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专题 21 多边形与平行四边形的核心知识点精讲
1.了解多边形及其顶点、边、内角、外角、对角线
2.掌握多边形的内角和与外角和
3.掌握平行四边形的概念、性质和判定
考点1：多边形
（1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做
多边形．[来源:学科网ZXXK]
1.多边形的 （2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些
相关概念 对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为
．
（1） 内角和：n边形内角和公式为 (n － 2)·180°
2.多边形的
内角和、外
（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.[来源:学,科,网]
角和
（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.
n边形的每个内角为
（2）正 ，每一个外角为360°/n.
3.正多边形
( 3 ) 正n边形有n条对称轴.
（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，
既是轴对称图形，又是中心对称图形.
考点2：平行四边形性质
1. 平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“ ”表示. D C
▱
O
2. 平行四边形的性质
（1） 边：两组对边分别平行且相等.即AB∥CD 且AB＝CD， A B
BC∥AD且AD＝BC.
（2）角：对角相等，邻角互补.即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°.
（3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD
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（4）对称性：中心对称但不是轴对称.
3.平行四边形中的几个解题模型
D C
（1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等
O
边得到△ABF为等腰三角形，即AB=BF.
（2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图② A B
中△ABD≌△CDB；
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,
△AOB≌△COD；
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心 O的线段与对角线所组成的居于中心
对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积
的一半.
（2） 如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得
S =S +S .
△BEC △ABE △CDE
（4） 根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD
考点3：平行四边形的判定
（1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是□.
（2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是□.
（3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是□.
（4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是□.
（5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是□.
考点4：三角形的中位线
三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样，
连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B
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中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。
【题型1：多边形的内角和与外角和】
【典例1】（2023•襄阳）五边形的外角和等于（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
1．（2023•北京）正十二边形的外角和为（ ）
A．30° B．150° C．360° D．1800°
2．（2023•兰州）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶
嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝（ ）
A．45° B．60° C．110° D．135°
3．（2023•绵阳）蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成，则正六边形的对称轴有
（ ）
A．4条 B．5条 C．6条 D．9条
【题型2：平行四边形的性质】
【典例2】（2023•绵阳）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF．
▱
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（1）求证：BE∥DF；
（2）过点O作OM⊥BD，垂足为O，交DF于点M，若△BFM的周长为12，求四边形BEDF的周长．
1．（2023•成都）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）
▱
A．AC＝BD B．OA＝OC C．AC⊥BD D．∠ADC＝∠BCD
2．（2023•通辽）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式S＝ah时，若△ABE平移到△DCF，a＝
4，h＝3，则△ABE的平移距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．12
3．（2023•凉山州）如图， ABCO的顶点O、A、C的坐标分别是（0，0）、（3，0）、（1，2）．则顶
点B的坐标是 ．
▱
4．（2023•盐城）在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BC＝10cm，则DE的长为 cm．
5．（2023•淄博）如图，在 ABCD中，E，F分别是边BC和AD上的点，连接AE，CF，且AE∥CF．
求证：（1）∠1＝∠2；
▱
（2）△ABE≌△CDF．
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6．（2023•杭州）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且
BE＝EF＝FD，连接AE，EC，CF，FA．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形．
（2）若△ABE的面积等于2，求△CFO的面积．
7．（2023•凉山州）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作
BE⊥AB交AC于点E．
▱
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．
【题型3：平行四边形的判定】
【典例3】（2023•无锡）如图，△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝
DE，连接CF．求证：
（1）△CEF≌△AED；
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（2）四边形DBCF是平行四边形．
1．（2023•益阳）如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列结论一定成立的是（ ）
▱
A．OA＝OB B．OA⊥OB C．OA＝OC D．∠OBA＝∠OBC
2．（2023•衡阳）如图，在四边形ABCD中，已知AD∥BC．添加下列条件不能判定四边形ABCD是平行
四边形的是（ ）
A．AD＝BC B．AB∥DC C．AB＝DC D．∠A＝∠C
3．（2023•扬州）如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接AF、CE相交于点
M，连接AG、CH相交于点N．
（1）求证：四边形AMCN是平行四边形；
（2）若 AMCN的面积为4，求 ABCD的面积．
▱ ▱
【题型4：三角形的中位线】
【典例4】（2023•陕西）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与
CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（ ）
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A． B．7 C． D．8
1．（2023•陕西）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延
长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（ ）
A． B．7 C． D．8
2.（2022•眉山）在△ABC中，AB＝4，BC＝6，AC＝8，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，则
△DEF的周长为（ ）
A．9 B．12 C．14 D．16
3．（2023•广州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点M是边AC上一动点，点D，
E分别是AB，MB的中点，当AM＝2.4时，DE的长是 .若点N在边BC上，且CN＝AM，点F，G
分别是MN，AN的中点，当AM＞2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是 ．
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一．选择题（共10小题）
1．五边形的外角和等于（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
2．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ）
A．AB＝BC B．AC⊥BD C．∠A＝∠C D．AC＝BD
3．如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE＝BE＝2，EO＝3，则 ABCD的周长为（ ）
▱ ▱
A．5 B．10 C．15 D．20
4．如图，在 ABCD中，AD＝5，AB＝3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE、EC的长度分别为
（ ）
▱
A．1和4 B．4和1 C．2和3 D．3和2
5．如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周
长为（ ）
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A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
6．如图， ABCD的顶点A（0，4），B（﹣3，0），以点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，
▱
分别以点A，E为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在∠ABE的内部相交于点F，画射线BF交
AD于点G，则点G的坐标是（ ）
A．（5，4） B．（3，4） C．（4，5） D．（4，3）
7．如图，在 ABCD中，E为边BC延长线上一点，连结AE、DE．若△ADE的面积为2，则 ABCD的面
积为（ ）
▱ ▱
A．5 B．4 C．3 D．2
8．如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且∠OCD＝90°．若E是BC边的中点，BD＝10，AC＝
6，则OE的长为（ ）
▱
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB∥CD，添加下列条件后仍不能判断四边形
ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD∥BC C．OA＝OC D．AD＝BC
10．如图，E是四边形ABCD的边BC延长线上的一点，且AB∥CD，则下列条件中不能判定四边形ABCD
是平行四边形的是（ ）
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A．∠D＝∠5 B．∠3＝∠4 C．∠1＝∠2 D．∠B＝∠D
二．填空题（共7小题）
11．将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边 AB与正方形的边CD在同一条直线上，则
∠BOC的度数是 ．
12．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝310°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠CPD的
度数是 ．
13．如图，在△ABC中，∠A＝∠B，D是AB上任意一点，DE∥BC，DF∥AC，AC＝4cm，则四边形
DECF的周长是 ．
14．如图，在 ABCD中，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F．分别以点F，B为圆心，大于 BF
长为半径作弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点E，若BF＝6，AB＝5，则AE的长为 ．
▱
15．四边形具有不稳定性．如图，矩形 ABCD按箭头方向变形成平行四边形A'B'C'D'，当变形后图形面积
是原图形面积的一半时，则∠A'＝ ．
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16．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第 n个图形需
要黑色棋子的个数是 ．
17．如果一个n边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n＝ ．
三．解答题（共2小题）
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）求证：四边形AECF是平行四边形．
19．已知：如图，在四边形ABCD中，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E，F，延长DE、BF，分别交AB
于点H，交CD于点G，若AD∥BC，AE＝CF．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若∠DAH＝∠GBA，GF＝2，CF＝4，求AD的长．
一．选择题（共10小题）
1．如图中每个四边形上所做的标记中，线段上的划记数量相同的表示线段相等，角的标记弧线数量相同
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的表示角相等，则下列一定为平行四边形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图， ABCD中，AB＝3，BE平分∠ABC，交AD于点E，DE＝2，点F，G分别是BE和CE的中点，
则FG的长为（ ）
▱
A．3 B．2.5 C．2 D．5
3．如图1，直线l ∥l ，直线l 分别交直线l ，l 于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图
1 2 3 1 2
2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①正确，②错误
4．我们知道，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性．如图，矩形 AOCB的顶点A和C分别在y轴和x
轴上，且A（0，4），C（6，0）．向下按压矩形AOCB，得到如图所示的平行四边形，其中∠AOA′
＝30°，则平行四边形 的对角线的交点D的坐标为（ ）
A．（1， ） B．（2， ） C．（2， ） D．（1， ）
5．我们知道三角形的内角和为180°，而四边形可以分成两个三角形，故它的内角和为2×180°＝360°，五
边形则可以分成3个三角形，它的内角和为3×180°＝540°（如图），依此类推，则八边形的内角和为（
）
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A．900° B．1080° C．1260° D．1440°
6．如图，将三角形纸片ABC沿虚线剪掉两角得五边形CDEFG，若DE∥CG，FG∥CD，根据所标数据，
则∠A的度数为（ ）
A．54° B．64° C．66° D．72°
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点E，F，D分别在边AC，BC，AB上，EF∥AB，DF∥AC，则四边
形AEFD的周长是（ ）
A．10 B．15 C．18 D．20
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE．若△AOE
的面积为5，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．80
9．等边三角形、正方形及正五边形各一个，按如图放在同一平面内，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．102° B．104° C．106° D．108°
10．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝
7，EF＝3，则BC的长为（ ）
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A．11 B．12 C．13 D．14
二．填空题（共5小题）
11．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点M为AB的中点，连接OM．若AC＝4，BD＝8，则OM的长
为 ．
12．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，其中AH⊥BC，垂足为H，若AB＝5，BC＝8， ，则
tan∠CDH＝ ．
13．若一个多边形的每个外角都是24°，则该多边形的边数为 ．
14．刺绣是我国独特的民间传统手工艺品之一，至少有二三千年历史．如图是用红色纱线完成的正五角星
刺绣作品，则图中∠OAB的度数是 度．
15．如图，五边形ABCDE是正五边形．若l ∥l ，则∠1﹣∠2＝ °．
1 2
1．（2023•十堰）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边
形的变化，下面判断错误的是（ ）
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A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B．对角线BD的长度减小
C．四边形ABCD的面积不变
D．四边形ABCD的周长不变
2．（2023•泸州）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E
是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（ ）
▱
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2022•甘肃）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而
且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横
截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（ ）
A．2mm B．2 mm C．2 mm D．4mm
4．（2023•重庆）若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为 ．
5．（2023•扬州）如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个多边形的边数为 ．
6．（2023•福建）如图，在 ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F．若AE
＝10，则CF的长为 ．
▱
7．（2023•株洲）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB 的平分线AE交线段CD于
点E，则EC＝ ．
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8．（2023•金华）如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，点C，D分别是OA，OB的中点，若
CD＝4cm，则该工件内槽宽AB的长为 cm．
9．（2023•济南）已知：如图，点O为 ABCD对角线AC的中点，过点O的直线与AD，BC分别相交于
点E，F．求证：DE＝BF．
▱
10．（2023•南充）如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF．
求证：（1）AE＝CF；
▱
（2）BE∥DF．
11．（2023•雅安）如图，已知E，F是 ABCD对角线AC上两点，AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
▱
（2）若CH⊥AB交AB的延长线于点H， ＝3，BC＝ ，tan∠CAB＝ ，求 ABCD的面积．
▱
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12．（2023•长沙）如图，在 ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：AD＝AF；
▱
（2）若AD＝6，AB＝3，∠A＝120°，求BF的长和△ADF的面积．
17
