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第八章 二元一次方程组考点整合数学思想渗透及2022中考真题链接（解析
版）
第一部分 考点整合提升
考点一 二元一次方程（组）的概念
1．（2020春•安丘市期中）若2x2a﹣b﹣1﹣3y3a+2b﹣16＝10是关于x，y的二元一次方程，则a+b＝ ．
思路引领：二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．则x，y的
指数都是1，即可得到一个关于m，n的方程，从而求解．
{ 2a−b−1=1
解：根据题意，得： ，
3a+2b−16=1
{a=3
解得：
b=4
∴a+b＝3+4＝7，
故答案为：7．
总结提升：主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，
未知数的项的次数是1的整式方程．
2．（1）若（a﹣3）x+y|a|﹣2＝9是关于x，y的二元一次方程，则a的值是 ；
{y−(a−1)x=5，
（2）若方程组 是关于x，y的二元一次方程组，则ab的值是 ．
y|a|+(b−5)xy=3
思路引领：（1）（a﹣3）x+y|a|﹣2＝9是关于x，y的二元一次方程，则x和y的系数都不为0，且指数都
为1；
（2）单项式（b﹣5）xy的次数是2，则要使原方程组是关于x，y的二元一次方程组，xy项的系数为
0．
解：（1）由二元一次方程定义，得
a﹣3≠0①，且|a|﹣2＝1②，
由①，得a≠3，
由②，得a＝±3，
综上，a＝﹣3．
故答案为：﹣3；（2）由二元一次方程组的定义，得
a﹣1≠0①，b﹣5＝0②，|a|＝1③，
由①，得a≠1．
由②，得b＝5．
由③，得a＝±1．
综上，a＝﹣1，b＝5，
所以ab＝（﹣1）5＝﹣1．
故答案为：﹣1．
总结提升：本题考查的是二元一次方程组的定义、二元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键．
考点二 二元一次方程（组）的解的应用
{x+2y=4a+12
3．（2019春•西湖区校级月考）关于x，y的二元一次方程组 ，且x﹣y＝18，则实数a
3x−y=2a−10
的值为 ．
思路引领：方程组把a看作已知数表示出x与y，代入已知等式计算即可求出a的值．
{x+2y=4a+12①
解： ，
3x−y=2a−10②
①+②×2得：7x＝8a﹣8
8a−8
解得：x= ，
7
①×3﹣②得：7y＝10a+46，
10a+46
解得：y= ，
7
8a−8 10a+46
代入x﹣y＝18得： − =18，
7 7
解得a＝﹣90，
故答案为﹣90．
总结提升：本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
{2x+■y=3①
4．小明给小刚出了一道数学题：“已知二元一次方程组 将方程①中y的系数遮住，方程
□x+ y=3②
{x=2
②中x的系数遮住，并且知 是这个方程组的解．求被遮住的系数分别是什么？”请你帮小刚求出
y=1
原来的方程组．{2x+my=3 {x=2
思路引领：设被遮住的系数分别为m和n，则有 ，然后把 代入方程组；然后解方程
nx+ y=3 y=1
组求出m，n的值，即可得出结论．
解：设被遮住的系数分别为m和n，则有
{2x+my=3
nx+ y=3
{x=2
又因为 是方程组的解，将其代入方程组中有
y=1
{4+m=3
2n+1=3
{m=−1
整理得
n=1
{2x−y=3
所以原来的方程组为 ．
x+ y=3
总结提升：本题主要考查二元一次方程组，能够结合二元一次方程组的解以及解二元一次方程组的知识
求解是解题的关键．
{3x−ay=6 {x=10
5．（2019春•西湖区校级月考）如果关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，求关于x，y
2x+by=8 y=4
{ 3(x−2y) ay
− =6
2 3
的方程组 的解．
b
(x−2y)+ y=8
3
思路引领：由第一个方程组的解可求出a，b的值，代入第二个方程组，解方程组即可．
解：由题意得，30﹣4a＝6，20+4b＝8．
解得a＝6，b＝﹣3，
{3(x−2y)
−2y=6
代入第二个方程组得 2 ，
x−2y−y=8
{3x−10 y=12①
整理得： ，
x−3 y=8②
①﹣②×3得，﹣y＝﹣12，
解得y＝12，把y＝12代入①得，x＝44，
{x=44
∴方程组的解为 ．
y=12
总结提升：本题考查了解二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能求出a、b的值是解此题的关键．
考点三 二元一次方程组的解法
{ x−y=7①
（多选）6．（2022春•昌乐县校级月考）用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中
3x−2y=9②
不能消元的是（ ）
A．①×2+② B．①×2﹣② C．①×3+② D．①×（﹣3）﹣②
思路引领：按照选项里的方法进行消元，若最后消去一个未知数则为正确，若最后x，y依然存在，则
不能消元．
解：选项A：
∵①×2，得：
2x﹣2y＝14，
∴①×2+②，得：
5x﹣4y＝23，
故选项A不能消元；
选项B：
①×2﹣②，得：
﹣x＝5，
故选项B可以消元；
选项C：
∵①×3，得：
3x﹣3y＝21，
∴①×3+②，得：
6x﹣5y＝30，
故选项C不能消元；
选项D：
∵①×（﹣3），得：
﹣3x+3y＝﹣21，
∴①×（﹣3）﹣②，得：
﹣6x+5y＝﹣12，故选项D不能消元；
故选：ACD．
总结提升：本题考查加减消元法，解题的关键是计算中注意未知数符号的变化．
7．（2021春•渝中区校级月考）解二元一次方程组：
{ 3x+ y=1
（1） ；
5x−2y=9
{
3x+5 y=2
（2） 3x−1 5 y+3x ．
− =−2
3 2
思路引领：（1）可用加减法或用代入法；
（2）先化简组中的②，再用加减法求解．
{ 3x+ y=1①
解：（1） ，
5x−2y=9②
①×2+②，得11x＝11，
∴x＝1．
把x＝1代入①，得3+y＝1，
解得y＝﹣2．
{ x=1
所以原方程组的解为 ；
y=−2
{
3x+5 y=2①
（2） 3x−1 5 y+3x
− =−2②
3 2
由②，得﹣3x﹣15y＝﹣10③，
①+③，得﹣10y＝﹣8，
4
解得y= ．
5
4
把y= 代入①，得3x+4＝2，
5
2
解得x=− ．
3
2
{x=−
3
所以原方程组的解为 ．
4
y=
5总结提升：本题考查了二元一次方程组的解法，掌握加减消元法、代入消元法是解决本题的关键．
考点四 二元一次方程组的应用
8．（2022春•上虞区期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余
绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余 4.5
尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？
请你运用二元一次方程组知识解答这个古代数学问题．
思路引领：设绳子长x尺，木条长y尺，根据“用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余 4.5尺；将绳子
对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设绳子长x尺，木条长y尺，
{x−y=4.5
依题意得： 1 ，
y− x=1
2
{x=11
解得： ．
y=6.5
答：木条长6.5尺．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组
是解题的关键．
9．（2021春•临湘市月考）同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶 210km，它们各自单独行驶并
返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃
料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则
B地最远可距离A地多远？
思路引领：设甲车行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，设
AC＝xkm，AB＝ykm，根据“两车行驶的总路程为210×2km，到C地时甲车加注到乙车里面的燃料等于
甲车行驶到C地消耗掉的燃料”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，进
而可得出B地最远可距离A地140km．
解：设甲车行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：
设AC＝xkm，AB＝ykm，
{2x+2y=210×2
根据题意得： ，
210−2x=x{ x=70
解得： ．
y=140
答：B地最远可距离A地140km．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10．（2021春•湘乡市期末）去年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李
红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知
李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．求李红出门没有买到口罩的次数．
思路引领：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据“李红家原有库存15只，
出门10次购买后，家里现有口罩35只”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，
{ x+ y=10
依题意得： ，
15−1×10+5 y=35
{x=4
解得： ．
y=6
答：李红出门没有买到口罩的次数是4．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
11．（2021春•宛城区期末）如图，有一张边长为x的正方形ABCD纸板，在它的一个角上切去一个边长
为y的正方形AEFG，剩下图形的面积是32，过点F作FH⊥DC，垂足为H．将长方形GFHD切下，
与长方形EBCH重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD的面积
是（ ）
A．24 B．32 C．36 D．64
思路引领：根据拼图前后各部分之间的关系可求出x、y的值，再计算面积即可．
解：由题意可知，由于x＞y，
拼成的长方形的较长的边为（x+y），较短的边为（x﹣y），
因此有x+y＝8，（x+y）（x﹣y）＝32，
解得x＝6，y＝2，因此正方形ABCD的面积为62＝36，
故选：C．
总结提升：本题考查平方差公式的几何背景，分别表示出拼图后长方形的长与宽以及列方程求解是正确
解答的关键．
第二部分 数学思想感悟
一、整体思想
{3x−my=5 {x=1
12．（2022•鄞州区校级开学）若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则关于a、b的
2x+ny=6 y=2
{3(a+b)−m(a−b)=5
二元一次方程组 的解是 ．
2(a+b)+n(a−b)=6
{3x−my=5 {x=1
思路引领：利用关于x、y的二元一次方程组 的解是 可得m、n的数值，代入关于a、
2x+ny=6 y=2
b的方程组即可求解，利用整体的思想整理找到两个方程组的联系求解的方法更好．
{3x−my=5 {x=1
解：∵关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，
2x+ny=6 y=2
{x=1 {3x−my=5
∴将解 代入方程组 ，
y=2 2x+ny=6
可得m＝﹣1，n＝2，
{3(a+b)−m(a−b)=5
∴关于a、b的二元一次方程组 ，
2(a+b)+n(a−b)=6
{4a+2b=5
可整理为： ，
4a=6
3
{ a=
2
解得： ．
1
b=−
2
总结提升：本题考查了二元一次方程组的求解，掌握整体考虑的数学思想是关键．
{3x−ay=16 {x=7
13．（2022春•宝应县期末）（1）已知关于x、y的方程组 的解是 求a、b的值；
2x+by=15 y=1{a x+b y=19 {x=4
（2）已知关于 x、y 的方程组 1 1 的解是 请你运用学过的方法求方程组
a x+b y=26 y=5
2 2
{a (3m+2n)+b (2m−n)=19
1 1
中m、n的值．
a (3m+2n)+b (2m−n)=26
2 2
{x=7
思路引领：（1）将 代入即可求出a，b的值；
y=1
{3m+2n=4①
（2）设3m+2n＝x，2m﹣n＝y，根据已知可得 ，即可解得m，n的值．
2m−n=5②
{3x−ay=16 {x=7
解：（1）∵关于x、y的方程组 的解是 ，
2x+by=15 y=1
{21−a=16
∴ ，
14+b=15
{a=5
解得 ，
b=1
答：a的值为5，b的值为1；
{a (3m+2n)+b (2m−n)=19
（2）在方程组 1 1 中，设 3m+2n＝x，2m﹣n＝y，则方程组变形为
a (3m+2n)+b (2m−n)=26
2 2
{a x+b y=19
1 1
，
a x+b y=26
2 2
{a x+b y=19 {x=4
1 1
∵方程组 的解是 ，
a x+b y=26 y=5
2 2
{3m+2n=4①
∴ ，
2m−n=5②
①+②×2得：7m＝14，
∴m＝2，
把m＝2代入①得：6+2n＝4，
∴n＝﹣1，
∴m的值是2，n的值是﹣1．
总结提升：本题考查解二元一次方程组和二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的一般方法及整体思想的应用．
{2x+5 y=3①
14．（2019春•慈利县期末）阅读材料：小聪在解方程组 时，发现方程组中①和②之间
4x+11y=5②
存在一定的关系，他发现了一种“整体代换”法，具体解法如下：
解：将方程②变形为：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y③
把方程①代入方程③得：2×3+y＝5解得y＝﹣1
把y＝﹣1代入方程①得x＝4
{ x=4
∴方程组的解是
y=−1
{3x−2y=5①
（1）模仿小聪的解法，解方程组 ；
9x−7 y=17②
{3x2−3xy+12y2=48①
（2）已知x，y满足方程组 ，解答：求xy的值．
2x2+xy+8 y2=36②
思路引领：（1）方程组利用整体代入法求出解即可；
（2）方程组利用整体代入法求出解即可．
解：（1）方程②变形得：3（3x﹣2y）﹣y＝17③，
把①代入③得：15﹣y＝17，
解得：y＝﹣2，
1
把y＝﹣2代入①得：x= ，
3
{ 1
x=
则方程组的解为 3 ；
y=−2
（2）由①得：x2+4y2＝xy+16③，
由②得：2（x2+4y2）＝36﹣xy④，
把③代入④得：2xy+32＝36﹣xy，
4
解得：xy= ．
3
总结提升：此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
二、分类讨论思想
15．（2014春•临海市校级月考）某体育彩票经销商计划用4500元从省体彩中心购进彩票20捆，已知体
彩中心有A、B、C三种不同价格的彩票，进价分别是A彩票每捆150元，B彩票每捆200元，C彩票每捆250
元．（1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20捆，并将4500元恰好用完，请你帮助经销商设计进票
方案；
（2）若销售A型彩票每捆获手续费20元，B型彩票每捆获手续费30元，C型彩票每捆获手续费50元．
在问题（1）设计的购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得的手续费最多，你选择哪种进票方案？
（3）若经销商准备用4500元同时购进A、B、C三种彩票20捆，请你帮助经销商设计一种进票方案．
（直接写出答案）
思路引领：（1）因为彩票有A，B，C三种不同型号，而经销商同时只购进两种，所以要将A，B，C两
两组合，分三种情况：A，B；A，C；B，C，每种情况都可以根据下面两个相等关系列出方程，两种不
同型号的彩票捆数之和＝20，购买两种不同型号的彩票钱数之和＝4500，然后根据实际含义确定他们的
解．
（2）根据上一问分别求出每一种情况的手续费，然后进行比较，可以得出结果．
（3）有两个等量关系：A彩票扎数+B彩票扎数+C彩票扎数＝20，购买A彩票钱数+购买B彩票钱数
+购买C彩票钱数＝4500．设三个未知数，用含有同一个未知数的代数式去表示另外的两个未知数，然
后根据三个未知数的取值范围都小于20，得出一元一次不等式组，求出解集，最后根据实际含义确定
解．
解：（1）若设购进A种彩票x捆，B种彩票y捆，
{ x+ y=20
根据题意得： ，
150x+200 y=4500
{x=−10
解得： ，
y=30
∴x＜0，不合题意；
若设购进A种彩票x捆，C种彩票y捆，
{ x+ y=20
根据题意得： ，
150x+250 y=4500
{ x=5
解得： ，
y=15
若设购进B种彩票x张，C种彩票y张，
{ x+ y=20
根据题意得： ．
200x+250 y=4500
{x=10
解得： ，
y=10
综上所述，若经销商同时购进两种不同型号的彩票共有两种方案可行，即A种彩票5捆，C种彩票15捆或B种彩票与C种彩票各10捆；
（2）若购进A种彩票5捆，C种彩票15捆，
销售完后获手续费为20×5+50×15＝850（元），
若购进B种彩票与C种彩票各10捆，
销售完后获手续费为30×10+50×10＝800（元），
∴为使销售完时获得手续最多选择的方案为A种彩票5捆，C种彩票15捆；
（3）若经销商准备用4500元同时购进A、B、C三种彩票20捆．
设购进A种彩票m捆，B种彩票n捆，C种彩票h捆．
{ m+n+ ℎ =20
由题意得： ，
150m+200n+250ℎ =4500
即h＝m+10，
∴n＝﹣2m+10，
∵m、n都是正数
∴1≤m＜5，
又m为整数共有4种进票方案，具体如下：
方案1：A种1捆，B种8捆，C种11捆；
方案2：A种2捆，B种6捆，C种12捆；
方案3：A种3捆，B种4捆，C种13捆；
方案4：A种4捆，B种2捆，C种14捆．
总结提升：此题考查二元一次方程组的应用，应注意：
（1）从A，B，C中同时取出两种，有三种情况．
（2）在求几个未知数的取值范围时，注意转化，利用等量关系用含有同一个未知数的代数式去表示另
外的未知数，转化为求一元一次不等式组的解集．
第三部分 2022 中考真题精炼
一．选择题（共8小题）
{ y=x−1①
1．（2022•株洲）对于二元一次方程组 ，将①式代入②式，消去y可以得到（ ）
x+2y=7②
A．x+2x﹣1＝7 B．x+2x﹣2＝7 C．x+x﹣1＝7 D．x+2x+2＝7
思路引领：将①式代入②式，得x+2（x﹣1）＝7，去括号即可．
{ y=x−1①
解： ，将①式代入②式，
x+2y=7②
得x+2（x﹣1）＝7，∴x+2x﹣2＝7，
故选：B．
总结提升：本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法解二元一次方程组是解题关键．
2．（2022•辽宁）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；
屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5尺；将绳子对
折再量长木，长木还剩余 1尺，木长多少尺？若设绳子长 x尺，木长 y尺，所列方程组正确的是
（ ）
{x−y=4.5 {y−x=4.5
A． B．
2x+1= y 2x−1= y
{x−y=4.5 {y−x=4.5
C． 1 D． 1
x+1= y x−1= y
2 2
思路引领：根据“用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余 1尺”，即
可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：∵用绳子去量长木，绳子还剩余4.5尺，
∴x﹣y＝4.5；
∵将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
1
∴ x+1＝y．
2
{x−y=4.5
∴所列方程组为 1 ．
x+1= y
2
故选：C．
总结提升：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
3．（2022•湘潭）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第
10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共 12个，若桌子
腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有x张桌子，有y条凳子，根
据题意所列方程组正确的是（ ）
{ x+ y=40 { x+ y=12
A． B．
4x+3 y=12 4x+3 y=40
{ x+ y=40 { x+ y=12
C． D．
3x+4 y=12 3x+4 y=40思路引领：根据“组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共 12个，且桌子腿数与
凳子腿数的和为40条”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：∵组委会为每个比赛场地准备了桌子和凳子共12个，
∴x+y＝12；
又∵桌子腿数与凳子腿数的和为40条，且每张桌子有4条腿，每条凳子有3条腿，
∴4x+3y＝40．
{ x+ y=12
∴列出的方程组为 ．
4x+3 y=40
故选：B．
总结提升：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
4．（2022•日照）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长
短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头
的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余 1尺，问木头长多少尺？可设木头长为
x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（ ）
{y−x=4.5 {x−y=4.5
A． B．
2x−y=1 2x−y=1
{x−y=4.5 {y−x=4.5
C． y D． y
−x=1 x− =1
2 2
思路引领：设木头长为x尺，绳子长为y尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余 4.5尺；
将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：设木头长为x尺，绳子长为y尺，
{y−x=4.5
由题意可得 y ．
x− =1
2
故选：D．
总结提升：本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程
组．
5．（2022•齐齐哈尔）端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒
每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中（两种
食品盒均要使用并且装满），则不同的分装方式有（ ）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
思路引领：根据题意列方程，求其正整数解．
解：设A种食品盒x个，B种食品盒y个，根据题意得：
8x+10y＝200，
∴y＝20﹣0.8x，
{ x=5 {x=10 {x=15 {x=20
∴方程的正整数解为： ， ， ， ．
y=16 y=12 y=8 y=4
故选：C．
总结提升：本题考查二元一次方程的应用，并求其特殊解的问题．
6．（2022•宿迁）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七
客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住 7人，那么有7人无房可住；
如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元
一次方程组正确的是（ ）
{ 7x−7= y { 7x+7= y
A． B．
9(x−1)= y 9(x−1)= y
{7x+7= y {7x−7= y
C． D．
9x−1= y 9x−1= y
思路引领：设该店有客房x间，房客y人；根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可．
解：设该店有客房x间，房客y人；
{ 7x+7= y
根据题意得： ，
9(x−1)= y
故选：B．
总结提升：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意得出方程组是解决问题的关键．
7．（2022•扬州）《孙子算经》是我国古代经典数学名著，其中有一道“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同
笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何？”学了方程（组）后，我们可以非常顺捷地解决这
个问题．如果设鸡有x只，兔有y只，那么可列方程组为（ ）
{x+ y=35， {x+ y=35，
A． B．
4x+4 y=94 4x+2y=94
{x+ y=94， {x+ y=35，
C． D．
2x+4 y=35 2x+4 y=94
思路引领：关系式为：鸡的只数+兔的只数＝35；2×鸡的只数+4×兔的只数＝94，把相关数值代入即可
求解．解：设鸡有x只，兔有y只，可列方程组为：
{ x+ y=35
．
2x+4 y=94
故选：D．
总结提升：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是得到鸡和兔的总只数
及鸡和兔的脚的总只数的等量关系．
8．（2022•深圳）张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11
根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去 25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草
一捆为x根，下等草一捆为y根，则下列方程正确的是（ ）
{5 y−11=7x {5x+11=7 y
A． B．
7 y−25=5x 7x+25=5 y
{5x−11=7 y {7x−11=5 y
C． D．
7x−25=5 y 5x−25=7 y
思路引领：设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，利用已知“他卖五捆上等草的根数减去11根，就
等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数”分别得出等量关
系求出答案．
解：设上等草一捆为x根，下等草一捆为y根，
{5x−11=7 y
根据题意可列方程组为： ．
7x−25=5 y
故选：C．
总结提升：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
二．填空题（共8小题）
9．（2022•宁夏）《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价
各几何？”题目大意是：今有人合伙购物，每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱．问：人数、物
{8x−y=3
价各多少？设有x人，物价为y钱，则可列方程组为 ．
y−7x=4
思路引领：根据“每人出八钱，余三钱；每人出七钱，差四钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程
组，此题得解．
解：∵每人出八钱，余三钱，
∴8x﹣y＝3；
∵每人出七钱，差四钱，
∴y﹣7x＝4．{8x−y=3
∴可列方程组为 ．
y−7x=4
{8x−y=3
故答案为： ．
y−7x=4
总结提升：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
{x+2y=4
10．（2022•随州）已知二元一次方程组 ，则x﹣y的值为 1 ．
2x+ y=5
思路引领：将第一个方程化为x＝4﹣2y，并代入第二个方程中，可得2（4﹣2y）+y＝5，解得y＝1，将
y＝1代入第一个方程中，可得x＝2，即可求解．
解：解法一：由x+2y＝4可得：
x＝4﹣2y，
代入第二个方程中，可得：
2（4﹣2y）+y＝5，
解得：y＝1，
将y＝1代入第一个方程中，可得
x+2×1＝4，
解得：x＝2，
∴x﹣y＝2﹣1＝1，
故答案为：1；
{x+2y=4①
解法二：∵ ，
2x+ y=5②
由②﹣①可得：
x﹣y＝1，
故答案为：1．
总结提升：本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法与代入消元法．
11．（2022•安顺）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为 ．
思路引领：直接利用已知解方程组进而得出答案．
解：方法一、∵a+2b＝8，3a+4b＝18，
则a＝8﹣2b，
代入3a+4b＝18，
解得：b＝3，则a＝2，
故a+b＝5．
方法二、∵a+2b＝8，3a+4b＝18，
∴2a+2b＝10，
∴a+b＝5，
故答案为：5．
总结提升：此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键．
12．（2022•贵阳）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方
程”．如： 从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的
常数项，即可表示方程x+4y＝23，则 表示的方程是 x + 2 y ＝ 3 2 ．
思路引领：认真审题，读懂图中的意思，仿照图写出答案．
解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，
一个竖线表示一个，一条横线表示一十，
所以该图表示的方程是：x+2y＝32．
总结提升：本题考查根据图意列方程，解题的关键是读懂图的意思．
13．（2022•绥化）某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种
奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元．则有 3 种购买方案．
思路引领：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一
次方程，结合x，y均为正整数，即可得出共有3种购买方案．
解：设购买x件甲种奖品，y件乙种奖品，
依题意得：4x+3y＝48，
3
∴x＝12− y．
4
又∵x，y均为正整数，
{x=9 {x=6 { x=3
∴ 或 或 ，
y=4 y=8 y=12
∴共有3种购买方案．故答案为：3．
总结提升：本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
{x=1
14．（2022•雅安）已知 是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 1 ．
y=2
思路引领：把x与y的值代入方程计算得到a+2b的值，原式变形后代入计算即可求出值．
{x=1
解：把 代入ax+by＝3得：a+2b＝3，
y=2
则原式＝2（a+2b）﹣5
＝2×3﹣5
＝6﹣5
＝1．
故答案为：1．
总结提升：此题考查了二元一次方程的解，以及代数式求值，方程的解即为能使方程左右两边相等的未
知数的值．
15．（2022•湖北）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货
车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货 吨．
思路引领：根据题意列二元一次方程组，再求有关代数式的值．
解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，
{3x+4 y=22(1)
根据题意得： ，
5x+2y=25(2)
(1)+(2)
得：4x+3y＝23.5；
2
故答案为：23.5．
总结提升：本题考查得是二元一次方程的应用，审题、列方程是解决本题的关键．
16．（2022•重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预
算，这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7，需香樟数量之比为4：3：9，并且甲、乙两山需红
枫数量之比为2：3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买
数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫
的总费用之比为 ．
思路引领：分别设出甲乙丙三山的香樟数量、红枫数量及总量，根据甲乙两山红枫数量关系，得出甲乙
丙三山香樟和红枫的数量（只含一个字母），进而根据“所花费用和预算费用相等”列出等式，从而求得香樟和红枫的单价之间关系，进一步求得结果．
解：根据题意，如表格所设：
香樟数量 红枫数量 总量
甲 4x 5y﹣4x 5y
乙 3x 6y﹣3x 6y
丙 9x 7y﹣9x 7y
∵甲、乙两山需红枫数量之比为2：3，
5 y−4x 2
∴ = ，
6 y−3x 3
∴y＝2x，
故数量可如下表：
香樟数量 红枫数量 总量
甲 4x 6x 10x
乙 3x 9x 12x
丙 9x 5x 14x
所以香樟的总量是16x，红枫的总量是20x，
设香樟的预算单价为a，红枫的预算单价为b，
由题意得，
[16x•（1﹣6.25%）]•[a•（1﹣20%）]+20x•[b•（1+25%）]＝16x•a+20x•b，
∴12a+25b＝16a+20b，
∴4a＝5b，
设a＝5k，b＝4k，
16×(1−6.25%)×0.8×5 3
∴ = ，
20×1.25×4 5
3
故答案为： ．
5
总结提升：本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要
的量，列出关系式，进行数据处理．
三．解答题（共7小题）
{x+2y=4
17．（2022•台州）解方程组： ．
x+3 y=5
思路引领：通过加减消元法消去x求出y的值，代入第一个方程求出x的值即可得出答案．{x+2y=4①
解： ，
x+3 y=5②
②﹣①得：y＝1，
把y＝1代入①得：x＝2，
{x=2
∴原方程组的解为 ．
y=1
总结提升：本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一
元方程是解题的关键．
{
x−2y=3
18．（2022•淄博）解方程组： 1 3 13．
x+ y=
2 4 4
思路引领：利用加减消元法或代入消元法解二元一次方程组即可．
{ x−2y=3①
解：整理方程组得 ，
2x+3 y=13②
①×2﹣②得﹣7y＝﹣7，
y＝1，
把y＝1代入①得x﹣2＝3，
解得x＝5，
{x=5
∴方程组的解为 ．
y=1
总结提升：本题考查了解二元一次方程组，做题关键是掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组．
19．（2022•安徽）某地区2020年进出口总额为520亿元，2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进
口额增加了25%，出口额增加了30%．
注：进出口总额＝进口额+出口额．
（1）设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
年份 进口额/亿元 出口额/亿元 进出口总额/亿元
2020 x y 520
2021 1.25x 1.3y 1.2 5 x +1. 3 y
（2）已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额分别是多少亿元？
思路引领：（1）根据题意和表格中的数据，可以用含x、y的代数式表示出2021年进出口总额；
（2）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程组，然后求解即可．
解：（1）由表格可得，
2021年进出口总额为：1.25x+1.3y，故答案为：1.25x+1.3y；
（2）由题意可得，
{ x+ y=520
，
1.25x+1.3 y=520+140
{x=320
解得 ，
y=200
∴1.25x＝400，1.3y＝260，
答：2021年进口额是400亿元，出口额是260亿元．
总结提升：本题考查二元一次方程组的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，
列出相应的方程组．
20．（2022•泰安）泰安某茶叶店经销泰山女儿茶，第一次购进了A种茶30盒，B种茶20盒，共花费6000
元；第二次购进时，两种茶每盒的价格都提高了20%，该店又购进了A种茶20盒，B种茶15盒，共花
费5100元．求第一次购进的A、B两种茶每盒的价格．
思路引领：设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒，利用总价＝单价×数量，即
可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
解：设第一次购进A种茶的价格为x元/盒，B种茶的价格为y元/盒，
{ 30x+20 y=6000
依题意得： ，
20×(1+20%)x+15×(1+20%)y=5100
{x=100
解得： ．
y=150
答：第一次购进A种茶的价格为100元/盒，B种茶的价格为150元/盒．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．（2022•赤峰）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木
的数量比B种苗木的数量的一半多600株．
（1）请问A、B两种苗木各多少株？
（2）如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A种苗木50株或B种苗木30
株，应分别安排多少人种植A种苗木和B种苗木，才能确保同时完成任务？
思路引领：（1）设A种苗木有x株，B种苗木有y株，根据“A、B两种苗木共6000株，其中A种苗木
的数量比B种苗木的数量的一半多600株”列二元一次方程组，求解即可；
（2）设安排m人种植A种苗木，根据“确保同时完成任务”列分式方程，求解即可．
解：（1）设A种苗木有x株，B种苗木有y株，{x+ y=6000
根据题意，得 1 ，
x= y+600
2
{x=2400
解得 ，
y=3600
答：A种苗木有2400株，B种苗木有3600株；
（2）设安排m人种植A种苗木，
2400 3600
根据题意，得 = ，
50m 30(350−m)
解得m＝100，
经检验，m＝100是原方程的根，且符合题意，
350﹣m＝350﹣100＝250（人），
答：应安排100人种植A种苗木，250人种植B种苗木，才能确保同时完成任务．
总结提升：本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的
关键．
22．（2022•大连）2022年北京冬奥会吉祥物冰墩墩和冬残奥会吉祥物雪容融深受大家喜爱．已知购买1
个冰墩墩毛绒玩具和2个雪容融毛绒玩具用了400元，购买3个冰墩墩毛绒玩具和4个雪容融毛绒玩具
用了1000元．这两种毛绒玩具的单价各是多少元？
思路引领：设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，由总价＝单价×数量，结
合“购买1个冰墩墩和2个雪容融毛绒玩具需400元；购买3个冰墩墩和4个雪容融毛绒玩具需1000
元”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，解二元一次方程组即可得出结果．
解：设冰墩墩毛绒玩具的单价为x元，雪容融毛绒玩具的单价为y元，
{ x+2y=400
依题意得： ，
3x+4 y=1000
{x=200
解得： ，
y=100
答：冰墩墩毛绒玩具的单价为200元，雪容融毛绒玩具的单价为100元．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23．（2022•娄底）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸
附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树
叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg．
（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约 50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
思路引领：（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为xmg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为ymg，
由题意：一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的 2倍少4mg，一片国槐树
叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）由（1）的结果列式计算即可．
解：（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为xmg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为ymg，
{x+ y=62
由题意得： ，
x=2y−4
{x=40
解得： ，
y=22
答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22mg；
（2）50000×40＝2000000（mg）＝2kg，
答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．
总结提升：本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
