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人教版初中数学七年级下册
第八章 二元一次方程组 达标检测
一、单选题：
1．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】二元一次方程组是由两个未知数且未知数最高次数为一次的两个方程组成；根据二元一次方程组
的定义逐项判断即得答案．
【详解】解：A、方程组 中第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，所以本选项不符
合题意；
B、方程组 中有三个未知数，不是二元一次方程组，所以本选项不符合题意；
C、该方程组是二元一次方程组，所以本选项符合题意；
D、方程组 中第二个方程未知数x、y的次数是2，不是二元一次方程组，所以本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，属于基础概念题型，熟知二元一次方程组的概念是关键．
2．已知方程 ，用含y的代数式表示x的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用y表示出x，就是把y看做已知数，解出x即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故选D．【点睛】本题主要考查了二元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．将 代入 的可得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 代入 ，再进行整理，即可得到答案．
【详解】解：将 代入 ，得： ，即
故选D．
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解法，先将已知代入方程得出一个关于x的方程，运用代入法是解
二元一次方程常用的方法．
4．将三元一次方程组 ，经过①-③和③×4+②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意先得出①-③后的方程，再得到③×4+②的方程，从而得出二元一次方程组．
【详解】解：根据题意得：
①-③得：4x+3y=2，
③×4+②得：7x+5y=3，
则三元一次方程组 ，
经过①-③和③×4+②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是 ；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解，解题的关键是掌握加减消元法消去未知数项，从而得到二元一次方程组．
5．若 是关于x，y的二元一次方程，则 的值为（ ）
A．0 B． C．3 D．6
【答案】A
【分析】根据二元一次方程的定义，得 ， ，即可得到关于a、b的方程组，从而解出
a，b．
【详解】解：∵ 是一个关于x，y的二元一次方程，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有2个未知
数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．
6．已知x，y满足方程组 ，则无论m取何值，x，y恒有关系式（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方程组中的两个方程相加得出x+y+m-5=4+m，整理后即可得出答案．
【详解】解： ，
①+②得：x+y+m-5=4+m，
即x+y=9，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，能理解二元一次方程组的解的定义是解此
题的关键．7．对于非零的两个实数a，b，规定 ，若3 (-5)=-15，4 (-7)=-28，则(-1) 2的值为
( )
A．-13 B．13 C．2 D．-2
【答案】B
【分析】根据已知规定及两式，确定出m、n的值，再利用新规定化简原式即可得到结果．
【详解】根据题意得：3 (-5) ，4 (-7) ，
∴ ，
解得： ，
∴(-1) 2 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了新定义运算，涉及到了解二元一次方程组等知识，要求学生能理解题目规则，正确列
出等式．解决本题时，求出m、n是关键．
8．如图，宽为50cm的长方形图案由10个形状大小完全相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设小长方形的宽为 cm，长为 cm，根据题意列方程组求解即可．
【详解】设小长方形的宽为 cm，长为 cm，根据题意得 ，解得 ，
一个小长方形的面积为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，能够根据题意列出方程组并准确求解是解题的关键．9．已知关于 的方程组 ，甲看错 得到的解为 ，乙看错了 得到的解为 ，他们
分别把 错看成的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把甲的结果代入第一个方程求出a的值，把乙的结果代入第二个方程求出b的值，求解即可．
【详解】解：把 代入 得： ，
把 代入 得： ，
解得：a=5，b=-1，
故选A．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程的知识点，解题关键点是看清题意再得出
a、b的值．
10．关于x，y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程2x＋3y＝﹣6的解，则k的值是（ ）
A．﹣ B． C． D．﹣
【答案】A
【分析】先用含k的代数式表示x、y，即解关于x，y的方程组，再代入2x＋3y＝﹣6中可得．
【详解】解：解方程组 ，
得：x＝7k，y＝﹣2k，
把x，y代入二元一次方程2x＋3y＝﹣6，
得：2×7k＋3×（﹣2k）＝﹣6，
解得：k＝﹣ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，解题的关键是用含k的代数式表示x、y．二、填空题：
11．请写出一个以 为解的二元一次方程：______ ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据二元一次方程定义： ，令 为常数，把 代入，解出 即可．
【详解】∵本题答案不唯一，只要写出的二元一次方程的解为 即可
∴令 ， ，得
∴把 代入方程
解出
∴
故答案是： ．
【点睛】本题考查解二元一次方程的逆过程、不定方程的定义，灵活掌握二元一次方程定义是解题的关键．
12．若 是方程组 的解，则a＝_______，b＝_______．
【答案】 3， 1.
【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．把x、y的值代入原方程组可转化成关
于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值．
【详解】把x，y的值代入方程组，
得
解得a=3，b=1，
故答案为3， 1.
【点睛】一要注意方程组的解的定义；二要熟练解方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法．
13．若 则 的值为______.
【答案】-3【分析】根据已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出
x+y的值．
【详解】∵（3x-y+5）2+|2x-y+3|=0，∴3x-y+5=0，2x-y+3=0，∴x= -2，y= -1．∴x+y= -3．
【点睛】本题考查的知识点是：某个数的平方与另一数的绝对值的和等于0，那么平方数的底数为0，绝对
值里面的代数式的值为0．
14．在y=ax2+bx+c中,当x=1时,y=0;当x=2时,y=4;当x=3时,y=10,则当x=4时,y=___.
【答案】18
【分析】先把x=1时，y=0；x=2时，y=4；x=3时，y=10分别代入y=ax2+bx+c，求出a，b，c的值，从而
得出等式y=x2+x-2，再把x=4代入，即可求出y的值．
【详解】把x=1时，y=0；x=2时，y=4；x=3时，y=10分别代入y=ax2+bx+c得：
，
解得： ，
则等式y=x2+x-2，
把x=4代入上式得：y=18．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握解三元一次方程组的步骤是本题的关键
15．已知点 ，点 关于x轴对称，则 的值是____．
【答案】-6
【分析】让两点的横坐标相等，纵坐标相加得0，即可得关于x，y的二元一次方程组，解值即可．
【详解】解：∵点 ，点 关于x轴对称，
∴ ；
解得： ，
∴ ，
故答案为-6．【点睛】本题考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系：关于横轴的对称点，
横坐标不变，纵坐标变成相反数．
16．若二元一次方程组 和 同解，则可通过解方程组_____求得这个解．
【答案】
【分析】联立两方程组中不含a与b的方程重新组成新的方程组即可．
【详解】解：∵二元一次方程组 和 同解，
∴可通过解方程组 求得这个解，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组同解的问题，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
17．已知关于x，y 的二元一次方程组 的解满足x﹣y＝3，则m的值为_____
【答案】1
【分析】②−①得到x−y＝4−m，代入x−y＝3中计算即可求出m的值．
【详解】解： ，
②−①得：x−y＝4−m，
∵x−y＝3，
∴4−m＝3，
解得：m＝1，
故答案为1
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
18．若关于x，y的方程组 的解是正整数，则整数a的值是_____．【答案】2或-1
【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到x和y关于a的解，根据方程组的解是正整数，得到5-a
与a+4都要能被3整除，即可得到答案．
【详解】 ，
①-②得：3y=5-a，
解得：y= ，
把y= 代入①得：
x+ =3，
解得：x= ，
∵方程组的解为正整数，
∴5-a与a+4都要能被3整除，
∴a=2或-1，
故答案为2或-1．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
19．《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八
方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大
意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛
值金 两，1只羊值金 两，则可列方程组为_________．
【答案】
【分析】设1头牛值金 两，1只羊值金 两，根据等量关系 “①5头牛，2只羊共值10两金；②2头牛，
5只羊共价值8两金”，分别列出方程即可求解．
【详解】设1头牛值金 两，1只羊值金 两，由题意可得，
．故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
20．为鼓励居民节约用气，某省决定对天然气收费实行阶梯气价，阶梯气价划分为两个档级：
(1)第一档气量为每户每月30立方米(含30立方米)以内，执行基准价格；
(2)第二档气量为每户每月超出30立方米以上部分，执行市场调节价格．
小明家5月份用气35立方米，交费112.5元；6月份用气41立方米，交费139.5元，若小明7月份用气29
立方米，则他家应交费________元．
【答案】87
【分析】根据5月份用气35立方米，交费112.5元；6月份用气41立方米，交费139.5元，列出方程组求
得气价，再进一步根据7月份用气29立方米选择气价计算即可．
【详解】设基准价格为x元，市场调节价格为y元，由题意得 解得
7月份用气29立方米，则他家应交费29×3＝87元．
故答案为87.
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列出方程组.
三、解答题：
21．解方程：
（1） （用代入消元法） （2） （用加减消元法）（3）
（4）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】（1）由方程②变形得 ，并代入方程①，解方程即可求得x的值，再将求得的x值代入中，可求得y的值，从而得方程组的解；
（2）考虑两方程中y的系数相同，两式相减即可消去未知数y，求得x，再将x的值代入第一个方程即可
求得y的值，从而得方程组的解；
（3）先化简方程组中的每一个方程，再用加减法解方程组即可；
（4）先消去未知数z，转化为二元一次方程组，解二元一次方程组求得x与y的值，最后求得z的值即可．
【详解】（1） ，
方程②变形得： ③，
把③代入①，得： ，
解得： ，
把 代入③得： ，
所以方程组的解为： ；
（2） ，
②-①得： ，,
把 代入①得：
解得：
所以方程组的解为： ；
（3）方程组化简得：
①+②得： ，
即 ，
把 代入①得： ，
∴ ，所以原方程组的解为： ；
（4）原方程组化为：
①×2－③得： ④，
④－②得： ，
解得： ，
把 代入②得： ，
把 ， 代入①得： ，
所以原方程组的解为： ．
【点睛】题目主要考查解二元一次方程组和三元一次方程组，解法有代入消元法和加减消元法两种，能够
根据方程组的特点，灵活选取适当的方法，熟练而准确的掌握解方程组方法是本题的关键．
22．一个两位数，个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两
位数小18，则原两位数是多少？
【答案】原两位数是53．
【分析】设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据“个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十
位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得
出x，y的值，再将其代入10y＋x即可得出结论．
【详解】解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，
根据题意得：
解得：
∴10y+x＝53．
答：原两位数是53．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．23．初一级学生去某处旅游，如果每辆汽车坐45人，那么有15个学生没有座位；如果每辆汽车坐60人，
那么空出１辆汽车．问一共多少名学生、多少辆汽车．
【答案】240名学生，5辆车.
【分析】设车数是x，学生是y人，依据题意列方程组： 即可解.
【详解】设车数是x，学生是y人，依据题意列方程组： ，
解方程组可得： ..
所以一共有学生240人，车5辆.
故答案为一共有学生240人，车5辆.
【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出
方程组．
24．已知方程组 与 有相同的解，求m，n的值．
【答案】
【分析】先解不含m、n的方程组，解得x、y的值，再代入含有m、n的方程组求解即可．
【详解】解：∵ 与 有相同的解，
∴ 和 也有相同的解，
∴解方程组 ，
得 ，
代入 中得 ，∴解方程组得 ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了与二元一次方程组的解有关的知识点，解题的关键是是准确理解方程组有相同解
的情况，组成新的二元一次方程组求解．
25．材料：解方程组 时，可由①得 ③，然后再将③代入②得 ，求得
，从而进一步求得 这种方法被称为“整体代入法”请用这样的方法解方程组
【答案】
【分析】观察方程组的特点，把 看作一个整体，得到 ，将之代入②，进行消元，得到
，解得 ，进一步解得 ，从而得解．
【详解】解： 由①得 ③，
把③代入②得 ，解得 ，
把 代入③，得 ，解得 ，
故原方程组的解为 ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法：整体代入法.解方程（组）要根据方程组的特点灵活运用
选择合适的解法．
26．抗洪指挥部的一位驾驶员接到一个防洪的紧急任务，要在限定的时内把一批抗洪物质从物质局运到水
库，这辆车如果按每小时30千米的速度行驶在限定的时间内赶到水库，还差3千米，他决定以每小时40
千米的速度前进，结果比限定时间早到18分钟，问限定时间是几小时？物质局仓库离水库有多远？
【答案】限定时间是1.5小时，物资局仓库离水库有48千米．
【分析】本题中有两个相等关系：车辆以30千米/时的速度走的路程=物质局到水库的距离－3，40×车辆以
40千米/时的速度走的时间=物质局到水库的距离；据此设未知数列出方程组，再求解方程组即可.
【详解】解：设限定时间是x小时，物质局仓库离水库y千米，根据题意，得
，
解得 .
答：限定时间是1.5小时，物资局仓库离水库有48千米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用之行程问题，正确理解题意，正确表示出实际走的路程和实际
走的时间进而列出方程组是解题的关键.
27．为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新
区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公
司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需
多少台？
（2）请你设计一种方案，不仅每小时支付的租金最少，又恰好能完成每小时的挖掘量？
【答案】（1）甲乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；（2）应选择1辆甲型挖掘机和6辆乙型挖掘机，支
付最少为820元
【详解】分析：（1）设甲种型号的挖掘机需x台、乙种型号的挖掘机需y台．等量关系：甲、乙两种型号
的挖掘机共8台；每小时挖掘土石方540m3；（2）设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机，根据题意列出二元一次方程，求出其正整数解；然后
分别计算支付租金，选择符合要求的租用方案．
详解：（1）设甲种型号的挖掘机需x台、乙种型号的挖掘机需y台．依题意得： ，解得：
．
答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；
（2）设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机．依题意得：
60m+80n=540，化简得：3m+4n=27，∴m=9﹣ n，∴方程的解为 或 ．
当m=5，n=3时，支付租金：100×5+120×3=860元
当m=1，n=6时，支付租金：100×1+120×6=820元．
答：有一种租车方案，即租用1辆甲型挖掘机和6辆乙型挖掘机，不仅每小时支付的租金最少，又恰好
能完成每小时的挖掘量．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出等式（或不等式）进
行求解．
