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跟踪训练 04 椭圆
一．选择题（共15小题）
1．直线 与椭圆 的一个交点坐标为
A． B． C． D．
【解答】解：联立 ，可得 ，解得 或 ，
当 时， ；当 时， ；
所以直线与椭圆的交点坐标为 ．
故选： ．
2．已知椭圆 的左焦点是 ，过 的直线 与圆： 交于
， 两点，则 的长为
A． B． C．2 D．
【解答】解：由题意可得 ，则过 的直线 ．
圆： 的圆心 ，半径为2，
直线 与圆： 交于 ， 两点，则 ．
故选： ．
3．已知椭圆 的离心率为 ，则 的长轴长为
A． B． C． D．4
【解答】解： 椭圆 的离心率为 ，
，解得 ，
故椭圆 的长轴长为 ，
故选： ．
4．已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，且 ，则点
到 轴的距离为
A． B． C． D．
【解答】解：由椭圆可得 ， ， ，
， ，
，故 ．
在△ 中， ，
，且 ，，
设 的坐标为 ， ，且 ，
， 点 到 轴的距离为 ．
故选： ．
5．椭圆 的长轴长为
A． B． C．4 D．2
【解答】解：椭圆 ，则 ，
椭圆 的长轴长为 ，
故选： ．
6．国家体育场（鸟巢），是2008年北京奥运会的主体育场．在《通用技术》课上，王老
师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同
扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，小椭圆的短轴长为
，则小椭圆的长轴长为 ．A．30 B．20 C． D．10
【解答】解：扁平程度相同的椭圆，即离心率相等，
大椭圆 ，离心率为 ，
小椭圆 ，离心率 ，解得 ，故长轴长为20．
故选： ．
7．椭圆 的焦距是
A． B． C．4 D．8
【解答】解：椭圆 中， ， ，故 ，
所以椭圆 的焦距是 ．
故选： ．
8．已知点 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 在此椭圆上，则△ 的周
长等于
A．16 B．20 C．18 D．14
【解答】解：椭圆 的长半轴长 ，短半轴长 ，半焦距 ，
由椭圆定义知 ，焦距 ，
所以△ 的周长等于 ．
故选： ．
9．若过椭圆 内一点 的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为A． B． C． D．
【解答】解：设该弦所在的直线方程与椭圆 交于 、 两点，
且 ， ， ， ，
则 ， ，
则 ，①
，②
① ②得： ，
则 ，
即该弦所在的直线方程为： ，
即 ，
故选： ．
10．2022年10月7日21时10分，中国太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射
运载火箭，采用“一箭双星”方式，成功将微厘空间北斗低轨导航增强系统 试验卫
星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，其中的“地球同步转移轨
道”是一个以地心（地球的中心） 为一个焦点的椭圆，如图，已知它的近地点（离地面
最近的点） 距地面 天文单位，远地点（离地面最远的点） 距地面 天文单位，并且
， ， 在同一直线上，地球半径约为 天文单位，则卫星轨道的离心率为A． B． C． D．
【解答】解：设椭圆方程为 ，由题意得 ， ，
则椭圆长轴长为 ，即 ，
设椭圆的左焦点为 由对称性可知， ，
由椭圆定义可知， ，
即离心率为 ．
故选： ．
11．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲
面）的一部分．过对称轴的截口 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 上，片
门位于另一个焦点 上．由椭圆的一个焦点 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到
另一个焦点 ．已知 ， ， ．若透明窗 所在的直线与截口
所在的椭圆交于一点 ，且 ，则△ 的面积为A．2 B． C． D．5
【解答】解：由 ，得 ，
则椭圆长轴长 ，由点 在椭圆上，得 ，
又 ， 则
，
因此 ，所以△ 的面积为 ．
故选： ．
12．已知椭圆 ，直线 ，则椭圆 上的点到直线 的距离的最大
值是
A． B． C． D．
【解答】解：椭圆 和直线 ，
设椭圆上的点 ，
椭圆上的点 到直线 的距离：
，其中 ，当 时，椭圆上的点到直线 的距离取最大值： ．
故选： ．
13．已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，若
，则椭圆 的离心率为
A． B． C． D．
【解答】解：由 ，椭圆 ，
作出椭圆图象如图：
则 ， ， ．
由题意可得： ，
，
， ．
（负值舍去）．
故选： ．
14．方程 ，化简的结果是A． B．
C． D．
【解答】解：方程 ，
表示平面内到定点 、 的距离的和是常数 的点的轨迹，
它的轨迹是以 、 为焦点，长轴 ，焦距 的椭圆，
， ， ；
椭圆的方程是 ．
故选： ．
15．椭圆 的左顶点为 ，点 ， 均在 上，且关于 轴对称．
若直线 ， 的斜率之积为 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
【解答】解：由题可得 ，设 ， ， ， ．
则 ，
而 ，可得： ，
所以 ，
所以离心率 ．故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在 上（异于左右顶点），
记△ 的面积为 ，则
A．当 时，
B． 的取值范围为 ，
C．△ 的面积的最大值为
D．椭圆 上有且只有4个点 ，使得△ 是直角三角形
【解答】解：设 ， ，由余弦定理可得 ，则有
，
所 以 ， 则 ， ，
，所以 不正确；
故点 在 上（异于左右顶点），设 ， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，所以
正确；
△ 的面积的最大值： ，所以 正确；因为以 为直径的圆与椭圆没有公共点，椭圆 上有且只有4个点 ，使得△ 是
直角三角形，所以 正确．
故选： ．
17．已知直线 经过椭圆 的一个焦点 ，且与 交于不同
的两点 ， ，椭圆 的离心率为 ，则下列结论正确的有
A．椭圆 的短轴长为
B．弦 的最小值为3
C．存在实数 ，使得以 为直径的圆恰好过点
D．若 ，则
【解答】解：依题意可知，直线 经过定点 ，所以 ．
又椭圆 的离心率为 ，所以 ，则 ，
所以椭圆 的短轴长为 ，所以 选项不正确；
当 时，弦 即为椭圆的一条通径，且 ，所以 选项正确；
椭圆 的长轴长为 ，所以 ， ，当 最短时，
此时点 在以 为直径的圆外，
当 趋近于4时，点 在以 为直径的圆内，
因此，存在实数 ，使得以 为直径的圆恰好过点 ，所以 选项正确；
由 ，得 ，设 ， ， ， ，则 ，联立 整理得 ，
△ 恒成立，则 ， ．
因为 ，所以 ，
解得 ，所以 选项正确．
故选： ．
18．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角
坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与
半圆的直径重合．若直线 与半圆交于点 ，与半椭圆交于点 ，则下列结论正
确的是
A．椭圆的离心率是
B．线段 长度的取值范围是
C． 面积的最大值是
D． 的周长不存在最大值【解答】解：由题意得半圆的方程为 ，
设椭圆的方程为 ，
，
，
椭圆的方程为 ，
对于 ，椭圆的离心率是 ，故 正确，
对于 ，当 时， ；当 时， ，
所以线段 长度的取值范围是 ，故 错误，
对于 ，由题得 面积 ，
设 ， ，
，
，
设 ， ，
，
，
，
，当且仅当 时等号成立，故 正确，
对于 ， 的周长 ，
令 ，
易知函数 在 上单调递减，
所以当 时， 的周长最大，但是 不能取零，
所以 的周长没有最大值，故 正确．
故选： ．
19．已知椭圆 与椭圆 ，则
A． B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等
【解答】解：椭圆 ，
则其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为 ；
椭圆 ，
则 ，
即 ，
其长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为8，离心率为 ，
故选： ．
20．已知 是椭圆 上的动点， 是圆 上的动点，则
A．椭圆 的焦距为 B．椭圆 的离心率为C．圆 在椭圆 的内部 D． 的最小值为
【解答】解：因为椭圆方程为： ，
所以 ，焦距为 ，故 错误， 正确；
由 ，得 ，
因为△ ，
所以椭圆与圆无公共点，又圆心 在椭圆内部，
所以圆在椭圆内部，故 正确；
设 ， ，
则 ，
当 时， 取得最小值 ，则 的最小值为 ，故 错误，
故选： ．
三．填空题（共5小题）
21．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过点 且倾斜角为
的直线 与 交于 ， 两点．若△ 的面积是△ 面积的2倍，则 的离心
率为 ．
【解答】解：如图，由△ 的面积是△ 面积的2倍，可得 ，不妨设 ， ， ，则 ， ，
在△ 中， ，由 ，
得 ，整理得 ①，
在△ 中， ，由 ，
得 ，整理得 ②，
① ② 得 ，将该式代入②，
整理得 ，即 ，
故 的离心率为 ，
故答案为： ．
22．如图，已知 是椭圆 的左焦点， 为椭圆的下顶点，点 是椭圆上任意一
点，以 为直径作圆 ，射线 与圆 交于点 ，则 的取值范围为 ，
．【解答】解：设 为椭圆的右焦点，
因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ， ，
，
所以 的轨迹是以 为圆心，以2为半径的圆， 在圆内，
所以 的最小值为 ，最大值为 ，
故 的取值范围为 ， ．
故答案为： ， ．
23．椭圆 的焦点为 ， ，点 在椭圆上，若 ，则 等于 4 ．
【解答】解：因为 ， ，所以 ．
故答案为：4．
24．某休闲广场呈椭圆形，在该椭圆的两个焦点及中心处分别安装有三盏景观灯 ， ，
，其中灯 位于灯 的正东 处．小王沿着该休闲广场的边沿散步，在散步的过程中，他与灯 的最短距离为 ．当小王行走到点 处时，他与灯 ， 的距离之比为
，则此时他与灯 的距离为 ．
【解答】解：不妨以点 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，
不妨设椭圆的方程为 ， ，
因为小王与灯 的最短距离为 ，
所以 ，①
又 ，②
联立①②，解得 ， ，
因为点 与灯 ， 的距离之比为 ，
不妨设点 与灯 ， 的距离分别为 ， ， ，
由椭圆的定义知 ，
解得 ，
所以 ， ，
此时 ，
又 ，
可得 ，
所以 ，
则此时小王与灯 的距离为 ．
故答案为： ．
25．已知椭圆 ，斜率为 的直线 交椭圆于 ， 两点．若 的中点坐标为 ，试写出椭圆 的一个标准方程 （答案不唯一） ．
【解答】解：设点 ， ， ， ，
则 ，两式作差得 ，
整理可得 ，
因为线段 的中点为 ，
可得 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，故可设 ，
此时椭圆 的方程为 ．
故答案为： ．（答案不唯一）
四．解答题（共3小题）
26．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的焦点为 ， ，且满足_____，
椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，右顶点为 ，直线 过点 且垂直于 轴．现有如下
两个条件分别为：
条件①：椭圆过点 ，条件②：椭圆的离心率为 ．
请从上述两个条件中选择一个补充在横线上，并完成解答．
（1）求椭圆 的标准方程；（2）若点 在椭圆 上（且在第一象限），直线 与 交于点 ，直线 与 轴交于
点 ．试问： 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 若 选 ① ： 易 知 椭 圆 长 轴 长
，
所以 ，
而短半轴长 ，
所以椭圆 的方程为 ；
若选②：易知 ，
若椭圆 的离心率 ，
此时 ，
而 ，
则椭圆 的方程为 ；
（2）由（1）知 ， ， ，
不妨设 ， ， ， ，
因为点 在椭圆 上（且在第一象限），所以 ，
此时直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，直线 的方程为
，
可得 ， ，
易知点 在 轴上方，
所以 ， ，
则 ，
故 为定值，定值为2．
27．椭圆 的中心为坐标原点，坐标轴为对称轴，左、右顶点分别为 ， ，
点 在椭圆 上．
（1）求椭圆 的方程．
（2）过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点（异于点 ， ，记直线 与直线
交于点 ，试问点 是否在一条定直线上？若是，求出该定直线方程；若不是，请说
明理由．
【解答】解：（1）设椭圆 的方程为 ，
因为椭圆的左右顶点分别为 ， ，点 在椭圆上，所以 ，解得 ，
故椭圆 的方程为 ．
（2）依题可设直线 的方程为 ， ， ， ， ， ， ，
联立方程组 ，整理得 ，
所以 ， ，
所以 ，
直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
联立方程组 ，解得 ，
所以 ．
故点 在定直线 上．28．已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若椭圆 的上顶点为 ，过 的两条直线 ， 分别与 交于异于点 的 ， 两
点，若直线 ， 的斜率之和为 ，试判断直线 是否过定点？若是，求出该定点；若
不是，请说明理由．
【解答】解：（1）因为椭圆 的离心率为 ，
所以 ，①
因为点 在椭圆 上，
所以 ，②
又 ，③
联立①②③，解得 ， ， ，
则椭圆 的方程为 ；
（2）易知直线 的斜率存在，
不妨设直线 的方程为 ， ， ， ，
又 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
由韦达定理得 ， ，所以
，
所以 ，
此时直线 的方程为 ，
故直线 恒过定点 ．
