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8.1&8.2二元一次方程（组）及消元法解二元一次方程组
二元一次方程（组）
二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫
做二元一次方程．
二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元
一次方程组.
注意：二元一次方程满足的三个条件：
（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.
（2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1.
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.
{3x+1=0¿¿¿¿
（4）而组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一
次方程组.
题型1：二元一次方程（组）的概念
y
1.下列方程：①x+y=1；②2x- =1；③x2+y2=1；④5（x+y）=7（x-y）；
2
1
⑤x2=1；⑥x+ =4，其中是二元一次方程的是（ ）
2
A．① B．①③ C．①②④ D．
①②④⑥
【答案】C
y
【解析】【解答】解： ①x+y=1是二元一次方程；②2x- =1，是二元一次方程；
2
③x2+y2=1，是二元二次方程；④5（x+y）=7（x-y），化简得12y-2x=0，是二元一次
1
方程；⑤x2=1是一元二次方程；⑥x+ =4， 是一元一次方程；
2
综上， ①②④ 是二元一次方程.
故答案为：C.【分析】 如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知项的次数都为1次，那么这个整式方程
就叫做二元一次方程，根据定义分别判断即可.
【变式1-1】（2022春•保山期末）若xm﹣2n﹣ym+n﹣3＝2022是关于x，y的二元一次方
程，则m，n的值分别是（ ）
A．m＝3，n＝1 B．m＝0，n＝1 C．m＝2，n＝1 D．m＝2，n＝3
【分析】根据二元一次方程的定义，列出关于m、n的方程组，然后解方程组即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得： ．
故选：A．
【点评】主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有
2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
【变式1-2】（2022春•宾阳县期末）若4xa+b﹣3ya﹣b+2＝2是关于x，y的二元一次方程，
则a+b的值为（ ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据二元一次方程的定义得到a+b＝1，a﹣b+2＝1，易得到a＝0，b＝1，然
后代入a+b中计算即可．
【解答】解：根据题意得a+b＝1，a﹣b+2＝1，
解得a＝0，b＝1，
所以a+b＝0+1＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含未知数项的次数为
1的整式方程叫二元一次方程．
【变式1-3】（2022春•永年区校级期末）下列方程组是二元一次方程组的有（ ）
① ；② ；③ ；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．
【解答】解：经过观察可发现方程组③有三个未知数，不是二元一次方程组，方程
组①②④都是二元一次方程组，共有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组，利用二元一次方程组的定义是解题关键．二元
一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次
方程组．【变式1-4】（2022春•兴文县期中）已知关于x，y的方程组 是二元一次
方程组，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．2或﹣2 C．﹣3 D．3或﹣3
【分析】根据组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最
高次数都应是一次的整式方程解答．
【解答】解：由题意可得： ，
解得：m＝﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查的是二元一次方程组的定义，解答时，一定要紧扣二元一次方程组
的定义：组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次
数都应是一次的整式方程．
二元一次方程（组）的解
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程
的一组解；二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
注意：
(1)二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如：
．
(2)一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．
(3)二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写
成 的形式．
(4)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组 无
解，而方程组 的解有无数个．
题型2：二元一次方程（组）的解
5
{ x=-
{x=-4 { x=0 { x=1 8
2在① ,② ；③ ；④ 这四组数中，为方程
y=-11 y=-1 y=-5 9
y=-2
16
5
3x+2y=-7的解的是 ，为方程 x-y=1的解的是 .上述两个方程
2的公共解是 .（填序号）
【答案】③④；①②④；④
5 5
【解析】【解答】解： ①∵ 3x+2y=3×（-4）+2×（-11）=-34≠-7， x-y = ×
2 2
（-4）-（-11）=1，
{x=-4 5
∴ 是方程 x-y=1的解；
y=-11 2
5 5
②∵ 3x+2y=3×0+2×（-1）=-2≠-7， x-y= ×0-（-1）=1，
2 2
{ x=0 5
∴ 是方程 x-y=1的解；
y=-1 2
5 5 15
③∵ 3x+2y=3×1+2×（-5）=-7， x-y = ×1-（-5）= ≠1，
2 2 2
{ x=1
∴ 是方程3x+2y=-7的解；
y=-5
5 9 5 5 5 9
④∵ 3x+2y=3×（- ）+2×（-2 ）=-7， x-y=1 = ×（- ）-（-2 ）=1，
8 16 2 2 8 16
5
{ x=-
8 5
∴ 是3x+2y=-7的解，也是方程 x-y=1的解 ；
9 2
y=-2
16
5
综上， ③④ 是方程3x+2y=-7 的解； ①②④ 是 方程 x-y=1的解 ；④是两个方
2
程的公共解.
故答案为：③④ ，①②④，④.
【变式2-1】（2022秋•惠来县期末）若 是关于x，y的方程x+my＝13的一个解，
则m的值是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣8 D．8
【分析】根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于m的一元一次方程，根据
解方程，可得答案．
【解答】解：把 代入方程x+my＝13，得
3﹣2m＝13，
解得m＝﹣5．
故选：A．【点评】本题考查了二元一次方程的解，把方程的解代入方程得出一个关于m的一元一
次方程是解题关键．
【变式2-2】（2023春•东阳市月考）二元一次方程x+2y＝5的正整数解有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．无数组
【分析】求出x＝5﹣2y，根据x、y为正整数得出5﹣2y＞0，求出y ，再求出y＝
1和2即可．
【解答】解：x+2y＝5，
x＝5﹣2y，
∵x、y都是正整数，
∴5﹣2y＞0，
即y＜ ，
∴y只能为1和2，
∴当y＝1时，x＝3，
当y＝2时，x＝1，
即方程的解有 和 两组，
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，能求出y只能为1和2是解此题的关键．
{2x-3 y=-8
【变式2-3】（2021七上·苏州期末）在下列各组数中，是方程组 的解
x+2y=3
的是（ ）
{x=2 {x=-3 {x=1 {x=-1
A． B． C． D．
y=4 y=1 y=1 y=2
【答案】D
{2x-3 y=-8①
【解析】【解答】解：∵
x+2y=3②
{x=2
∴把 代入方程①得： 2×2-3×4=-8 ，代入②得：
y=4
2+2×4=10≠3 ，所以该解不是方程组的解，故A选项不符合题意；
{x=-3
把 代入方程①得： 2×(-3)-3×1=-9≠-8 ，代入②得：
y=1
-3+2×1=-1≠3 ，所以该解不是方程组的解，故B选项不符合题意；
{x=1
把 代入方程①得： 2×1-3×1=-1≠-8 ，代入②得： 1+2×1=3
y=1，所以该解不是方程组的解，故C选项不符合题意；
{x=-1
把 代入方程①得： 2×(-1)-3×2=-8 ，代入②得：
y=2
-1+2×2=3 ，所以该解是方程组的解，故D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】把A、B、C、D选项的各对数值，分别代入方程组中的每一个方程，进行
验证，使方程组中的方程都成立的一对数值就是方程组的解，据此进行判断.
题型3：二元一次方程（组）的解与含参问题
3.（2023春•东阳市月考）方程组 的解为 ，则被△和▽遮盖的两个
数分别为（ ）
A．﹣10，6 B．2，﹣6 C．2，6 D．10，﹣6
【分析】首先把x＝﹣2代入x﹣y＝4，求出y的值，然后把x、y的值代入2x﹣y＝
△，求出△的值即可．
【解答】解：∵方程组 的解为 ，
∴﹣2﹣y＝4，
解得：y＝﹣6，
∴▽＝﹣6，
∴Δ＝2×（﹣2）﹣（﹣6）＝2，
∴被△和▽遮盖的两个数分别为2，﹣6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的解的含义和应用，解答此题的关键是求出y
的值．
【变式3-1】（2022秋•鼓楼区校级期末）已知关于 x，y的方程组 ，若
方程组的解中x恰为整数，m也为整数，则m的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣1或3 D．﹣1或﹣3
【分析】利用加减消元法解关于x、y的方程组得到 ，利用有理数的整除性得
到2+m＝±1，从而得到满足条件的m的值．
【解答】解： ，
①+②得（2+m）x＝1，解得 ，
∵x为整数，m为整数，
∴2+m＝±1，
∴m的值为﹣1或﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共
解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组．
{x=-3,
【变式3-2】若方程6kx-2y=8 有一解 则 k 的值等于（ ）
y=2,
1 1 2 2
A．- B． C． D．-
6 6 3 3
【答案】D
{x=-3
【解析】【解答】解：将 代入方程6kx-2y=8，
y=2
得-18k-4=8，
2
解得，k= - .
3
故答案为：D.
{x=-3
【分析】根据方程的解定义，将 代入方程，得到关于k的一元一次方程，
y=2
再解一元一次方程即可求出k值.
{2x+ y=● {x=5
【变式3-3】小亮解方程组 的解为 ，由于不小心，滴上了两滴
2x- y=12 y=★
墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数，则★= .
【答案】-2
【解析】【解答】解：把x=5代人2x-y=12，得2×5-y=12，解得y=-2，∴★为-2.
故答案为：-2.
【分析】根据题意，把x=5代人方程2x-y=12中，得出一个关于y的一元一次方程求
解，即可解答.
题型4：根据实际问题列方程组
4.（2022秋•城阳区校级期末）某工厂去年的总利润（总收入﹣总支出）为 200万
元．今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的总利润为400
万元．设去年的总收入为 x 万元、总支出为 y 万元，根据题意可列方程组
．
【分析】设去年的总收入为x万元、总支出为y万元，根据去年的利润（总收入﹣总
支出）为200万元，今年的利润为400万元，列方程组即可．
【解答】解：设去年的总收入为x万元、总支出为y万元，由题意得， ，
故答案为： ．
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设
出未知数，找出等量关系，列出相应的方程组．
【变式4-1】（2022秋•丹东期末）2022年第22届世界杯足球赛在卡塔尔举行．球迷小
李在网上预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共5张，总价为21200元，其中小组赛
门票每张2800元，决赛门票每张6400元，若设小李预定了小组赛门票x张，决赛门
票y张，根据题意可列方程组为 ．
【分析】利用总价＝单价×数量，结合预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共5张且
共花费21200元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵球迷小李在网上预定了小组赛和决赛两个阶段的门票共5张，
∴x+y＝5；
∵预定门票共花费21200元，且小组赛门票每张2800元，决赛门票每张6400元，
∴2800x+6400y＝21200．
∴根据题意可列方程组 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元
一次方程组是解题的关键．
【变式4-2】（2023•市北区校级开学）若一艘轮船沿江水顺流航行120km需用3小时，
它沿江水逆流航行60km也需用3小时，设这艘轮船在静水中的航速为xkm/h，江水的
流速为ykm/h，则根据题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“顺流航行 120km需用3小时，它沿江水逆流航行 60km也需用3小
时”建立方程，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，得 ．
故选：B．
【点评】此题是由实际问题抽象出二元一次方程组，主要考查了水流问题，找到相等关
系是解本题的关键．【变式4-3】（2023春•九龙坡区校级月考）六十载春华秋实，一甲子桃李芬芳.2023年
10月，重庆外国语学校即将迎来六十华诞，学校决定面向全校学子征集60周年校庆
标识、吉祥物设计方案．初一年级某班准备了若干盒巧克力奖励给本班投稿的同学，
若每3位同学奖励一盒巧克力，则少2盒；若每4位同学奖励一盒巧克力，则又多了
2盒．设该班投稿的同学有x人，巧克力有y盒，依题意得方程组（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“若每3位同学奖励一盒巧克力，则少2盒；若每4位同学奖励一盒巧
克力，则又多了2盒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵每3位同学奖励一盒巧克力，则少2盒，
∴x＝3y+3×2；
∵每4位同学奖励一盒巧克力，则又多了2盒，
∴x＝4y﹣4×2．
∴依题意得方程组 ．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二
元一次方程组是解题的关键．
代入消元法
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消
元法，简称代入法．
注意：
(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另
一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．
(2)代入消元法的技巧是：
①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求
解；
②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变
形比较简便；
③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变
形比较简便．
题型5：代入消元法解二元一次方程组
5.由2x+3y﹣6＝0可以得到用x表示y的式子为（ ）2 2 2
A．y=- x-2 B．y= x-2 C．y= x+2 D．
3 3 3
2
y=- x+2
3
【答案】D
【解析】【解答】解：∵2x+3y﹣6＝0，
∴3y=﹣2x+6，
2
∴y=- x+2 ，
3
故答案为：D.
【分析】先移项，将含x的项及常数项移到方程的右边，再将y的系数化为1即可.
{ x=3-m
【变式5-1】若 ，则y用只含x的代数式表示为（ ）
y=1+2m
A．y=7-2x B．y=2x+7 C．y=-2x-5 D．
y=2x-5
【答案】A
{ x=3-m①
【解析】【解答】解：
y=1+2m②
由①得：
m=3-x③
把③代入②得
y=1+2（3-x）=7-2x.
故答案为：A.
【分析】由①得，用含x的代数式表示出m，再将m的值代入方程②，然后用含x
的代数式表示出y.
{3x-5 y=3①
【变式5-2】解方程组 时把②代入①，计算结果正确的是（ ）
y=3x-1②
A．3x-15x+1=3 B．3x-15x+5=3
C．3（3x-1）-5y=3 D．3x-15x-5=3
【答案】B
【解析】【解答】解：把②代入①得
3x-5（3x-1）=3即3x-15x+5=3.
故答案为：B.
【分析】把②代入①可得到3x-5（3x-1）=3，再去括号，可求解.
{2a-3b=13 {a=8.3
【变式5-3】（2021八上·山亭期末）若方程组 的解是 ，则方程组
3a+5b=30 b=1.2{2(x+2)-3(y-1)=13
的解是 ．
3(x+2)+5(y-1)=30
{x=6.3
【答案】
y=2.2
{ 2(x+2)-3(y-1)=13
【解析】【解答】解：由题意得：方程组 的解为
3(x+2)+5(y-1)=30.9
{x+2=8.3
，
y-1=1.2
{x=6.3
解得： ．
y=2.2
{x=6.3
故答案为： ．
y=2.2
{x+2=8.3
【分析】利用整体法可得 ，再求出x、y的值即可。
y-1=1.2
{3x+2y=18 {4x+3 y=5
【变式5-4】解方程组：（1） . （2）
x-3 y=-3 x-2y=4
{3x+2y=18①
【答案】解：（1） ，
x-3 y=-3②
48
解得 x= ，
11
48
{ x=
11
则方程组的解为
27
y=
11
{4x+3 y=5，①
解： （2）
x-2y=4，②
解得y=-1，
将y=-1代入②得x=2，
题型6：换元法解二元一次方程组
x+ y x- y
{ + =4
3 5
6阅读材料：小丁同学在解方程组 时，他发现：如果直接用
x+ y x- y
- =-2
3 5
代入消元法或加减消元法求解运算量比较大，也容易出错．如果把方程组中的(x+y)
看作一个整体，把(x-y)看作一个整体，通过换元，可以解决问题．以下是他的解题过程：
m n
{ + =4
3 5
设m=x+y，n=x-y，这时原方程组化为
m n
- =-2
3 5
{m=3 {x+ y=3 { x=9
解得 ， 即 ，解得
n=15 x- y=15 y=-6
2x+3 y 2x-3 y
{ + =7
4 3
请你参考小丁同学的做法，解方程组：
2x+3 y 2x-3 y
+ =8
3 2
【答案】解：设m=2x+3y，n=2x-3y，
m n
{ + =7
4 3
原方程可组化为
m n
+ =8
3 2
{m=60
解得
n=-24
{ 2x+3 y=60
∴
2x-3 y=-24
{ x=9
解得：
y=14
【解析】【分析】观察方程组的特点：两方程含有未知数部分为：2x+3y，2x-3y，
因此利用换元法，设m=2x+3y，n=2x-3y， 将原方程组转化为关于m，n的方程组，
解方程组求出m，n的值，再回代，就可得到关于x，y的方程组，利用加减消元法
解方程组即可。
【变式6-1】阅读材料：喜欢看书的刘翔在看一本数学课外读物，发现一种解二元一
{2x+3 y=4①
次方程组的方法叫“整体代换”法：例：解方程组
4x+7 y=3②
解：将方程②变形：4x+6y+y=3，即2（2x+3y）+y=3…③
把方程①代入③得2×1+y=3，
∴y=1．
把y=1代入①得，x=﹣1，
{x=-1
∴方程组的解为
y=1
请你模仿这种方法，解下面方程组：{3x-2y=4
．
9x-5 y=13
{3x-2y=4①
【答案】解： ，
9x-5 y=13②
将方程②变形得：9x﹣6y+y=13，即3（3x﹣2y）+y=13③，
把方程①代入③得：12+y=13，
解得：y=1，
把y=1代入方程①得，x=2，
{x=2
∴方程组的解为
y=1
【解析】【分析】观察方程系数的特点，将方程组中的方程②变形为3（3x﹣2y）
+y=13，再将方程①整体代入消去x，建立关于y的方程，求出y的值，再将y的值
代入方程①，求出x的值，就可得到方程组的解。
【变式6-2】解方程组
x+ y x- y
{ + =7
2 3
（1） （2）
3（x+ y） x- y
+ =17
2 3
{ 3（x+ y-1）+2（x- y）=64①
4（x+ y-1）+5（y-x-3）=78②
【答案】（1）解：令x+y=m,x-y=n，
m n
{ + =7①
2 3
得
3m n
+ =17②
2 3
②-①得，m=10.
把m=10代入①，得
n
=7-5=2，n=6，
3
{x+ y=10③
即
x- y=6④
③+④得，
2x=16，x=8.
把x=8代入③得，
Y=10-8=2，{x=8
故原方程组的解为
y=2
{3（x+ y-1）+2（x- y+3）=70
（2）解： 原方程组可变成 ，
4（x+ y-1）-5（x- y+3）=78
设x+y-1=a，x-y+3=b，
{3a+2b=70
∴
4a-5b=78
{a=22
解之： ，
b=2
{x+ y-1=22
∴
x- y+3=2
{x=11
解之：
y=12
加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加
或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简
称加减法．
注意：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么
就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；
(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的
值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．
题型7：加减消元法解二元一次方程组
{ x-3 y=8①
7。解方程组 时，两位同学的解法如下:
4 y-3x=5②
解法一：由①-②，得3x=3；
解法二：由②得3x+（x-3y）=5③；
把①代人③得3x+8=5.
上述两种消元过程是否正确？你的判定是（ ）
A．都正确 B．解法一错 C．解法二错 D．两种
都错
【答案】B
【解析】【解答】解：解法一：由①-②，得-3x=3，故解法一错误；解法二：由②得3x+（x-3y）=5③；
把①代人③得3x+8=5.
可求出x的值，将x的值代入两个方程中的一个，可求出y的值，故解法二正确；
故答案为：B.
【分析】观察两种解法，解法一中的符号出现问题，故解法一错误；解法二正确.
{6x+⊕y=9①
【变式7-1】在解二元一次方程组 时，若①-②可直接消去未知数
2x+⊗y=-6②
y，则 ⊕ 和 ⊗ （ ）
A．互为倒数 B．大小相等 C．都等于0 D．互为
相反数
【答案】B
【解析】【解答】解： ①-② 得：4x+(⊕-⊗)y=0，
由题意得： ⊕-⊗=0，
∴⊕=⊗.
故答案为：B.
【分析】先用 ①减去②时，由题意得y项系数为0，依此列式计算即可.
【变式7-2】（2022秋•宁德期末）解方程组： ．
【解答】解：
①+②得：4x＝4，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：1﹣2y＝1，
解得：y＝0，
∴原方程组的解为： ．
（2022秋•历下区期末）解方程组： ．
【解答】解： ，
由①+②得：3x＝6，
解得：x＝2，
将x＝2代入②得：2+y＝7，解得：y＝5，
∴原方程组的解为 ．
【变式7-3】解方程组：
{ x+4 y=7 {2x+（y-x）=1
（1） （2）
2x+11y=20 5x+2（y-x）=5
{ x+4 y=7①
【答案】（1）解：
2x+11y=20②
由①×2得：2x+8y=14③
由②-③得：3y=6
解之：y=2；
把y=2代入①得
x+8=7
解之：x=-1
{x=-1
∴原方程组的解为： .
y=2
{ x+ y=1①
（2）解： 将原方程组转化为：
3x+2y=5②
由①×2得：2x+2y=2③，
由②-③得：x=3，
把x=3代入①得
3+y=1
解之：y=-2，
{ x=3
∴原方程组的解为： .
y=-2
【解析】【分析】（1）观察方程组中同一个未知数的系数特点：x的系数存在倍数
关系，因此由②-①×2，消去x，可求出y的值，再求出x的值，可得到方程组的解.
{ x+ y=1①
（2）先将原方程组转化为 可知y的系数存在2倍关系，由②-①×2，
3x+2y=5②
消去y可求出x的值，再求出y的值，可得到方程组的解.
题型8：二元一次方程组的同解问题
8.（2022春•五常市期末）已知方程组 和 有相同的解，则a﹣
2b的值为（ ）A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】根据同解方程组，把x+y＝﹣1和x﹣y＝3联立求出x、y，再代入其他两个
方程即可解出a、b，进而求出结果．
【解答】解：由题意，联立方程组得： ，
解得： ，
将 代入含a，b的两个方程，可得 ，
解得 ，
∴a﹣2b＝14﹣2×2＝14﹣4＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，掌握同解方程组的概念是解题的关键．
【变式 8-1】（2022 春•西乡塘区校级期末）若关于 x，y 的方程组 与
有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）求2m+n的平方根．
【分析】（1）根据题意，联立 ，解方程组可求得x，y的值，即为所求．
（2）将 代入 ，可得关于m，n的二元一次方程组，解方程组
求出m，n，进而可求2m+n的平方根．
【解答】解：（1）根据题意，
联立 ，
①+②，得2x＝4，
解得x＝2，
把x＝2代入①，
得2+y＝1，
解得y＝﹣1．
∴这个相同的解为 ．（2）将 代入 ，
得 ，
③+④，得m＝6，
把m＝6代入③，得12﹣2n＝4，
解得n＝4．
∴2m+n＝16，
∴2m+n的平方根为± ＝±4．
【点评】本题考查同解方程组、解二元一次方程组及平方根，方程组的解即为能使方程
组中每个方程都成立的未知数的值．
【变式8-2】（2022春•营口期末）已知方程组 和 有相同的解，求
a﹣5b的平方根．
【分析】根据方程组的解的意义可求出x、y的值，进而得到a、b的值，再代入计算
即可．
【解答】解：方程组 和 的解也是方程组 的解，
解方程组 得，
，
∴a＝14，b＝2，
∴a﹣5b＝14﹣10＝4，
∴a﹣5b的平方根，即4的平方根为 ＝±2．
【点评】本题考查平方根，二元一次方程组的解，理解平方根的定义以及二元一次方
程组的解是正确解答的前提．
【变式 8-3】（2023 春•方城县月考）已知关于 x，y 的方程组 与
有相同的解．
（1）求这个相同的解；
（2）求m，n的值；
（3）小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程（3+a）x+（2a+1）y＝5的解．”这句话对吗？请你说明理由．
【分析】（1）联立 ，解方程组即可；
（2）把 代入另外两个方程中得 ，解方程组即可；
（3）将 代入（3+a）x+（2a+1）y＝5，等式恒成立．
【解答】解：（1）联立 ，
解得 ；
（2）把 代入另外两个方程中得 ，
解得 ；
（3）对，理由如下：
将 代入（3+a）x+（2a+1）y＝5，
得到5＝5，
∴小明的话是对的．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解方程组的基本思路
是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
题型9：二元一次方程组与新定义运算
9.（2022春•岳麓区校级期中）对于实数 x，y，定义一种新的运算“ ”：x y＝
ax+by+c，其中a，b，c为常数，若3 5＝15，4 7＝28，求1 1的值为（ ）
⊙ ⊙
A．﹣11 B．1
⊙ ⊙ ⊙
C．11 D．与a或b或c的值有关
【分析】由题意得 ，通过解方程组的思路变式可求得此题结果．
【解答】解：由题意得 ，
②﹣①得，a+2b＝13③，
由②得，4a+8b﹣b+c＝28，
即4（a+2b）﹣b+c＝28④，
将③代入④得，4×13﹣b+c＝28，
整理得，﹣b+c＝﹣24⑤，③+⑤得，a+b+c＝﹣11，
即1 1＝﹣11，
故选：A．
⊙
【点评】此题考查了运用解二元一次方程组的方法解决相关新定义的能力，关键是能对
根据定义得到的算式合理变形、计算．
【变式9-1】（2022春•梁山县期末）对于实数x，y，定义新运算x*y＝ax+by+1．其中
a，b为常数，等式右边为通常的加法和乘法运算，若2*5＝10，4*7＝28，则3*6＝（
）
A．18 B．19 C．20 D．21
【分析】已知等式利用题中的新定义化简求出a与b的值，代入原式计算即可得到结
果．
【解答】解：根据题中的新定义得： ，
解得 ，
∴3*6＝3×12+6×（﹣3）+1＝19．
故选：B．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式9-2】（2022春•如皋市期中）定义：数对（x，y）经过运算 可以得到数对
φ
（x'，y'），记作 （x，y）＝（x'，y'），其中 （a，b为常数）．如，
当a＝1，b＝1时， （﹣2，3）＝（1，﹣5）．
φ
（1）当a＝2，b＝1时， （1，0）＝ ；
φ
（2）若 （2，1）＝（0，4），则a＝ ，b＝ ；
φ
（3）如果组成数对（x，y）的两个数x，y满足x﹣2y＝0，xy≠0，且数对（x，y）经
φ
过运算 又得到数对（x，y），求a和b的值．
【分析】（1）当a＝1且b＝1时，分别求出x′和y′即可得出答案；
φ
（2）根据条件列出方程组即可求出a，b的值；
（3）根据对任意数对（x，y）经过运算 又得到数对（x，y），得到
，，根据x﹣2y＝0，得到x＝2y，代入方程组即可得到答案．
φ
【解答】解：（1）当a＝2，b＝1时，
x′＝2×1+1×0＝2，
y′＝2×1﹣1×0＝2，
故答案为：（2，2）；（2）根据题意得： ，
解得： ，
故答案为：1，﹣2；
（3）∵对任意数对（x，y）经过运算 又得到数对（x，y），
φ
∴ ，
∵x﹣2y＝0，
∴x＝2y，
代入方程组解得： ．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二
元方程转化为一元方程是解题的关键．
题型10：二元一次方程组的解与参数无关问题
10.（2022春•杭州期中）关于x，y的方程组为 ，将此方程组的两个方
程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当a每取一个值时，就有一个确定的
方程，而这些方程总有一个公共解，则这个公共解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可得 ，解方程组即可．
【解答】解： ，
①+②，得ax﹣x+2y+ay＝﹣5+2a，
整理，得a（x+y﹣2）+（﹣x+2y+5）＝0，
根据题意，得 ，
③+④，得3y+3＝0，
解得y＝﹣1，
将y＝﹣1代入③，得x﹣1﹣2＝0，
解得x＝3，
∴这个公共解是 ，故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次
方程组的方法是解题的关键．
【变式10-1】（2022春•杭州期中）已知关于x、y的二元一次方程（m﹣2）x+（m﹣
3）y+2m﹣3＝0，当m每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，这
个公共解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】把原方程整理得：m（x+y+2）﹣（2x+3y+3）＝0，根据“当m每取一个值
时就有一个方程，而这些方程有一个公共解”，可知这个公共解与m无关，得到关于
x和y的二元一次方程组，解之即可．
【解答】解：原方程可整理得：
m（x+y+2）﹣（2x+3y+3）＝0，
根据题意得：
，
解得 ，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，正确掌握解二元一次方程组是解题的关键．
【变式10-2】（2019春•南安市期末）对于任何的a值，关于x、y的方程ax﹣（a﹣1）
y＝a+1都有一个与a无关的解，这个解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】将方程进行适当的变形再根据题意列出方程组即可求出x与y的值．
【解答】解：∵ax﹣（a﹣1）y＝a+1，
∴a（x﹣y﹣1）＝1﹣y，
由题意可知：令1﹣y＝0，
y＝1，
将y＝1代入x﹣y﹣1＝0，
可得：x﹣2＝0，
∴x＝2，
∴这个方程的解为
故选：C．
【点评】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是将原方程进行适当的变形，本题属于基础题型．
【变式10-3】（2022春•香洲区校级期中）已知关于x、y的方程组
．
（1）直接写出方程4x+y＝9所有的正整数解 ；
（2）如果方程组的解满足2x+3y＝7，求k的值；
（3）当k每取一个值时，kx﹣（k﹣1）y＝8就对应一个方程，而这些方程有一个公
共解，求这个公共解．
【分析】（1）根据采用“给一个，求一个”的方法，求解方程 4x+y＝9的所有正整
数解即可；
（2）先解 ，再将解 代入kx﹣（k﹣1）y＝8，求解k即可；
（3）kx﹣（k﹣1）y＝8可化为k（x﹣y）+y＝8，当x﹣y＝0时，即可求出公共解．
【解答】解：（1）x＝1时，4+y＝9，
∴y＝5；
x＝2时，8+y＝9，
∴y＝1，
∴方程4x+y＝9的所有正整数解为 或 ，
故答案为： 或 ；
（2）根据题意，解 ，
解得 ，
将 代入kx﹣（k﹣1）y＝8，
得2k﹣（k﹣1）＝8，
解得k＝7；
（3）kx﹣（k﹣1）y＝8可化为k（x﹣y）+y＝8，
当x﹣y＝0时，即x＝y时，y＝8，
∴x＝y＝8，
∴这个公共解为 ．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，公共解，熟练掌握这
些含义是解题的关键．
题型11：构建二元一次方程组11.（2022秋•历下区期中） 是二元一次方程ax﹣3y＝2和2x+y＝b的公共解，
求a与b的值．
【分析】根据二元一次方程的解的概念解答即可．
【解答】解：∵ 是二元一次方程ax﹣3y＝2和2x+y＝b的公共解，
所以 ，
解得 ，
即a的值是7，b的值是8．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，要注意：使二元一次方程两边的值相等的两
个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
【变式 11-1】（2022 春•纳溪区期末）若 3x2a+by2与 4x3y3a﹣b是同类项，则 a﹣b＝
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．3
【分析】利用同类项定义列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可求出所
求．
【解答】解：∵3x2a+by2与4x3y3a﹣b是同类项，
∴ ，
①+②得：5a＝5，
解得：a＝1，
把a＝1代入①得：2+b＝3，
解得：b＝1，
则a﹣b＝1﹣1＝0．
故选：C．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及同类项，熟练掌握方程组的解法及同类项
定义是解本题的关键．
【变式11-2】（2022春•兴文县期中）若表中x，y的值满足二元一次方程ax+by＝1，则
当x＝3时，y的值为（ ）
x … ﹣2 ﹣1 0 2 5 …
y … ﹣5 ﹣3 ﹣1 3 9 …
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】从表格中取出两组数值，代入 ax+by＝1，得出关于a，b的二元一次方程
组，解出a，b，得到关于x，y的二元一次方程，将x＝3代入即可求出y值．【解答】解：由表格知，当x＝0时，y＝﹣1，当x＝2时，y＝3，
将这两组数据代入ax+by＝1，
得： ，
解得： ，
∴2x﹣y＝1，
∴当x＝3时，y＝2x﹣1＝2×3﹣1＝5．
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，根据表格数据列出二元一次方程组，求出
a，b的值是解题的关键．
【变式11-3】（2022春•港北区期中）若|x+y﹣3|与（2x+3y﹣8）2互为相反数，则3x+4y
＝（ ）
A．11 B．9 C．7 D．5
【分析】根据相反数的定义得|x+y﹣3|+（2x+3y﹣8）2＝0，由此得到 ，解
方程组求出x，y即可．
【解答】解：由题意得|x+y﹣3|+（2x+3y﹣8）2＝0，
∴ ，解得 ，
∴3x+4y＝3×1+4×2＝11，
故选：A．
【点评】此题考查了相反数的意义，解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的
值，正确理解相反数的定义列得方程组是解题的关键．
一、单选题
{a-2b=4
1．（2022七下·新会期末）已知二元一次方程组 ，则a+b=（ ）
2a-b=3
A．1 B．－1 C．7 D．－7
【答案】B
{a-2b=4①
【解析】【解答】解： ，
2a-b=3②
由②-①，得：a+b=-1．
故答案为：B
【分析】利用加减消元法可得a+b=-1。2．（2022七下·大连期中）在3x+4 y=10中，已知y=1，则x的值是（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
【解析】【解答】解：y=1代入3x+4 y=10中得：3x+4=10，
解得：x=2，
故答案为：D．
【分析】将y=1代入3x+4 y=10可得3x+4=10，再求出x的值即可。
3．（2022七下·娄星期末）下列各方程是二元一次方程的是（ ）
x-2 1
A． +2y=4 B．3xy+9=8 C．3x+ =1 D．
3 y
x2=5 y+1
【答案】A
【解析】【解答】解：A、方程是二元一次方程，符合题意；
B、方程含未知数的项是2次的，不是二元一次方程，不符合题意；
C、方程不是整式方程，故不是二元一次方程，不符合题意；
D、方程未知数x的次数是2次的，不是二元一次方程，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】二元一次方程是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整
式方程，据此判断.
4．（2022七下·剑阁期末）若(a-2)x|a-1|-3 y=5是关于x、y的二元一次方程，则a的
值为( )
A．0 B．2 C．0或2 D．1或2
【答案】A
【解析】【解答】解：∵x(a-2)x|a-1|-3 y=5是关于x、y的二元一次方程，
∴a-2≠0且|a-1|=1，
∴a=0.
故答案为：A.
【分析】由二元一次方程定义，即只含有两个未知数，且未知数最高次数为2次的整
式方程，得a-2≠0且|a-1|=1，即可求得a的值.
{x=3
5．下列方程中与方程3y+5x=27组成的方程组的解是 的是（ ）
y=4
A．4x+6y=-6 B．4x+7y-40=0
C．2x-3y=13 D．以上答案都不对
【答案】B【解析】【解答】解：A、4x+6y=4×3+6×4=36≠-6，错误；
BD、4x+7y-40=4×3+7×4-40=0，B正确，D错误；
C、2x-3y=2×3-3×4=-6≠13，错误.
故答案为：B.
{x=3
【分析】把 分别代入各式进行验证，即可作答.
y=4
6．（2022七下·叙州期末）在等式y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝﹣2，当x＝2时，y＝
7，则这个等式是（ ）
A．y＝﹣3x+1 B．y＝3x+1 C．y＝2x+3 D．y＝3x
﹣1
【答案】B
【解析】【解答】解：分别把当x＝﹣1时，y＝﹣2，当x＝2时，y＝7代入等式y＝
kx+b得，
{-2=-k+b
，
7=2k+b
①﹣②得，﹣3k＝﹣9，
解得k＝3，
把k＝3代入①得，﹣2＝﹣3+b，
解得b＝1．
分别把k＝3、b＝1的值代入等式y＝kx+b得，y＝3x+1．
故答案为： B．
【分析】将x，y的两组值分别代入等式，可得到关于k，b的方程组，解方程组求出
k，b的值，据此可得答案.
二、填空题
7．（2022七下·南安期末）已知方程x+ y-2=0，改写成用含x的式子表示y的形式，
则y= .
【答案】2-x或-x+2
【解析】【解答】解：x+ y-2=0，
移项得：y=2-x.
故答案为：2-x.
【分析】将已知的方程中除y以外的所有的项移到方程的右边可求解.
{x=-2
8．（2022七下·乐清月考）已知 是方程2x+ y=a的一个解，则a= .
y=1
【答案】-3{x=-2
【解析】【解答】解：把 代入2x+ y=a得，
y=1
-4+1=a.
解得a=-3；
故答案为：-3.
【分析】根据方程解的定义将x=-2与y=1代入2x+y=a可得求得a的值.
{ x=1 {mx+ny=7
9．（2022七下·清丰期末）已知 是方程组 的解，则m+n=
y=-2 mx-ny=-1
.
【答案】1
{ x=1 {mx+ny=7
【解析】【解答】解：∵ 是方程组 的解，
y=-2 mx-ny=-1
{m-2n=7①
∴
m+2n=-1②
由①+②得：2m=6
解之：m=3；
由①-②得：-4n=8
解之：n=-2
∴m+n=3-2=1.
故答案为：1.
{ x=1
【分析】将 代入方程组，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，
y=-2
然后求出m+n的值.
{2x+ y=� {x=5
10．（2022七下·东阳期末）小聪解方程组 的解为 ，由于不小心，滴
2x- y=12 y=�
上了两滴墨水，刚好遮住了两个数，请你帮他找回，前后两个数分别是 、
.
【答案】8；-2
【解析】【解答】 解：设2x+y=m，
由题意得
{10+ y=m {y=-2
解之：
10- y=12 m=8
故答案为：8，-2.
【分析】设2x+y=m，根据题意可得到关于m，y的方程组，解方程组求出m，y的值.
{3x+2y=k+1
11．（2022七下·长沙月考）已知方程组 的解x，y满足x＋y＝2，则k的
2x+3 y=k值为 .
9
【答案】
2
{3x+2y=k+1①
【解析】【解答】解： ，
2x+3 y=k②
①＋②得5x＋5y＝2k＋1，
2k+1
即x＋y＝ ，
5
∵x＋y＝2，
2k+1 9
∴ =2，解得k＝ .
5 2
9
故答案为： .
2
2k+1 2k+1
【分析】将方程组两方程相加，可求出x＋y＝ ，由x＋y＝2即得 =2，据
5 5
此即可求出k值.
三、计算题
12．（2021八上·沈河期末）解二元一次方程组：
{x+3 y=7
（1） ；
x= y-9
{2x+3 y=7
（2） ．
x-3 y=1
【答案】（1）解：将x=y-9代入x+3y=7，得y-9+3y=7，
∴y+3y=7+9，
∴4y=16，
∴y=4，
∴x=y-9=4-9=-5．
{x=-5
∴这个方程组的解为 ；
y=4
{2x+3 y=7①
（2）解： ，
x-3 y=1②
由②，得x=3y+1③，
将③代入①，得2（3y+1）+3y=7，
∴6y+2+3y=7，
∴6y+3y=7-2，
∴9y=5，5
∴y= ．
9
5 5 8
将y= 代入②，得x=3× +1，即x= ，
9 9 3
8
{ x=
3
∴这个方程组的解为 ．
5
y=
9
【解析】【分析】（1）利用代入消元法求解二元一次方程组即可；
（2）利用加减消元法求解二元一次方程组即可。
13．（2022七下·淮阴期末）解方程组：
{3x- y=13
（1）
5x+2y=7
{ x
+1= y
（2） 3
2(x+1)- y=6
{3x- y=13①
【答案】（1）解： ，
5x+2y=7②
①×2+②，得11x=33，
∴x=3，
把x=3代入①，得y=－4，
{ x=3
∴ ；
y=-4
{x-3 y=-3①
（2）解：变形，得 ，
2x- y=4②
①×2-②，得-5y=-10，
∴y=2，
把y=2代入①，得x=3，
{x=3
∴ ．
y=2
【解析】【分析】（1）利用第一个方程的2倍加上第二个方程可得x的值，将x的值
代入第一个方程中求出y的值，据此可得方程组的解；
（2）利用第一个方程的2倍减去第二个方程可得y的值，将y的值代入第一个方程中
求出x的值，据此可得方程组的解.
四、解答题
14．（2022七下·辛集期末）阅读以下内容：已知x，y满足x+2y=5，且{3x+7 y=5m-3，
求m的值．
2x+3 y=8，
（1）三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：
{3x+7 y=5m-3，
甲同学：先解关于x，y的方程组 再求m的值．
2x+3 y=8，
乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值．
{ x+2y=5，
丙同学：先解方程组 ，再求m的值．
2x+3 y=8，
（2）你最欣赏（1）中的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选
择这种思路的理由．请先选择思路，再解答题目．我选择 同学的
思路（填“甲”或“乙”或“丙”）．
【答案】解：乙；
{3x+7 y=5m-3，
甲同学：解 得
2x+3 y=8，
{x=13-3m
y=2m-6
{x=13-3m
把 代入x+2y=5，得13-3m+2(2m-6)=5
y=2m-6
解得：m=4
{3x+7 y=5m-3①
乙同学：
2x+3 y=8②
①+②得
5x+10 y=5m+5，即：x+2y=m+1
∵x+2y=5
∴m+1=5
解得m=4
丙同学：
{ x+2y=5，
解 得
2x+3 y=8，
{x=1
y=2
{x=1
把 代入3x+7 y=5m-3，得
y=2
3+14=5m-3，
解得m=4
综合上述，甲的解法比较繁琐，计算量大，乙同学的做法比较巧，计算量也小，所以
我选乙.故答案为：乙
【解析】【分析】利用加减消元法和代入消元法求解二元一次方程组的方法求解即可。
{ax+by=3 {x=2
15．（2022七下·金华月考）已知方程组 ，甲正确地解得 ，而乙粗心地
5x-cy=1 y=3
{x=3
把C看错了，得 ，试求出a，b，c的值.
y=6
{2a+3b=3
【答案】解：根据题意得： ，
3a+6b=3
{a=3
解得： ，
b=-1
{x=2
把 代入方程5x﹣cy＝1，得到：10﹣3c＝1，
y=3
解得：c＝3.
故a＝3，b＝﹣1，c＝3.
【解析】【分析】由题意可得x=3、y=6为方程ax+by=3的解，则3a+6b=3，将x=2、
y=3代入ax+by=3中可得2a+3b=3，联立求出a、b的值，将x=2、y=3代入5x-cy=1中
可得c的值.
{ax-by=16 {x=7
16．如果关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，求关于x，y的
mx+ny=15 y=1
{a（x+2y）-b（x-2y）=16
方程组 的解.
m（x+2y）+n（x-2y）=15
{ax-by=16 {x=7
【答案】解：∵二元一次方程组 的解是 ，
mx+ny=15 y=1
{x=4
{x+2y=7
∴ ，解得 3 ，
x-2y=1 y=
2
{x=4
∴所求方程组的解为 3
y=
2
【解析】【分析】对照两方程组，可知x+2y=7，x-2y=1，建立关于x，y的方程组，解
方程组求出x，y的值.
五、综合题
{2x+5 y=-26
17．（2022七下·长沙月考）若关于x，y的二元一次方程组 和
ax-by=-4
{3x-5 y=36
有相同的解.
bx+ay=-8
（1）求这两个方程组的解；（2）求代数式(2a+b) 2022的值.
【答案】（1）解：由题意得：
{2x+5 y=-26①
，
3x-5 y=36②
①+②得：5x=10，
∴x=2，
把x=2代入①得：4+5 y=-26，
∴5 y=-30，
∴y=-6，
{ x=2
∴这两个方程组的解是： ；
y=-6
{ x=2
（2）解：把 代入可得：
y=-6
{2a+6b=-4③
，
2b-6a=-8④
③×3+④得：20b=-20，
∴b=-1，
把b=-1代入③得：2a-6=-4，
∴a=1，
{a=1
所以： ，
b=-1
∴(2a+b) 2020=(2-1) 2020=1.
【解析】【分析】（1）根据两方程组有相同的解，可将两个方程组中的第一个方程联
立得新方程组，再利用加减消元法解方程组即得结论；
（2）将（1）求出的方程组的解 代入ax-by=-4与bx-ay=-8中，可得关于a、b的方程
组，解之即得a、b值，再代入计算即可.
{ax+ y=5①
18．（2022七下·安岳月考）已知关于x、y的方程组 ，甲由于看错了方程
4x-by=7②
{x=3
①中的a，得到方程组的解为 ；乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为
y=5
{x=-1
.
y=7
（1） 求a，b的值
（2）求出原方程组的解.
{x=3
【答案】（1）解：由题意可得：把 代入②得：12-5b=7
y=5解得：b=1，
{x=-1
把 代入①得： -a+7=5
y=7
解得：a=2
{2x+ y=5
（2）解：∴原方程组为 ，
4x- y=7
{x=2
解这个方程组得： .
y=1
【解析】【分析】（1）甲看错了方程①中的a，于是把求得的解代入方程②可得关于b
的方程，解方程求得b的值；乙看错了方程②中的b，于是把求得的解代入方程①可得
关于a的方程，解方程求得a的值；
（2）把（1）中求得的a、b的值代入原方程组可得关于x、y的一元二次方程组，解之
可求解.
