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第八章 二元一次方程组
提分小卷
（考试时间：50分钟 试卷满分：100分）
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．（2022·江苏·七年级专题练习）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．二元一次方程组：由两个一次方程组成，
并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
【详解】解：A、 中有3个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意；
B、 未知数x的次数是2，不是二元一次方程组，不符合题意；
C、 由两个一次方程组成，并含有两个未知数，故是二元一次方程组，符合题意；
D、 中xy的次数是2，不是二元一次方程组，不符合题意．故选：C．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的定
义．二元一次方程组：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方
程组．
2.（2021·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）我们在解二元一次方程组
时，可将第二个方程代入第一个方程消去 得 从而求解，这种解法
体现的数学思想是（ ）
A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
【答案】A
【分析】通过代入消元法消去未知数x，将二元一次方程转化为一元一次方程．
【详解】解：在解二元一次方程组 时，
将第一个方程代入第二个方程消去x得2 2y+y=10，即4y+y=10，从而将二元一次方程降次转化为一元一次方程求解，
这种解法体现的数学思想是：转化思想，故选：A．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，理解消元法（加减消元法和代入消元法）解二元
一次方程组的方法是解题关键．
3．（2022·江苏·七年级专题练习）运用加减消元法解方程组 ，较简单的方
法是（ ）
A．先消去x，再解 B．先消去z，再解
C．先消去y，再解 D．三个方程相加得8x-2y+42＝11再解
【答案】C
【分析】观察方程组，发现第一个方程不含有未知数y，因此，可将第二、第三个方程联
立，首先消去y．
【详解】解： ，②×3＋③，得11x＋7z＝29④，
④与①组成二元一次方程组 ．故选：C．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，关键是掌握加减消元法．
4．（2022·江苏·七年级专题练习）课本上有一例题：求方程组 的自然
数解，是这样解的：因为x，y为自然数，列表尝试如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 6 5 4 3 2 1 0
900 1050 1200 1350 1500 1650 1800
可见只有 ， 符合这个方程组，所以方程组的解为
从上述过程可以看出，这个求方程组解的思路是（ ）A．先消元，然后转
化为一元一次方程，解这个一元一次方程，即可得方程组的解
B．先列出第一个方程的解，再列出第二个方程的解，然后找出两个方程的公共解，即为
所求的解
C．先列出第一个方程的解，再将这些解顺次代入第二个方程进行检验，若等式成立，则
可得方程组的解D．先任意给出的一对自然数，假定是解，然后代入两个方程分别检验，两个都成立，则
可得方程组的解
【答案】C
【分析】利用二元一次方程组的解的定义判断即可．
【详解】解：从上述过程可以看出，这个求方程组解的思路是，先列出第一个方程的解，
再将这些解顺次代入第二个方程进行检验，若等式成立，则可得方程组的解．故选：C．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次方程的解，方程组的解即为能使
方程组中两方程都成立的未知数的值．
5．（2022·陕西榆林·八年级期末）用代入消元法解关于 、 的方程组 时，
代入正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用代入消元法把①代入②，即可求解．
【详解】解： ，把①代入②，得： ．故选：A
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组数为
解法——代入消元法和加减消元法．
6．（2021·吉林松原·七年级期末）小亮解方程组 ，的解为 ，由于不小
心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数▲和☆，则这两个数分别为（ ）
A．4和 - 6 B．- 6和4 C．- 2和8 D．8和 – 2
【答案】D
【分析】根据方程的解的定义，把x=5代入2x−y=12，求得y的值，进而求出▲的值，即
可得到答案．
【详解】解：∵方程组 的解为 ，∴把x=5代入2x−y=12，
得：2×5−y=12，解得：y=-2，把x=5，y=-2代入2x+y=▲，
得：2×5+(−2)=▲，即：▲=8，∴这两个数分别为：8和﹣2．故选D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解的定义，掌握二元一次方程组的解满足各个方程，
是解题的关键．
7．（2021·广西来宾·七年级期末）将一副三角板按如图方式摆放，且 的度数比 的度
数多10°，若设 ， ，则可得方程组为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等量关系：①三角板中最大的角是 ，从图中可看出 ，
②∠1比∠2的度数大 ，则 ．
【详解】解：由图可知： ，又∵ 的度数比 的度数多10°，∴
，
∵设 ， ，∴联立，得到方程组： ．故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是正确找出等量关系．
8．（2022·重庆·模拟预测）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这么一首诗：“今有
布绢三十疋，共卖价钞五百七．四疋绢价九十贯，三疋布价该五十．欲问绢布各几何？价
钞各该分端的．若人算得无差讹，堪把芳名题郡邑．”其大意是：今有绵与布30疋，卖得
570贯钱，4疋绢价90贯，3疋布价50贯，欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差
错，你的名字城镇到处扬．设有绢 疋，布 疋，依据题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设有绢 疋，布 疋，根据“绵与布30疋，以及每疋绢价 贯钱，每疋布价
贯钱，共卖得570贯钱”，列出二元一次方程组即可．
【详解】设有绢 疋，布 疋，依据题意可列方程组为 故选B
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，古代数学问题，根据题意列出方程组是解题
的关键．
9．（2022·江苏·七年级专题练习）已知关于x，y的方程组 的唯一解是，则关于m，n的方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先将关于 的方程组变形为 ，再根据关于 的方程
组的解可得 ，由此即可得出答案．
【详解】解：关于 的方程组可变形为 ，
由题意得： ，解得 ，故选：A．
【点睛】本题考查了求二元一次方程组的解，正确发现两个方程组之间的联系是解题关键．
10．（2022·全国·八年级）关于x，y的二元一次方程组 的解为正整数，则满足
条件的所有整数a的和为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣3
【答案】C
【分析】先求出方程组的解，由方程组的解为正整数分析得出a值．
【详解】解：解方程组 ，得 ，
∵方程组的解为正整数，∴a＝0时， ；a＝2时， ，
∴满足条件的所有整数a的和为0+2＝2．故选：C．
【点睛】此题考查了已知二元一次方程组的解求参数，解题的关键是求出方程组的解，由
方程组解的情况分析得到a的值．
二、填空题：本题共5个小题，每题4分，共20分。
11．（2021·北京·101中学七年级期末）已知二元一次方程组为 ，则2x﹣2y的值
为 _____．
【答案】-2
【分析】利用整体思想，两式相减得到x-y=-1，整体代入到代数式中求值即可．【详解】解： ①-②得：x﹣y＝﹣1，∴2x﹣2y＝2（x﹣y）＝2×（﹣1）＝﹣
2，答案：﹣2．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，利用整体思想，两式相减得到x-y=-1是解题
的关键．
12．（2021·四川·成都外国语学校八年级阶段练习）已知 是二元一次方程组
的解，则mn的相反数为______．
【答案】-12
【分析】把 代入方程组求出m，n即可；
【详解】把 代入 中得： ，
得： ，解得： ，把 代入①中得： ，
∴方程组的解是 ，∴ ，∴mn的相反数是 ；故答案是： ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，代数式求值，相反数的性质，准确计算
是解题的关键．
13．（2022·浙江·宁波市海曙外国语学校七年级开学考试）如果 ，
那么 _________．
【答案】3
【分析】由 ，可以得到 ，解二元一次方程组即可．
【详解】解：∵ ∴
∴ 得： 解得： 将 代入 得：
所以二元一次方程组的解为： 所以满足题意的 的值为：3故答案为：3
【点睛】本题考查绝对值的非负性，以及二元一次方程组的应用，能够根据题意整理得到
二元一次方程组是解题的重点．
14．（2022·江苏苏州·七年级期末）整式mx+n的值随x的取值不同而不同，下表是当x取
不同值时对应的整式的值：
x ﹣2 ﹣1 0 1 2mx+n ﹣12 ﹣8 ﹣4 0 4
则关于x的方程﹣mx+n＝8的解为______．
【答案】
【分析】根据表格中的数据，求得 的值，然后代入方程 ，求解即可．
【详解】解：根据表格的数据可得： ，解得
代入方程 ，可得 ，解得 ，故答案为：
【点睛】本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组，解题的关键是正确求得 的
值．
15．（2021·广东阳江·七年级期末）如图，每条边上的三个数之和都等于16，么a，b，c
这三个数按顺序分别为 ________．
【答案】5，6，4
【分析】根据题意可列方程组 ，应用解三元一次方程组的解法进行求解即
可得出答案．
【详解】解：根据题意可得， ，①﹣②得，a﹣c＝1④， ④+③得，a＝
5，解得 ，
a，b，c这三个数按顺序分别为5，6，4．故答案为：5，6，4．
【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解，根据题意列出方程组及熟练应用三元一次
方程组的解法进行求解是解决本题的关键．
三、解答题：本题共5个小题，每题10分，共50分。
16．（2021·广东·深圳第三高中八年级期中）解方程组：（1） （消元法）； （2） （加减法）．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用加减消元法解方程组，即可得到答案；
（2）先把方程进行整理，然后利用加减消元法解方程组，即可得到答案．
【详解】解：（1） ，由① －②，得 ，
把 代入②，解得 ，∴ ．
（2） ，
方程组整理得 ，
由①－②得：－2x＝6，解得：x＝－3，
把x＝－3代入①得－6－3y＝1，解得： ；
所以方程组的解为 ．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解方程组是解本题的关键．
17．（2022·全国·八年级）在解方程组 时，甲由于粗心看错了方程组中的
a，求出方程组的解为 ，乙看错了方程组中的b，求得方程组的解为 ，甲把a
看成了什么？乙把b看成了什么？求出原方程组的正确解．
【答案】甲把a看4，乙把b看成了 ，原方程组的正确解是
【分析】把 代入①可解得看错的a，代入②可解得正确的b，把 代入①可解
得正确的a，代入②可解得看错的b，进一步即可求出结果；
【详解】解：由题意把 代入①得a+6=10，得看错的a=4，把 代入②得1+6b=7，解得正确的b=1；
把 代入①得-a+12=10，得正确的a=2，把 代入②得-1+12b=7，解得看错的
b= ，
则原方程组为 ，解得 ；所以甲把a看4，乙把b看成了 ，原方程组的
正确解是 ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的
解法是关键．
18．（2021·上海市进才中学北校期末）某学校六年级甲、乙两个班共82人去某游乐园春
游，其中甲班比乙班人多，且甲班不到80人，下面是游乐园提供的价格表：
购票张数 1—40张 41—80张 80张以上
每张票的价格 60元 55元 50元
如果两个班以班级为单位，单独给每位同学购买一张门票，那么一共应付4690元，问：
(1)甲、乙两班各有多少名同学？(2)现甲班有8人不能参加春游，请你通过计算为两个班级
设计一个最省钱的购票方案．
【答案】(1)（1）甲班有46名同学、乙班有36名同学 (2)甲、乙两班联合购买80张门票
【分析】（1）甲班有x名学生准备参加春游、乙班有y名学生准备参加春游，根据题意可
知 ， ，即可列出方程组，解出x，y，即得出答案．（2）分别计算出①甲、乙
两班联合买门票、②甲、乙两班分别独自买票和③甲、乙两班联合购买80张门票的价钱，
在比较即得出答案．
(1)设甲班有x名学生准备参加春游、乙班有y名学生准备参加春游，
∵甲、乙两个班共82人，且甲班比乙班人多
∴ ， ，∴可列方程组： ，
② ① 得， ，解得： ，
把 代入①得， 解得： ，
故甲班有46名同学、乙班有36名同学．
(2) 甲班有8人不能参加春游， 甲班有 人参加春游，
若甲、乙两班联合买门票，则需要 （元），
若甲、乙两班分别独自买票，则需要 （元）
若甲、乙两班联合购买80张门票，只需 （元），故最省钱的购买方案是甲、乙两班联合购买80张门票．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用．特别注意（2）不需要特意购买与参加人数
相同的票数．
19．（2021·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）综合与探究
列方程组解应用问题要先审题、找相等关系，再设未知数、列方程，最后解方程、写出答
案．设未知数时可采用“直接设法”与“间接设法”．
甲、乙两名同学在做下面应用题：“嫩江是齐齐哈尔的母亲河，为加强河坝的防洪能力，
现有一段长为180米的河坝加固任务由 、 两个工程队先后接力完成． 工程队每天加
固河道12米， 工程队每天加固河道8米，共用时20天．求 、 两工程队分别加固河
道多少米？”请你根据所给题目，解决下列问题：
（1）如果甲同学采用直接设法：
可设 表示__________________， 表示__________________，
那么依题意可列方程组： ，解得
如果乙同学采用间接设法：
可设 表示__________________， 表示__________________，
那么依题意可列方程组： ，解得
（2）请你直接写出 、 两工程队分别加固河道多少米？
【答案】（1） 工程队加固河道的长度， 工程队加固河道的长度， ，
； 工程队加固河道的天数， 工程队加固河道的天数， ，
；（2） 工程队加固河道的长度为60米， 工程队加固河道的长度为120米．
【分析】（1）设 表示A工程队加固河道的长度， 表示B工程队加固河道的长度；设
表示 工程队加固河道的天数， 表示 工程队加固河道的天数，然后根据等量关系列出
方程求解即可；
（2）根据（1）中计算的结果，得到答案即可.
【详解】解：（1）设 表示A工程队加固河道的长度， 表示B工程队加固河道的长度
那么依题意可列方程组： ，解得设 表示A工程队加固河道的天数， 表示 工程队加固河道的天数，
那么依题意可列方程组： ，解得
（2）A工程队加固河道的长度为60米， 工程队加固河道的长度为120米．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关
系列方程组求解.
20．（2021·浙江·七年级期中）为庆祝建党100周年，某厂计划组织27名工人生产A，B
两款纪念衫，每名工人每天只能生产同一款纪念衫，若安排1人生产A款，2人生产B款，
则每天可生产230件纪念衫：若安排3人生产A款，4人生产B款，则每天可生产550件纪
念衫．
（1）求每人每天能生产A，B款纪念衫各多少件？
（2）根据市场需求，该厂在不增加工人的情况下，增加生产C款纪念衫，已知这三款纪
念衫的成本和售价如表所示，且A，C两款纪念衫每人每天的产量相等．
款式 A款 B款 C款
成本（元/件） 14 17 17
售价（元/件） 20 25 25
若三款均有生产，每可获利14940元，则生产A，B，C款纪念衫的工人分别是多少人？
【答案】（1）每人每天能生产A，B款纪念衫的件数分别为90件和70件；（3）生产A，
B，C款纪念衫的工人数分别为17人、9人、1人．
【分析】（1）设每人每天能生产A，B款纪念衫的件数分别为x、y，然后根据“若安排1
人生产A款，2人生产B款，则每天可生产230件纪念衫：若安排3人生产A款，4人生产
B款，则每天可生产550件纪念衫”列二元一次方程组解答即可；（2）设生产A，B，C款
纪念衫的工人数分别为x、y、z，然后根据题意列三元一次方程组再化简，然后根据二元一
次方程的解结合题意解答即可．
【详解】解：（1）设每人每天能生产A，B款纪念衫的件数分别为x、y
由题意得： 解得：
答：每人每天能生产A，B款纪念衫的件数分别为90件和70件；
（2）设生产A，B，C款纪念衫的工人数分别为x、y、z
由题意得
化简得： ②-27×①得：y+9z=18
当z=1时，y=9，则x=27-z-y=17
答：生产A，B，C款纪念衫的工人数分别为17人、9人、1人．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用、三元一次方程组的应用、二元一次方程的
解等知识点，审清题意、明确题间量的关系是解答本题的关键．
