，则有 ，然后配方运用二次函数的性质即可解答．
【小问1详解】
解：将 代入直线 可得： ．
【小问2详解】
解：由（1）可得： ，
将 、 代入 可得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的顶点坐标为 ；
当 时， ，则抛物线 的顶点在直线 上．
【
小问3详解】解：设平移后的解析式为： ，
∵平移后的解析式的顶点在直线 上，
∴ ，
∴ ，
令 ，则有 ，
∴当 时，平移后所得抛物线与 轴交点纵坐标的最大值为 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上的点、二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数求最值，
二次函数图象的平移等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗
的成本价为6元/ ，每日销售量y（ ）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有
关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于 元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）．
x（元/
7 8 9
）
y（ ）
（1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围）
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于 元？
【答案】（1）
（2）当销售单价定为 元时，日获利w最大，最大利润为 元（3）
【解析】
【分析】（1）设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式 ，将 ， ，代入
得， ，计算求解，进而可得结果；
（2）依题意得， ，由 ， ，可
知当 时，日获利w最大，最大利润为 元；
（3）令 ，则 ，可求 或 ，由 ，可得
，由 ，可得 ．
【小问1详解】
解：设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式 ，
将 ， ，代入得， ，
解得， ，
∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式 ；
【小问2详解】
解：依题意得， ，
∵ ， ，
∴当 时，日获利w最大，最大利润为 元；
【小问3详解】解：令 ，则 ，
解得， 或 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方
程的关系等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元
二次方程的关系是解题的关键．
七、（本题满分12分）
22. 在矩形 的 边上取一点E，将 沿 翻折，使C点恰好落在 边上点F处，且
．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2．当 ，且 时．求BC的长；
（3）如图3，作 的角平分线交 于点N，若 ， ．求 的值．
【答案】（1）
（2）（3）4
【解析】
【分析】（1）依据折叠即可得到 ；根据 ，可得出 ；
再根据矩形的性质以及折叠的性质，即可求出∠CBE的度数；
（2）先证明 ，可得出 ，依据 ，求出 的长度，进而
得到 、 的长度；再根据勾股定理求得 的长，依据相似三角形的性质求得 的长，即可得出
的长以及 的长．
（3）过点 作 于点 ，先证明 ，利用对应边成比例得出 ，再利用
角平分线的性质证明 ，利用勾股定理、结合全等三角形的性质建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵将 沿 翻折，使点C恰好落在 边上点F处，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
在
解：∵将 沿 翻折，使点C恰好落 边上点F处，
∴ ，又∵矩形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 ，且 时．
有 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【小问3详解】
解：如图，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
即 ，
解得： 或 （舍去），
∴ 的值为4．
【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，角平
分线的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相
等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图
形的作用．
八、（本题满分14分）
23. 平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线与y轴交于 ，与x轴交于B、C两点（C在B的
右侧），顶点坐标为 ．（1）求抛物线解析式；
（2）点 是抛物线上一动点，且位于直线 的上方，过点 作 的垂线交 于点 ，求 长度
的最大值；
（3）在直线 上是否存在点G，使得 ？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】（1）二次函数的解析式为 ；
（2） 的最大值为 ；
（3）点 的坐标为： 或 ．
【解析】
【分析】本题为二次函数综合题，涉及到二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰
三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
（1）根据顶点坐标为 ，设二次函数的顶点式为 ，由题意，将 代入解析
式得， ，即可求解；
（2）作 轴交 于点 ， 是等腰直角三角形，当 最大时， 最大，求得 关
于m的二次函数，根据二次函数的性质即可求解；
（3）当 ，则 ，即 ，进而求解．
【小问1详解】
解： 顶点坐标为 ，设二次函数的顶点式为 ，
抛物线与 轴交于 ，
，
解得， ．
二次函数的解析式为 ；
【小问2详解】
解：令 ，
．
或3．
抛物线与 轴的交点 ， ．
由 ， 得，直线 为 ．
作 轴交 于点 ，
设 ，则 ，
∵直线 与 轴夹角 ，
∴ 是等腰直角三角形，当 最大时， 最大．，
∵ ，
∴ 有最大值，最大值为 ，
∴ 最大值为 ；
的
【小问3详解】
解：存在，理由：
如图，当 ，
则 ，
即 ，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： ，
设点 的坐标为： ，
当 时，
即 ，
解得： ，
则点 ；当点 在点 的上方时，
则 ，设点 ，
则 ，
解得： （舍去）或 ，
则点 ，
综上，点 的坐标为： 或 ．
