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中考数学模拟卷
一、选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1. 有理数 的相反数是（ ）
A. B. 2024 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．掌握
只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
【详解】解： 的相反数是2024．
故选：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方及合并同类项，熟练掌握幂运算法则及合并同
类项得法则是解题的关键．根据幂运算法则及合并同类项法则，即可判断答案．
【详解】A、 ，所以A选项错误，不符合题意；
B、 ，所以B选项正确，符合题意；
C、 ，所以C选项错误，不符合题意；
D、 ，所以D选项错误，不符合题意；
故选：B．
3. 如图几何体的俯视图是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题 的关键．根据图形即可得到俯视图．
【详解】解：依题意，俯视图是
故选：C．
4. 2023年我国经济持续发展，国内生产总值达到126万亿元，同比增长 ．其中126万亿用科学记数
法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为
整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，
当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：126万亿 ，
故选：C．
5. 如图是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，那么该班40名同学一周参加体育锻
炼时间的众数、中位数分别是（ ）
A. 16，10.5 B. 8，9 C. 16，8.5 D. 8，8.5
【答案】B【解析】
【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．
【详解】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于20，21两个数的平均数，由中位数的定义可知，这组数据的中
位数是9；
故选：B．
【点睛】考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从
小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，
如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中
位数．
6. 将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行公理，平行线的性质．
过三角板直角顶点作 ，则 ，得出 ，根据 ，
即可求出 ．
【详解】解：根据题意可得 ，
过三角板直角顶点作 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：D．7. 下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质，反比例函数的性质，根据一次函数 的性
质： 时y的值随x值的增大而增大；反比例函数 性质： 时在 与 上y的值随x
值的增大而增大；二次函数 的性质：当 时y的值随x值的增大而增大；
直接逐个判断即可得到答案；
【详解】解：∵ 中 ，
∴ 时y的值随x值的增大而增大，故A不符合题意，
∵ 中 ，
∴在 与 上y的值随x值的增大而增大，故B不符合题意，
∵ 中， ，
∴y的值随x值的增大而增大，故C符合题意，
∵ 中， ，∴y的值随x值的增大而减小，故D不符合题意，
故选：C．
8. 新趋势·代数推理 已知整数a，b满足 ， ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. 0 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了有理数的加法，一元一次不等式的应用，得出 的取值范围是解题的关键．先得出
，根据 的取值范围即可得出 的取值范围，再结合已知进一步确定 的值，即可求出 的值，
从而求出 的值．
【详解】解： ，
，
又 ，
，
解得 ，
，
，
为整数，
，
，
，
故选：C．
9. 二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象可能是（ ）A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据抛物线对称轴为直线 推出 ，再根据当 时， ，得到 ，
由此即可得到答案．
【详解】解：∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵当 时， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、三、四象限，且与y轴交于 ，
故选B．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，正确推出 ， 是解题
的关键．
10. 如图，点 是 的对角线的交点， 的平分线 交 于点 ，
，连接 ．下列结论：① ；② 平分 ；③ ；④
；⑤ 其中正确的个数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性
质与判定，三角形中位线定理等等，求得 ，即 ，即可得到 ；根
据 ，可得 ，进而得出 平分 ；依据 中，
，即可得到 ；由三角形中位线定理可得 ， ，解直角三角形得
到 ，则 ，可得 ；证明 ，
得到 ， 则 ， 即可得到
．【详解】解：在 中，
， ， 平分 ，
，
是等边三角形，
，
是 的中点，
，
，
，即 ，
，故①正确；
，
，
，
故 平分 ，故②正确；
依据 中， ，即可得到 ，故③错误；
是 中点， 为 中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故⑤错误；
∴正确的有3个，
故选B．
二、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11. 分解因式：3x2﹣18x+27=________．
【答案】3（x﹣3）2
【解析】
【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解．
【详解】3x2-18x+27，
=3（x2-6x+9），
=3（x-3）2．
故答案为：3（x-3）2．
12. 如图， 经过正六边形ABCDEF的顶点A、E，则弧AE所对的圆周角 等于______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正六边形的性质求出 ， ，
，求出 ， ，求出 ，求出 ，根据圆周角定理即可求出答案．
【详解】解：连接AC、EC，
六边形ABCDEF是正六边形，
， ， ，
，
同理 ，
，
同理 ，
在四边形ACEF中， ，
，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了正多边形与圆、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形的内角和定理等知识.利用
辅助线并求出 的度数是解题的关键．
13. 如图，把一块直角三角板（ ）的直角顶点 放在坐标原点处，顶点 在函数 的图象上，顶点 在函数 的图象上，则 ＝________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数和锐角三角函数，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据 ，
为直角三角形，设 ，则 ，设 ，证得 ，根据三
角函数可得点 ，点 ，将两点坐标代入 和 即可
求得 ．
【详解】解：过点 、 分别作 轴于点 ， 轴于点 ，如图所示，
， 为直角三角形，设 ，
，
设 ，，
，又 ，
，
在 中， ， ，
点 ，
在 中， ， ，
点 ，
点 在 上，
，得 ，
点 在 上，
，
．
故答案为：3．
14. 如图，在 中， ， ， ，点 是 的中点，点 是边 上一
动点，沿 所在直线把 翻折到 的位置， 交 于点 ，连接 ．
（1） 的最小值是________；（2）若 为直角三角形，则 的长为________．
【答案】 ①. ②. 1或
【解析】
【分析】（1）找到点 的运动轨迹，用三角形三边关系确定 的最小值即可；
（2）分两种情形画出图形，构造直角三角形用勾股定理解决问题．
【详解】解：（1）由题意可得， ，
在以 为圆心 为半径的圆上，如图一所示：
在点 运动过程中，在 中，由三边关系得，
，
在变化过程中， 和 保持不变，
故 的最小值为 ，即如图二所示：
在 中， ， ，
， ，
，在 中， ， ，
，
故 的最小值为 ．
为
（2） 直角三角形，分两种情况：
① ，
在 中， ， ，
，
设 ， ，
在 中， ， ， ，
，
解得，
即 ．
② ，过 点作 交 的延长线与 点，如图四所示：由折叠的性质可知， ，
，
，
，
设 ，
在 中， ， ，
在 和 中
，
在 中， ， ， ，
，
解得： ．
综上， 的长是1或 ．
【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是看出运动点的轨迹，学会分类讨论的思想解决问题．
三、（共2小题，满分16分，每小题8分）
15. 计算： ．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式，零次幂以及特殊的三角函数值，熟练掌握计算法则是解题的关键．根据
计算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
16. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载:“今有甲、乙二人，持钱各不知数.甲得乙中半，
可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八．问甲、乙二人原持钱各几何?”译文:“甲，乙两人各有若干钱，
如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文，如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱48文，问
甲、乙二人原来各有多少钱?”
【答案】甲原来有36文钱，乙原来有24文钱
【解析】
【分析】设甲原有x文钱，则乙原有2(48-x)文钱，根据题意可得甲所有钱 +乙的钱=48文钱，据此
的
列方程可得.
【详解】解：设甲原有x文钱，则乙原有2(48-x)文钱，
根据题意，得： x+2(48-x)=48，
解得x=36，
则2(48-x)=24，
答：甲原来有36文钱，乙原来有24文钱．
故答案为甲原有36文钱，乙原有24文钱.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
四、（共2小题，满分16分，每小题8分）
17. 某校数学兴趣小组一次综合实践活动中，利用无人机测量一个池塘的宽度．如图，无人机在距离地面
的铅直高度为 米的 处测得池塘左岸 处的俯角为63.4°，无人机沿水平线 方向继续飞行12米
至 处，测得池塘右岸 的俯角为30°．求池塘的宽度 （结果精确到1米，参考数据： ，
， ， ）．
【答案】池塘的宽度 约为64米
【解析】
【分析】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键．
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，分别解 、 即可．
【详解】解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．
则四边形 是矩形．
在 中，在
中，
，
米
答：池塘的宽度 约为64米．
18. 如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中， 的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将 先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，得到 ，请画出 （其中
的对应点分别为 ， ， ）；
（2）再将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，请画出线段 ；
（3）在网格内描出两个格点 ，请画出直线 ，使得直线 垂直平分线段 ．【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，线段垂直平分线的性质，熟练掌握平移变换的性质、旋
转变换的性质是解此题的关键．
（1）利用平移变换的性质分别作出 的对应点 ， ， ，再顺次连接即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出 的对应点 ，即可得出答案；
（3）根据线段垂直平分线的性质画出得直线 即可．
【小问1详解】
解：如图， 即为所作，
；
【小问2详解】
解：如图， 即为所作，
；
【小问3详解】
解：如图，直线 即为所作，．
五、（共2小题，满分20分，每小题10分）
19. 观察以下等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式：________；
（2）写出你猜想的第 个等式：________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字类变化规律，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据题目中所给式子的规律写出第5个等式即可；
（2）先得出规律 ，再分别计算等式左右两边，看是否相等，即可得出答案．【小问1详解】
解：∵第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
∴第5个等式为： ，即 ；
【小问2详解】
解：由（1）可得： ；
证明：左边 ，
右边 ，
左边 右边，即 成立．
20. 如图1， 为 的直径，弦 于点 ，且 为弧 的中点， 交 于点 ，若
．（1）求半径的长；
（2）如图2，连接 ，求证： ．
【答案】（1）5 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）连接 ，根据垂径定理得 ，再根据勾股定理建立方程求解即可得出答案；
（2）连接 ， ，根据圆周角定理及等边对等角得出 ，再利用 证明 ，
然后根据全等三角形的性质得出 ，最后根据三角形的三线合一即可得证．
【小问1详解】
如图1，连接 ，
为 的直径，弦 于点 ，
，为弧 的中点，
，
，
即 ，
，
，
设半径 ，则 ，
，
，
，
故半径的长为 ．
【小问2详解】
如图2，连接 ， ，
，
，
，
在 和 中，，
，
，
，
．
六、（本题满分12分）
21. 深化素质教育，促进学生全面发展，合肥市50中开展了丰富多彩的社团活动．为了了解七年级新生对
选择社团的意向，对该校600名七年级新生进行了抽样调查．
调查问卷
1．你最喜欢的社团 （单选）
A．机器人社团 B．足球、篮球社团 C．模拟联合国 D．民乐社
团
秦奋同学根据有效问卷绘制了如图所示的两幅统计图（不完整），请根据图中信息，解答下列问题：
（1）求扇形统计图中 的值，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“B．足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为 ；
（3）在社团招新生时，七（2）班的甲同学从他喜欢的A．机器人社团、B．足球、篮球社团、C．模拟联
合国中随机选择了一个社团，乙同学也从他喜欢的A．机器人社团、C．模拟联合国、D．民乐社团中随机
选择了一个社团，求他们进入了同一社团的概率．
【答案】（1） ＝20，见解析
（2）144° （3）
【解析】【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解扇形的圆心角，利用画树状图求解随机事件的
概率，掌握以上基础知识是解本题的关键；
（1）由C类人数除以其占比可得总人数，再求解A类人数，补全图形即可；
（2）由B类的占比乘以 即可得到圆心角；
（3）先画树状图得到所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可．
【小问1详解】
解：总人数 （人）．
A类人数 （人）．
∵ ，
∴ ；
条形统计图如图：
．
【小问2详解】
∵ ，
∴“B．足球、篮球社团”部分所占圆心角的度数为 ；
【小问3详解】
画树状图如下：
共有9种等可能结果，其中甲乙进入同一社团的有2种结果．
所以 （甲乙进入同一社团） ．七、（本题满分12分）
22. 四边形 的两条对角线 ， 相交于点O， ．
（1）如图1，已知 ．
①求证： ；
②若 ，求 的值；
（2）如图2，若 ， ， ，求 的值．
【答案】（1）①见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）过 作 于 ，交 于 ，①根据平行线的判定得出 和 平行，再根据
等腰三角形的性质即可求解；②根据平行线分线段成比例，求出 和 的比，再根据中位线定理得出
和 的关系，从而得解；
（2）延长 到 ，使得 ，连接 ，根据三角形全等得出 ，从而求得 和
的关系，再根据勾股定理求出 和 的关系，从而得解．
【小问1详解】
解：过 作 于 ，交 于 ，如图：①证明：设 ，
，
，
， ，
，
，
；
②解： ， 为 中点，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：延长 至 ，使得 ，连接 ，如图：
， ，
，，
，
又 ，
．
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
为等腰直角三角形，
，即， ，
，
，
．
在直角 中． ，
．
【点睛】本题主要考查了相似形综合题，合理运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、
勾股定理以及等腰直角三角形的判定与性质是本题解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于 ．
（1）若点 的坐标为 ．①求抛物线的函数表达式；
②点 为该抛物线上一动点，过点 且与 轴垂直的直线交线段 于 ，交 轴于 ．若 ，
求点 的横坐标；
（2）设 ，经过 ， 两点的直线为 ，当 为何值时，函数 取最大值？
【答案】（1）① ；②
（2）当 时，函数 取最大值
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握
以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）①利用待定系数法求解即可；②先求出 所在直线的函数表式，设 ，则
， ，结合 求解即可；
（2）根据点 和 的坐标结合对称轴得出 和 的关系，从而得出 和 的关系，再根据直线经过 和 ，
求出 和 的关系，代入要求得二次函数对称轴中，即可求解．
【小问1详解】
解：①由题意得， ，又抛物线过 ， 两点，
，
解得 ，
抛物线的函数表达式为 ；
②设 所在直线的表达式为 ，
将 ， 代入解析式得 ，解得： ，
∴ 所在直线的函数表式为 ，
设 ，则 ，且 ，
，
，
，
解得 ，
即点 的顺坐标为 ；
【小问2详解】
解： ，
拋物线过 ， 两点，
该抛物线的对称轴为直线 ，
，即 ．
，
∴当 时，函数 有取大值，
直线 过 ， 两点，
，
∴ ，
又抛物线过点 ，
，，
，
当 时，函数 取最大值．
